专题01 相似多边形、平行线分线段成比例（7大题型）（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

专题01 相似多边形、平行线分线段成比例 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用比例的性质进行求解 1 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 3 题型三、相似多边形的性质 7 题型四、黄金分割 10 题型五、由平行判断成比例的线段 14 题型六、由平行截线求相关线段的长 17 题型七、由平行截线求相关线段的比值 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用比例的性质进行求解 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）若（其中），则 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例的基本性质． 根据合比的性质即可求解． 【详解】∵（其中）， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解题关键． 设，可得，再代入求值即可得到答案． 【详解】设，则， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 4．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）（1）若，则 ． （2）若（x，y，z均不为0），则 ． 【答案】 / 3 【分析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解和能根据比例的性质进行计算是解此题的关键，注意：如果，那么，反之亦然． （1）根据已知等式设，再代入求出答案即可； （2）设k，根据比例的性质求出，再代入求出答案即可． 【详解】解：（1）， 设， 所以 ． 故答案为：； （2）设k， 则， 所以 ． 故答案为：3． 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 5.已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)6 【知识点】比例的性质、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件将整理，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：由得， ∵， ∴． 6.已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等比；合比 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等比的基本性质，在第二步解题过程中应用了合比的基本性质； 故答案为：等比；合比． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 7.阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 8.已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 题型三、相似多边形的性质 9．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，四边形和四边形相似，已知，，， ． 【答案】78 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等． 根据四边形的内角和定理可得的度数，再由相似图形的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形和四边形相似， ∴． 故答案为：78 10．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，五边形五边形，它们的相似比为．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 根据相似多边形的相似比等于对应边的比解答即可. 【详解】解：∵五边形五边形，且相似比为， ∴. ∵， ∴. 故答案为：. 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1)不相似．理由见解析 (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形与相似，对应边成比例，就可以求出的值。 【详解】解：（1）不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立。 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）如图①，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知． ①求的长； ②矩形与矩形的相似比为___________． （2）如图②，把矩形分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似．已知原矩形的长为25，宽为，求的值． 【答案】【小题1】 ； ； 【小题2】 【分析】(1)矩形与矩形相似则对应边成比例，则可求出边的长，第二空相似比即为对应边的比； （2）利用相似图形的性质对应边的比相等即可进行求解. 【详解】【小问1详解】 解：①矩形, , 是对折, , 已知, , 两矩形对应边比例关系式可以写做, 去分母得, 解得, ②. 【小问2详解】 解：由题可知五个小矩形的宽为，长为, 大矩形的长为，宽为, 则可列关系式为, 去分母得, 解得. 【点睛】本题考查了相似图形的相关知识和解一元二次方程，熟练掌握相似图形的性质以及解一元二次方程的方法是解答本题的关键. 题型四、黄金分割 13．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 15．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 16．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）（3）矩形是黄金矩形，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识． （1）将分子、分母同乘以，再根据平方差公式计算即可； （2）根据黄金矩形的定义结合，进行计算即可解答； （3）根据题意算出的长，从而得出，证明和的比值为即可． 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， ∴黄金矩形的宽， 则黄金矩形的长； （3）矩形为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：， 根据黄金矩形的性质可得： ， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形． 题型五、由平行判断成比例的线段 17．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行推相似三角形，再结合相似三角形的性质进行判断即可. 【详解】， ， ， ， 故选:A． 【点睛】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键. 20．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 题型六、由平行截线求相关线段的长 21．（25-26九年级上·重庆万州·阶段练习）如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据勾股定理求出，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴ ， ， ∴ ， ∴， 故答案为：1． 22．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点，，．若，则的长是 cm． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理，找准对应线段，是解答此题的关键． 过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【详解】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 23．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知∶如图，若，求． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并正确应用． 利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段的比例关系，进而求解的长度． 【详解】解：， ，即， ． 24．（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，求长． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 解得BD． 题型七、由平行截线求相关线段的比值 25．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 26．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 27．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，，从而可得，即可得解； （2）由题意可得，，即可得证； （3）由题意可得，，从而可得，，再由平行线分线段成比例定理可得，，求出，，即可得解． 【详解】（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 28．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北·阶段练习）下列各组线段中，能成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段的判断，解题的关键是先将每组线段按从小到大的顺序排列，再通过“最小线段最大线段”与“中间两条线段乘积”是否相等，验证线段是否成比例． 对每个选项的四条线段先按长度从小到大排序；再计算“最小线段×最大线段”的值与“中间两条线段乘积”的值；若两个乘积相等，则该组线段成比例，反之则不成比例． 【详解】解：A、将线段按从小到大排序：，，，； 计算乘积：，； 因，故该组线段不成比例，此选项不符合题意； B、将线段按从小到大排序：，，，； 计算乘积：，； 因，故该组线段成比例，此选项符合题意； C、将线段按从小到大排序：，，，； 计算乘积：，； 因，故该组线段不成比例，此选项不符合题意； D、将线段按从小到大排序：，，，； 计算乘积：，； 因，故该组线段不成比例，此选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知，是不等于0的实数，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可． 【详解】解：A. 由得，故该选项不正确，不符合题意；     B. 由得，即，故该选项不正确，不符合题意；     C. 由得，即，故该选项正确，符合题意；     D. 由得，即，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：, ∴ 故选：B． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示是小深的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上．若线段，则线段的长为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 如图：过点A作于点E，交于点D，再根据平行线分线段成比例可得，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：如图，如图：过点A作于点E，交于点D， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴，即，解得：． 故选：B． 6．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，小明准备制作一个木头相框用来摆放相片，相框外框的长为，宽为，若图中b的长度为，为了保证美观，需使相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似，则图中a的长度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的性质．根据相似图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似， ∴， 解得：， 即图中a的长度应为． 故选：D． 二、填空题 7．（2025·上海崇明·模拟预测）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，利用设k法直接进行求解即可． 【详解】解：， 设，则， 那么． 故答案为：． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形四边形，若 ，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，多边形的内角和定理. 先根据四边形内角和定理求出，再根据相似图形的对应角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形四边形， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）已知：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入到所求式子的分子中即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（北京市2023年九年级年级数学适应性练习）黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建造和雕刻中，令人惊奇的是许多植物的叶片从上往下看时，上下两层中相邻两片叶子错开的角度满足图①所示的黄金比．图②为符合上述规律的某种植物，和表示上下两层中相邻两片叶子主叶脉的长度，若，且以点O为圆心，长为半径的的长约为，则的长度约为 ．（结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，先计算得出的度数，设的长度为，再由弧长公式计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 设的长度为，则， 解得：， 故的长度约为， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，黄金分割；可求出，当为的顶角时，取的中点D，连接，则，可证明是“黄金三角形”，再证明得到，进一步证明，可得；当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”，此时． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 如图所示，当为的顶角时，取的中点D，连接， ∴； ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴是“黄金三角形”； ∵， ∴点M是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”， ∴此时； 综上所述，的长为1或， 故答案为：1或． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知线段、、满足且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）利用设参法，进行求解即可； （2）根据比例中项的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，， ∴． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为1或． 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． （1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ，，， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，的值为1或． 15．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，，，． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2)见解析． 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键． （1）根据平行线分线段成比例可得，再结合已知数据求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到、，进而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．或 【分析】（1）先根据矩形相似可得出两矩形的对应边成比例，设，再把、的值代入关系式即可得出的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）矩形矩形， ． 设． ， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． （2）存在． 假设存在矩形与矩形相似，则一定与对应，一定与对应， ， ． 又，， ， ，而， 依据对称性考虑，一定存在当时，使矩形与矩形相似的情况． 综上所述，当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解题的关键是掌握相似多边形的判定． 18．（23-24八年级下·陕西安康·期末）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形协调、匀称、美观，应用广泛．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，展平纸片； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再展平纸片； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出（图4）． 求证：矩形是黄金矩形．（提示：设的长为2） 【答案】见解析 【分析】本题考查了黄金分割，折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质和勾股定理求出，，再结合黄金矩形的定义判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：设的长为2， 由折叠的性质可知，， ， ， ，即矩形是黄金矩形． 19．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）角平分线定理指出：在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例． (1)【探索发现】如图1，在中，平分交于，求证： 解题思路：悦悦的想法是过C作交延长线于点E，将相关边转化解决了问题．请按此思路完成证明． (2)【类比迁移】桐桐根据上面的思路，在探究外角平分线时，也发现了相关线段长成比例． 如图2，在中，点和点分别是和延长线上的点，连接，若平分，求证：； (3)【综合运用】如图3，在中，平分交于点，过作交于点，过作于，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3)的长为． 【分析】（1）过作，交延长线于点，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； （2）过作交于点，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； （3）设，则，，由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，从而可得，由三角形的内角和定理，结合三角形外角的性质，可得，从而可得，在延长线上取点，可得，由（2）所证结论可得，从而可得，设，则，，作于点，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，结合已知，由勾股定理可得，从而可得，，，，根据勾股定理，可得，由（1）所证结论可得，从而可得的长． 【详解】（1）证明：过作，交延长线于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：过作交于点， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）证明：∵于， ∴， ∵平分交于点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在延长线上取点，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）所证结论可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 作于点，则为的中点， ∴， ∴， 又∵于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，平分交于点， 由（1）所证结论可得， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线分线段对应成比例，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余． 20．（24-25九年级上·重庆江北·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得，结合是的中点，可得，根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ，，， ∵AD平分， ∴， ， ， ． （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01相似多边形、平行线分线段成比例 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用比例的性质进行求解 题型二、利用比例中的等比性质进行求解… .3 题型三、相似多边形的性质… .7 题型四、黄金分割… …10 题型五、由平行判断成比例的线段.… …14 题型六、由平行截线求相关线段的长…。 .17 题型七、由平行截线求相关线段的比值 .19 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用比例的性质进行求解 1.25-26九年级上上海阶段练习)若号--；（其中6+d￥0）.则+e b d5 b+d 2,(2526九年级上上海阶段练习)若-2-≠0，则a+bC= 234 a-b+c 3.(2526九年级上候西西安阶段练习》已知号-号号手，者+c+e=20,月6+d+/0,则 b+d+f=_ 4,(2425九年级下江苏南京开学考武)(1)若6=，则 42a-b b ②者若号，均不为0.则-一 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 5已g分-台月2,1b+df0. 0球9号的值： (2)若b-5d+6f=3,求a-5c+6e的值. 6已a,6de,六个数，如果号后号-+d+f=0,那么号-，惠由下 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 号=号=b+d+f0a=b,c=k,e=及（第一，六0+e-+服+产=k(第二步， b d f “b+d+fb+d+f (1)解题过程中第一步应用了 的基本性质；在第二步解题过程中6+d+=k应用了 基 b+d+f 本性质； ®减用此解短过程中的思修和方法解决间题：已如-子-0，求4的爸。 7.阅读下面的一段文字： 设==m=k,则有a=bk,c=dk,,m=k,当b+d+…+n≠0时， b dn a+ct+m_bk+dkt...+nkb+dt.k=k=b b+d+..+n b+d+...+n b+d+...+n a 从上面的推导过程可得，若2=￡=…=m b d 丹，当6+d+…+a≠0时，tg,把它称为等比性质 b+d+...+n b 利用等比性质完成下题： a在C和：C中，份C会-子且8+BC,C:20厘米，求48C简同长. 包w号-号2-d-510,求0-9 2a-c-5e 的值。 a+cte=k. 8已知a,6,0de,了六个致，如果号后宁+d+10,郑么后号 理由如下： :9=S=9=kb+d+f≠0) baf ∴.a=bk,c=dk,e=fk(第一步) a+c+e,bk+k+及_kb+d+f=k(第二步) b+d+f b+d+f b+d+f (1)解题过程中第一步应用了的基本性质；在第二步解题过程中， kb+d+f=k应用了的基 b+d+f 本性质； 2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果2g=6-2，则2a+b十一 18 ②已知写号0，求2的信 x+2y-3z 2/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三、相似多边形的性质 9.(25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习)如图，四边形ABCD和四边形A,B,C,D,相似，已知∠A=120°， ∠B=87°，∠C=75°，∠D=—°. D A A B B C 10.（25-26九年级上甘肃张掖阶段练习)如图，五边形ABCDE∽五边形A'B'CD'E',它们的相似比为3：4. 己知BC=6cm,则B'C'=cm B 11.(25-26九年级上，全国课后作业)如图，矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20. D D 图① 图② (1)如图①，若在矩形ABCD的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？请 说明理由. (2)如图②，当x为多少时，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似？ 12.(25-26九年级上·全国·课后作业)(1)如图①，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形 ABCD相似，己知AB=4. A M D N 图① ①求AD的长； ②矩形DMWC与矩形ABCD的相似比为 (2)如图②，把矩形分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似.已知原矩形的长为25，宽 3/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为x(x<25),求x的值 25 图② 题型四、黄金分割 13.(25-26九年级上·上海虹口·阶段练习)黄金分割是汉字结构最基本的规律.己知一条分割线的端点A, B分别在习字格的边MN,PQ上，且AB∥NP,“晋"字的笔画“、"的位置在AB的黄金分割点C处，且 AC<BC,若NP=2cm,则BC的长为一cm(结果保留根号). 14.(24-25九年级上·河南周口·期末)2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑 州市虹韵音乐厅成功举行.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段 的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为5-山)时，奏出来的音调最和谐、悦耳，如图，一把二 2 胡的琴弦AC的长为78cm,千斤线绑在点B处（点B为线段AC上靠近点A的黄金分割点），则BC的长 为 15.(25-26九年级上福建龙岩·阶段练习)关于x的一元二次方程x2+mx-1=0,当m=1时，该方程的正根 称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求黄金分割数； (2)如图1，在黄金矩形ABCD中，长AD=2,则矩形ABCD的面积= _； (3)如图2，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，以E为圆心，线段DE长为半径作弧，交BC的延长线 于点F,作矩形ABFG,试说明矩形ABFG是黄金矩形 16.(24-25八年级下.福建福州阶段练习)阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式. 例如：化简5-2 1 解：将分子、分母同乘以3+√2得： 1 5+√2 V3-V2(N3-V2W3+2) =5+√2. 类比运用： (1)2-1 拓展延伸： B E 图1 图2 宽与长的比是V5-」的矩形叫黄金矩形.如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB=N2. (2)求黄金矩形ABCD中BC边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF,得到新的矩形DCEF,猜想矩形 DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论. 题型五、由平行判断成比例的线段 17.(25-26九年级上河南南阳阶段练习)如图，若1∥12∥1，，则下列各式错误的是() 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 6 A. BC EF B. AB DE AB BC D. AC DF AC DF C.RDE BC EF AD BE 18.(24-25九年级上·甘肃兰州阶段练习)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延 长交BA的延长线于点F,则下列结论错误的是() D E A B A. AB DE B. AEAF AF AE C.AE、AE AF EF CD BC D. AD BF AB CE 19.(25-26九年级上全国·课后作业)如图，在ABC中，D,E分别为边AB,AC上的点，DE∥BC,BE 与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是() D A. DFAE B.AD_EC C.B-DE D. DF EF CF AC AB AC DB BC BE FC 20.(24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，点D、E、F分别在ABC的边AB、AC、BC上， 连接DE、EF、AF,AF交DE于点G,四边形BFED为平行四边形，则下列式子一定正确的是() AD E AE BC A. BD CF B. C.AD_DG AC DE D. AG DE AE EG FG BC 题型六、由平行截线求相关线段的长 2.(2526九年级上重庆万州阶段练习D)如图，在矩形8CD中，若AB=3,4C=5FC=4,则AE的长 为 6/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D F B 22.(25-26九年级上山东济南阶段练习)如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这 组平行线于点A,B,C.若4C=5cm,则AB的长是」 cm B 23.(25-26九年级上吉林长春阶段练习)已知：如图lI12Il3,若AB=3,DE=2,EF=4,求BC. A -l1 D B E -2 —13 24.(2025九年级陕西西安，专题练习)如图，已知DE∥BC,FE∥CD,AF=3,AD=5,AE=4,求CE,BD长 D 题型七、由平行截线求相关线段的比值 25.(24-25九年级上贵州铜仁期末)如图，11∥12∥1，AB=3,BC=5. A D B E C 3 (1)直接填空； DE的值为 E EF的值为 7/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若DF=12,求DE和EF的长 26.(25-26九年级上·吉林长春·开学考试)如图，在ABC中，DE1IBC,G为BC上一点，连接AG交DE 于点F,AF=2 AG 5 ()求D 的值： B (2)当DE=6时，求BC的长度 27.(2025九年级上全国专题练习)如图，已知ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，底边 BC,CE,EG在同一条直线上，且AB=3,BC=V3,BF分别交AC,DC,DE于点M,N,H.解 答下列问题： G的值为 (1) BG ； (2)求证： FG_EG 3 BG FG 3 (3)求：BM:MN:NF的值. 28.(24-25七年级下河北沧州阶段练习)如图，已知ABC,点D在BC上，点E在AC上，连接 AD,BE,AD与BE相交于点F. (I)向题1：若BE是ABC的中线，BF=3FE,则BD DC (2)问题2：若AD是ABC的中线， AC (3)问题3：若AD是ABC的中线，△ABF的面积与△DBF的面积之比是1：3，且AE=2,则 EC= 8/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (④)问题4：若AD是ABC的中线，且AE=FE,求证：AC=BF. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上·河北阶段练习)下列各组线段中，能成比例的是() A.Icm,2cm,3cm,4cm B.12cm,16cm,45cm,60cm C.Ilcm 22cm,33cm,44cm D.30cm,12cm,0.8cm,0.2cm 2.(25-26九年级上·上海·阶段练习)已知a,b是不等于0的实数，2a=3b,则下列等式正确的是() B. a-b 1 C.a+b5 D. 2a-b_3 b=3 2b4 3.(25-26九年级上辽宁铁岭阶段练习)如图，1∥12∥1，AB=4,DE=5,BC=3,则DF的长为() D 15 A. B. 35 D. 20 4 4 c 3 4.(25-26九年级上河南南阳阶段练习)如图，若1∥1∥1，则下列各式错误的是() A B E 2 F A. BC EF D.ABBC AC DF B.4B DE AC DF c是 AD BE 5.(25-26九年级上·广东深圳阶段练习)如图所示是小深的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行， 且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A,B,C都在竖格线上.若线段AB=3.3cm, 则线段BC的长为()cm 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.13.2 B.9.9 C.8 D.6.6 6.(25-26九年级上河南南阳·阶段练习)如图，小明准备制作一个木头相框用来摆放相片，相框外框的长 为20cm,宽为12cm,若图中b的长度为3cm,为了保证美观，需使相框外框所在的矩形与内框所在的矩 形相似，则图中a的长度应为() b b 20 A.3cm B.3.5cm C.4cm D.5cm 二、填空题 7(25上毒紫男碳教预0》已知于-影么子- y 8.(2025九年级上全国专题练习)如图，四边形ABCD∽四边形A'B'CD',若 ∠B=50°，∠C=80°，∠A=100°，则∠D'=度 92526九年级士山东济作卧假鞋》已：名名--号号者0-e÷203g40,则 b-d+2f-3h a-c+2e-3g 10.(25-26九年级上河北石家庄·阶段练习)如图，BD=CD,AE:DE=1:2,延长BE交AC于F,，且 AF=4cm,则AC的长=cm, A D 11.(北京市2023年九年级年级数学适应性练习)黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建 造和雕刻中，令人惊奇的是许多植物的叶片从上往下看时，上下两层中相邻两片叶子错开的角度满足图① 所示的黄金比.图②为符合上述规律的某种植物，OA和OB表示上下两层中相邻两片叶子主叶脉的长度， 若OA=0B,且以点O为圆心，OA长为半径的AB的长约为3.8πcm,则OA的长度约为·（结果保留 整数) 10/13