专题05 将军饮马+等腰三角形构造热考几何模型（知识必备+6大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学期末复习讲义通过知识框架图和分类表格系统梳理“将军饮马”模型与等腰三角形构造的核心内容，将轴对称中的基础型、变式型问题和辅助线构造方法（如角平分线+垂线、倍角关系）按逻辑分层呈现，清晰揭示知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“模型分类-典例解析-变式拓展”的三阶练习设计，如将军饮马中三角形周长最小问题的对称点转化，构造等腰三角形中倍角关系的辅助线添加，培养学生几何直观与推理意识。分层练习适配不同学生，助力教师精准教学，支持学生自主复习提升。

专题05 将军饮马+等腰三角形构造热考几何模型 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称之将军饮马模型 熟练掌握“将军饮马”模型的本质，能识别并解决基础型（一线两点）、变式型（两线一点）等不同场景下的将军饮马问题，准确求出线段和的最小值及对应点的位置。 主要考查“线段和的最小值”问题，该考点在选择、填空题中高频出现，偶尔作为解答题的第一问，为后续综合问题铺垫。 添加辅助线构造等腰三角形 精通等腰三角形的判定与性质，能根据题目条件主动构造等腰三角形（如利用垂直平分线构造、利用角平分线构造、截长补短构造），解决线段相等、角相等、线段和差最值等问题。 核心考查“利用等腰三角形性质解决线段/角关系”，该考点可单独出现在填空、选择题的计算问题中，也常与全等三角形、将军饮马模型综合出现在解答题中，分值占比更高。 知识点01 轴对称之将军饮马模型 1.两点之间线段最短型 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 2.垂线段最短型 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 3.三角形周长最小型 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 知识点02 添加辅助线构造等腰三角形 1.角平分线+垂线构造等腰三角形 2.等腰三角形+平行线构造等腰三角形 条件 𝑨𝑩=𝑨𝑪  策略 作腰的平行线 _____ 作底边的平行线 结论 △𝑩𝑫𝑬 是等腰三角形 △𝑨𝑫𝑬 是等腰三角形 3.倍角关系构造等腰三角形 在中，>. 方法一：如图①，外构等腰三角形，作 . 方法二：如图②，内构等腰三角形，作 . 方法三：如图③，作平分 . 题型一 两点之间线段最短型 【典例1】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点D，点M，N分别是和上的动点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的最小值为 ． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 题型二 垂线段最短型 【典例2】（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为 ． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 题型三 三角形周长最小型 【典例3-1】（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【典例3-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 【典例3-3】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 【变式3-1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，为边上的中线， 的垂直平分线交于点，交于点，为上的动点，若，的面积为，则 周长的最小值为 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 【变式3-4】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 题型四 角平分线+垂线构造等腰三角形 【典例4】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式4-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点D在线段上，，，垂足为，与相交于点F．线段与的数量关系为______．（直接写出） 【变式4-2】【问题情境】（1）如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 题型五 等腰三角形+平行线构造等腰三角形 【典例5-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若．求的长． 【典例5-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知是边长为10的等边三角形，P是边上一点，点Q在射线上．设的长为x． (1)如图1，当，且时．求证：； (2)当时，连接，交边于点D，且D是线段的中点． ①如图2，作交于点E，且，求x的值； ②如图3，作于点F．随着x的增大，线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F恰好落在木条上（不包括端点），请直接写出x的取值范围． 【变式5-1】（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 题型六 倍角关系构造等腰三角形 【典例6】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【变式6-1】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线； (2)如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数． 【变式6-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线． (3)如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数． 期末基础通关练（测试时间：8分钟） 1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案： 方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，平分，垂直平分于点G，交于点F，Q为射线上一动点．若的长的最小值为5，则的长为（  ）    A． B．5 C． D． 3.（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，有一条高速公路m和A，B两个城镇，市政府准备在高速公路m上修建一个燃气中心站P，使中心站到A，B两个城镇的距离相等，请你利用尺规作图法找出燃气中心站P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①；②当时，；③当时，的周长最小；④四边形的面积是一个定值．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 3．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 ． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 4．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上作一点P，使得的周长最小． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点，点，点． (1)将向左平移4个单位得到（点A、B、C的对应点分别为、、），画出； (2)和关于x轴对称（点、、的对称点分别为、、），画出； (3)在直线上画出一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 7．（24-25八年级上·贵州·期末）在一条公路旁有A，B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置： (1)在图①中，要求车站M到两厂的距离相等； (2)在图②中，要求车站M到两厂的距离之和最短； (3)在图③中，要求车站M到两厂的距离之差最大． 8．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形； (2)点是轴上的一个动点，使得取得最小值，请画出点并写出它的坐标； (3)点、是轴负半轴上的两个动点且（点在点的左边），使得四边形周长最小，请画出点． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．如图，，点A、B分别是射线、射线上的动点，连接的角平分线与的角平分线交于点P． (1)当时，求证：； (2)在点A、B运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； (3)连接，C是线段上的动点，D是线段上的动点，当时，求的最小值． 2．（22-23八年级上·北京海淀·期中）【定义】 如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”； 如果2条段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”． 【理解】 (1)如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； 如图2，已知是等腰直角三角形，，请你在这个三角形中画出它的“黄金分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数． (2)填空：等边三角形____________（填“存在”或“不存在”）“分割线”； 顶角为钝角的等腰三角形____________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”． (3)【应用】 在中，，为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出的所有可能值：__________________________________． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】 （1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】 （2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 5．（22-23八年级上·河南开封·期末）已知，在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且．    (1)【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”），并将如下理由补充完整． 过点D作，交于点M． (3)【拓展延伸】已知点D是等边三角形的边的中点，，P、Q分别为射线、射线上一动点，且，若，请直接写出的长． 6．（24-25八年级上·全国·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 7．（22-23八年级上·河南信阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动：    【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？ (1)【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”． (2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题： 已知：如图2，在和中，，，．求证：． 请阅读并补全证明 证明：在上取一点，使． ， 　　． 又． 而． 　　． ， 　　． 又　　． ． ． (3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题： 当点在线段上时，如图所示，求证：． 过点作交直线于点，若，，则______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 将军饮马+等腰三角形构造热考几何模型 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称之将军饮马模型 熟练掌握“将军饮马”模型的本质，能识别并解决基础型（一线两点）、变式型（两线一点）等不同场景下的将军饮马问题，准确求出线段和的最小值及对应点的位置。 主要考查“线段和的最小值”问题，该考点在选择、填空题中高频出现，偶尔作为解答题的第一问，为后续综合问题铺垫。 添加辅助线构造等腰三角形 精通等腰三角形的判定与性质，能根据题目条件主动构造等腰三角形（如利用垂直平分线构造、利用角平分线构造、截长补短构造），解决线段相等、角相等、线段和差最值等问题。 核心考查“利用等腰三角形性质解决线段/角关系”，该考点可单独出现在填空、选择题的计算问题中，也常与全等三角形、将军饮马模型综合出现在解答题中，分值占比更高。 知识点01 轴对称之将军饮马模型 1.两点之间线段最短型 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 2.垂线段最短型 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 3.三角形周长最小型 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 知识点02 添加辅助线构造等腰三角形 1.角平分线+垂线构造等腰三角形 2.等腰三角形+平行线构造等腰三角形 条件 𝑨𝑩=𝑨𝑪  策略 作腰的平行线 _____ 作底边的平行线 结论 △𝑩𝑫𝑬 是等腰三角形 △𝑨𝑫𝑬 是等腰三角形 3.倍角关系构造等腰三角形 在中，>. 方法一：如图①，外构等腰三角形，作 . 方法二：如图②，内构等腰三角形，作 . 方法三：如图③，作平分 . 题型一 两点之间线段最短型 【典例1】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题、三角形的外角的定义及性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点D，点M，N分别是和上的动点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的最小值为 ． 【详解】解：（1）平分，， ． ． （2）如图，过点B作于点G，交于点，则． 平分， ． ，即点与点B关于对称． 过点作于点N，交于点M， 由轴对称的性质可知，点M即为使最小的点，． 过点B作于点E． ，解得． ， 是等腰三角形， ，即的最小值是3 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 【答案】 5 【分析】（1）由题易得，，因为，根据三线合一可知，根据中位线可知，进而即可得到答案． （2）要想的值最小，需要把这三条三段转化到一条线段上，进而分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，再根据外角的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：5． （2）如图所示，分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，则最小值为． 由题意和对称性可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 题型二 垂线段最短型 【典例2】（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小, 即的值最小， ∵垂直平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当的值最小时，的长为， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 题型三 三角形周长最小型 【典例3-1】（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 【典例3-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【详解】解：如图，连接. ∵为边的中点， ∴. ∴， ∴. ∵垂直平分为线段上的一个动点， ∴. ∵ ∴, ∴, ∴周长的最小值为9. 故答案为：9. 【典例3-3】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 【详解】（1）解：如下图四边形即为所求；：；：． 故答案为： ． （2）解：如下图，点P即为所求． （3）解：． 【变式3-1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， ∵是等腰三角形，点D为底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长的最小值为． 故答案为：11． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，为边上的中线， 的垂直平分线交于点，交于点，为上的动点，若，的面积为，则 周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设交于点，连接， ∵， ∴为等腰三角形， ∵为边上的中线，， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴当时，的周长最小， 即点与点重合， 周长的最小值为． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-4】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 题型四 角平分线+垂线构造等腰三角形 【典例4】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【变式4-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点D在线段上，，，垂足为，与相交于点F．线段与的数量关系为______．（直接写出） 【详解】问题情境： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； 类比解答： 延长交于点F，如图， 由问题情境可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 拓展延伸： （1），证明如下： 延长、交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 在和中 ∴， ∴， 则． 