精品解析：江苏省南通市启东市折桂中学2025-2026学年九年级上学期第二次综合训练数学试题

折桂中学2025~2026学年度第一学期第二次综合训练九年级数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上. 1. 下列各式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 4. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分别位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 当时，随的增大而减小 5. 如图，分别为的边的中点，相交于，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力（在地面撒灰后，清扫10次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力超过即为及格．则下列说法正确的是（ ） A. 除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B. 除尘能力与滚刷的滚速成正比 C. 当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格 D. 除尘能力的数值越大，表示除尘能力越强 7. 如图，中，，则的面积是（ ） A. B. 12 C. 14 D. 21 8. 如图，D是的边上的一点，且，连接，E是上一点，且，连接并延长交于点F，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 9. 人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上. 11. 反比例函数，当时，的取值范围是__________． 12. 已知，则 k的值是 _____ ． 13. 如图，点D在等边三角形的边上，连接，线段的垂直平分线分别交边，于点，．当时，的值为 _____． 14. 如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为____________． 15. 如图，在中，，，，，连接，则长的最大值为______． 16. 在平面直角坐标系中，已知点和点，点在反比例函数的图象上． （1）若点在图象的下方，_____________（填写“”，“”或“”）； （2）若点也在图象上，且图象上点之间的部分与线段能够围成一个封闭区域，（不包括边界）中没有横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是_______________． 三、解答题（本题共9小题，共98分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸对应的位置和区域内解答. 17. （1）计算：； （2）如图，在中，，，解这个直角三角形． 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点为一次函数与轴的交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 19. 如图，在中，，点在的延长线上，且，过点作交于点． （1）求证：； （2）如果，求的值． 20. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． （1）求k的值： （2）点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 21. 课本再现 （1）如图1，在和中，，，， 求证：．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证，可设法证，若设，则只需证． 请你根据以上分析，完成证明． 知识应用 （2）如图2，在四边形中，，，，求的度数． 22. 阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： （1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； （3）直接写出的最小值． 23. 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： （1）根据活动一测得的数据计算路灯的高度； （2）根据活动二测得的数据计算同学的影长； （3）请证明活动三猜想的结论：． 24. 如图，已知锐角． （1）若，，，求的长； （2）求证； （3）若，，直接写出的值． 25. 矩形中，，，E是射线上一点，连接，点C关于的对称点F恰好落在射线上． （1）如图，当点E在边上时，若，的长为 ；若时，求的长； （2）作的平分线交射线于点M，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 折桂中学2025~2026学年度第一学期第二次综合训练九年级数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上. 1. 下列各式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的一般形式（）是解题的关键．根据反比例函数的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该函数中，是的正比例函数，故本选项错误； B、该函数中，是的反比例函数，故本选项正确； C、该函数中，当时，不是反比例函数，故本选项错误； D、该函数中，是的一次函数，故本选项错误． 故选：B． 2. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】过B点作BD⊥AC，如图， 由勾股定理得，AB=，AD=， cosA===， 故选D． 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，找出相似比是关键． 根据题意，得到，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，的周长为， ∴的周长是， 故选：B ． 4. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分别位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，关于原点对称，且在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴A：当时，，∴图象经过点，正确； B：∵，∴图象位于第二、四象限，正确； C：反比例函数图象关于原点对称，正确； D：∵，∴当时，在第二象限，y随x的增大而增大，∴说法错误； 故选D． 5. 如图，分别为的边的中点，相交于，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角形中位线的性质等知识．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形的面积比等于底的比．由三角形的中位线判断：，，则可证得：，；又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得的值，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得，即可求得的值． 【详解】解：、分别为的边的中点， ，． ，． ，． ， ． 与等高，与等高， ． ． ． ，解得． ． 故选：C． 6. 如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力（在地面撒灰后，清扫10次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力超过即为及格．则下列说法正确的是（ ） A. 除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B. 除尘能力与滚刷的滚速成正比 C. 当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格 D. 除尘能力的数值越大，表示除尘能力越强 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的识别，熟练掌握反比例函数图象上越来越靠近坐标轴是关键．根据题意和图象，分别分析判断各选项正误即可． 