专题02 相似三角形的判定（6大题型）（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形的判定 月录 A题型建模·专项突破 题型一、两角对应相等，两个三角形相似.】 题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似… .4 题型三、三边对应成比例，两个三角形相似6 题型四、判断两三角形是否相似… …9 题型五、添一个条件使两个三角形相似… .12 题型六、相似三角形的判定和性质…14 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、两角对应相等，两个三角形相似 1.(25-26九年级上吉林阶段练习)如图，AE平分∠BAC,D为AE上一点，∠B=LC.求证： △ABEO△ACD. B E 2.(2425九年级下·江苏南京·开学考试)如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，点O为圆 心.△ADC与△ABE相似吗？说明理由. 3.(2025广东广州三模)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且AE⊥EF.求证： △ABE∽△ECF. 1/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 4.(24-25九年级下·福建福州阶段练习)如图，BC是⊙0的直径，点A在⊙0上，AD⊥BC,垂足为D, AB=AE,BE分别交AD,AC于点F,G. F B (1)若LAEB=26°，求∠C的度数； (2)求证：FA=FG; (3)求证：△ABF∽△BAE, 题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 5.(25-26九年级上陕西·阶段练习)已知如图，D,E分别是ABC的边AB,AC上的点，AD=3, AB=8,AE=4,AC=6.求证：△ADE∽△ACB D B 6.(2025九年级上·全国.专题练习)如图，ABC中，点D在AB上，连接CD.已知AC=3cm, 5 AD=2cm,BD=。cm,求证△ACD∽△ABC. B 7.(24-25九年级上·福建阶段练习)如图，在ABC与△DBE中，∠ABD=LCBE,BD·BC=BA·BE,求 证：∠A=∠D. 2/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(24-25九年级上浙江期末)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且AC2=AB·AD. D B (I)求证：△ABCn△ACD; (2)若LBCD=150°，求∠BAC的度数. 题型三、三边对应成比例，两个三角形相似 9.(25-26九年级上·全国课后作业)如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形AEFD.求证： △BCE∽△BED. B C F 10.(24-25九年级下上海·假期作业)如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC与△DEF.求证： △ABCn△FDE. B 11.(24-25九年级上广西·期中)如图所示，在5×8的网格中，ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正 方形的顶点上. (I)填空：∠BAC= EF= (②)判断ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论 12.(25-26九年级上·全国·课后作业)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点都在格点上，P,B,?,P,P是△DEF边上的5个格点.请按要求解决下列各题： P E (I)求证：△ABC∽△DEF. (②)画一个三角形，它的三个顶点为B,B,P,P,卫中的3个格点，并且与ABC相似. 题型四、判断两三角形是否相似 13.(25-26九年级上山东济南·阶段练习)如图，不能判定A0B和△D0C相似的条件是() D A.0A.OC=OD.OB B.∠B=∠C C.∠A=∠D D. ABOA CD OD 14.(24-25九年级上福建三明·期中)如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与 △ADE相似的是() 37 D B E A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C.AB、BC AD DE D.AB_AC AD AE 15.(25-26九年级上·上海阶段练习)如图是一个正方形网络，里面有许多三角形.在下面所列出的各三角 形中，与ABC不相似的是() D B G A.BDE B.△BCD C.△FGH D.△BFG 16.(25-26九年级上浙江宁波阶段练习)如图，ABC中，AB>AC,D为AB上一点，下列条件：① 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠B=∠ACD,②∠ADC=∠HCB,③AC-4A,④4C=ABAD中，能判定ABC与△ACD相似的有(） CD BC A B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型五、添一个条件使两个三角形相似 17.(山西省运城市2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷)如图，在ABC中，D是AC上一 点，增加一个条件使△ABD∽△ACB,这个条件可以是（写出一个即可）. B 18.(25-26九年级上·上海阶段练习)如图，己知ABC中，∠ACB>∠ABC,点P(与点B不重合)是边 AB上的一点，那么当AC与AP、AB满足时，ABC与△ACP相似， A 19.(2025·云南·模拟预测)如图，D是ABC的边BC上一点，添加一个条件，使△CAD∽△CBA.你添 加的条件是」 B D 20.(24-25九年级上·上海阶段练习)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC,要使△BAD与△DBC相似， 还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件). 5/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 题型六、相似三角形的判定和性质 21.(24-25九年级上江西南昌期末)如图，D是ABC的边AC上的一点，连接BD,已知∠ABD=∠C. B (I)求证：△ABD∽△ACB: (2)若AB=6,CD=5,求AD的长. 22.(24-25九年级上江西吉安期末)如图，在ABC中，AB=AC,点D,B,C,E在同一条直线上， 且∠D=∠CAE. D B C (I)求证：△ABD∽△ECA; (2)若CE=4,BD=10,求AC的长. 23.(23-24九年级上陕西咸阳·期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接 AE,F为AE上一点，且LBFE=∠C. D (I)求证：△ABF∽△EAD. (2)若AE=2,∠BAE=30°，求AB的长 24.(2025贵州黔东南二模)如图，ABC内接于⊙0，AB是00的直径，过点C作⊙0的切线交AB的 延长线于点D,BE⊥CD于点E,EB的延长线交OO于F,CF交AB于点G,LBCF=LBCD. 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E OG (I)求证：BE=BG; (②)判断△ACD与△CBD是否相似，并说明理由； (3)若BE=1,求△BCE的面积. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上北京·课后作业)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 △ABC相似的是() B A B. 2.(25-26九年级上北京·课后作业)下列条件：①∠A=45°，AB=12,AC=15,∠A'=45°，A'B'=16, A'C'=20;②∠A=47°，AB=1.5,AC=2,∠B'=47°，A'B′=2.8，B'C'=2.1;③AB=BC=2, AC=3,A'B'=B'C'=4,A'C'=6,其中能判定ABC与△A'B'C'相似的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(25-26九年级上北京·课后作业)如图，己知ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点， AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为（)时，△ADP和ABC相似. D B 7/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.9 B.6 C.4或9 D.6或9 4.(2025浙江·模拟预测)如图，在4×4的正方形方格中，ABC的顶点A,B都在边长为1的小正方形的 顶点上，边BC上的点D也在小正方形的顶点上，则ABC的面积等于() D A. 16 B. 17 c:2 D.5 4 5.(2025江苏常州二模)定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形， 那么称这样的四边形是“全相似四边形”.如图，ABC和△ADC关于直线AC对称，下列条件能使四边形 ABCD成为“全相似四边形”的是() B A.∠BAD=90° B.ZABC=90 C.∠BCD=60 D.∠CDA=60 二、填空题 6.(2025山东济宁·二模)如图，ABC中，P是AB上一点，连接CP.请你补充一个条件，使 △ABC∽△ACP. B 7.(25-26九年级上·全国·课后作业)在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=8.若在RtaA'B'C'中， ∠C'=90°，B'C'=4,AC'=3,则Rt ABC与RtaA'B'C' (填“相似”或“不相似”). 8.(25-26九年级上·全国课后作业)已知ABC的三边长分别为3，√3，V5,△AB,C,的两边长分别为1和 √5.当△AB,C的第三边长为 时，ABC与△A,B,C,相似. 9.如图，己知AB为圆O的直径，BC和圆O相切于点B,AB=6,BC=4,CO交圆O于点D,则 AD= 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C B D 10.(24-25九年级上山东枣庄期中)如图，已知ABC中，AB=8,BC=7,AC=6,E是AB的中点， F是AC边上一个动点，将△AEF沿EF折叠，使点A落在A处，如果△AEF与原ABC相似，那么EF的 长为 B 三、解答题 11.(23-24九年级上广东广州阶段练习)如图，AC,BD相交于点O,∠A=∠D,求证：△A0B∽△D0C B A 12.(25-26九年级上全国·课后作业)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， ABC和aDEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： B F (I)则∠ABC=_°，BC=; (②)判断ABC与aDEF是否相似，若相似，请说明理由. 13.如图.AC⊥BC,BD⊥BC,AC>BC>BD. 9/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若∠A=∠BCD,证明：△ABC∽aCDB (2)若DB=3,BC=4,在(1)的条件下.求AC的长度 14.(2025·上海徐汇一模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BD是梯形ABCD对角线，BD2=AD·BC. D (1)求证：AD·CD=AB·BD; (②)以CD为一边作∠CDE=∠ADB,DE交边BC于点E,求证： CD2 CE BD2 AD 15.如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F. D E B (1)证明：△AFD∽△DCE; (2)若AB=3,AD=2,CE=1,则点A到直线DE的距离为 16.(24-25九年级上广西贵港期末)如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，点F在对角线DB上，连 接DE,AF交于点O,且∠ADE=∠BAF. D E (I)求证：AF⊥DE; (2)判断△AOE与△AED是否相似，并说明理由； (3)若AD=4,AB=6,DF=2FB,求BE的长. 17.(24-25九年级上安徽马鞍山期末)如图所示，Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°， 且AC平分∠BAD. 10/11 专题02 相似三角形的判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两角对应相等，两个三角形相似 1 题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 4 题型三、三边对应成比例，两个三角形相似 6 题型四、判断两三角形是否相似 9 题型五、添一个条件使两个三角形相似 12 题型六、相似三角形的判定和性质 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两角对应相等，两个三角形相似 1．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，为上一点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据角平分线定义可得，进而可以证明结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵． ∴． 2．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是的高，是的外接圆直径，点O为圆心．与相似吗？说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，由圆周角定理可得，由相似三角形的判定可求证． 【详解】解：与相似，理由如下： ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2025·广东广州·三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义，先根据正方形的性质得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，是的直径，点在⊙上，，垂足为，，分别交，于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）由圆周角定理直接求解； （2）根据圆周角定理得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理得到； （3）根据圆周角定理得到，求得，推出，根据相似三角形的判定定理得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：是的直径， ， ； ， ； ， ， ， ； （3）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 5．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意可得，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又， ∴． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 7．（24-25九年级上·福建·阶段练习）如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 8．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 题型三、三边对应成比例，两个三角形相似 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 10．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 11．（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的5个格点．请按要求解决下列各题： (1)求证：． (2)画一个三角形，它的三个顶点为，，，，中的3个格点，并且与相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理分别求出与各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断； （2）根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解． 【详解】（1）解：证明：根据勾股定理，得： ，，， ，，， 即， ． （2）解：如图所示，即为所求． 题型四、判断两三角形是否相似 13．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：A、由知，且， 可判断和相似，故选项A不符合题意； B、，且， 可判断和相似，故选项B不符合题意； C、，且， 可判断和相似，故选项C不符合题意； D、由，，无法判断和相似，故选项D符合题意； 故选：D． 14．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．由题意得，则可判断； 【详解】解：∵， ∴，即； 若或， ∵两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似； ∴能判定与相似，A、B不符合题意； 若， ∵两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似； ∴能判定与相似；D不符合题意； 当不能判定与相似；C符合题意； 故选：C 15．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 16．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可． 【详解】解：∵，， ∴，∴①可以； ∵，， ∴，∴②可以； ∵已知，但是夹角和不知道相等， ∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以； ∵， ∴， ∵， ∴，∴④可以； 故选：C． 题型五、添一个条件使两个三角形相似 17．（山西省运城市2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷）如图，在中，是上一点，增加一个条件使，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】或或 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键； 根据相似三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴添加或或，， 故答案为：或或． 18．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足 时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：当时，与相似，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 19．（2025·云南·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】或或（任选一个） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 20．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在梯形中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．根据题意可证，结合三角形相似的判定定理添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当或时或时，与相似． 故答案为：（答案不唯一）． 题型六、相似三角形的判定和性质 21．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）根据，即可得出结论； （2）设，，根据△和△相似得，将，，代入比例式整理得，由此解出即可得的长． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：设， ，， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 22．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在中，，点D，B，C，E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． （1）利用等边对等角的性质得到，再根据等角的补角相等得到，即可证得； （2）根据（1）中，得到，又由，从而得到，进而得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴．(负值舍去) 23．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 24．（2025·贵州黔东南·二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，于点E，的延长线交于F，交于点G，． (1)求证：； (2)判断与是否相似，并说明理由； (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由切线的性质可得，由，可证，可得； （2）由是的直径，可知，又因为，可知，再结合圆周角定理以及切线的性质得，再证明，即可求出答案； （3）先证明为等边三角形，结合勾股定理算出，运用面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，是的切线， ∴ 则 即 ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得， ∵， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 则， ∴的面积． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，， 在B、C、D选项中的三角形都没有，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， 因为， 所以A选项中的三角形与相似． 故选：A． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件：①，，，，，；②，，，，，；③，，，，其中能判定与相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①由，，可判定，故①符合题意； ②由，，可判定，故②符合题意； ③由，可判定，故③符合题意． ∴能判定与的有3个． 故选：D． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键． 分别根据当时，，当时，，求出的长即可． 【详解】解：， 当时，， ，，， ， ； 当时，， ， ， 的长度为4或9时，和相似． 故选：C． 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定相似是解题的关键．由图，利用，判定，得出，即可求出，则可求出，再利用，即可求解． 【详解】解：如图， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·江苏常州·二模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，设交于点O． ∵和关于直线对称， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证，故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 二、填空题 6．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为 时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 9．如图，已知为圆O的直径，和圆O相切于点B，，，交圆O于点D，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定， 作，根据切线的性质得，根据勾股定理求出，接下来说明，可求，，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解析：如图，过点D作于点E． ∵是的切线， ∴. ∵，，根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 根据勾股定理，得． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 为中点， ∴， ∴， ∴；   当时，， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，相交于点O，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用图象法以及勾股定理解决问题即可． （2）结论：．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，，． 故答案为：，； （2）解：结论：． 理由：，，，， ， ， ． 13．如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，进而可证； （2）根据相似三角形的性质得到，将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）作交边于点 ，    由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 15．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)证明：； (2)若，，，则点A到直线的距离为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得是解题的关键， （1）由四边形是矩形，得到，由得出，由同角的余角可得出，进而即可得解； （2）根据勾股定理得到，通过，得到，列方程求解即可得到结果； 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ，即， 点到直线的距离， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在矩形中，点E在边上，点F在对角线上，连接交于点O，且． (1)求证：； (2)判断与是否相似，并说明理由； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)与相似，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）与相似， 理由是：∵， ∴； （3）延长交于点G， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 17．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图所示，和中，，，且平分． (1)求证：； (2)点E是边的中点，连接和，和交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由直角三角形斜边中线可得，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵点E是边的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，是四边形的外接圆，直径与弦交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）结合圆周角定理，证明，利用相似三角形性质即可证明； （2）作于点，延长交于点，利用等腰三角形性质得到，，再结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及垂径定理“知二推三”推出，过圆心，最后结合等腰三角形性质，以及弧、弦、圆心角之间的关系，即可证明； （3）连接，过点作于点，结合圆周角定理，证明，利用相似三角形的性质，得到，设，则，利用勾股定理得到，进而算出，再利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：作于点，延长交于点， ， ，， ， 过圆心， ， ， ， ； （3）解：连接，过点作于点， ，， ， ， ， 由（2）知，，， ， ， ∴ ， 设，则， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， 则． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形性质和判定，弧、弦、圆心角之间的关系，垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 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