专题07 最值问题（考题猜想，4种热考题型）九年级数学上学期人教版五四制

专题07 最值问题（考题猜想，4种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：将军饮马与造桥选址模型求最值（共11题） 1．（2023秋•绥阳县期末）如图，中，，垂足为，，点为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•汉阳区期末）如图，的面积为6，，平分．若，分别是，上的动点，则的最小值　　 A． B． C． D．3 3．（2023秋•增城区期末）如图，，，分别是，上的定点，，分别是边，上的动点，如果记，，当最小时，则与的数量关系是　 　． 4．（2023秋•竹山县期末）如图，为内一定点，，分别是射线，上的点，当的周长最小时，，则　 　． 5．（2023秋•奉化区期末）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为　 　． 6．（2023秋•青山区期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　 　． 7．（2022春•莲池区期末）如图，在中，，，，平分，是线段上的动点，是线段上的动点，则面积为 　 　，的最小值为 　　 ． 8．（2021秋•硚口区期末）在中，，点、分别为和上的动点，与相交于点，且的值最小． ①如图1，若，，则　 　； ②如图2，　　 ．（用含的式子表示） 9．（2023秋•武昌区期中）如图，在中，，，，分别平分 和，是上一点，，已知，，．当取最小值时，　 　．（用含，的式子表示） 10．（2023秋•重庆期末）在中，点是边上一点，连接． （1）如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； （2）如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接，，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） 11．（2023春•兴宁市校级期末）问题解决： （1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区、提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从、到的距离之和最短？请画出点的位置； （2）问题理解：如图2，在中，，平分，点是边的中点，点是线段上的动点，画出取得最小值时点的位置； （3）问题运用：如图3，在中，，，，是的平分线，当点、分别是和上的动点时，求的最小值． 题型二：垂线段最短求最值（共7题） 1．（2022秋•江岸区期末）如图，在中，，，，，点、分别是边、上的动点，则的最小值等于　　 A．4 B． C．5 D． 2．（2022秋•槐荫区校级期末）如图，△中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 3．（2023秋•江岸区期末）如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 　　． 4．（2023秋•工业园区校级期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为 　 　． 5．（2023秋•咸宁期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，过点作．若，轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 　　． 6．（2022秋•江夏区校级期末）如图在中．．．点为直线上一点．当有最小值时，的度数为 　 　． 7．（2023秋•来凤县期末）如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 　 　． 题型三：构造手拉手、一线三等角等模型求最值（共4题） 1．（2021秋•江岸区期末）如图，是等边三角形的边上的高，点是上的一个动点（点不与点重合），连接．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，若，则线段长度的最小值是　　 A．3 B． C．1.5 D．1 2．（2023秋•青山区期末）如图，等边的边长为2，于点，为射线上一点，以为边在左侧作等边，则的最小值为　　 A．1 B． C． D． 3．（2023秋•莆田期末）如图，中，，，为射线上一动点，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形．为上一点，，连接．当取最小值时，则的度数为 　 　． 4．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，已知中，，是边上一点，以为边作，在同侧），使，，连． （1）如图1，若在上方且，求度数； （2）如图2．若在上方且，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，若，，，则的最小值为　 　（直接写出结果）． 题型四：线段的拼接等求最值（共6题） 1．（2024秋•柳南区校级期中）如图，等腰三角形中，，平分，交于点，为上一点，为上一点，且，连接，．当的最小值为8时，的长　　 A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2023春•涪城区期末）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是　　 A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 4．（2020秋•椒江区期末）小华的作业中有一道题：“如图，，在的同侧，，，，点为的中点．若，求的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿、翻折得到△和△，连接．最后小华求解正确，得到的最大值是　　． 5．（2023秋•鲅鱼圈区期末）如图，为等腰的高，其中，，，分别为线段，上的动点，且，当取最小值时，的度数为 　　． 6．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，当点运动时，的最小值为 　　． $专题07 最值问题（考题猜想，4种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：将军饮马与造桥选址模型求最值（共11题） 1．（2023秋•绥阳县期末）如图，中，，垂足为，，点为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由三角形面积关系得出在与平行，且到的距离为的直线上，，作点关于直线的对称点，连接交于，则，，此时点到、两点距离之和最小，作于，则，证明△是等腰直角三角形，得出，求出，即可得出答案． 【解答】解：的面积等于的面积的， 在与平行，且到的距离为的直线上， ， 作点关于直线的对称点，连接交于，如图所示： 则，，此时点到、两点距离之和最小， 作于，则， ，， ，， △是等腰直角三角形， ， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 2．（2023秋•汉阳区期末）如图，的面积为6，，平分．若，分别是，上的动点，则的最小值　　 A． B． C． D．3 【分析】依据垂线段最短，可得的最小值，即到的最短距离，已知的面积为6，，可得到的最短距离，即的最小值． 【解答】解：过作，交于点，交于点，作关于的对称点，连接， ， 是关于的对称点， ， 平分， ， ， ， ， 的最小值的最小值，即中边上的高， 的面积为6，， ， ，即的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查了垂线段最短，关键是掌握将军饮马模型． 3．（2023秋•增城区期末）如图，，，分别是，上的定点，，分别是边，上的动点，如果记，，当最小时，则与的数量关系是　 　． 【分析】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，根据外角的性质得到，，由轴对称的性质得到，，于是得到，由于，，，即可得到结论． 【解答】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ， ， ，， ，，， ， ， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的外角的性质，正确的作出图形是解题的关键． 4．（2023秋•竹山县期末）如图，为内一定点，，分别是射线，上的点，当的周长最小时，，则　 　． 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、、、，此时的周长有最小值，由对称性可知，，可求，再由即可求解． 【解答】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、、、， ，， 的周长，此时的周长有最小值， 由对称性可知，，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用轴对称的性质是解题的关键． 5．（2023秋•奉化区期末）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为　　． 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查轴对称最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（2023秋•青山区期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　 　． 【分析】作点关于的对称点，关于的对称点，根据轴对称确定最短路线问题，连接与、的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理列式求出，再根据轴对称的性质计算即可． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接与、的交点即为所求的点、， 则当的周长最小时，，分别位于，处， ，， ， ， 由轴对称的性质得：，， ． ， 即当的周长最小时，故答案为：70． 【点评】本题考查轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点、的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 7．（2022春•莲池区期末）如图，在中，，，，平分，是线段上的动点，是线段上的动点，则面积为 　 　，的最小值为 　　 ． 【分析】根据等腰三角形三线合一得，可以求出面积；作关于的对称点，连接，过作于，根据对称性求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【解答】解：如图，作出点关于的对称点， ，，，平分， ，点在边上， 面积为， 当点，，三点共线且时，最小， 过作于， 的最小值是． 利用等面积法得：， ． 故答案为：． 【点评】此题是轴对称最短路线问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出是解本题的关键． 8．（2021秋•硚口区期末）在中，，点、分别为和上的动点，与相交于点，且的值最小． ①如图1，若，，则　 　； ②如图2，　　 ．（用含的式子表示） 【分析】①将沿着翻折，再沿着翻折，连接交于点，交于点， 在边上截取，连接，根据垂线段最短即可解决问题； ②结合①的思想，即可解决问题． 【解答】解：①如图，将沿着翻折，再沿着翻折，连接交于点，交于点， 在边上截取，连接， ， 最小， ，， 由翻折可知：，， 在中，， ， 故答案为：30； ②如图2，将沿着翻折，再沿着翻折，连接交于点，交于点， 在边上截取，连接，和交于点， 此时，△， ，， 最小， 由翻折可知：， ， 设，， 由翻折可知：， 在中，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是将的值最小的隐藏条件找出． 9．（2023秋•武昌区期中）如图，在中，，，，分别平分 和，是上一点，，已知，，．当取最小值时，　 　．（用含，的式子表示） 【分析】作，交的延长线于点，在上取一点，使，连接 ‘，连接，过点作于点，证明出和是等边三角形，得到，得到取最小值时，，再求出的长即可． 【解答】解：作，交的延长线于点，在上取一点，使，连接 ‘，连接，过点作于点， ，， ， ，分别平分 和， ，， ， ，， 又，， △，△， ，，， ， 即的最小值为， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在△中， ， ， ， ． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，解答中涉及轴对称，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，探究出取最小值时，的位置是解题的关键． 10．（2023秋•重庆期末）在中，点是边上一点，连接． （1）如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； （2）如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接，，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） 【分析】（1）过点作于，作于，利用角平分线性质可得，再利用三角形面积可得，可求得，利用，即可求得答案； （2）延长交于，过点作交于，利用可证得，即可证得结论； （3）过点作，过点作于，交于，作点关于的对称点，连接，则点在射线上，当、、在同一条直线上，且时，即点与点重合时，为最小值，过点作于，则是等腰直角三角形，再证得四边形是矩形，是等腰直角三角形，即可求得答案． 【解答】（1）解：如图1，过点作于，作于， 平分， ， ，， ，即， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于，过点作交于， 又于点， ， ， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，过点作，过点作于，交于，作点关于的对称点，连接，则点在射线上， ， 当、、在同一条直线上，且时，即点与点重合时，为最小值， 过点作于，则是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 即线段的长为． 【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 11．（2023春•兴宁市校级期末）问题解决： （1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区、提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从、到的距离之和最短？请画出点的位置； （2）问题理解：如图2，在中，，平分，点是边的中点，点是线段上的动点，画出取得最小值时点的位置； （3）问题运用：如图3，在中，，，，是的平分线，当点、分别是和上的动点时，求的最小值． 【分析】（1）如图1中，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时的值最小． （2）如图2中，连接交于点，连接，点即为所求． （3）如图3中，过点作于．证明，关于的长，作点关于的对称点，连接，则，推出，推出当，在上时，的值最小，最小值为线段的长． 【解答】解：（1）如图1中，点即为所求． （2）如图2中，点即为所求． （3）如图3中，过点作于． ，平分， 垂直平分线段， ，关于的长， 作点关于的对称点，连接，则， ， 当，在上时，的值最小，最小值为线段的长， ， ． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，轴对称最短问题，两点之间线段最短，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型二：垂线段最短求最值（共7题） 1．（2022秋•江岸区期末）如图，在中，，，，，点、分别是边、上的动点，则的最小值等于　　 A．4 B． C．5 D． 【分析】作点关于的对称点，过作，此时的值最小为，求出即可． 【解答】解：作点关于的对称点，过作于点，交于点， ， ，此时的值最小， ， ，， ， ． 方法二：，， ， ， ， ， 的最小值是， 故选：． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 2．（2022秋•槐荫区校级期末）如图，△中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 【分析】延长，交于点，可证△△，得出，，则，当时，最大为20，即最大为10． 【解答】解：如图：延长，交于点， 平分， ， ， ， 在△和△中，， △△， ，； ， ，即； ， ， 当时，最大， 即最大． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键． 3．（2023秋•江岸区期末）如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 　　． 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大． 【解答】解：延长交于点．设交于点． ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为 故答案为：2． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 4．（2023秋•工业园区校级期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为 　 　． 【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【解答】解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示： 在中，， ， ， 当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， 是等边三角形， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， 的最小值为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．（2023秋•咸宁期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，过点作．若，轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 　　． 【分析】过点作轴于点，根据“”证明，从而得到，进而得出点在平行于轴与轴距离为6的直线上运动，则当垂直于这条直线时，最短，求解即可． 【解答】解：过点作轴于点， ， ， ，， ， ， ， ， 点在平行于轴与轴距离为6的直线上运动，如图：当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质得出点的运动轨迹是解本题的关键． 6．（2022秋•江夏区校级期末）如图在中．．．点为直线上一点．当有最小值时，的度数为 　 　． 【分析】以为边，作，过点作于，则，故当、、三点共线时，最小，从而解决问题． 【解答】解；如图，以为边，作，过点作于， ， ， 当、、三点共线时，最小， 过点作于，交于， 在中，， ， 当有最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，胡不归问题，垂线段最短等知识，根据题意，作辅助线，将的最下值转化为的长是解题的关键． 7．（2023秋•来凤县期末）如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 　 　． 【分析】要使最大，则需要最小，而，从而通过圆与相切来解决问题． 【解答】解：方法一、中，，，， ， 垂直平分， ， 若要使最大，则需要最小， 以为圆心，为半径的圆与相切即可， ， ， ， 的最大值为， 方法二：过点作于，连接， 设，则， ， ， ， 解得， 最小值为，的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 题型三：构造手拉手、一线三等角等模型求最值（共4题） 1．（2021秋•江岸区期末）如图，是等边三角形的边上的高，点是上的一个动点（点不与点重合），连接．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，若，则线段长度的最小值是　　 A．3 B． C．1.5 D．1 【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，可得，，由“”可证，可得，即点在射线上运动，当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，连接， 是等边三角形的边上的高，， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 当时，有最小值， 此时，，， ， 线段长度的最小值是1.5， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定点的运动路径是解题的关键． 2．（2023秋•青山区期末）如图，等边的边长为2，于点，为射线上一点，以为边在左侧作等边，则的最小值为　　 A．1 B． C． D． 【分析】连接，利用“手拉手”模型得出全等，得出点的运动轨迹即可解决问题． 【解答】解：连接， 和是等边三角形， ，，， ， 即， ， ． 又， ， ， 则点在过点且与夹角为的射线上． 过点作射线的垂线，垂足为， ，且， ， 即的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质及垂线段最短，通过“手拉手”模型构造出全等是解题的关键． 3．（2023秋•莆田期末）如图，中，，，为射线上一动点，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形．为上一点，，连接．当取最小值时，则的度数为 　 　． 【分析】作，交的延长线于点，作于，可证得，从而，进而证得，从而，从而得出点在的平分线上运动，作点关于的对称点，连接，交于点，根据对称性得出． 【解答】解：如图， 作，交的延长线于点，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 点在的平分线上运动， 作点关于的对称点，连接，交于点， 点在的延长线上， 当点在处时，最小， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 4．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，已知中，，是边上一点，以为边作，在同侧），使，，连． （1）如图1，若在上方且，求度数； （2）如图2．若在上方且，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，若，，，则的最小值为　 　（直接写出结果）． 【分析】（1）如图1中，作交于．想办法证明即可解决问题． （2）如图2中，结论：．作于，在上截取，使得．证明可得结论． （3）如图3中，过点作交于，延长到，使得．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）如图1中，作交于． ，，， ，都是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 解法二：证明，可得结论． （2）如图2中，结论：． 理由：作于，在上截取，使得． ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图3中，过点作交于，延长到，使得． ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线（与的夹角为，如图所示）， ， ， 根据垂线段最短可知，的最小值为． 故答案为． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型四：线段的拼接等求最值（共6题） 1．（2024秋•柳南区校级期中）如图，等腰三角形中，，平分，交于点，为上一点，为上一点，且，连接，．当的最小值为8时，的长　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】作，使得，连接，依据△△，即可得到，进而得出当，，三点共线时，的最小值等于的长，再根据△是等边三角形，即可得到的长． 【解答】解：如图所示，作，使得，连接， 在△和△中， ， △△， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为8， 的长为8， ，， ， ，， △是等边三角形， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 2．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】取的中点，连接，易证，故可得出最小时，即求的最小值，即为，即、、三点共线时最小，据此可得出结论． 【解答】解：取的中点，连接， 在与中 ， ， ， 最小时，即求的最小值，即为，即、、三点共线时最小，此时． 故选：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，涉及到三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．（2023春•涪城区期末）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是　　 A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【分析】如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【解答】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， 的最小值为4.8． 故选：． 【点评】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长是解题的关键． 4．（2020秋•椒江区期末）小华的作业中有一道题：“如图，，在的同侧，，，，点为的中点．若，求的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿、翻折得到△和△，连接．最后小华求解正确，得到的最大值是　　． 【分析】由折叠的性质可得，，，，，，可证△是等边三角形，可得，则当点，点，点，点四点共线时，有最大值． 【解答】解：，点为的中点， ， ， ， 将和分别沿、翻折得到△和△， ，，，，，， ，， △是等边三角形， ， 当点，点，点，点四点共线时，有最大值， 故答案为：7． 【点评】本题考查了翻折变换，考查折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明△是等边三角形是解题的关键． 5．（2023秋•鲅鱼圈区期末）如图，为等腰的高，其中，，，分别为线段，上的动点，且，当取最小值时，的度数为 　　． 【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，求出此时． 【解答】解：，， ， 如图1，作，且，连接交于，连接， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 当为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，， ， 故答案为：． 【点评】此题考查全等三角形的性质和判定，最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点的位置． 6．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，当点运动时，的最小值为 　　． 【分析】作点关于对称点，则，连接，交于，连接，此时的值最小．由对称性可知，于是得到，然后根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：设， ，，为中点， ， ， 作点关于对称点，则，连接，交于，连接， 此时的值最小， 对称性可知， ， ， ， ，， ，， 所以△， ． 故答案为：6． 【点评】此题考查了轴对称线路最短的问题，确定动点何位置时，使的值最小是解题的关键． $