精品解析：山东省淄博市博山中学*（五四制）2025-2026学年六年级上学期期中考试数学试卷（五四制）

2025-2026学年山东省淄博市博山中学七年级（上）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离不可能是（ ） A. 8米 B. 10米 C. 15米 D. 25米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系定理得到，根据的范围判断即可． 【详解】解：连接， 根据三角形的三边关系定理得：， 即：， ∴的值在9和33之间． 故选：A． 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股数的判定，勾股数的概念：满足的三个正整数叫勾股数，根据此概念直接判断即可得到答案． 【详解】解：A 、，且三个数都是正整数，故A选项符合题意， B、，故B选项不符合题意， C、不是正整数，故C选项不符合题意， D 、，故D选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，从三角形的一个顶点往对边引垂线，顶点与垂足所连线段为三角形的高线进行判断即可． 【详解】解：作边AC上的高，如图： 故选D． 5. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，用勾股定理的知识来求解是本题的关键．根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：正方形的面积等于225， 即， 正方形的面积为289， ， 又为直角三角形，根据勾股定理得： ， ， 则正方形的面积为64． 故选：． 6. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 7. 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（　　） A. 13 B. 5 C. 13或5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：2和3都是直角边或3是斜边，熟练运用勾股定理进行计算． 【详解】解：当2和3都是直角边时，则x2＝4+9＝13； 当3是斜边时，则x2＝9﹣4＝5． 故选：C． 【点睛】此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算． 8. 如图，在中，，过顶点的线段的平分线分别交线段于点．若，则线段（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等角对等边，勾股定理求出的长，平行线的性质结合角平分线推出，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线分别交线段于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B 9. 如图，一个无盖圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆柱体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理． 圆柱体的侧面展开图为长方形，长为底面周长的一半，由两点之间线段最短，可得最短路程为线段的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，长方形为圆柱体的侧面展开图， 由两点之间线段最短，可得最短路程为线段的长， ∵圆柱的底面周长为， ∴， ∵是圆柱体的底面直径， ∴点为的中点， ∴， 又∵圆柱体的高为， ∴， ∴蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 故选：C． 10. 如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用折叠性质得到，设的长为，表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解．本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理并利用折叠性质得到相等线段是解题的关键． 【详解】解：设， ∵ 长方形中， ∴ ． ∵ 折叠后点与重合， ∴ ． ∵ 四边形是长方形， ∴ ． 在中，由勾股定理得， 又∵ ， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 11. 如图，在四边形中，，，点关于的对称点恰好落在上，连接，为的中线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据轴对称的性质得到，，，结合得到，根据三线合一性质得到，平分，利用角的和差得出，再利用直角三角形的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵点关于的对称点为点， ∴，，， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴，平分， ∴，， ∴ ， ∴， ∴． 故选：B． 12. 如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．则对于以下结论：①②③．④，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质、全等三角形的判定定理来分析各个结论． 依次对每个结论进行分析，通过角平分线的性质、三角形内角和以及全等三角形的判定与性质，判断结论的正确性． 【详解】解：在中，， ∵分别平分， ， ， ， ． 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴（ASA），故结论①正确； 由，得，无法确定，故结论②错误； 由，得，， 又∵． 在和中， ∵， ∴， ∴又∵， 即，故结论③正确； 由， ∴， ∴，故结论④正确． ∴正确的个数是3． 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 13. 工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形，这样做应用的数学原理是 ___________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】结合题意，根据三角形稳定性的性质解答即可得到答案． 【详解】工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形是利用三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形稳定性的性质，从而完成求解． 14. 如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用：解题的关键是熟练掌握全等三角的判定法方法． 利用证明，即可解答． 【详解】解： 点既是的中点，也是的中点， ， 在和中， ， ， ， 故答案为： 15. 在中，若，则∠______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得到，根据勾股定理可得到为三角形的斜边，所以． 【详解】解：∵， ∴，故满足勾股定理， ∴为的斜边， ∴， 故填：． 【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 16. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=PC=2，根据角平分线的性质解答即可. 【详解】作PE⊥OA于E， ∵CP∥OB， ∴∠OPC=∠POD， ∵P是∠AOB平分线上一点， ∴∠POA=∠POD=15°， ∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°， ∴PE=PC=2， ∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PD=PE=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17. 已知一个等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，再结合三角形中，任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，故不符合题意； 当腰长为时，则这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，故符合题意， ∴这个三角形的周长为， 故答案为：14． 18. 如图，在中，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，，则的周长为___________ ． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而即可求解． 【详解】解：边的垂直平分线l交于点D， ， ，， ， 即的周长为． 故答案为：17． 19. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是_______． 【答案】3.2尺 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 解得：， ∴折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为3.2尺． 20. 如图，，要使还需添加一个条件是 _________．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定并灵活选择是解题的关键． 【详解】解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 21. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角度的计算,以及正方形的性质；解题的关键是通过观察图形构造全等三角形，找出与之间的关系．先证明，再利用正方形的角平分线将直角分为两个，得出与之间的关系． 【详解】 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵是正方形角平分线 ∴ 即 故答案为． 22. 如图，在中，是边的中线，于点D，若，则的长是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形的中线；先根据勾股定理得，进而求出，再结合中线的定义得，最后根据得出答案. 【详解】解：设，则， 因为于点D， 所以和都是直角三角形． 根据勾股定理，得， 所以， 即， 解得， 则． 又因为为边上的中线，所以， 所以． 三、解答题：本题共7小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 【答案】 解：如图，作的垂直平分线，的平分线，它们的交点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—作角平分线，作图—作垂直平分线，根据货站P到两条公路、的距离相等可得出点在的平分线上，再由到两工厂C、D的距离相等可得出点在的垂直平分线上，由此作图即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 24. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ． （2）5 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 25. 如图，△中，，的垂直平分线交于，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线定理以及勾股定理．求得是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可求得的长，从而求得的长，再根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：的垂直平分线交于，， ， ， ， 在中，． 26. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）完成下列各题： （1）画出格点△（顶点均在格点上）关于直线对称的△； （2）求出的面积； （3）在直线上画出点P，使最小，并求出最小值． 【答案】（1）如图，△即为所求． （2） （3）如图，点即为所求；最小值为 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接交直线于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△的面积为． 【小问3详解】 解：如图，连接交直线于点，连接， 此时，为最小值， 由勾股定理得，， 最小值为． 27. 如图，，，，，．求的面积． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ，， ， ， 的面积． 答：的面积为60． 28. 在等边△中，点，分别在边，上，若，，过点作，交的延长线于点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键．证明△是等边三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：△是等边三角形， ， ， ，， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 29. 如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图①，∵，， ， 在与中， ， ． （2） 证明：如图①，， ∴，， ∴， ∴，即平分； （3）4 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据三角形的判定定理即可证得． （2）通过三角形全等求得，，进而根据等边对等角求得，从而求得即可证得； （3）过点A作，垂足为点M，由题意易得，然后可得M为的中点，则有，进而根据割补法可求解面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点A作，垂足为点M． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又由（1）知， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省淄博市博山中学七年级（上）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离不可能是（ ） A. 8米 B. 10米 C. 15米 D. 25米 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 6. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 7. 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（　　） A. 13 B. 5 C. 13或5 D. 4 8. 如图，在中，，过顶点的线段的平分线分别交线段于点．若，则线段（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 9. 如图，一个无盖圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四边形中，，，点关于的对称点恰好落在上，连接，为的中线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．则对于以下结论：①②③．④，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 13. 工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形，这样做应用的数学原理是 ___________． 14. 如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为______． 15. 在中，若，则∠______． 16. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____． 17. 已知一个等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长为___________． 18. 如图，在中，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，，则的周长为___________ ． 19. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是_______． 20. 如图，，要使还需添加一个条件是 _________．（只需写出一种情况） 21. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则______度． 22. 如图，在中，是边的中线，于点D，若，则的长是________． 三、解答题：本题共7小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 24. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，△中，，的垂直平分线交于，若，，求的长． 26. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）完成下列各题： （1）画出格点△（顶点均在格点上）关于直线对称的△； （2）求出的面积； （3）在直线上画出点P，使最小，并求出最小值． 27. 如图，，，，，．求的面积． 28. 在等边△中，点，分别在边，上，若，，过点作，交的延长线于点，求的值． 29. 如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $