第二章一元二次方程期末检测卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】 或   16.【答案】【小题】 ，过程略 【小题】 ，过程略   17.【答案】【小题】 解：证明：，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 【小题】 ，是原方程的两个根，，，，，解得，当时，原方程化为，解得，；当时，原方程化为，解得，．   18.【答案】【小题】 【小题】 设降价元． 依题意，得． 整理，得． 解得，不合题意，舍去． 答：当每件商品降价元时，商场当月获利元．   19.【答案】【小题】 【小题】 【小题】 根据题意，得整理，得，解得，答：每个书包应降价元或元． 【小题】 要想尽可能地让利于顾客，则每个书包应降价元，此时，每个书包的利润为元，利润率为答：该专柜销售这种书包的利润率是．   20.【答案】【小题】 解：设经过秒，四边形的面积等于， 在中，，，． ， ． 点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，，， ，， 解得或舍去， 经过秒，四边形的面积等于． 【小题】 的面积不能等于理由如下： 同得，． ， 此方程无解，的面积不能等于．   21.【答案】解：原方程可化为， 设，则，解得，． 当时，，所以 当时，，所以 所以原方程的解是，，． 原方程可化为， 设，则，解得． 即，所以或． 所以原方程的解是，．   22.【答案】【小题】 由题意，矩形窗户的长，宽， 矩形窗户的面积． 又所有线段总长，矩形窗户的周长为， 矩形窗户的为，为． 矩形窗户的面积． 【小题】 由题意，， ，． 当时，，不合题意，舍去 当时，答：为． 【小题】 窗户采光面积， ，，． 在的范围内，当时，采光面积最大． 答：当为时，采光面积最大．   23.【答案】解：任务一：设关于的函数表达式为，  将点，代入中，得，解得关于的函数表达式为；  任务二：网上销售该品牌自行车的利润为：元万元；  实体店销售该品牌自行车的利润为：元万元；  答：小明网上和实体店销售该品牌自行车的月利润分别为万元和万元；  任务三：由题意，得，整理，得，  解得，要让利于顾客，  答：该自行车的销售单价应定为元辆．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026北师大九年级上册数学第二章一元二次方程期末检测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是(    ) A. B. C. D. 3.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 4.关于的方程根的情况为(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5.已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 6.某经济技术开发区今年一月份工业产值达亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 7.已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门若设米，则可列方程(    ) A. B. C. D. 9.某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．若每件降价元，则每天多售出件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到元，那么每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程为  (    ) A. B. C. D. 10.如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过    它就会进入台风影响区。 A.                             B.                               C.                               D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手次，设有人参加这次聚会，根据题意列出方程是_________________． 12.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为，则原铁皮的边长为_______ 13.某校研学活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是_________． 14.一个面积为的长方形场地一边利用现有的墙墙长米，另三边用的铁丝网围成，则这个长方形场地的周长是_________米． 15.如图，、、、是矩形的四个顶点，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，当时间为          时，点和点之间的距离是． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.用合适的方法解下列方程： ． 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 若，是原方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 18.本小题分某超市于今年年初以元件的进价购进一批商品，当商品售价为元件时，一月份销售了件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了件． 二、三月份销售量的月平均增长率为          ． 四月份，超市决定在三月份销售量的基础上采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价元，销售量增加件，当每件商品降价多少元时，商场当月获利元 19.本小题分某文具专柜销售一种进价为元个的书包，当售价为元个时，日销售量为个．国庆期间，通过市场调查发现，这种书包的单价每降低元，日销售量可增加个．现准备降价元销售，请回答： 该专柜原来销售这种书包每天可获利          元． 降价销售后，每个书包获利          元，每天可售出书包          个． 若该专柜销售这种书包要想平均每天获利元，则每个书包应降价多少元？ 在中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 20.本小题分如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． 几秒后，四边形的面积等于？ 的面积能否等于？请说明理由． 21.本小题分阅读下面的例题与解答过程： 例：解方程：， 解：原方程可化为． 设，则， 解得，． 当时，，所以 当时，，无实数解． 所以原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看成一个整体，用字母代替即换元，使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰这是解决数学问题的一种重要方法换元法请你仿照上述例题的解答过程利用换元法解下列方程： ． 22.本小题分问题背景教室改造采光窗户，如图，窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形． 建立模型如图，不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长设的长为． 直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的透光面积 当窗户的总面积为时，求的长 方案解决窗户的面积越大，采光效果越好，基于美观的考虑，要求，请设计一个使采光效果最佳的方案，确定的长． 23.本小题分根据以下素材，探索完成任务： 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材一 为了践行绿色出行的健康理念，小明大学毕业后和同学一起经营了一家自行车专卖店，在网上和线下同时销售，已知某品牌的自行车，成本价是元辆，网上和实体店售价均为元辆． 素材二 小明经过市场调查发现，该品牌自行车实体店每月的销售单价元辆与销售量辆之间的关系如图所示： 素材三 据调查，网上销售量为每月辆，销售价每降低元，网上销售量平均每月多售出辆，实体店的销售受网上影响，平均每月销售量减少辆． 【问题解决】 任务一 确定函数模型 求实体店销售该品牌自行车的月销售量辆关于销售单价元辆的函数解析式； 任务二 计算所获利润 当该品牌自行车的网上售价为元辆时，求小明网上和实体店销售该品牌自行车的月利润分别是多少？ 任务三 拟定价格方案 若使小明在实体店销售该品牌自行车获得万元的销售利润且让利于顾客，则该自行车的销售单价应定为多少元？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026北师大九年级上册数学第二章一元二次方程期末检测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为() A.1 B.-1 C.±1 D.0 2.用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-11=0,配方后的方程可以是() A.(x-1)2=10 B.x-1)2=12 C.(x+1)2=10D.(x+1)2=12 3.在用求根公式x=b土2-4c求一元二次方程的根时，小琚正确地代入了a,b,c得到x= 2a 3±(-3)2-4x2x(-1) 2X2 则她求解的一元二次方程是() A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-3x+2=0 D.3x2-2x+1=0 4.关于x的方程x2-x+k2+2=0根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 5.已知m是一元二次方程x2-2x-2=0的一个根，则代数式2m2-4m+2025的值为() A.2027 B.2028 C.2029 D.2030 6.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设 平均每月的增长率为x,根据题意可列方程() A.50(1+x)2=175 B.50+50(1+x)2=175 C.50(1+x)+50(1+x)2=175 D.50+50(1+x)+50(1+x)2=175 7.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为() A.1 B.-1 C.0 D.-2 8.如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为 440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米 宽的缺口作小门.若设AB=x米，则可列方程() 第1页，共5页 A.x(81-4x)=440 B.x(78-2x)=440 C.x(84-2x)=440 D.x(84-4x)=440 9.某种服装平均每天可售出50件，每件利润为40元.若每件降价5元，则每天多售出10件.如果要在 扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，那么每件应降价多少元？若设每件应降价x元，则可列方 程为() A(40-)(50+10×)=2100 B.(40-x)(50-10×)=2100 C.(40+x)(50-10×)=2100 D.(40+x)(50+10×)=2100 10.如图，一艘轮船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报.某台 北 风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都 C y 属台风影响区.当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km,此时台 →东 风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300m,如果这轮船会受到台风影响，那么从 接到警报开始，经过()h它就会进入台风影响区。 A.10 B.7 C.6 D.12 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，根据题意列出方程 是 12.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3c的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为 300cm3,则原铁皮的边长为 13.某校研学活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样 数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 14.一个面积为20m2的长方形场地一边利用现有的墙（墙长6米），另三边用13m的铁丝网围 成，则这个长方形场地的周长是 米 15.如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB=16cm,BC=6cm,动点P从点A出发，以 3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动， 当时间为时，点P和点Q之间的距离是10cm. 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.用合适的方法解下列方程： (13x2-18x+10=-2; (2)(2x+3)2=x2. 第2页，共5页 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题9分)已知关于x的一元二次方程x2+m+3)x+m+1=0. (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根， (2)若x1,x2是原方程的两个根，且(x1-x2)2=8,求m的值，并求出此时方程的两个根. 18.(本小题9分)某超市于今年年初以20元/件的进价购进一批商品，当商品售价为40元/件时，一月份销 售了500件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到 了720件. (1)二、三月份销售量的月平均增长率为， (2)四月份，超市决定在三月份销售量的基础上采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每 降价1元，销售量增加6件，当每件商品降价多少元时，商场当月获利11250元？ 19.(本小题9分)某文具专柜销售一种进价为40元/个的书包，当售价为60元/个时，日销售量为100个.国 庆期间，通过市场调查发现，这种书包的单价每降低0.5元，日销售量可增加5个.现准备降价x元销售， 请回答： (①)该专柜原来销售这种书包每天可获利一元. (2)降价销售后，每个书包获利元，每天可售出书包个。 (3)若该专柜销售这种书包要想平均每天获利2240元，则每个书包应降价多少元？ (④在(3)中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是 多少？ 20.(本小题9分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=8cm,点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动. (1)几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2? (2)△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由. 第3页，共5页 21.(本小题9分)阅读下面的例题与解答过程： 例：解方程：x2-x-2=0, 解：原方程可化为x2-|x-2=0. 设x=y,则y2-y-2=0, 解得y1=2,y2=-1. 当y=2时，|x=2,所以x=±2； 当y=-1时，x=-1,无实数解. 所以原方程的解是x1=2,x2=-2. 在上面的解答过程中，我们把x看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过 程更清晰这是解决数学问题的一种重要方法一一换元法.请你仿照上述例题的解答过程利用换元法解下列 方程： (1)x2-2x=0; (2)x2-2x-4x-1+5=0. 22.(本小题10分)问题背景教室改造采光窗户，如图(1)，窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部 分是两个长方形组成的矩形， 建立模型如图(2)，不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长10.5m.设AE的长为xm. (I)直接用含x的式子表示出矩形窗户AEFD和矩形窗户BCFE的透光面积； (2)当窗户的总面积为2.5m2时，求BE的长； (③)方案解决窗户的面积越大，采光效果越好，基于美观的考虑，要求BE≥EF, 请设计一个使采光效果最佳的方案，确定AE的长， (1) (2) 第4页，共5页 23.(本小题10分)根据以下素材，探索完成任务： 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素 为了践行绿色出行的健康理念，小明大学毕业后和同学一起经营了一家自行车专卖店，在网上和 线下同时销售，已知某品牌的自行车，成本价是300元/辆，网上和实体店售价均为500元/辆， 小明经过市场调查发现，该品牌自行车实体店每月的销售单价x(元/辆)与销售量y(辆)之间的关系 素 如图所示： 材 二 500 4001 500600元 素 据调查，网上销售量为每月800辆，销售价每降低10元，网上销售量平均每月多售出200辆， 材 实体店的销售受网上影响，平均每月销售量减少20辆. 三 【问题解决】 任 确定函数 务 求实体店销售该品牌自行车的月销售量y(辆)关于销售单价x(元/辆)的函数解析式： 模型 任 计算所获当该品牌自行车的网上售价为420元/辆时，求小明网上和实体店销售该品牌自行车的 务 利润 月利润分别是多少？ 二 任 拟定价格若使小明在实体店销售该品牌自行车获得11.25万元的销售利润且让利于顾客，则该自 务 方案 行车的销售单价应定为多少元？ 三 第5页，共5页