专题01 二次函数（考题猜想，4种热考题型）九年级数学上学期人教版五四制

专题01 二次函数（考题猜想，4种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：抛物线与公共点问题（共9题） 1．（2024春•海淀区校级期末）如表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是　　 1 3 0 2 0 A． B． C． D． 2．（2022秋•黄陂区校级期末）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．， 3．（2020秋•旌阳区期末）关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是　　 A．且 B． C． D． 4．（2023秋•青山区校级月考）若直线与函数的图象有且只有两个公共点时，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 5．（2022秋•洪山区校级月考）若，两数中较大的数记作，，函数，与直线的图象有且仅有2个公共点，则的取值范围为 　 　． 6．（2020春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，的顶点为．点的坐标为，将直线沿轴向上平移5个单位长度后，恰好经过、两点． 求的值和点的坐标； （2）已知点是点关于原点的对称点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 7．（2022秋•安阳县期末）已知抛物线与轴交于，两点（其中在的左侧），与轴交于点． （1）求，的坐标； （2）若直线过，两点． ①求抛物线解析式； ②点关于轴的对称点为，若过点的直线与抛物线在轴上方（不含轴上的点）的部分无公共点，结合函数图象，求的取值范围． 8．（2023秋•鼓楼区期末）已知直线与抛物线为非0常数）． （1）求证：直线与抛物线总有公共点； （2）无论为何值，总有，结合图象，直接写出的值或取值范围． 9．（2023秋•长春期末）已知抛物线、、是常数，，自变量与函数值的部分对应值如表： 0 1 2 3 1 （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 　 　，对称轴为直线 　　． （2）求抛物线的解析式和的值． （3）将抛物线的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，、合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①若直线与函数有且只有两个交点，直接写出的取值范围． ②若对于函数上的两点，、，，当，时，总有，直接写出的取值范围． 题型二：抛物线与根的分布（共7题） 10．二次函数的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•莱芜区期末）已知：二次函数．下列结论： ①抛物线的开口向上，当时，随增大而增大； ②当时，抛物线与轴有两个交点； ③若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是； ④抛物线与直线可以存在唯一公共点； ⑤若，是抛物线上的两点，则． 其中正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2023秋•东阳市期末）抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围　　 A． B． C． D． 13．（2021秋•西秀区期末）二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•宽城区校级期末）如图，二次函数的图象与轴交于坐标原点和，若关于的方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 　 　． 15．（2021秋•海珠区校级期末）如图，抛物线的对称轴为直线 （1）求抛物线解析式； （2）若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 　 　． 16．（2022秋•扶风县期末）二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标． （3）利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 　 　． 题型三：二次函数与最值（共14题） 17．（2023秋•武汉期末）如图（1），在中，，为平分线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转到，连接，．设，，与的函数关系如图（2），当时，函数有最小值．当时，的值为 　 　． 18．（2021秋•鄞州区期末）如图，点是抛物线上不与原点重合的动点，轴于点，过点作的垂线并延长交轴于点，连结，则线段的长是 　　，的最小值是 　　． 19．（2021秋•荆门期末）设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值 　 　． 20．（2023秋•阿城区期末）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，点，与轴交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，过作轴的垂线交轴于点，连接，是第一象限抛物线上一个动点，设点的横坐标为． （1）求，的值． （2）过点作交直线于点，求线段的最大值和此时点的坐标． （3）点在上（点不与点、点重合），连接，过点作于点，的平分线交于点． ①当直线经过的中点时，点也恰好在直线上，求此时点的坐标． ②在①的情况下，平面内有一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 21．（2023秋•宁河区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）已知点是抛物线的顶点，若在轴上存在一点，使的周长最小，求点的坐标． 22．（2023秋•和平区校级期末）如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点为线段上一动点． （Ⅰ）求二次函数的解析式及顶点坐标； （Ⅱ）过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积； （Ⅲ）当取最小值时，求此时点的坐标及的最小值． 23．（2023秋•合川区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴交直线于点，过点作轴，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的求解过程写出来． 24．（2023秋•漳州期末）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，连接，与交于点，与轴交于点，过点作轴于点，连接． ①当时，求点的坐标； ②试探究：是否有最大值？若有，求出该最大值；若没有，请说明理由． 25．（2023秋•莱州市期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为 　　； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由； （4）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 26．（2024春•北碚区校级期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点为抛物线在第一象限内的一动点，过作交轴于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与轴交于点，是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 27．（2023秋•礼县期末）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点从点出发，在线段上以每秒2个单位的速度向点运动，点从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒，求当为何值时，的面积取得最大值？并求出面积的最大值； （3）点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，当是直角三角形时，求点的坐标． 28．（2023秋•汶上县期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当△面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）在轴上是否存在点，使△是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 29．（2023秋•潼南区期末）如图，抛物线与轴交于，两点点在点左侧），直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． （1）求，两点的坐标及直线的函数表达式； （2）若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值； （3）若点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 30．（2023秋•天桥区期末）如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点作于点，求坐标为何值时最大，并求出最大值； （3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四：二次函数与定值（共7题） 31．（2023秋•平湖市期末）如图，二次函数与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线与轴交于点，与抛物线交于点． （1）若，求二次函数的表达式； （2）设点为抛物线上位于轴下方的动点，直线，分别与直线交于点，，求证：． 32．（2023秋•惠山区期末）如图，二次函数的图象与轴交于点和点（位于轴的正半轴），与轴交于点． （1）　 　（用含的代数式表示）； （2）若的面积为6，点，为二次函数图象上的两点，设点的横坐标为，点的横坐标为，且，直线，分别与轴交于点，． ①求该二次函数的表达式； ②若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 33．（2023秋•泰兴市期末）在平面直角坐标系中，过点任作一条直线分别交抛物线于、两点，如图1，当轴时，是等腰直角三角形． （1）　　； （2）如图2，过作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为，连接、， ①设点的横坐标为，求点的坐标（用含的代数式表示）； ②试说明； （3）如图3，过作轴的平行线交抛物线于、两点，直线、相交于点，的面积是否为定值？如果是，请求出的面积；如果不是，请说明理由． 34．（2023秋•靖江市期末）如图1，已知二次函数、、为常数，且的图象，与轴交于、两点点在点左侧），与轴交于点，且其函数表达式可以变形为的形式．已知点为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为． （1）求出点、点的坐标和该二次函数的表达式； （2）连接，过点作轴于点，交于点，直线交轴于点，连接． ①求出直线的函数表达式（用含有的代数式表示）； ②设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值； （3）如图2，若直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点，直线，分别交直线于点、．在点运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 35．（2023秋•天元区期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴负半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线上第三象限内的一点，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，经过定点作一次函数与抛物线交于，两点，试探究是否为定值？请说明理由． 36．（2023秋•泉州期末）如图1，已知抛物线与轴相交于点，点是抛物线的顶点，连接． （1）点，在抛物线上，点在点左侧，若是等边三角形，求的值； （2）设过定点的直线与抛物线相交于、两点，点在点的左侧且点在第四象限，当直线与直线相交所成的一个角为，求点的坐标； （3）如图2，把抛物线的顶点平移到坐标原点，在平移后的抛物线上任取一点，过点作射线轴交抛物线于点，在射线上点的左右两侧各有一个动点，，分别过，作垂线交抛物线于，，交于点，连接，，，，，则，，，中有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明． 37．（2023秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． （1）如果四个点，，，中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上． ①　 　 ②如图1，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求点的坐标； ③如图2，已知正方形的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的同侧，且点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点、在二次函数为常数，且的图象上，点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式． $专题01 二次函数（考题猜想，4种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：抛物线与公共点问题（共9题） 1．（2024春•海淀区校级期末）如表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是　　 1 3 0 2 0 A． B． C． D． 【分析】根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论． 【解答】解：由、可得抛物线对称轴， 又由，、以及对称轴可得， 抛物线与轴的交点为、，则设抛物线交点式为， 与对比可得，解得， 二次函数表达式为， 当时，； 当时，； 当时，最大值， 当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键． 2．（2022秋•黄陂区校级期末）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．， 【分析】将交点问题转化为方程解的问题求解． 【解答】解：当时，若，直线与直线没有交点，不合题意． 当时，二次函数为：． 由得：． △ ． 无论为何值，， △． 直线与抛物线总有公共点， 符合题意． 故排除，． 当时，二次函数为：． 由得：， △． 直线与抛物线总有公共点． 符合题意． 故排除． 故选：． 【点评】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，取特殊的值，将交点问题转化为方程解的问题是求解本题的关键． 3．（2020秋•旌阳区期末）关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是　　 A．且 B． C． D． 【分析】根据题意得到△，且时，，即得出关于的不等式组，解不等式组即可求得． 【解答】解：， ， 由题意得， 且当时，，即， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与的交点，二次函数的性质，根据题意得到关于的方程组是解题的关键． 4．（2023秋•青山区校级月考）若直线与函数的图象有且只有两个公共点时，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】画出函数图象，利用图象分两种情形：当直线经过点时，当直线与只有一个公共点时，分别进行讨论即可求解． 【解答】解：当时，若，则，解得：， 若，则，解得：， 函数的图象如图所示，． 当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，此时，解得， 观察图象可知，时，直线与函数的图象有且只有两个公共点， 当直线与只有一个公共点时， 则有，即：， △， ， ， 此时直线为， 由，解得：， 直线与只有一个交点， 时，直线与函数有两个交点， 综上所述，或时，直线与函数的图象有且只有两个公共点． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用等知识，二元二次方组，根的判别式等知识，熟练掌握函数的这些性质是解题的关键． 5．（2022秋•洪山区校级月考）若，两数中较大的数记作，，函数，与直线的图象有且仅有2个公共点，则的取值范围为 　 　． 【分析】根据题干中的定义作出函数，的图象，根据直线图象变化时与的关系作图求解． 【解答】解：设，， 令， 解得，， 把代入得， 把代入得， 图象与交点坐标为，，如图， 或时，， 时，， ，， 如图， 直线与相切时，令，整理得， △， 解得或（舍， 将代入得， 解得， 或时满足题意， 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，通过数形结合求解． 6．（2020春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，的顶点为．点的坐标为，将直线沿轴向上平移5个单位长度后，恰好经过、两点． 求的值和点的坐标； （2）已知点是点关于原点的对称点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 【分析】（1）先求出平移后解析式，将点坐标代入可求的值，即可求直线解析式，可得点坐标； （2）将点，点坐标代入解析式可求抛物线解析式，即可求点、坐标，进而求得的坐标，然后利用函数图象列出不等式组，即可求解． 【解答】解：（1）将直线沿轴向上平移5个单位长度， 平移后直线解析式为：， 直线经过点， ， ， 平移后解析式为：， 与轴的交点为， 点； （2）抛物线经过点和点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， ， 顶点的坐标为； 点是点关于原点的对称点， 点的坐标为， ， ，， 如图， 由图象可得：， 的取值范围是． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 7．（2022秋•安阳县期末）已知抛物线与轴交于，两点（其中在的左侧），与轴交于点． （1）求，的坐标； （2）若直线过，两点． ①求抛物线解析式； ②点关于轴的对称点为，若过点的直线与抛物线在轴上方（不含轴上的点）的部分无公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【分析】（1）令，求出方程的解即可； （2）①根据已知条件和待定系数法求出，的值即可； ②先根据①求出点的坐标，再根据点与点关于轴对称，从而求出点坐标，再根据过点的直线与抛物线在轴上方（不含轴上的点）的部分无公共点，结合图象，求出的取值范围． 【解答】解：（1）令，则， ， ， 解得：，， 在的左侧， 点坐标为，点坐标； （2）①令，则， 点坐标为， 直线过，两点， ， 解得：， 点坐标为， 直线的解析式为， 抛物线解析式为； ②点坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 直线过点， ， 过点的直线与抛物线的图象如图所示： ①当直线过点，时， 把代入得，， 解得：， ②当直线过点，时， 把代入得，， 解得：， 根据一次函数的性质，若过点的直线与抛物线在轴上方（不含轴上的点）的部分无公共点， 则的取值范围为：或． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数图象的特征，关键是画出二次函数和一次函数的图象，利用数形结合的思想进行讨论． 8．（2023秋•鼓楼区期末）已知直线与抛物线为非0常数）． （1）求证：直线与抛物线总有公共点； （2）无论为何值，总有，结合图象，直接写出的值或取值范围． 【分析】（1）令，可得，由△，可知该一元二次方程总有实数根，即直线与抛物线总有公共点． （2）由题意可得，抛物线与直线没有交点或只有一个交点，令，可得，则△，进而可得答案． 【解答】解：（1）证明：令，得， 整理得． △ ， 该一元二次方程总有实数根， 即直线与抛物线总有公共点． （2）解：抛物线的对称轴为直线， 令，得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 根据题意画出草图如下： ，抛物线与直线没有交点或只有一个交点， 令，可得， 则△， ， 解得． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组、二次函数图象与系数的关系、一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 9．（2023秋•长春期末）已知抛物线、、是常数，，自变量与函数值的部分对应值如表： 0 1 2 3 1 （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 　 　，对称轴为直线 　　． （2）求抛物线的解析式和的值． （3）将抛物线的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，、合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①若直线与函数有且只有两个交点，直接写出的取值范围． ②若对于函数上的两点，、，，当，时，总有，直接写出的取值范围． 【分析】（1）由表格数据，根据函数的图象和性质即可求解； （2）用待定系数法即可求解； （3）①画出函数图象，观察函数图象即可求解；②当点在轴右侧和点之间以及在点的左侧时，总有，即可求解． 【解答】解：（1）由表格数据知，其对称轴为直线，在对称轴的右侧，随的增大而增大， 故抛物线开口向上， 故答案为：开口向上，； （2）设抛物线的解析式为，代入、得：， 将代入上式，得：； （3）①如图，从图象看，当的值为或3或时，直线与函数有且只有两个交点， ②当点在轴右侧和点之间以及在点的左侧时，总有，如图： 当点在轴右侧和点之间时， 则且， 即； 当点在点的左侧时， 根据函数的对称性，轴右侧抛物线的表达式为：， 当时，， 当， 则（正值已舍去）； 则， 即， 综上，或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形的旋转、解不等式，熟悉函数的图象和性质以及数形结合和分类求解是解题的关键． 题型二：抛物线与根的分布（共7题） 10．二次函数的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先由二次函数的对称轴为直线求出的值，再将方程的解得问题转化为函数的图象与的交点问题即可． 【解答】解：由题知， 因为抛物线的对称轴是直线， 所以，得． 故二次函数表达式为． 又关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解， 即函数和在的范围内有交点． 又在时， 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值8． 所以的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能利用数形结合的思想将方程解得问题转化为图象的交点问题是解题的关键． 11．（2023秋•莱芜区期末）已知：二次函数．下列结论： ①抛物线的开口向上，当时，随增大而增大； ②当时，抛物线与轴有两个交点； ③若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是； ④抛物线与直线可以存在唯一公共点； ⑤若，是抛物线上的两点，则． 其中正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据二次函数的对称轴为直线及开口向上，结合二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为， 所以抛物线开口向上． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以当时，随的增大而增大． 故①正确． 因为， 所以当时， ， 即抛物线与轴没有交点． 故②错误． 因为关于的一元二次方程，在的范围内有实数根， 所以， 解得． 故③正确． 由得， ， 则， 所以抛物线与直线一定有两个不同的交点． 故④错误． 因为，，且， 所以． 故⑤正确． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． 12．（2023秋•东阳市期末）抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围　　 A． B． C． D． 【分析】利用抛物线的对称轴的公式可求值，再根据可以看作是抛物线与直线有交点，根据题意即可得出结论． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 则 ． 则抛物线的表达式为， 当时，取得最大值为：， 当时，取得最小值为：， 可以看作是抛物线与直线有交点， 的取值范围是：， 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二方程的根的情况，把方程看作是抛物线与直线有交点是解题的关键． 13．（2021秋•西秀区期末）二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据对称轴求出的值，从而得到、3时的函数值，再根据一元二次方程为实数）在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论． 【解答】解：对称轴为直线， ， 二次函数解析式为． 当时，； 当时，； 当时，． 相当于与直线的交点的横坐标， 当时，在的范围内有解． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象以及二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 14．（2022秋•宽城区校级期末）如图，二次函数的图象与轴交于坐标原点和，若关于的方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 　 　． 【分析】先利用抛物线的对称轴求出得到抛物线解析式为，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时的范围即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 解得， 抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，； 当时，， 当直线与抛物线在时有公共点时，如图， 则， 所以关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了数形结合的思想． 15．（2021秋•海珠区校级期末）如图，抛物线的对称轴为直线 （1）求抛物线解析式； （2）若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 　　． 【分析】（1）先利用抛物线的对称轴方程求出得到抛物线解析式为； （2）配方得到抛物线的顶点坐标为，再计算出当或3时，，结合函数图象，利用抛物线与直线在的范围内有公共点可确定的范围． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线， ，解得， 抛物线解析式为； （2）抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，；当时，， 关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解， 抛物线与直线在的范围内有公共点， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 16．（2022秋•扶风县期末）二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标． （3）利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 　 　． 【分析】（1）把点、、的坐标代入函数表达式，然后根据 三元一次方程的解法求出、、的值，即可得到二次函数的解析式； （2）利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据对称轴解析式与点的坐标求出与轴的另一交点坐标； （3）由（1）可知，，的值，再根据一元二次方程为实数）在的范围内有解相当于与在的范围内有交点解答即可． 【解答】解：（1）根据题意得， ， ②分别代入①、③得， ④， ⑤， ④⑤得，， 解得， 把代入④得，， 解得， 方程组的解是 ， 此二次函数的解析式为； （2）， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为， 对称轴为， 设另一点坐标为， 则， 解得， 点的坐标是； （3）由（1）可知二次函数解析式为， 即， 时，， 时，， 关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解相当于与直线的交点的横坐标， 当时，在的范围内有解． 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点的坐标代入函数表达式，然后解三元一次方程组即可，熟练掌握二次函数的性质以及三种形式的相互转化也很重要；本题还考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观． 题型三：二次函数与最值（共14题） 17．（2023秋•武汉期末）如图（1），在中，，为平分线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转到，连接，．设，，与的函数关系如图（2），当时，函数有最小值．当时，的值为 　 　． 【分析】证明，当时，最小，求出，进而求解． 【解答】解：过点作，交的延长线于点， 则， 而， ， 平分， ，，线段绕点逆时针旋转到， ， 、、、四点共圆， ， 则，， ，，， ， ，， 当时，最小， 即此时，则，则， ，则， 则， 当时，，， 故答案为：8.5． 【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 18．（2021秋•鄞州区期末）如图，点是抛物线上不与原点重合的动点，轴于点，过点作的垂线并延长交轴于点，连结，则线段的长是 　　，的最小值是 　　． 【分析】设点，则点坐标为，通过求证可得长度，由可得与的函数关系式，将函数关系式化为顶点式求解． 【解答】解：设点，则点坐标为， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得， ， ， 当时，为最小值，即． 故答案为：8，． 【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质，掌握求二次函数最值的方法． 19．（2021秋•荆门期末）设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值 　 　． 【分析】分别作、垂直于轴于点、，设，，由抛物线解析式可得，，作于，交轴于点，连接交轴于点，设点，易证，所以，即，可得．再证明，所以，即，可得．即得点为定点，坐标为，得．进而可推出点是在以为直径的圆上运动，则当点到轴距离为此圆的直径的一半，即时最大． 