【详解】解：A：反比例函数的走向是越来越靠近坐标轴，故说法错误，不符合题意； B：随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越慢，但成正比例是一条直线，而图中是一条曲线，故说法错误，不符合题意； C：当滚速为1300转／分时，除尘能力为35.5%，不及格，故说法错误，不符合题意； D：除尘能力为减少的灰占所撒的灰总质量的比，故数值越大，表示除尘能力越强，说法正确，符合题意， 故选：D． 7. 如图，中，，则的面积是（ ） A. B. 12 C. 14 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，作出，求得相关线段的长度是解决问题的关键． 根据已知作出三角形的高线，进而得出，，，的长，即可得出三角形的面积． 【详解】解：过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选C． 8. 如图，D是的边上的一点，且，连接，E是上一点，且，连接并延长交于点F，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 作交于，如图，先证明得到，设，，然后再证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：作交于，如图， ∴ ∴ ∴设，， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 9. 人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查“黄金分割”，根据“黄金分割”的定义“把一条线段分割为两部分，使较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比，比值为”即可求解，掌握“黄金分割”的定义是解题的关键． 【详解】解：， ，故A选项错误； C为的黄金分割点（）， ，故D选项正确； ，故B，C选项错误； 故选D． 10. 已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键． 由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：， 当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意． 综上，的取值范围是或． 故选D． 二、填空题（本题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上. 11. 反比例函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可进行求解． 【详解】解：当时，则有，即， ∵，即y随x的增大而增大，反比例函数的图象在第二、四象限， ∴当时，的取值范围是或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 12. 已知，则 k的值是 _____ ． 【答案】2或﹣1##﹣1或2 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值． 【详解】解：∵， ∴， 分两种情况： ①若a+b+c≠0，则k=2； ②a+b+c=0时，a+b=﹣c，则k=﹣1； 故答案为：2或﹣1． 【点睛】本题考查比例的性质，掌握并熟练运用比例的基本性质是解题关键． 13. 如图，点D在等边三角形的边上，连接，线段的垂直平分线分别交边，于点，．当时，的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，设，，则，所以，由线段垂直平分线的性质得，，再证明，则，即可证明，根据相似三角形的对应边成比例求出用含的代数式表示的式子，再求出用含的代数式表示、的式子，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接、，设，， ， ， 是等边三角形， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， 的值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、分式的化简等知识与方法，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． 14. 如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，坐标与几何长度之间的转化是解题的关键． 设，则．设，则，求出，根据，求出，再根据直线 的斜率即可求得结果． 【详解】解：设，则． 设，则， ， ∴， ∵， ∴， 那么直线 的比例系数可表示为 或， ∴ 变形得． 又， ∴． 15. 如图，在中，，，，，连接，则长的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，如图，在的下方作，使得，，连接，则，证明，推出，推出，再根据，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，在的下方作，使得，，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点和点，点在反比例函数的图象上． （1）若点在图象的下方，_____________（填写“”，“”或“”）； （2）若点也在图象上，且图象上点之间的部分与线段能够围成一个封闭区域，（不包括边界）中没有横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是_______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据点在反比例函数的图象上及点在图象的下方即可判断； （2）分和两种情况进行讨论，根据A和B关于对称即可解答． 本题考查反比例函数的图象与性质． 【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上， ∴，即， 对于反比例函数，当时，， ∵点在图象的下方， ∴，即， （2）点在反比例函数的图象上， ∴，即， 当，即时，点在第二象限，点在第四象限，此时图象上点之间的部分与线段不能够围成一个封闭区域，故不符合题意，舍去． 当，即时，点在第一象限，图象上点，之间的部分与线段能够围成一个封闭区域． ∵（不包括边界）中没有横、纵坐标都是整数的点， ∴点是临界点． 经过点的正比例函数为，而直线上有无数个整点，且线段关于直线对称． 如图1，当点在内部时，有整点； 如图2，当反比例函数图象经过点时，符合题意，将代入，得； 当时，如图，符合题意： 故； 故答案为：；． 三、解答题（本题共9小题，共98分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸对应的位置和区域内解答. 17. （1）计算：； （2）如图，在中，，，解这个直角三角形． 【答案】（1）；（2），， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数运算，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）先根据二次根式的性质化简，同时把特殊角的三角函数值代入，然后计算即可 （2）根据正切的定义求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，最后根据含角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1）原式 （2）在中，， ∵， ∴ ∴， ∴. 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点为一次函数与轴的交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式是，反比例函数的解析式是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把分别代入反比例函数，一次函数，求解得出一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）根据一次函数，得出点、的坐标，得出，点到轴的距离为，点到轴的距离为，根据计算即可； （3）根据，即，即求当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的范围，根据交点、的坐标，结合图象，即可写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：把分别代入反比例函数，一次函数， 得：，， 解得：，， ∴一次函数解析式是，反比例函数的解析式是； 【小问2详解】 解：∵点为一次函数与轴的交点，一次函数和反比例函数图象交于点，， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴，点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即求当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的范围， ∵交点，，结合图象， ∴不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，代入坐标求出函数的解析式、三角形的面积计算、观察函数的图象等，正确计算、数形结合是解题的关键． 19. 如图，在中，，点在的延长线上，且，过点作交于点． （1）求证：； （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质，熟知锐角三角函数的定义． （1）由可得，从而得到，再根据即可求证； （2）由可得，设，，由可得，由勾股定理可得，得到，由（1）可得，即，再求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， 则， 设，， ∵， ∴， 由勾股定理可得， 则， 由（1）可得，即， 由题意可得， ∴， 则． 20. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． （1）求k的值： （2）点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的定义可求出OB的长度，进而根据反比例函数中k值的几何意义可求得k值． （2）连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M，根据（1）中结论利用矩形的性质可求出OH，CH的长度，进而利用勾股定理可得OC长度． 【小问1详解】 解： 根据k值的几何意义可知： 【小问2详解】 解：如图所示，连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M． 四边形AMHB是矩形 设，则， 解得：（舍去） 则 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键． 21. 课本再现 （1）如图1，在和中，，，， 求证：．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证，可设法证，若设，则只需证． 请你根据以上分析，完成证明． 知识应用 （2）如图2，在四边形中，，，，求的度数． 【答案】（1）证明：设，则，， 在，由勾股定理，得 ， 在，由勾股定理，得 ， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）设，再利用勾股定理证，即可得，从而得出结论； （2）证明，得出，再利用正弦定义，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵ ∴ ∵ ∴由（1）知： ∴ 在中，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，正弦定义，特殊角三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： （1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； （3）直接写出的最小值． 【答案】（1）数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可） （2）当时，的最大值为0，所以当时，有最大值为3 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象等知识点，正确用已学知识解决新的问题的是解题的关键． （1）结合解题过程即可得到涉及的解题思想； （2）仿照题干的分析方法求解即可； （3）先将原函数化为，再由小明的推理方式求解． 【小问1详解】 解：小红的解题过程中体现的数学思想有：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）； 故答案为：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可） 【小问2详解】 解：小红的方法， 列表： …… 0 2 3 4 …… …… 3 1 …… 描点、连线得： 观察图象可得：时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值为3； 小明的方法： 通过推理可得：当，的最大值为， ∴当时，取得最大值为3； 【小问3详解】 解：， 令， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴由反比例函数的性质可得取得最小值为， ∴取得最小值为． 23. 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： （1）根据活动一测得的数据计算路灯的高度； （2）根据活动二测得的数据计算同学的影长； （3）请证明活动三猜想的结论：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：同（1）可得，和， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）首先证明，再根据即可求出的长； （2）同（1）证明，再设，根据列方程求解即可； （3）分别证明和，再根据相似比证明即可． 【小问1详解】 标杆垂直于地面， ， ，且， ， ， ， ， ，解得． 【小问2详解】 由（1）可得，， ，，且， ， 设，则， ，， 则由得， 即，解得， ． 【小问3详解】 略 24. 如图，已知锐角． （1）若，，，求的长； （2）求证； （3）若，，直接写出的值． 【答案】（1）15 （2） 证明：如图，过点B作于H，过点A作于D， ，， ， 同理可得：， ； （3） 【解析】 【分析】（1）本题考查解直角三角形，过点B作于H，利用，求出，再利用求出，即可解题． （2）本题考查解直角三角形，过点B作于H，过点A作于D，根据图形分别表示出，，得到，同理得到，即可解题． （3）本题考查解直角三角形，相似三角形性质和判定、角平分线性质，过点C作平分，交于E，根据，设，则，根据角平分线性质和证明，根据相似三角形性质得出，最后根据，即可解题． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于H， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点C作平分，交于E， ， 设，则， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， , ,， ， ， ， ． 25. 矩形中，，，E是射线上一点，连接，点C关于的对称点F恰好落在射线上． （1）如图，当点E在边上时，若，的长为 ；若时，求的长； （2）作的平分线交射线于点M，当时，求的长． 【答案】（1）2； （2）2或18 【解析】 【分析】（1）根据轴对称得出，根据勾股定理求出，再求出即可；先证明，得出，根据，，得出，求出，再根据勾股定理，即可得出答案； （2）分两种情况：当点F在边上时，当点F在边延长线上时，分别画出图形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据轴对称可得：， 根据勾股定理得：， ∴； ∵矩形中，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵点C和F是关于的对称点， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：①如图1，当点F在边上时， 过点M作于点N， ∵平分，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴． 解得，（舍去）． ∴， ∴矩形中，． ∴． ②如图2，当点F在边延长线上时， 同①可得，，，， ∴． 综上所述：或18． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题时注意分类思想与方程思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $