滚动检测（8）（必修第二册第六、七、八、九、十章）-2025-2026学年高一数学滚动检测卷

高一年级第二学期数学滚动检测（八） 考试说明： 1.考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章，第九章，第十章。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第1卷（选择题，共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.i是虚数单位，复数z=-3-2i在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.经过班干部初选后，需从包括你在内的四位同学中随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你 当上班长的概率为( ) A.月 C. D. 6 3.从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是( A.至少有2个红球 B.至少有2个黄球 C.都是黄球 D.至多2个红球 4.如下左图，△OAB是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为( A.10+2W13 B.32 C.10+4W13 D.12 3 145° P 7O4B' M 5.如上中图，在△ABC中，PC=2BP,过点P的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设 AB=AM,AC=AN,则2m+n的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.如上右图，圆锥的底面半径为”，高为2r,且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径 为1，则r=( ) A.5-1 B.5+1 c.3+1 D.3-1 2 2 2 2 7.连掷两次骰子分别得到点数，，则向量(m,m)与向量(1,1)的夹角6>匹的概率是( ) A 君 试卷第1页，共4页 8.已知圆O的半径为13，P9和MN是圆O的两条动弦，若P阿=10，M=24,则 PM+QN的最大值是( A.17 B.20 C.34 D.48 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求) 9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的 面上的数字，得到样本空间为2=1,2,3,4,5,6,7,8，设事件A=1,2,7,8},事件B=“得到的点数为偶数”， 事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( ) A.事件B与C互斥 B.P(AUB)=3 C.事件A与C相互独立 D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 10.若复数：= 则 3-51 A.=17 B.z在复平面内对应的点位于第一象限 C.=4+i D.复数ω满足引o=1,则o-=的最大值为√17+1 11.如图，在矩形AEFC中，AE=2√5，EF=4,B为EF中点，现分别沿AB,BC将△ABE、△BCF翻折， 使点E,F重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则( A.三棱锥P-ABC的体积为8 B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为5 6 C.直线A与平面9c所成角的正弦直为} D.三棱锥P-ABC外接球的半径为√22 2 第1川卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知a6满足园=4，ā.6=6，若a在6方向上的投影向量为2五，则a+ 3 1.在4Bc中，角么品c的对边分别为aaC-客若双=(e-6,a创.n-(abc+6),且m1, 则△ABC的面积为 14.甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选 手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为；，乙队中3名选手答对题 2 的概率分别为号在第一轮比赛中，甲队得x分，乙队符y分，则在这轮中，满足0-y2且y0 的概率为 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.(本小题13分) 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得 ∠BCD=60°，∠BDC=75°，CD=60Im,并在点C处测得塔顶A的仰角∠ACB=30°. (1)求B与D两点间的距离： (2)求塔高AB 16.(本小题15分) D M 已知棱长为2的正方体ABCD-ABC,D中，M,N,P分别是CD,AD,CC的 C B 中点 (1)求证：MP//平面ABB,A: (②)过M,N,P三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面 D- 的周长 B 17.(本小题15分) 为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全 民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品 等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们 进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本， 将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得 频率 到如图所示的频率分布直方图 个组距 (1)求频率分布直方图中a的值； L 0.025 0.020 0.010 试卷第3页，共4页 0.005 AI 405060708090100成绩/分 (2)求样本成绩的第75百分位数： (3)已知落在[50,60)的平均成绩是56，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩 的总平均数三和总方差2. D 18.(本小题17分) B 如图，四棱柱ABCD-AB,CD,的底面ABCD为正方形，DD⊥平面ABCD, AA=4,AB=2,点E在CC上，且C,E=3EC. (1)求证：AC⊥DE: (2)求直线DD与平面BDE所成角的正弦值： (3)求平面BDE与平面ABD所成锐二面角的余弦值. 19.(本小题17分) 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为P,甲与 丙比赛时，甲获胜的概率为P2,乙与丙比赛时，乙获胜的概率为P, (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜 利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场 比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设P=P2=P=0.6,且每 局比赛相互独立， (1)求乙连胜两局获得最终胜利的概率； (11)求比赛结束时乙获胜的概率： (2)若乃+P<1,假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析 乙的最优指定策略。 4高一年级第二学期数学滚动检测（八） 考试说明：1，考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章，第九章，第十章。 2.试卷结构：分第〡卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.i是虚数单位，复数z=-3-2i在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】求得二对应的坐标，由此得出正确选项. 【解析】复数z=-3-2i对应的坐标为(-3，-2)，在第三象限.故选C. 2.经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中)随机确定二个同学分别担 任班长与学习委员，则你当上班长的概率为() A.月 B. 1 C. D 3 4 6 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率 【解析】对于每个同学而言，当上班长的概率都相等，故你当上班长的概率为}故选C. 4 3.从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是 () A.至少有2个红球 B.至少有2个黄球 C.都是黄球 D.至多2个红球 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【解析】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、 三黄这四种情况，则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”.故选C 4.如图，AOAB是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为() 3 145 4 B'主 A.10+213 B.3√2 C.10+43 D.12 【答案】A 【分析】根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，∠AOB=90°，边长OB=4, OA=2OA=6,然后即可求三角形的周长. 【解析】 ▣ B 根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，∠AOB=90°，底边长OB=4,高 OA=20A=6,所以AB=VOB2+OA2=V4+62=213,.直角三角形OAB的周长为 10+2V13.故选A. 5.如图，在△ABC中，PC=2BP,过点P的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M, N.设AB=AM,AC=AN,则2m+n的值为() 4 B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分折】利用向量基本定理得到P-+智，由共线定理的推论得到方程，术出 3 2m+n=3. 【解折】亚-西+丽：西+号c-西+4c-)号4仍+兮C,因为48=mM, 4C=N,所以P:智+号4N,又MRN三点共线，所以号1，年2+= 3 故选C 6.如图，圆锥的底面半径为”，高为2r,且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切） 的半径为1，则r=() A.5-1 B.5+1 c.3+1 D. 5-1 2 2 2 2 【答案】B 【分析】画出轴截面，根据SBc=S4DB+S4Dc+SDc列方程求解即可. 【解析】画出圆锥的轴截面如图 D 设内切球的球心为D,半径为R,则AG=GB=r,CG=2r,R=1, 所以AC=BC=VAG+CG=V5r,又SAc=SAD9+SADc+Sc, ×2r1+分5121，解得=51，救这B 2 21 2 7.连掷两次骰子分别得到点数，，则向量(m,)与向量(1,1)的夹角日>工的概率是() A. B.3 C. 1 6 D. 5 12 【答案】D 【分析】确定(，)的可能组合数，由题设列举出n<m的可能组合，即可求概率 【解析】由题设，向量m)的可能组合有36种，要使向量m,)与向量(-1山)的夹角日>匹 则(，)(-1,1)=n-m<0,即n<,满足条件的情况如下： m=2时，n∈{， m=3时，ne1,2, m=4时，n∈1,2,3}， m=5时，n∈{1,2,3,4}， m=6时，n∈{1,2,3,4,5}， 综上，共有15种，故向量m川与向量10的夹角0>的概车是5-三 故选D 2 3612 8.已知圆O的半径为13，P9和MN是圆O的两条动弦，若P可=10，=24，则PM+QW 的最大值是() A.17 B.20 C.34 D.48 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正 确答案 【解析】设O是圆的圆心，连接MO,OP,ON,作PQ⊥OE,N⊥OD,垂足分别为E,D, 则E,D分别是QP,MN的中点，由勾股定理得OB=V132-52=12,OD=V132-122=5, PM+ON-OM-OP+ON-00=(OM+ON)-(OP+00)=2(OD-OF), 故PM+0N=20D-0成≤2(0d+0=34,当0亚，0D反向时等号成立， 所以PM+O的最大值是34.故选C E 【点睛】解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将 向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化， 对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结 合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。 9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察 它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为2=1,2,3,4,5,6,7,8，设事件A=1,2,7,8, 事件B=“得到的点数为偶数”，事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是() 5 A.事件B与C互斥 B.4U-月 C.事件A与C相互独立 D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 【答案】BCD 【分析】确定事件A,B,C包含的样本，点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项 判断。 【解析】事件A=,27,8,事件B={24,68,事件C=2,35,7,PA)=P(B)=PC= 对于A,事件B,C有相同的样本，点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B,P)专片则P4UB)-PU国+PD)-D)-子B正确： 对于C,P(AC)= =2-P④P(C),事件A与C相互独立，C正确： 84 1 对于D,P(ABC)=。=P(A)P(B)P(C),D正确.故选BCD 8 10若复数：=3-5i 1-i 则() A.H=7 B.z在复平面内对应的点位于第一象限 C.7=4+i D.复数w满足引o1,则o-的最大值为√17+1 【答案】ACD 【分析】根据复数除法的运算法则化简复数Z,即可判断A;根据共轭复数的定义判断B: 根据=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的点为(a,b),由此判断C:根据复数模的 运算公式得到|⊙-|表示圆上的点与(4，-1)的距离，再由圆上点(4，-)与圆心的距离加半径 为圆上的点与(4，-1)的距离的最大值判断D. 【解析】由题意，z= 3-5i_3-列)0+)8214i,=6+1=7,故A正确： 1-i(1-i)0+i)2 由z=4-i,得复数z在复平面内对应的点为(4，-1)，位于第四象限，故B错误： 由z=4-i,得z=4+i,故C正确： 设w=x+i(化yeR),所以|o非Vx2+少，因为|w=1,所以x2+y2=1,即复数0在复平 面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，而 lw=（x+i)-(4-iHx-4)+(y+1)=Vx-4+(y+1)2,表示圆上的点与(4，-)的距 离，因为圆心0到(4，-1)的距离√(0-4)2+(0+1)2=V17，所以表示圆上的点与(4，-1)的距 离的最大值为√17+1，故D正确. 故选ACD. 11.如图，在矩形AEFC中，AE=23,EF=4,B为EF中点，现分别沿AB,BC将△ABE、 △BCF翻折，使点E,F重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则() D 6 A.三棱锥P-ABC的体积为82 B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为 6 C.直线FA与平面8C所成角的正弦值为号 D.三棱锥P-ABC外接球的半径为V 2 【答案】ABD 【分析】证明BP⊥平面PAC,再根据'ABC='-Ac即可判断A;先利用余弦定理求出 cOs∠APC,将BC用PC,PB表示，利用向量法求解即可判断B:利用等体积法求出点A到平 面PBC的距离d,再根据直钱PA与平面P8C所成角的正弦值为·即可判昕C:利用正孩 PA 定理求出△PAC的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D. 【解析】解：由题意可得BP⊥AP,BP⊥CP,又AP∩CP=P,AP,CPC平面PAC, 所以BP⊥平面PAC,在△PAC中，PA=PC=2N5,AC边上的高为 V23°-22=25， 所=号43x-85,成A 3 对于B,在aPAC中，cos∠APC=12+I2-16_1 2x2V3x2V53,BC=12+4=4, cos PA,BC= PA.BC PA(PC-PB)PA.PC-PA.PB2x2x 33 PABC 2W3×4 83 88 6 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为5，故B正确： 6 对于C,Sc=与PB-PC=2W5,设点A到平面PBC的距离为d, 由Va-P4c=VA-PBC, 得×2w5d-85,解得d=4 3 3 4w6 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为d=3_22,故C错误： PA 23 3 ::2C 由B选项知，cos∠APC- 号，则sm∠APc-22 所以△PAC的外接圆的半径 3 > 2sim∠APC方，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,设外接球球心为O,△PAC外 1 AC 3 接圆图心为O,连接O0,可知001平面PAC,又因为BP1平面PAC,所以O0=号PB, 在克三衫00C中，可得：R=rP八1，所以R=医，即三棱 P-ABC外接球的半径为V22 故D正确.故选ABD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知a5满足同=4，ā：6=6，若a在万方向上的投影向量为五，则la+5= 【答案】√37 【分析】利用投影向量的定义求出b,再利用数量积的运算律求解. 【解折】由在5方狗上的报影的￥为五，母5多，丘：6》 3 剥6-写而a6=6, 于是b=3,所以ā+b=V+b2+2a.b=V4+32+2×6=√37.故答案为：V37 在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,C5 m=(c-V6,a-b),in=(a-b,c+√6)，且m/i,则△ABC的面积为 【答案】3 【分析】由已知根据m/1n可得a2+b2-c2=2b-6,然后结合余弦定理可得ab=6,利用 面积公式即可求解」 【解析】由m1m,所以(a-b)'=(c-V6)(c+V6),整理得d+b2-c2=2ab-6,所以 cosa+b'-c'_2ab-6_1 3 2ab 2心=三，解得ab=6,所以S4c=absin C=1x6 >6√333.故 2 2 答案为：35 2 14.甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮 比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为子， 乙队中3名选手答对题的概率分别为，34在第一轮比卷中，甲队得x分，乙队得V分 则在这一轮中，满足0<x-y≤2且y≠0的概率为 【紧】照 【分析】首先求出甲在一轮比赛中得2分、3分的概率，乙在一轮比赛中得1分、2分的概率， 设在这一轮中，满足0<x-y≤2且y≠0为事件A,则A包含①甲队得2分，乙队得1分，② 甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，再根据相互独立事件及互斥事件的概 率公式计算可得. 【解析】依题意甲队在一轮比素中得2分的概率为B=×××3=3 222 8 1111 甲队在一轮比赛中得3分的概率为P=一×一×一=。 22281 乙队在一轮比赛中得1分的概率为： g号1到+x1x1 乙队在一轮比赛中得2分的概率为： g41分6 设在这一轮中，满足0<x-y≤2且y≠0为事件A, 则A包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分， 所以P小2R6台铝台站 即在这一轮中，满足0<x-y≤2且y≠0的概率为0 288 故答案为：70 288 【点睛】本题解答的关键是分析得到①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分， ③甲队得3分，乙队得2分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C 与D.现测得∠BCD=60°，∠BDC=75°，CD=60,并在点C处测得塔顶A的仰角 ∠ACB=30° (1)求B与D两点间的距离： (2)求塔高AB 【答案】(1)30W(m)(2)30+10W3m 【分析】（1)根据正弦定理即可得到答案： (2)首先根据正弦定理求出BC,再根据三角函数定义即可得到答案 【解析】（1)在△BCD中，：∠BCD=60°，∠BDC=75,.∠CBD=45 BD CD 60xV3 由正弦定理得 BD=CDsin BCD 2=30√6(m), sin∠BCD sin∠CBD' sin∠CBD v2 2 2》）m75-mn45+30')）=m45cos30+0s45血30-2x5,216+2 22+22 4 BC CD 在△BCD中，由正弦定理得 sin∠BDC sin∠CBD BC=CDsin∠BDC 60xV6+V2 4_=30+303(m), sin∠CBD √ 2 在R△4BC中，AB=BCtan∠ACB=BCan30-5×30K5+)=30+10/30Om 3 16.己知棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，M,N,P分别是CD,AD,CC的中点 D M B D N. B (1)求证：MP/平面ABB,A: 10