【解答】解：如图，分别作、垂直于轴于点、， 设，，由抛物线解析式为， 则，， 作于，交轴于点，连接交轴于点， 设点， ， ， ，即， 化简得：， ， ， 又， ， 又， ， ， 即， 化简得：． 则，说明直线过定点，点坐标为， ，， 点是在以为直径的圆上运动， 当点到轴距离为时，点到轴距离的最大，最大值为，即最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点为定点，确定出点的轨迹为一段优弧，再求最值． 20．（2023秋•阿城区期末）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，点，与轴交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，过作轴的垂线交轴于点，连接，是第一象限抛物线上一个动点，设点的横坐标为． （1）求，的值． （2）过点作交直线于点，求线段的最大值和此时点的坐标． （3）点在上（点不与点、点重合），连接，过点作于点，的平分线交于点． ①当直线经过的中点时，点也恰好在直线上，求此时点的坐标． ②在①的情况下，平面内有一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）过点作轴交轴于点，交于点，根据已知求得点和点，即可求得直线的解析式，则有点的坐标，求线段的最大值转化为求的最大值，利用二次函数的性质即可求得； （3）①根据题意得点、、、四点共圆，且为直径，连接，得到点为的中点，且，即可求得直线的解析式，联立二次函数即可求得点；②由①知，点，，的坐标，结合平行四边形的性质中点坐标公式即可求得点． 【解答】解：（1）抛物线过点和点， 得，解得， 则，； （2）过点作轴，交轴于点，交于点， 抛物线，则点， 当时，，解得，， 点得坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入， 得，解得， 直线的解析式为， 点的横坐标为， ， 轴，点在直线的图象上， 点的坐标为， 则， 根据题意得，则， 在，， ， ， 时，取得最大值， 则点的坐标为， 则， 故取最大值为，此时点的坐标为； （3）①， ， 平分， ， 则， ， ， 则点，，和四点共圆，且为直径， 连接，则， 四边形为正方形， 点为的中点， 点的坐标为， 点为的中点，且， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， ， 解得或（舍去）， 故点的坐标为； ②由①知，点，，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 设的对角线交点为，则， ，解得， ， 同理得，， 故点，，． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，二次函数的最值问题，平行四边形的性质和中点坐标，解题的关键是熟练二次函数的性质和找到四点共圆的隐含条件． 21．（2023秋•宁河区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）已知点是抛物线的顶点，若在轴上存在一点，使的周长最小，求点的坐标． 【分析】（1）将，的坐标代入抛物线解析式求解和的值即可； （2）求出直线的解析式，假设点坐标，用点坐标表示出的长，然后利用配方法求出最大值即可； （3）作点关于轴的对称轴，因为为定值，所以当最小时，周长最小，即当，，共线时，周长最小． 【解答】解：（1）把，代入抛物线中得： ， ，， 抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为． 把，代入，得： ， 解得：，， 直线的解析式为． 设， 在中，令，得， ， ． 当时，有最大值1， 此时点的坐标为； （3）抛物线解析式为， 抛物线顶点的坐标为． 作点关于轴的对称点，则． 连接，与轴的交点即为点．如图： 设直线的解析式为，把，，代入， 有， 解得：，， 直线的解析式为， 当时，， ，． 【点评】本题主要考查了二次函数综合题，熟练掌握运用对称求最短路径是本题解题的关键． 22．（2023秋•和平区校级期末）如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点为线段上一动点． （Ⅰ）求二次函数的解析式及顶点坐标； （Ⅱ）过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积； （Ⅲ）当取最小值时，求此时点的坐标及的最小值． 【分析】（Ⅰ）由待定系数法即可求解； （Ⅱ），即可求解； （Ⅲ）过点作直线使直线和轴负半轴的夹角为，过点作交于点，交轴于点，则，此时，为最小，则为最小，即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， 则顶点的坐标为：，； （Ⅱ）由点、的坐标的，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 故的最大值为：， 此时的面积； （Ⅲ）过点作直线使直线和轴负半轴的夹角为，过点作交于点，交轴于点， 则， 此时，为最小， 则为最小， 在中，，， 则，则， 则， 则， 则的最小值为：． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、点的对称性、面积的计算等，综合性强，难度适中． 23．（2023秋•合川区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴交直线于点，过点作轴，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的求解过程写出来． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，则点，则，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则， ， 故有最大值， 此时， 则的最大值为：4.5，点； （3）平移后的抛物线表达式为：， 联立两条抛物线的表达式为：， 解得：，则点， 由抛物线的表达式知，新抛物线的对称轴为直线，故设点，设点， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 则点的坐标为：； 当或为对角线时，由中点坐标公式和或得： 或， 解得：或， 则点或； 综上，点的坐标为：或或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质等，分类求解是解题的关键． 24．（2023秋•漳州期末）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，连接，与交于点，与轴交于点，过点作轴于点，连接． ①当时，求点的坐标； ②试探究：是否有最大值？若有，求出该最大值；若没有，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①由，求出，得到，进而求解； ②证明，得到，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：； （2）①由抛物线的表达式知，点， 在轴正半轴上取点使， 则， 则， 过点作于点， ， 即， 则， 则， 则， 则， 则直线的表达式为：， 联立上式和二次函数的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点，； ②有最大值，理由： 过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点，则， 当时，，即点，则， 轴，则， ， 即的最大值为． 【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求顶点坐标和函数的极值，二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 25．（2023秋•莱州市期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为 　　； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由； （4）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，点为所求点，即可求解； （3）当直线能否把分成面积之比为的两部分时，即或，即可求解； （4）当是斜边时，由勾股定理列出等式，即可求解；当或为斜边时，同理可解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，点为所求点，理由： 为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 即点， 故答案为：； （3）能，理由： 当直线能否把分成面积之比为的两部分时，即或， 设点，点， 则或， 解得：或， 则点，或，； （4）设点， 由点、、的坐标得，，，， 当是斜边时， 则， 解得：或， 即点或； 当或为斜边时，同理可得： 或， 解得：或， 即点或， 综上，点的坐标为：或或或． 【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到面积的计算，直角三角形的性质、点的对称性等，分类求解是解题的关键． 26．（2024春•北碚区校级期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点为抛物线在第一象限内的一动点，过作交轴于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与轴交于点，是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【分析】（1）由待定系数法的即可求解； （2），，即可求解； （3）证明为等腰直角三角形，在等腰直角三角形中，，即，解得：，即可求解． 【解答】解：（1），则点、的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，，则， 设点，则点，则， 过点作轴交于点，则，， 则， ，则直线的表达式为：， 令，则，则， 则， 即的最小值为8，此时，则点； （3）抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向左平移2个单位向上平移1个单位， 则平移后的抛物线表达式为：，则点， 则，则为等腰直角三角形，如图： 若，则平分， 设直线交轴于点，过点作于点，设， 设，则， 在等腰直角三角形中，，即， 解得：， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点的横坐标为：． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 27．（2023秋•礼县期末）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点从点出发，在线段上以每秒2个单位的速度向点运动，点从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒，求当为何值时，的面积取得最大值？并求出面积的最大值； （3）点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，当是直角三角形时，求点的坐标． 【分析】（1）把，代入，求出和，得到二次函数的解析式； （2）根据题意求出，，用含的式子表示的面积，根据二次函数的性质求出面积最大值； （3）分，和三种情况求出点的坐标． 【解答】解：（1）把，代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）把代入，得， 解得，， 点的坐标为， 过点作轴，垂足为点， ， ， ， 点从点出发，在线段上以每秒2个单位的速度向点运动，点从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动， ，，运动时间， ， ， ， ， 当，的面积取得最大值，最大值为； （3）①当时， 轴， ， 将代入，得， 解得（点横坐标，舍去），， 点的坐标为； ②当时， ， ，， ， ， ， ， 即，解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， ，解得（点的坐标，舍去），， 点的坐标为； ③当，情况不成立，舍去； 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形相似的判定和性质，二次函数的图象和性质和直角三角形的判定等，本题关键还需要利用分类讨论思想解决问题． 28．（2023秋•汶上县期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当△面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）在轴上是否存在点，使△是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）如图1，过点作于，交直线于，直线过点作于，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，设，则，求得，设△面积，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）利用勾股定理得，①当，在点的上方时，②当，在点的下方时，③当时，解方程即可求解． 【解答】解：（1）抛物线经过点，，， ， 解得， 物线的解析式为； （2）如图1，过点作于，交直线于，直线过点作于， 设直线的解析式为， 直线经过，， ， 解得， 直线的解析式为， 点是抛物线上的点且在直线上方， 设，则， ， 设△面积， ， ， 当最大值时，， 此时， 当△面积最大时点的坐标为，及该面积的最大值为； （3）当时，， ， ， ①当，在点的上方时， ， 点的坐标为； ②当，在点的下方时， ， 点的坐标为； ③当时， 设，则， ， 点的坐标为； 综上，存在点，使△是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 29．（2023秋•潼南区期末）如图，抛物线与轴交于，两点点在点左侧），直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． （1）求，两点的坐标及直线的函数表达式； （2）若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值； （3）若点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）因为抛物线与轴相交，所以可令，解出、的坐标．再根据点在抛物线上，点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出点的坐标．再根据两点式方程即可解出的函数表达式； （2）根据点在上可设出点的坐标．点坐标可根据已知的抛物线求得．因为都在垂直于轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【解答】解：（1）令，解得： 或， ，； 将点的横坐标代入得：， ； 设直线的解析式为，代入得： ， 解得：， 直线的函数解析式是； （2）设点的横坐标为， 则、的坐标分别为：，， 点在点的下方， ， 当时，的最大值； （3）在轴上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形； ①如图1， 连接点与抛物线和轴的交点，那么轴，此时， 点的坐标是； ②如图2， 同①，则， 点的坐标为， 点的坐标为； ③如图3， 此时、两点的纵坐标互为相反数， 点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得：点的坐标为，， 设直线的解析式为， 将点代入后可得出直线的解析式为， 令，则， 因此直线与轴的交点的坐标为，； ④如图， 此时、两点的纵坐标互为相反数， 点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得：点的坐标为，， 设直线的解析式为， 将点代入后可得出直线的解析式为， 令，则， 因此直线与轴的交点的坐标为，； 综上：在轴上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形；点坐标为，，，，，． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质以及平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握并运用数形结合以及分类讨论的思想方法． 30．（2023秋•天桥区期末）如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点作于点，求坐标为何值时最大，并求出最大值； （3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，利用二次函数的性质求最值即可； （3）先通过勾股定理求出点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算的坐标． 【解答】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）令得：， 点的坐标为， △为等腰直角三角形，， 设的解析式为，将与代入得： ， ， 过点作轴交于点， 设，则，，其中， 由题可知，△为等腰直角三角形， ， 由二次函数的性质可得，当时，有最大值为， 点纵坐标为：， 此时点坐标为，； 坐标为，时最大，最大值为； （3）在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形；理由如下： 由平移可求得平移后函数解析式为，与原函数交点； ①以为边，作交对称轴于，可构造矩形，如图2， 设， ，，， ， ， 解得，即， 此时设，，由、、、四点的相对位置关系可得： ， 解得：， ； ②同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，如图2， 设， ， ， 解得，即， 此时设，，由、、、四点的相对位置关系可得： ， 解得：， ； ③以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，如图3， 设， ， ， 解得，，即，， 此时设，，由、、、四点的相对位置关系可得： ， 解得：， ； 设，，由、、、四点的相对位置关系可得： ， 解得：， ． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数定义，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 题型四：二次函数与定值（共7题） 31．（2023秋•平湖市期末）如图，二次函数与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线与轴交于点，与抛物线交于点． （1）若，求二次函数的表达式； （2）设点为抛物线上位于轴下方的动点，直线，分别与直线交于点，，求证：． 【分析】（1）先解方程得，，再利用射影定理得到，解得，所以，然后把点坐标代入中求出即可； （2）先确定，设，，利用待定系数法求出直线的解析式为，则，所以，同理方法得到，则，所以． 【解答】解：（1）当时，，解得，， ，， ， ， ， ， 解得， ， 把代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 即； （2）证明：当时，， ， ， 设，， 直线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 同理可得直线的解析式为， 当时，， ， ， ． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式． 32．（2023秋•惠山区期末）如图，二次函数的图象与轴交于点和点（位于轴的正半轴），与轴交于点． （1）　　（用含的代数式表示）； （2）若的面积为6，点，为二次函数图象上的两点，设点的横坐标为，点的横坐标为，且，直线，分别与轴交于点，． ①求该二次函数的表达式； ②若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【分析】（1）将点代入，即可得； （2）①求出，根据，可得，即可得该二次函数的表达式； ②过点作轴于点，设直线交轴于点，设，，利用待定系数法求出直线的解析式为，由，可得，求出，由在直线上得，则，利用待定系数法求出，的解析式，可得，，则，，可得． 【解答】解：（1）将点代入得， ， 故答案为：； （2）①二次函数与轴交于点． ， ， ， 令，则或， ， ， ， 的面积为6， ， 解得或4（舍去）， ， 该二次函数的表达式为； ②过点作轴于点，设直线交轴于点， 设，，直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ，， ， ， 轴， ，， ， ， 在直线上， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， ， 同理得，， ． 是定值，该定值为4． 【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，待定系数法，一次函数图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 33．（2023秋•泰兴市期末）在平面直角坐标系中，过点任作一条直线分别交抛物线于、两点，如图1，当轴时，是等腰直角三角形． （1）　　； （2）如图2，过作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为，连接、， ①设点的横坐标为，求点的坐标（用含的代数式表示）； ②试说明； （3）如图3，过作轴的平行线交抛物线于、两点，直线、相交于点，的面积是否为定值？如果是，请求出的面积；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，再将点代入，即可求的值； （2）①设直线的解析式为，当时，利用根与系数的关系可求，则，； ②设与轴交于点，，过作于，求出，再由，可得； （3）设点的横坐标为，分别求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程，求出，则点到的距离为定值2，即可求的面积为定值2． 【解答】（1）解：， ， 轴，是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：1； （2）①解：点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， 当时，整理得， ， ， ，； ②证明：设与轴交于点，则，， ， 过作于， ，， ， ， ； （3）解：的面积为定值，理由如下： 设点的横坐标为，由（2）知，， 由，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 由，，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ， 点到的距离为定值2， 的面积为定值． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 34．（2023秋•靖江市期末）如图1，已知二次函数、、为常数，且的图象，与轴交于、两点点在点左侧），与轴交于点，且其函数表达式可以变形为的形式．已知点为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为． （1）求出点、点的坐标和该二次函数的表达式； （2）连接，过点作轴于点，交于点，直线交轴于点，连接． ①求出直线的函数表达式（用含有的代数式表示）； ②设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值； （3）如图2，若直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点，直线，分别交直线于点、．在点运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得，，把点代入得到； （2）①根据题意得到，设直线的解析式为，待定系数法即可得到结论； ②待定系数法求得直线的解析式为；得到，求得，推出，得到四边形是矩形，根据矩形的面积公式得到关于的函数关系式，然后根据二次函数的性质得到结论； （3）求得抛物线的对称轴为直线，待定系数法得到直线的解析式为，求得，，于是得到结论． 【解答】解：（1）二次函数、、为常数，且的图象，与轴交于、两点点在点左侧），其函数表达式可以变形为的形式， ，， 把点代入得，， ， 二次函数的表达式为， 即； （2）①点为该抛物线在第一象限内的一点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的函数表达式为； ②，， 直线的解析式为； 轴于点，交于点， ， 在中，当时，， ， ， 轴， ， 四边形是矩形， ； 即关于的函数关系式为； ， 的最大值为； （3）为定值， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ，， ， 故为定值，定值为8． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键． 35．（2023秋•天元区期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴负半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线上第三象限内的一点，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，经过定点作一次函数与抛物线交于，两点，试探究是否为定值？请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）以为顶点，在下方作，连交抛物线于点，过作交于，过点作轴于点，求出知是等腰直角三角形，可得，，故，，可得，，直线解析式为，联立方程组得，得，，而，点是抛物线上第三象限内的一点，即可得； （3）根据题意先确定点的坐标为，，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、、，证出，最后可求． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）如图1，以为顶点，在下方作，连交抛物线于点，过作交于，过点作轴于点， ，令，得， ，又， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 设直线解析式为，把，，代入得： ， 解得， 直线解析式为， 联立方程组得， 解得（舍去）或， 点是抛物线上第三象限内的一点， ，； （3）是定值．理由如下： 设，，，， 由得：， ，， ，， ， ， 点是直线上一定点， ，， ， ， ， ， 是定值． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点距离公式的综合运用．解题的关键是掌握待定系数法求出函数解析式． 36．（2023秋•泉州期末）如图1，已知抛物线与轴相交于点，点是抛物线的顶点，连接． （1）点，在抛物线上，点在点左侧，若是等边三角形，求的值； （2）设过定点的直线与抛物线相交于、两点，点在点的左侧且点在第四象限，当直线与直线相交所成的一个角为，求点的坐标； （3）如图2，把抛物线的顶点平移到坐标原点，在平移后的抛物线上任取一点，过点作射线轴交抛物线于点，在射线上点的左右两侧各有一个动点，，分别过，作垂线交抛物线于，，交于点，连接，，，，，则，，，中有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明． 【分析】（1）先求解抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，如图，过作于，则，再利用三角函数解题即可； （2）由，定点，，求解，，可得，过作于，则，可得，，结合，可得，过作于，可得，，求解直线为，从而可得答案； （3）先求解新的抛物线为，设，，，，可得，，，，求解直线为，可得，再利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）抛物线， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 为等边三角形， ，， 如图1.1，过作于，则， ， ， ， 解得：； （2）如图2， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ，定点，， 令，则， ， 解得：，， ，， ， ， 过作于，则， ，， ， ， ， 过作于， 同理可得：， ，， ， ，， 设为， ， 解得：， 直线为， ， ，， ． （3），理由如下： 把抛物线的顶点平移到坐标原点，则新的抛物线为， 设，，，， ，， ，， 设直线为，代入得： ， 解得：， 直线为， ， ，，，，， ， ， ． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，利用待定系数法求解函数解析式，锐角三角函数的应用，求解函数的交点坐标，二次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 37．（2023秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． （1）如果四个点，，，中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上． ①　 　 ②如图1，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求点的坐标； ③如图2，已知正方形的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的同侧，且点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点、在二次函数为常数，且的图象上，点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式． 【分析】（1）①证明不在的图象上，将代入，即可求出的值； ②设点的坐标为，由二次函数对称性得点的坐标为，通过菱形的性质列出关于的方程，从而求出点的坐标； ③是定值．连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，证明，得，，，，由，，得到关系式，从而证明是定值； （2）分当、在轴右侧时，当、在轴左侧时，当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时几种情况讨论，证明，得得，，则，，设，则，，，表示出，，，的长度，通过，，列出关系式从而求解． 【解答】解：（1）①由二次函数，得当时，， 可得不在的图象上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②二次函数的解析式为， 设点的坐标为， 由菱形的性质可得， 由二次函数关于轴对称，且，可得点的横坐标为， 即点的坐标为， ， ， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ③是定值，理由如下： 连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ， ，， ， ，， 点、的横坐标分别为、， ，， 则，， 设，则，， ，，，， ，， ， 点、在轴的同侧，且点在点的左侧， ， ， 是定值，值为1； （2）当、在轴右侧时， 同理可证， ，， 得，，则，， 设，则，，， ，，，， ，， ， 化简得， ， ； 当、在轴左侧时， 同理可得； 当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时， 同理可得， 当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时， 由正方形、二次函数的性质可得； 综上所述，或． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的性质，正方形和菱形的性质，全等三角形的性质与判定，本题的关键是熟练运用二次函数的性质解题． $