【天壹试题】湖南省2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025年下学期高二期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】C 解所双曲线一y三1的渐近线方程为子y=0,即一4 2.【答案】D 【解析】在复平面内，复数x1,之2对应的点分别为Z1,Z2,则之1=1十i,x2=-1十2i,得之1·之2=(1+i)(-1十 2i)=-3+i. 3.【答案】C 【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn=an2十bn(a,b为常数，n∈N*),则其对应函数为y= a.x2十bx.当a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，选项C中的曲线不过原点，不符合题意. 4.【答案】B 【解析】向量0,0丽在向量0心上的投影向量相同：O·0C_O成，O心 locloc .0A-OB).0元=0,0A-0B=(a-1,1-b),0C=(3,3), .(a-1,1-b)·(3,3)=0,∴.a-1+1-b=0,∴.a-b=0. 5.【答案】A 【解析】设男生平均身高为xcm,女生平均身高为ycm,则x-y=l2, 总体平均身高为307士20-30x+20CG-12)-7-4.8, 30+20 50 则男生的平均身高减全班的平均身高为x一(x一4.8)=4.8， 故男生的平均身高比全班的平均身高多4.8厘米. 6.【答案】D 【解析】直线l:(1十n)x-y-2m+1=0(m∈R),即m(x-2)+x-y+1=0, -2=0 x-2 由 解得 ,所以直线1过定点Q(2,3), x-y+1=0 (y=3 所以d的最大值为PQ=√(2-1)+(3-5)2=√5. 【高二数学试题参考答案第1页（共8页）】 7.【答案】A 【解析】F(x)=f(x)一3×2为奇函数，G(x)=f(x)十2x为偶函数， 所以F(-x)=f(一x)-3X2x=-f(x)十3X2,G(-x)=f(-x)十2x=f(x)十2x, 解得f(x)=2X2r十2x. 因为2r>0,所以f(x)=2X2x+2x≥2√2xX2x×2=2√2， 当且仅当2×2=2，即x=一2时取等号，所以f(x)的最小值为2E,无最大值. 8.【答案】A 【解析】根据题意可设F:(号0)，椭四半焦距为cP(,.则力=2，过F,作x 轴的垂线，过P作1的垂线，垂足为A,显然直线AF1为抛物线的准线，则|PA =PF2|, |PF1|-|PF2|=c PF,l=a+号 由椭圆的定义及已知条件可知 ,则 |PF1|+|PF2|=2a IPE:l-a--IPAI 由勾股定理可知AE2三三PE E-IPAF=2ac,易知y6=4cx0,x0分，代人兰+为1， 整理得3a-8ac-3c2=0=(3a+e)a-3c)a=3,即高心率为行 9.【答案】ABD 【解折】f(x)=5sin2x+2cos3x=5sim2x+cos2x+1=2sim(2x+6）+1. 对干A,T-=x:故A正确： 对于By=fc)的对称箱方程为2x十名-交+2kk∈乙，即x=名+kxk∈乙，当为=0时y=fx)关于 x=对称，即fx)=f(-x)故B正确； 对于C,由2x+吾∈ ++次]6∈.得f)的单润通区间为[++]小乙 但0，]不是上述区间的子集，放C错误， 【高二数学试题参考答案第2页（共8页）】 10.【答案】BD 【解析】对于A,由圆的一般方程可知，圆的方程中无xy项，故A错误； 对于B,代入点(1,3)得12+3-3×1×3=1，因此点(1,3)在曲线C上，故B正确； 2+y2-3.xy=1 对于C,联立 ,整理得x2十2x一3=0，因此直线x一y十2=0与曲线C的交点分别为 (x-y+2=0 (-3,-1),(1,3),弦长为√(1十3)2十(3十1)2=4√2，故C错误； x2+y2-3xy=1 对于D,设与y轴平行的直线为x=t,联立 ,整理得y2-3ty+t2-1=0, x=t △=9t2-4(t2-1)=5t2+4>0,故D正确 11.【答案】ACD 【解析】对于A,三棱锥A一BCD为正三棱锥，且侧棱长为2，△BCD是边长为1的等边 三角形，故A正确； 对于B,四面体ABCD长为1的棱最多有3条，分别是：一条棱长为1；两条对棱长为1；B 三棱长为1的正三棱锥，故B错误； 对于C,易知其中一组对棱长为1，不妨设AD=BC=1,其余各棱棱长均为2，取BC的中点O,连接OA OD,由AB=AC=DB=DC=2,BC=1,得AO⊥BC,OD⊥BC,又AO∩OD=O,故BC⊥面OAD,所以 BC⊥AD,其余两组对棱均不互相垂直，故C正确； 对于D,易知四面体ABCD有且仅有一条棱长为1时，体积最大，设AD=1,其余各棱 棱长均为2，取BC的中点O,连接AO,OD,由AB=AC=BC=CD=BD=2,得AO ⊥BC,OD⊥BC,AO=OD=√3，△AOD中作AH⊥OD,根据等面积法可得AH=B 12.【答案】3 【解析】由a2十a4十a6=g(a1十a3十as),可得g=3,所以a3十as十a7=q(a2+a4十a6)=3. 13.【答案】 【解析】圆N是以圆x2+y2=1上一点为圆心，所以圆N必经过原点(0,0)，又因为圆M:(x一1)2+ (y一1)=2经过原点，所以圆M与圆N交于原点，设为A.当圆M与圆N的相交弦刚好是圆N的直径时， 1AB最大，此时1AB=2,B2,0.而M(1,1D,所以∠AMB=受 【高二数学试题参考答案第3页（共8页）】 14.【答案】3 【解析1D当w=0时，对任意实数x均有cos3≥sng,且coeg3x∈[-1，l.g∈[0,3x)g=受时，符合 题意； ②对任意实数x均有cos3x≥sin(ox十p,即sin(3x十）≥sin(x十p. “sim(3x+2)∈[-1，lJ,sin(ox+g)∈[-1，lJ. “只能是对任意实数x均有sin(3x十)=sin(ox十9)，则w=3, sim(3x+）-m(3x十p,则g=至+2k元“9∈[0,3xg=或买，特合题意： 综上有序实数对9有(0，）(3，）(3，）共3个 15.【解析】(1)根据正弦定理，由a cosC+ccosA=2c可得：sinA cosC十sinCcosA=2sinC,即sin(A+C) =2sinC. 在△ABC中，有A+B+C=π，可以得到：sinB=sin(A+C)=2sinC,即b=2c.…5分 (2)由S△cD=2S△BD有CD=2BD=2W2.…7分 由∠ADB十∠ADC=π可得：C0S∠ADB十coS∠ADC=0,…9分 即4+2-c2+4+8-4c2 =0,解得：C=2,b=4……12分 2×2X√22X2×2W2 所以△ABC的周长为6十3√2.… ……………13分 16.【解析】(1)设点M(x,y),点P(xo,yo),则点D(0,yo). 由P是MD的中点得：。y0=y.…2分 因为点P在圆x2十y2=1上，所以x8+y=1 将，-受少=y代入方程得气十y=1 故C的方程为：十y2,… 6分 (2)设直线l的方程为：x=my+1,M(x1y1),N(x2y2), 【高二数学试题参考答案第4页（共8页）】 x2+4y2=4 联立 ,得(m2+4)y2+2my-3=0,△=16m2+48>0 (x=my+1 -2m -3 y1+y2=m2+4y1y2=m+4 … 9分 5am=0o1.--号×1X+-m-0平 12 4m2+12 m2+4√(m2+4)2 4 5 13分 解得；m2=1,所以m=1或m=-1 所以直线1的方程为x十y一1=0或x一y一1=0.…15分 17.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, fa1+d+a1+9d=12a1-1 由a2+a1o=12,a8=8,得{ ,所以an=n.…2分 a1+7d=8 d=1 由bm+1=2m+bn,得bm+1一bn=2",又b1=1,当n≥2时，bm=b1十(b2-b1)十(bs-b2)+…十(bn-bn-1)= 12十+2n-111-2）=2m1,,5 1-2 当n=1时，2-1=1=b1,满足bn=2m-1,所以bm=2m-1. 6分 。am_n (2)由(1)可得c=.+12 则S=c+c十c++c=2十2是十子+…+” 2…7分 则+++++ 12,3 2”十20+ 作差得)S.2十2十…+1”● 11 2m2+1 2m+1 10分 1 2 化简得S。=2-2十” 2n 12分 而对于任意工整数，生0恒成立.所以S.-?2”<2. 2n …13分 又因为c。>0,所以5，≥S,=分故号<S,<2.… ……………15分 【高二数学试题参考答案第5页（共8页）】 18.【解析】(1)如图所示，在平面ABCD内，取BD的中点O1,连接AO1,BO1,DO1,PO1 因为AB⊥AD,由勾股定理得BD=2√3，所以AO1=BO1=DO1=√3， 在△PBD中，由PB=PD,BO1=DO1=√3， 得PO1⊥BD,PO1=√PB2-O1B2=3.…2分 在△PO1A中，AO号十PO=PA2,所以PO1⊥O1A,…4分 A 由PO1⊥BD,PO1⊥O1A,BD∩O1A=O1,得PO1⊥平面ABCD.… 5分 又PO1C平面PBD,所以平面PBD⊥平面ABCD.………6分 (2)以B为坐标原点，BA,BC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的坐标系，易知之轴平行于O1P,则 A00.Pcoo B质-(30,0，B时-（层a)设平面PAB法向量为m=ye BA·m=0 3x=0 由 得 ,取之=一1，则m=(0,23,一1)，…8分 BP.m=0 3 2y+3x=0 元=o,誓），亦-（层誓列，股平面PBC的法向量为a=y BC·n=o 2y0 由 得 ,取之=-1，则n=(2,0,-1),…10分 BP·n=0 3 3 2x+2y+32=0 √65 设平面PAB与平面PBC的夹角为0，则cos0=|cos<m,n> 13·5 65 即平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为y园 65 …12分 (3)设球心为O,半径为R,易知O∈PO1,在Rt△OO1A中，(3-R)2+3=R2,解得R=2,OO1=1,所以 o()R-0B- 9士3+12. ……13分 4 在平面AD内系-点T,词足i+元+元+元-.可每得I信小 【高二数学试题参考答案第6页（共8页）】 .MA*+MB2+MC2+MD2=(MT+TA)+(MT+TB)+(MT+TC)2+(MT+TD)2 =4MT3+TA2+TB2+TC2+TD2,…15分 又因为7+7+7元+7币=9+将1清 MTI=R-0T1=2-V61E1-2-Y87,IMTI=1+67 V67 3 642 (MA2+|MB|2+|MC2+|MD2)m=4 =125-2/67.………17分 2 19.【解析】(1)由题意得c2=a2+b2,解得a=1,b=5,c=2, 23 a26=1 Cn En 所以双曲线「的方程为x_ =1.…3分 3 (2)(i)由题意直线ln与'n的斜率均存在且不等于0. 2 =1 3 设Cn(ac.yc.),Dn(x.yn.),Pn(xpyn),Qn(xQya),直线ln:y=knx十am,联立 ,可 y=knx十an 得(3-k)x2-2 knanx-a日-3=0，△=12(a-k2+3)>0, 2knan 于是xC十xD=3-k' …………5分 所以xn,=CG十xa=kan 3a,即点P.(3-k'3-居 3a n 3-k2yD,=knxP,十an=kn·3k2十an=3-k ,同理可 2 1 得xQ.一 a即点Q( knan knan 3kian 3k-1'3k%-1 .…7分 由点P.,Q.,B.三点共线有p.一b-yo.-b,所以b,-yon-yp@ xP Qu xPm一xQ 3knan knan 3an knan 3k7-13-k品 3-k品 3k-1) 3knan+3knaa 3 knan k nan kman(3k层-1)十kan(3-k）=2a…9分 3-k7 3k-1) 【高二数学试题参考答案第7页（共8页）】 所以 力==gm≥2)，因此{b,}是公比为g的等比数列.…10分 bn-1 an-1 GD依题意.S。=lxm-xo·A,B,注意到A,B1=b-Q:= Ep.-= 2km(k+1) 2+) -a 10-3:+动) 2+ -a ……………………………………13分 16-3(k+) [。32,则 2+） 2t 6+品甲 t时5-nwaA.以3： …………………………15分 8s-语a+a++a间=2wi.r分 【高二数学试题参考答案第8页（共8页）】机密★启用前 2025年下学期高二期中考试 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1双曲线号)=1的渐近线方程为 A.y=士2x B.y=士√2x Cyg D.y=士 2.如图，在复平面内，复数之1，之2对应的点分别为Z1,Z2,则复数之1·之2= A.1+i B.-1+i C.3+i D.-3+i 3.已知Sm是等差数列{am}的前n项和，则下列选项中不可能是S所对应的图象的是 4 3 2 12 234 1234 -3 D 【高二数学试题第1页（共4页）】 4.在平面直角坐标xOy中，已知三点A(a,1),B(1,b),C(3,3),若向量OA,OB在OC上的投影向 量相等，则a一b的值为 A.-2 B.0 C.2 D.3 5.高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，则男生的平 均身高比全班的平均身高 A.多4.8厘米 B.多5.6厘米 C.多7.2厘米 D.多8.4厘米 6.已知定点M(1,5)和直线l:(1十m)x一y-2m+1=0(m∈R),则点M到直线1的距离d的最 大值为 A.25 B.2√3 C.7 D.5 7.若函数F(x)=f(x)一3×2为奇函数，G(x)=f(x)十2x为偶函数，则 A.f(x)的最小值为2√2，无最大值 B.f(x)的最大值为2√2，无最小值 C.f(x)的最小值为一2√2，最大值为2√2 D.f(x)既没有最小值，也没有最大值 8椭时后+分-1a>6>0)的左，右焦点分别为F5,以F,为袋点的批物线y-2pxp>0) 与椭圆在第一象限的交点为P,若2PF|一2PF2|=|FF2|,则椭圆的离心率为 1 A.3 C2-7 2 D3-1 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.已知函数f(x)=√3sin2x十2cos2x,则 A.f(x)的最小正周期为元 B.f(z)-f(3-z) cf)在0， 单调递增 Dfx)在o, 的值域为[2,3] 10.已知曲线C:x2+y2-3xy=1,则 A.曲线C表示一个圆 B.点(1,3)在曲线C上 C.曲线C被直线x一y+2=0截得的弦长为43 D.曲线C与所有平行于y轴的直线都有交点 11.若四面体ABCD各棱长为1或2，但不是正四面体，则下列说法正确的是 A.四面体ABCD有可能是正三棱锥 B.四面体ABCD中长为1的棱最多有4条 C.若四面体ABCD恰有两条棱长为1，则有且仅有2条棱所在的直线互相垂直 D.四面体ABCD体积的最大值为1 【高二数学试题第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在等比数列{am}中，a1十a3十a5=1,a2十a4十a6=√3，则a3十a5十a7= 13.已知圆M:(x一1)2+(y一1)2=2，圆N是以圆x2+y=1上一点为圆心，半径为1的圆，圆M 与圆N交于A,B两点，则当|AB|最大时，∠AMB的大小为 14.若w≥0，p∈[0,3π)，且对任意实数x均有cos3x≥sin(wx+p),则满足条件的有序实数对 (w,p)的个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a cosC+ccosA=2c. (1)证明：b=2c; (2)若D为边BC上一点，△ACD的面积是△ABD的面积的两倍，BD=√2，AD=2,求 △ABC的周长. 16.(15分)在直角坐标系xOy中，过圆x2十y2=1上任意一点P作y轴的垂线段PD,D为垂足. 当点P在圆上运动时，总有DP=PM,设点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)过点Q(1,0)的直线1交C于M,N两点，且△MON的面积为号，求直线1的方程. 17.(15分)已知等差数列{am}满足a2十a10=12,a8=8,数列{bn}满足b1=1,bm+1=2.十bm (1)求数列{a}和{bm}的通项公式； （2)设c,6,2+1数列c.的前m项和为S,求证2<5，<2. 【高二数学试题第3页（共4页）】 18.17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD,AB⊥AD,AD=3,AB=3,BC= 2,PA= PB=PD=23. (1)证明：平面PBD⊥平面ABCD; (2)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值； (3)设M是三棱锥P一ABD外接球球面上的一动点，求|MA|2+|MB|2 +|MC|2+|MD|2的最小值. x2 y 19.(17分)已知双曲线T:06=1的离心率为2，且经过点(2v3). (1)求双曲线T的方程； (2)已知数列{am}是公比为g的等比数列，首项记为a1按照如下方式构造点列：过点An(0,am) 作斜率分别为，的两条直线1，，直线.交双商线r于C,D,两点，直线仁交双 曲线T于Em,Fm两点，记弦CnDm与EnFm的中点分别为Pm,Qm,直线PnQm与y轴交于点 B,(0,6n). ()证明：数列{bn}是等比数列； (D设△A,p.Q,的面积为Sa若a1=2g=4,k.∈2W2,证明：S1十S2++S≤ 22. 【高二数学试题第4页（共4页）】2025年下学期高二期中考试 数学 答题卡 姓名 班级 贴条形码区 考 考生禁填 缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂右面的缺考标记。 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规定的位置，核准条 正确填涂 形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条 ■ 填 注 形码粘贴在规定的位置。 涂 错误填涂 ☑ 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答 x□ 事 字体工整、笔迹清楚。 0 例 项3，考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答 哥 案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效