【变式4-2】【问题情境】（1）如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型五 等腰三角形+平行线构造等腰三角形 【典例5-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若．求的长． 【详解】（1）证明：如图，过点D作交于H， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中, ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典例5-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知是边长为10的等边三角形，P是边上一点，点Q在射线上．设的长为x． (1)如图1，当，且时．求证：； (2)当时，连接，交边于点D，且D是线段的中点． ①如图2，作交于点E，且，求x的值； ②如图3，作于点F．随着x的增大，线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F恰好落在木条上（不包括端点），请直接写出x的取值范围． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ； （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 【变式5-1】（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)在点的移动过程中，线段的长度保持不变，理由见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定： （1）根据点为边的中点，运动速度相同可求得的长度，过点作交于点，利用等边三角形得到，根据全等三角形即可求出的长； （2）分类讨论即可 【详解】（1）①当点为边的中点，且的边长为时， 点与点的运动速度相同，； ②如图，过点作交于点， 为等边三角形，， ，是等边三角形． 由①知：，．． 又， ； （2）在点的移动过程中，线段的长度保持不变．理由如下：设的边长为． ①当点在线段上时， 如图，过点作交于点， 则为等边三角形． ， 同上（1）法可证：， （定值）； ②当点与点重合时，点恰好与点重合，点恰好为的中点， 同样有； ③当点在的延长线上时，如图2②，过点作交的延长线于点， 同法可得．， 当点在移动的过程中，线段的长度保持不变． 题型六 倍角关系构造等腰三角形 【典例6】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点D，连接， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴这个三角形存在“黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：∵线段的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条“黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ∴， ∵是一个“准黄金三角形”， ∴和都是等腰三角形， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ∵， ∴，， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【变式6-1】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线； (2)如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数． 【详解】（1）证明：如图1所示： ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形， ∴AE是△ABC是一条特异线； （2）解：如图2所示： 当BD是特异线时，如果AB＝BD＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝120°+15°＝135°， 如果AD＝AB，DB＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝75°+37.5°＝112.5°， 如果AD＝DB，DC＝CB，则ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+60°＝90°（不合题意舍弃）； 如图3所示： 当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，则∠ABC＝180°﹣20°﹣20°＝140°； 当CD为特异线时，不合题意； ∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°． 【变式6-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线． (3)如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是的一条特异线， 和是等腰三角形， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ； 故答案为：36； （2）证明：是线段的垂直平分线， ，即是等腰三角形， ， ， ， ，即是等腰三角形， 是是一条特异线． （3）解：当是特异线时，如果，如图3， 则； 如果，，如图4， 则； 如果（或，如图5， 则（不合题意，舍去）； 当是特异线时，，，如图6， 则； 当为特异线时，不合题意． 综上，所有可能的的度数为或或． 期末基础通关练（测试时间：8分钟） 1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案： 方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置． 故选：C； 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，平分，垂直平分于点G，交于点F，Q为射线上一动点．若的长的最小值为5，则的长为（  ）    A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，过P作于E，于H，    ∵平分，的最小值为5，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3.（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：点与点关于直线对称， ， ， 两点之间，线段最短， 当点、、三点共线时，的值最小为． 故答案为：两点之间，线段最短． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 过点作， 垂足为， ∵， 于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当的值最小时， 即的值最小， ∴此时、、共线， 且， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，有一条高速公路m和A，B两个城镇，市政府准备在高速公路m上修建一个燃气中心站P，使中心站到A，B两个城镇的距离相等，请你利用尺规作图法找出燃气中心站P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【详解】解：如图，点即为所求： 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，即的周长最小， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①；②当时，；③当时，的周长最小；④四边形的面积是一个定值．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：如图1，连接，作于，于，    ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴；故①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；④正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时，    ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；②错误，故不符合要求； 故选：C． 3．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 ． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【详解】（1）解：关于x轴对称对应点分别为 ，如图所示： ； （2）解：关于y轴对称点为， 故答案为：； （3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 4．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上作一点P，使得的周长最小． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：连接交直线于点P，点P即为所求． ， ∴此时最小，的周长最小， ∴点P即为所求． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点，点，点． (1)将向左平移4个单位得到（点A、B、C的对应点分别为、、），画出； (2)和关于x轴对称（点、、的对称点分别为、、），画出； (3)在直线上画出一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示．点坐标． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ∵点是线段上的一点， ∴点在线段上的对应点的坐标为． （2）解：如图，点即为所求； 7．（24-25八年级上·贵州·期末）在一条公路旁有A，B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置： (1)在图①中，要求车站M到两厂的距离相等； (2)在图②中，要求车站M到两厂的距离之和最短； (3)在图③中，要求车站M到两厂的距离之差最大． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求作； （2）解：如图②，点即为所求作； （3）解：如图③，点即为所求作． 8．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形； (2)点是轴上的一个动点，使得取得最小值，请画出点并写出它的坐标； (3)点、是轴负半轴上的两个动点且（点在点的左边），使得四边形周长最小，请画出点． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图， 作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点． 设直线的解析式为，， ， ， 将，代入，得， ，解得，， 即． 当时，， 点的坐标为． （3）解：四边形周长，其中，为定值，所以只需使最小，即如图构造平行四边形， 把点向左平移个单位长度得到，作关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．如图，，点A、B分别是射线、射线上的动点，连接的角平分线与的角平分线交于点P． (1)当时，求证：； (2)在点A、B运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； (3)连接，C是线段上的动点，D是线段上的动点，当时，求的最小值． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴． （2）解：如图2中，的大小不变，．理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ， ∴． （3）解：如图3中，过点A作于H，过点P作于J于K于I． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 作点D关于的对称点，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 2．（22-23八年级上·北京海淀·期中）【定义】 如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”； 如果2条段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”． 【理解】 (1)如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； 如图2，已知是等腰直角三角形，，请你在这个三角形中画出它的“黄金分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数． (2)填空：等边三角形____________（填“存在”或“不存在”）“分割线”； 顶角为钝角的等腰三角形____________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”． (3)【应用】 在中，，为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出的所有可能值：__________________________________． 【详解】（1）作图如下： “分割线”如图虚线所示，角度见图中标注； 作图如下： “黄金分割线”如图虚线所示，角度见图中标注； （2）等边三角形不存在“分割线”，理由如下： 如图，等边被直线所截，且点D在线段（不含端点B、C）上 在等边中，有， 由图可知：， 同理有：， 由图可知：， 同理有：， 即在中，三个内角满足：， 即不可能是等腰三角形； 即在中，三个内角满足：， 即不可能是等腰三角形； 即等边三角形不存在“分割线”； 顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，理由如下： 如图，等腰的“黄金分割线”为，，为钝角， 设，，相应的角标注如图， 根据平角为180°和三角形内角和为180°可得：， 解得：， 即，则：， ∴根据方程有解，可得顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”； （3）根据为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点， 分情况讨论： 第一种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的顶角时， 如图，相应角度标注如下， 根据图形，有：， 解得：， 则：； 第二种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的底角时， 如图，相应角度标注如下， 根据图形，有：， 又∵根据“分割线”的定义可知：是等腰三角形， ∴是等边三角形， 即：， 则：， 此时不为钝角，此情况舍去； 综上：的可能值为：． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】 （1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】 （2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 【详解】（1）是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， 由可得，， 线段BD的长度为5． （2），理由如下： 轴， ， 是等边三角形， ， ，， ， 垂直平分， ， ， 由（1）知，，可得， ， ，， ． （3）ED的最小值为2． 如图3，连接DB并延长到点N， ，为等边三角形， ，，， ，即， 又，， ， ， 由（2）知，垂直平分，，， ， ， ， 点 D 在直线 BN上运动，过点E作于点H， 当点 D 运动到点H时，ED最小，此时， 的最小值为2． 5．（22-23八年级上·河南开封·期末）已知，在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且．    (1)【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”），并将如下理由补充完整． 过点D作，交于点M． (3)【拓展延伸】已知点D是等边三角形的边的中点，，P、Q分别为射线、射线上一动点，且，若，请直接写出的长． 【详解】（1）解： 是等边三角形， ， 点D为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点D作，交于点M， ， ， 又 ， ， 是等边三角形， ， ，即， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，当点Q在线段的延长线上时，作，交于点M，易得是等边三角形，    ，， 点D为等边的边的中点， ，， ， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 如图，当点Q在线段上时，    同理可证 ， 则， 综上可知，的长度为5或1． 6．（24-25八年级上·全国·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 7．（22-23八年级上·河南信阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动：    【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？ (1)【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”． (2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题： 已知：如图2，在和中，，，．求证：． 请阅读并补全证明 证明：在上取一点，使． ， 　　． 又． 而． 　　． ， 　　． 又　　． ． ． (3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题： 当点在线段上时，如图所示，求证：． 过点作交直线于点，若，，则______． 【详解】（1）解：由图形可知两个三角形不一定全等； 故答案为：不一定； （2）证明：在上取一点，使． ， ． 又， 而， ． ， ， 又， ． ． 故答案为：，，，； （3）证明：①过点作交于点，如图3.1，   ，， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ． ②解：如图3.2，当点在线段上，   ，， ， ，， ， ； 如图3.3，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点， 同理可得，， ，， ， ， ． 的长为2或4． 故答案为：2或4． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $