专题6.7 角的和差（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

本初中数学讲义聚焦“角的和差”核心知识点，先系统梳理角的分类、和差计算及角平分线等基础概念，再通过三角板、几何图形、实际问题等情境展开应用，构建从概念到实践的学习支架。 资料亮点在于考点设计覆盖多样现实情境，如三角板旋转、台秤指针转动等，培养学生用数学眼光观察世界，典例与变式训练结合提升推理能力，分层练习和中考真题助力课后查漏补缺，兼顾课中教学与课后巩固。

专题6.7 角的和差 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：角的分类 1 知识点梳理02：角的和差计算 2 知识点梳理03：角平分线 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：三角板中角度计算问题 3 考点2：几何图形中角度计算问题 7 考点3：实际问题中角度计算问题 9 考点4：角平分线的有关计算 11 考点5：角n等分线的有关计算 14 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 27 知识点梳理01：角的分类 角按照大小可分为 知识点梳理02：角的和差计算 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点梳理03：角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 考点1：三角板中角度计算问题 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______； (2)将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则______； (4)上述三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，观察三角板边的运动情况．若绕点O按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，绕点O运动时间为______秒，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或，理由见解析 【思路点拨】本题考查了角的和差，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键． （1）根据，，即可求得和的度数； （2）根据题意，利用，即可解答； （3）表示出，，作差即可； （4）分类讨论，即当绕点O顺时针旋转时或当绕点O逆时针旋转时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：， ，， ， 故答案为：；； （2）解：在图2中，， ， 故答案为：； （3）解：在图3中，， ， ， 故答案为：； （4）解：或，理由如下： 如图， ， 当恰好为的平分线时，， ， 当绕点O顺时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 当绕点O逆时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 故答案为：或． 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了与三角板有关的计算问题，根据题意，得，则，再把数值代入进行计算，即可作答． 【规范解答】解：依题意，， 则， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练2】（25-26七年级上·山西运城·月考）如图，这是一块含角的直角三角板，其中．现过点引射线，交于点，使；引射线，使平分，则的度数为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查角平分线的概念，角的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．本题需要分类讨论，当射线在的内部时或者当射线在 的外部时，设，则，两种情况分别根据图形列出方程求解出，因为平分，则，则可求． 【规范解答】解： 如图1， 设，则． ， ， 解得， ∴． ∵平分， ∴ ， ∴； 当射线在 的外部时，如图2， 设，则． ∵， ∴， 解得， ∴， ∵ 平分， ∴ ， ∴． 综上，的度数为或． 故答案为：或 考点2：几何图形中角度计算问题 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键； （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出； （2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴． 【变式训练1】（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图所示，直线和直线相交于点O，在直线的左侧作射线、射线、射线，已知，，射线平分，射线平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了角的和差、与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，设，则，，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差可得，则可得，解方程可得的值，据此即可得． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵射线平分， ∴， 设，则， ∴， ∵射线平分， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·月考）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，注意分类讨论． 分情况讨论，即或时，分别讨论即可． 【规范解答】解：根据射线是的三等分线，可分情况讨论， 如图，当时， ， ， 如图，当时， ， ， 故答案为：或． 考点3：实际问题中角度计算问题 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了； (2)若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【思路点拨】（1）（2）先求出台秤指示盘指针最大转动角度，再利用台秤量程和指针转动度数之比即可求解. 【规范解答】（1）解：（1）由题可知：， 指针最多能转动， ， 把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了. （2）（2）由（1）可知，指针最多能转， ， 若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了角的和差和网格的特征等知识，求出是关键．根据网格的特征和角的和差解答即可． 【规范解答】解：由题意可得，， ∴， 由图可知，， ∴ 故选：B 【变式训练2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，根据角度关系，列出方程，进行求解即可． （1）根据三角板的直角顶点落在直尺上，得出即可； （2）设，则，根据，列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵三角板的直角顶点落在直尺上， ∴； （2）解：设，则，根据题意得： ， 解得：， 即． 考点4：角平分线的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·山西晋城·月考）如图，是内的一条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数． (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了角的和差，角平分线的有关计算． （1）根据角平分线的定义得到，，根据计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，，进而求出，根据即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：因为平分，， 所以， 因为平分，， 所以， 所以； （2）解：因为，且的度数为， 所以， 因为平分， 所以， 因为平分， 所以， 所以． 因为， 所以． 【变式训练1】（25-26七年级上·山西运城·月考）如图，是内的一条射线，平分，平分．若的度数为，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 根据角的和差得出，根据角平分线的定义得出角的倍数关系，然后再利用角的和差进行求解即可． 【规范解答】解：因为，且的度数为， 所以． 因为平分，所以． 因为平分，所以． 所以． 因为， 所以． 【变式训练2】（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，分别是、的角平分线，已知，，求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和与差，弄清角与角间的数量关系，利用方程思想解答是解题的关键． （1）根据、分别是、的角平分线，而，可求，再由即可求解； （2），可得，从而得到，再由，根据角的和差列方程求解，即可求解的度数． 【规范解答】（1）解：∵、分别是、的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 考点5：角n等分线的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【思路点拨】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【规范解答】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【变式训练1】（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【规范解答】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【答案】20 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【规范解答】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 1．（2024·江苏苏州·中考真题）已知，过点作射线，使，且，使关于的方程有无数个解，再过点作射线使得平分 ，则的度数为 ． 【答案】或 【思路点拨】此题考查一元一次方程的应用，以及角的计算．先通过方程有无数个解，求出的值，然后分类讨论C点的位置直接求解即可． 【规范解答】解：关于x的方程有无数个解 ，则，解得， ， 1．当C在内部时，如图， 平分，， 设，则，，， ，解得 ； 2．当C在外部时，如图， 平分，， 设，则，，， ，解得， ， 综上所述：或． 故答案为：或． 2．（2024·河南周口·中考真题）已知，平分，，则的度数是 ． 【答案】/40度 【思路点拨】本题考查了角的和差，以及角平分线的计算． 由和，可得；再根据平分，利用角平分线定义求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：． 3．（2024·全国·中考真题）在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【规范解答】如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线在外时， ， 综上，的度数为或， 故选C． 4．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了角的和差计算与角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质及角的和差关系是解题的关键． 先求出的度数，再利用角平分线的定义得到的度数，最后通过角的差计算． 【规范解答】解：∵ ，， ∴ ， ∵ OD平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【思路点拨】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）由直角三角形的性质求得的度数，再平分，求得的度数，从而求得的度数；若，则，由角平分线的定义求得，从而求得的度数，进而求得； （2）由，，求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再由平角的定义求得的度数，再代入求解即可； （3）设，则，，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 即． 基础夯实 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）当时钟指向上午时，时针与分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角的度量，掌握角的度数计算是关键．通过计算时针和分针在时的角度位置，求差并取最小夹角． 【规范解答】解：∵钟面，时针每小时移，每分钟移，分针每分钟移， 在时， 时针角度：， 分针角度：， ∴两针夹角为， 因， 故最小夹角为． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山西运城·月考）如图，已知，在内部引一条射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了角的和差，角的度数的加减，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据角的和差及角的度数的加减运算法则，进行计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·山西晋城·月考）如图，已知，在内部引一条射线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角的和差． 根据计算即可． 【规范解答】解：． 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若，平分，则= °． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查角平分线的定义，掌握其知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义即可求解． 【规范解答】解： 平分，， ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河南新乡·月考）如图，一束光线照射到玻璃表面时，发生了折射和反射现象，已知，，，则反射光线与折射光线形成的的度数为 ． 【答案】/115度 【思路点拨】本题主要考查了角的和差计算，解题的关键是正确找出各角度之间的关系． 根据求解即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）若，，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查角的和差计算，熟练掌握分类思想是解题的关键． 根据射线的位置分情况讨论，利用角的和差关系求解即可． 【规范解答】解：由，， 如图，当射线在内部时， ； 如图，当射线在外部时， ， 故答案为：或． 7．（25-26七年级上·江苏常州·月考）将一副直角三角板如图摆放，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据三角板中角度的特点可得的度数，再根据角的和差关系可得答案． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义求得，即可求出； （2）根据平角和余角的性质可得，从而求解． 【规范解答】（1）解： ，平分， ， ． （2）解：平分． 理由如下： ，， ． 又 ， ，即平分． 9．（25-26七年级上·广西崇左·月考）如图，观察时钟，回答问题： (1)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ (2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？ (3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？ (4)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 【答案】(1)60分钟，(度/分) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查钟面角． （1）分针60分钟转一圈，时钟的分针1min旋转一个“小格”，即； （2）时钟的时针旋转一个“大格”，即，从0点(12时)开始到6时整，走了六个“大格”，即可得出时针转动了， （3）从12时到12时30分，时间为30分钟，再乘以转速即可求解. （4）根据钟面角的定义以及钟面上时针、分针旋转过程中所成角度的变化规律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：分针60分钟转一圈，时钟的分针旋转的度数为， 答：分针60分钟转一圈，它的转速是度/分； （2）解：时钟的时针旋转的度数为， 从0点(12时)开始到6时整，时针转动了， 答：从0点(12时)开始到6时整，时针转动了180°. （3）解：从12时到12时30分，分针转动了 答：从12时到12时30分，分针转动了180°. （4）解：从12时到12时15分时，时针转动了，分针转动了，中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 答：中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 10．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，在内部作射线平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在的外部和的内部分别作射线，已知，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义以及角的计算． （1）根据角平分线的定义可得，根据已知，等量代换，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，根据已知，得出即可得证． 【规范解答】（1）解：平分， 即 （2）平分 ， ，即 平分． 培优拔高 11．（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点对应点，点对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算．根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出． 【规范解答】解：由折叠知：，， ， ， ． 故选：B． 12．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知，，平分，平分，则的度数是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查角平分线的定义和角的计算，分情况分析是解题的关键． 先由角平分线定义求出和的度数，再分与在同侧、异侧两种情况，通过角的和差计算得的结果即可． 【规范解答】∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， 情况1：与在同侧， ， 情况2：与在异侧， ， ∴为或． 故选：D． 13．（25-26七年级上·广东汕头·月考）光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为（   ）度． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了光的反射定律及角度的计算，利用光的反射定律确定角的关系，并结合周角、直角的性质分析角度是解题的关键． 结合光的反射定律（入射角反射角），用周角算出入射与反射光线的夹角，再利用，最终求得入射光线与水平面夹角为即可． 【规范解答】解：由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即入射光线与水平面的夹角为． 故选：． 14．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知，从点引一条射线，作的角平分线，作的角平分线，的度数为 °． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了角平分线的有关计算，掌握“分类讨论思想”是解题的关键．射线的位置不确定，可能在内部，也可能在外部，根据位置不同，分别计算的度数即可． 【规范解答】当在内部时，如图所示， 平分， ， 平分， ， ， ， ； 当在外部时，如图所示， 平分， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：或 15．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【思路点拨】本题主要考查了几何图中的角度计算，由角平分线的定义得出， ， ，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出与不互补. 【规范解答】解：∵平分，平分，平分， ∴， ， ， ∵，， ∴，，， ∴，即，故①②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴与不互补，故④错误． 故答案为：①②③ 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，由是直角，结合，可求得，再根据角平分线的意义得出，，再根据求解． 【规范解答】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 17．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的有 个． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了与角平分线有关的计算，平角的定义，由角平分线的定义可得，，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵，平分， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴，，故②正确； ∴与可以拼成一个直角，故③正确； ∵， ∴与可以拼成一个平角，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：4． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用，含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19．（2025七年级上·全国·专题练习）线段与角的计算． (1)如图1，是线段上的两点．若，且，求的长； (2)如图2，O为直线上一点，且为直角，平分，平分．若，求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【思路点拨】本题主要考查线段的和与差、一元一次方程的应用、角平分线的定义、角的运算等知识点．掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意可求出，再根据，即可得到，从而完成解答； （2）设，由角平分线的定义和垂直的定义可得，进而得到，然后根据列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：设， ∵为直角，平分， ∴， ∵平分，而， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的度数是． 20．（25-26七年级上·福建厦门·月考）已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，猜想与之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的数量关系是解题的关键： （1）先求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系得到，，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； ∵， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.7 角的和差 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：角的分类 1 知识点梳理02：角的和差计算 1 知识点梳理03：角平分线 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：三角板中角度计算问题 2 考点2：几何图形中角度计算问题 4 考点3：实际问题中角度计算问题 5 考点4：角平分线的有关计算 6 考点5：角n等分线的有关计算 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：角的分类 角按照大小可分为 知识点梳理02：角的和差计算 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点梳理03：角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 考点1：三角板中角度计算问题 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______； (2)将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则______； (4)上述三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，观察三角板边的运动情况．若绕点O按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，绕点O运动时间为______秒，并说明理由． 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·山西运城·月考）如图，这是一块含角的直角三角板，其中．现过点引射线，交于点，使；引射线，使平分，则的度数为 ． 考点2：几何图形中角度计算问题 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式训练1】（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图所示，直线和直线相交于点O，在直线的左侧作射线、射线、射线，已知，，射线平分，射线平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·月考）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为 ． 考点3：实际问题中角度计算问题 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 考点4：角平分线的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·山西晋城·月考）如图，是内的一条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数． (2)若的度数为，求的度数． 【变式训练1】（25-26七年级上·山西运城·月考）如图，是内的一条射线，平分，平分．若的度数为，求的度数． 【变式训练2】（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，分别是、的角平分线，已知，，求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 考点5：角n等分线的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 1．（2024·江苏苏州·中考真题）已知，过点作射线，使，且，使关于的方程有无数个解，再过点作射线使得平分 ，则的度数为 ． 2．（2024·河南周口·中考真题）已知，平分，，则的度数是 ． 3．（2024·全国·中考真题）在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 基础夯实 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）当时钟指向上午时，时针与分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西运城·月考）如图，已知，在内部引一条射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西晋城·月考）如图，已知，在内部引一条射线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若，平分，则= °． 5．（25-26七年级上·河南新乡·月考）如图，一束光线照射到玻璃表面时，发生了折射和反射现象，已知，，，则反射光线与折射光线形成的的度数为 ． 6．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）若，，则 ． 7．（25-26七年级上·江苏常州·月考）将一副直角三角板如图摆放，则的度数是 ． 8．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 9．（25-26七年级上·广西崇左·月考）如图，观察时钟，回答问题： (1)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ (2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？ (3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？ (4)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 10．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，在内部作射线平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在的外部和的内部分别作射线，已知，求证：平分． 培优拔高 11．（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点对应点，点对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知，，平分，平分，则的度数是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 13．（25-26七年级上·广东汕头·月考）光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为（   ）度． A． B． C． D． 14．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知，从点引一条射线，作的角平分线，作的角平分线，的度数为 °． 15．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 17．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的有 个． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用，含的式子表示） 19．（2025七年级上·全国·专题练习）线段与角的计算． (1)如图1，是线段上的两点．若，且，求的长； (2)如图2，O为直线上一点，且为直角，平分，平分．若，求的度数． 20．（25-26七年级上·福建厦门·月考）已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，猜想与之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $