1.2平行四边形（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

1.2平行四边形 题型一 由平行四边形的性质求解 1．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确计算是解题的关键． 利用平行四边形的邻角互补性质，直接计算的度数． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ． 故选． 2．如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形对角相等作答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， 则． 故选：C． 3．如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，   平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 4．如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．9 B．9.5 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为18， ， ， 在和中， ， ， ， 则的周长， 故选：D． 6．已知四边形是平行四边形，，的平分线，分别交边于点E，F．若，，则的长为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或7 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定．通过角平分线和平行线得到，，再根据点E和F在上的位置关系分类讨论，求出的长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴，，， ，， ，的平分线，分别交边于点E，F， ，， ，， ，， 如图所示，当点E靠近点D，点F靠近点C时，顺序为D、E、F、C， ∴； 当点F靠近点D，点E靠近点C时，顺序为D、F、E、C， ∴． 综上所述，的长为5或7． 故选：D． 7.如图，已知：的对角线，相交于点，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理和平行四边形的面积； （1）根据平行四边形的性质可求得，再利用勾股定理即可求解； （2）利用平行四边形的面积底高，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ∴的长为12； （2） 解：∵， ∴的面积． 9.如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答． （2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又分别是和的平分线， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． ， 的周长． ， 的周长为16． 题型二 由平行四边形的性质证明 10．如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质得，结合，证明，即． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 11.如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O．求证：． 【答案】见详解 【分析】该题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，，再根据即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴． 12．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得，则有和，结合中点得，即可证明，根据，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵ ∴． 13．已知：如图，点为▱的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线，的延长线于点，， 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质求解，准确运用性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，证明，得出，根据等量代换可得解． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又， ， ， 又， ，即． 14．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，延长到点E，使，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，推出，结合，利用证明，即可得出结论； （2）易证是等边三角形，得到，由（1）知，即，，即，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知，即， ∴，即， ∴． 题型三 判断能否构成平行四边形 15．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 16．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定条件；根据初中数学教材，平行四边形的判定包括：一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分等；选项A和D是标准判定条件，能判定平行四边形；选项B通过推导可知能判定；选项C对角线相等不能判定平行四边形，如等腰梯形. 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； B. 一组对边相等且一组对角是直角的四边形：连接对角线，利用勾股定理可证另一组对边相等，从而判定平行四边形； C. 对角线相等的四边形不能判定平行四边形，如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形； D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 故选：C. 17．能判定一个四边形是平行四边形的条件是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．一组对边平行，一组邻角互补 D．一组对边相等，一组对角互补 【答案】B 【分析】本题重点考查平行四边形的判定定理，理解一组对边平行且一组对角相等能判定平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐选项判断即可． 【详解】选项A不一定能判定平行四边形，等腰梯形有一组对边平行，另一组对边相等，但它不是平行四边形，选项A错误； 选项B，如果一组对边平行且一组对角相等，可以证明另一组对边也平行，从而判定四边形是平行四边形，选项B正确； 选项C，不一定能判定平行四边形，梯形有一组对边平行，且同旁内角互补（邻角互补），但它不是平行四边形，选项C错误； ​​选项D，不一定能判定平行四边形，存在一些四边形满足一组对边相等且对角互补，但不是平行四边形，选项D错误， 故选：B． 18．四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 19.如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ． 【答案】①④ 【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC， ∵BF=DE， ∴BF-OB=DE-OD， 即OF=OE， ∴四边形AECF是平行四边形； ②∵AE=CF，不能判定△ABE≌△CDF， ∴不能判定四边形AECF是平行四边形； ③∠EAB=∠FCO不能判定四边形AECF是平行四边形； ④∵AF∥CE， ∴∠AFB=∠CED， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴BF=DE， ∴BF-OB=DE-OD， 即OF=OE， 又∵OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型四 添加一个条件成为平行四边形 20．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理和全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 21.在四边形中，若，则添加下列条件，仍不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据题意利用平行四边形的判定定理逐一对选项分析，即可得到答案． 【详解】解：A、由不能判定四边形是平行四边形，符合题意； B、由知：，结合得到：，则，由此推知四边形为平行四边形（两组对边互相平行的四边形是平行四边形），不符合题意； C、由知：，结合得到：，则，由此推知四边形为平行四边形（两组对边互相平行的四边形是平行四边形），不符合题意； D、已知，若，即可证明四边形为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），所以添加D选项能判定四边形为平行四边形； 故选：A． 22．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 23．如图，已知线段，线段和射线，且，在射线上找一点C，使四边形是平行四边形，关于甲、乙的作法，下列判断正确的是（   ） 甲：过点D作，与交于点C； 乙：以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 A．只有甲的作法一定可行 B．只有乙的作法一定可行 C．甲、乙的作法都一定可行 D．甲、乙的作法都不可行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定． 根据平行四边形的判定方法对两种方法进行判断． 【详解】解：甲：由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以甲的做法可行； 乙：由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以乙的做法不一定可行． 故选：A． 题型五 数图形中平行四边形的个数 24．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 25．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 26．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 27．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 【详解】解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 28．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【答案】D 【分析】观察图形的变化可得7+3=10，10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，40+9=49即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有7+3=10个平行四边形， 第②个图形中一共有10+4=14个平行四边形， 第③个图形中一共有14+5=19个平行四边形， 第④个图形中一共有19+6=25个平行四边形， 则： 第⑤个图形中一共有25+7=32个平行四边形， 第⑥个图形中一共有32+8=40个平行四边形， 第⑦个图形中一共有40+9=49个平行四边形， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 题型六 证明四边形是平行四边形 29．如图，已知，、分别是和上的点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是找出两组对边平行． 根据角度关系，结合，得出，即可证得，最终证出平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形． 30．如图，在平行四边形中，点E是的中点． (1)尺规作图：作的中点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连结、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，证明四边形是平行四边形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）用尺规作的垂直平分线即可； （2）通过证明四边形有一组对边平行且相等，来证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，的垂直平分线交于点F， 点F即为所求作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E是上的中点，点F是上的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 31.如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合，可推出，，即为等边三角形，进而得到，，推出，最后由对边相等且平行即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 32．如图，四边形中，平行于，点是中点，连接并延长交的延长线于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定，通过证明，得到即可证明平行四边形． 【详解】证明：平行于 点是中点              在三角形和三角形中， ，， 四边形是平行四边形． 33．如图，已知是四边形的一条对角线，，．求证：四边形是平行四边形． 小舟的证明过程如下： 证明： ， ， ，， ， ． ∴四边形是平行四边形． 小舟的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 【答案】小舟的证明不正确，证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由得到，然后证明出，得到，即可证明出四边形是平行四边形． 【详解】解：小舟的证明不正确，由无法得到． 证明如下：， ， ，， ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 题型七 利用平行四边形的判定与性质求解 34．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． 35.如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明是等腰直角三角形，然后证明由含的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 36．如图，四边形为平行四边形，平分，与相交于点，与的延长线相交于点F (1)在图1中，共有______个等腰三角形． (2)如图2，连接，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相应的判定定理； （1）利用平行四边形及角平分线的定义得出角之间的等量关系即可判断； （2）利用一组对边平行且相等即可证明． 【详解】（1）解：平分，与相交于点，与的延长线相交于点F， ， 四边形为平行四边形， ， ， 是等腰三角形， 共有个等腰三角形， 故答案为：； （2）证明：为等腰三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 37．如图，点、是对角线上的两点，且，连接、，， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若． ①求线段的长； ②求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，交于点O，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论； （2）①由勾股定理得，则，得，即可得出结论；②求出，再由三角形面积关系得，然后由平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 题型八 利用平行四边形的判定与性质证明 38．如图在平行四边形中，点E在上，点F在上，且，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 先由平行四边形得到，，然后证明，即可证明四边形是平行四边形，则． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 39．如图所示，线段，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题主要运用平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质证明线段相等，准确理解和应用性质求解是解题的关键． 通过平行线得到角相等，进而证明三角形全等，再结合中点条件证明四边形是平行四边形，最后得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ． ，分别为，的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． 40．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由平行四边形得到，，推出，然后推出，证明出，得到，，然后推出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 41．（1）如图1，在四边形中，且，连接，交于点．求证：为中点； （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可证得结论； （2）延长，交于点，证明，推出 ，再证明即可解决问题． 【详解】证明：（1），， 四边形是平行四边形． ． 为中点． 如图2，延长，交于点， 在四边形中，， ． ∵点是的中点， ∴ 在和中， ， ． ． 是的平分线， ． ． ． ， ． 42.在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的最小值是13 【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论； （2）证明，推出，由此证得结论； （3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明∶， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3）解∶如图，过点D作，连接 四边形是平行四边形， ． 又， ， ， ． ， 的最小值是13． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键． 题型九 平行四边形的判定与性质的应用 43.如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，勾股定理，含直角三角形的性质，先判定四边形是平行四边形．过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质可得出，进而可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理， 得， ∴， 即这个四边形停车位的面积是． 44.【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 45．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题． 【详解】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示： 则四边形均为平行四边形， ， ，则即为所求． 46.数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． ． 题型一 与平行四边形性质、判定有关的几何多结论问题 47．如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．平行四边形的性质．利用基本作图可对A选项直接进行判断；再根据平行四边形的性质得到，，所以，则可对B选项进行判断；同时得到，所以，则可对C、D选项进行判断． 【详解】解：由作图得平分， ∴，所以A选项不符合题意， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即，所以B选项不符合题意， ∴， ∴， ∴，所以C选项不符合题意， 与不能确定相等，所以D选项符合题意． 故选：D． 48．如图，在平行四边形中，，于点E，于点F，相交于点H，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的是（    ） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】①由题意可知是等腰直角三角形，故此可得到；②由，证明即可；③先证明≌，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；④根据，，即可得；⑤没有条件证明，所以不一定等于． 【详解】解：， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，故①正确，符合题意； ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故②正确，符合题意； 在和中，， ≌， ，， ， ，故③正确，符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ；故④正确，符合题意； 根据已知不能推出，故⑤错误，不符合题意； 综上，正确的有①②③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键． 49．如图，如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，，，进而推出是等边三角形，再证明，得出，即可判断①正确；根据，，可判断②正确；根据，，可判断③正确；根据，，，可判断④不正确． 【详解】解：在平行四边形中，， ，，，， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，，， ，故④不正确； 正确的有3个， 故选：B． 50．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 题型二 平行四边形的性质、判定与旋转问题 51．已知为等边三角形，点、分别在边、上，，与相交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作交延长线于点，请直接写出图2中所有长度等于的线段． 【答案】(1)见详解 (2)长度等于的线段有 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据等边三角形的性质可证，结合三角形角度的和差计算，三角形外角的性质，旋转的性质得到，根据内错角相等两直线平行即可求解； （2）根据题意可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，由平行四边形的性质，等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，即， ∴， 综上所示，长度等于的线段有． 52．在中，，，．点在边上且，将绕点逆时针旋转得到（）． (1)如图1，当时，连接，求． (2)如图2，在旋转过程中，连接，取中点，作射线交直线于点． ①求线段的取值范围； ②当时，求证：． 【答案】(1)； (2)①；②见解析 【分析】（1）如图1，过点作交的延长线于点，根据题意求得，再根据特殊直角三角形的性质进而求得上的高，代入面积公式算出结果； （2）①如图2，在线段上截取，连接、，可证得四边形是平行四边形，得出：，，再运用三角形三边关系即可求得答案； ②可证，得出，由，即可推出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作交的延长线于点， ， ，， ， 点在边上且，将绕点逆时针旋转得到， ， ， 又， ； （2）解：①如图2，在线段上截取，连接、， ，， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， ， 即， ； ②证明：∵四边形是平行四边形，且，， ∴，，，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 由①知：， 又∵， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 53．如图1，在中，延长至点D，使，P是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点，连接． (1)求证：； (2)如图2，将线段绕点C逆时针旋转，使点D落在上的点E处．交于点F，连接．若，，求证： ①四边形是平行四边形； ②； (3)如图3，将线段绕点C逆时针旋转，使点D落在上的点E处．与相交于点G．若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析②见解析 (3) 【分析】（1）要证明，可根据垂直平分线的性质得到线段相等，再通过全等三角形的判定来证明； （2）①要证明四边形是平行四边形，可先证明且．②连接，通过证明是直角三角形，再利用勾股定理证明即可； （3）根据三角形内角和定理，和题目中角的关系求出，，，然后根据已知条件求出，过点G作于H，根据勾股定理将，用表示出来，最终利用求得． 【详解】（1）证明：∵P是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：①设，则，由（1）知． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵，线段绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， 连接，如图2， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：，即； （3）解：的长为；理由如下： 在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 由（1）知，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 如图3，过点G作于H， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，旋转，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确构造辅助线是解题的关键． 题型三 平行四边形的判定、性质与动点问题 54．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 55.如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，． 56.问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，垂足为，连接交于点． 探索求证： （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； 深入探究： （3）当时，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质，得到，利用等边三角形的性质，得到根据得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，进而得到，推出，等量代换得到，即可得证； （3）含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：中，， ， 又是等边三角形，， ， ， ， ， ． （2）证明：是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， 四边形ADFE是平行四边形． （3）解：， 四边形是平行四边形， ， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 57．【阅读】如图1，四边形中，，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为． 【理解】若点与点重合，则这个操作过程为； 【尝试】 （1）若点与的中点重合，则这个操作过程为[_____，_____]； （2）若点恰为的中点（如图2），求的值； 【应用】经过操作，点落在点处，若点在四边形的边上，直线与相交于点，试画出图形并求出的值； 【答案】尝试（1），16；（2）应用：见解析，14 【分析】本题考查了翻折（折叠）变换、全等三角形、等腰直角三角形等知识点，解题关键是正确理解题目给出的变换的定义，并能正确运用折叠的性质．注意数形结合思想的应用． 尝试 （1）如图1所示，若点D恰为的中点，证明，进而得到，，可得结论； （2）如图2所示，若点D恰为的中点，作辅助线，证明，得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，所以，则，可得结论； 应用 如图3，作辅助线，根据点B与点E关于直线l对称，知，证明四边形是平行四边形，得，，可得的值，即a的值． 【详解】解：（1）点D与的中点重合，如图1， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， 则这个操作过程为； 故答案为：，16； （2）延长，交于点N，如图2． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴根据线段垂直平分线的性质可得， ∴根据等腰三角形的性质可得． 由折叠可得， ∴， ∴； 应用 解：过点B作于点H，如图3． ∵， ∴． ∵点B与点E关于直线l对称， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴a的值为14． 58.【阅读材料】 老师的问题：如图1，在中，，分别交，于点，，，垂足为点，，，求的值． 小亮的思路：过点作，交的延长线于点，构造（如图2），经过推理和计算能够求出的值． 【解答问题】 （1）的值是______； （2）你还有其他添加辅助线的方法吗？写出你的求解过程； （3）如图3，中，是上的一点，连接，且交于点，，，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理及其逆定理： （1）先证明四边形是平行四边形，得到，平行线的性质，得到，勾股定理求出的长即可； （2）过点D作，交的延长线于点M，同法（1）进行求解即可； （3）过点A作，证明四边形为平行四边形，求出的长，勾股定理逆定理求出，得到，即可得证． 【详解】解：（1）∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）能：过点D作，交的延长线于点M ∵， ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在中， ； （此问答案不唯一，正确即得分） （3）过点A作，交的延长线于点F ∴ 在中，， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴三角形为直角三角形 ∴ ∴ ∴． 59．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． (1)如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________； (2)如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①试猜想四边形的形状，并证明； ②若，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)①四边形是平行四边形，证明见解析；② 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明即可得求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证；②设，则，由勾股定理得出，代入数值，再根据即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①四边形为平行四边形； 证明如下： ， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即的最小值为. 此时，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.2平行四边形 题型一由平行四边形的性质求解 题型二由平行四边形的性质证明 题型三判断能否构成平行四边形 题型四添加一个条件成为平行四边形 基础达标练 题型五数图形中平行四边形的个数 题型六证明四边形是平行四边形 题型七利用平行四边形的判定与性质求解 题型八利用平行四边形的判定与性质证明 题型九平行四边形的判定与性质的应用 1.2平行四边形 题型一与平行四边形性质、判定有关的几何多结论问题 题型二平行四边形的性质、判定与旋转问题 能力提升题 题型三平行四边形的判定、性质与动点问题 拓展培优练 基础达标题 题型一由平行四边形的性质求解 1.平行四边形ABCD中，若∠A=110°，则∠B的度数为() A.409 B.70° C.110° D.1509 2.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=50°，则∠D的度数是() A.30° B.40° C.50° D.130° 3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于点 E,若AE=4,DE=3,AB=5,则AC的长为() E D 0 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3√2 B.42 C.52 2 4.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,若平行 四边形ABCD的周长为18，OE=1.5,则四边形EFCD的周长为() A E A.9 B.9.5 C.10 D.12 6.已知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD,∠ABC的平分线AE,BF分别交CD边于点 E,F.若AD=3,EF=1,则AB的长为() A.5 B.5或6 C.6或7 D.5或7 7如图，己知：口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,AC=10,BD=26. D (1)求AB的长. (2)求。ABCD的面积 9.如图，ABCD中，BE,CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，BE,CF相交于点O. (1)求证：BE⊥CF; (2)若AB+BC=8,求口ABCD的周长 题型二由平行四边形的性质证明 1O.如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF,连接DE,BF.求 证：DE=BF. 2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B C 11.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.求证：△A0B≌△C0D D 12.如图，在平行四边形ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线 于点E,连接AC,BE.求证：CE=CD, D B C 13.已知：如图，点O为ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交BA的延长线， DC的延长线于点E,F, 求证：AE=CF. y 14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,延长CD到点E,使 DE=CD,连接BE交AD于点F. 3 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：AF=DF: (2)若AB=BD=4,∠BAD=60°，求BF的长 题型三判断能否构成平行四边形 15.根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是() 100 A B. 80°110g 670°1109 5 1 5 5 6709 5 16.根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是() A.一组对边平行且相等的四边形 B.一组对边相等一组对角是直角的四边形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相平分的四边形 17.能判定一个四边形是平行四边形的条件是() A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组对角互补 18.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四 边形的是() A.0A=0C,0B=0D B.AD∥BC,AB∥DC C.AB=DC,AD=BC D.AB∥DC,AD=BC 19.如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上，有下列 条件：①BF=DE;②AE=CF;③∠EAB=∠FCO;④AF//CE.其中一定能判定 四边形AECF是平行四边形的是__· 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 题型四添加一个条件成为平行四边形 2O.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，,添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边 形的是() B A.AD=BC B.LBAC=∠ACDC.AB=AD D.∠B=∠D 21.在四边形ABCD中，若∠A=∠C,则添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD是平行四 边形的是() A.AD=BC B.AB∥CD C.AD∥BC D.∠B=∠D 22.如图，点E,F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件①DE=BF; ②∠ADE=∠CBF;③AF=CE;④∠AEB=∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是 平行四边形，可添加的条件是() D A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 23.如图，己知线段AB,线段AD和射线BP,且AD∥BP,在射线BP上找一点C,使四 边形ABCD是平行四边形，关于甲、乙的作法，下列判断正确的是() D B 甲：过点D作DC∥AB,与BP交于点C; 乙：以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C,连接CD 5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.只有甲的作法一定可行 B.只有乙的作法一定可行 C.甲、乙的作法都一定可行 D.甲、乙的作法都不可行 题型五数图形中平行四边形的个数 24.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,图中共有 ( )个平行四边形 G A.7 B.8 C.9 D.10 25.如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若 以A,B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则 这样的平行四边形共有() B A.5个 B.8个 C.9个 D.10个 26.如图所示，在ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC上的点，且DE∥AC, EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四边形共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 27.如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2 幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的 个数是() 第1幅 第2幅 第3幅 第n幅 A.200 B.201 C.199 D.198 6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有 10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行 四边形，…按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为(). ① ⊙ ③ ⊙ A.40 B.44 C.47 D.49 题型六证明四边形是平行四边形 29.如图，已知EF∥AC,B、D分别是AC和EF上的点，∠EDC=∠CBE,求证：四边 形BCDE是平行四边形. 30.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点. (1)尺规作图：作BC的中点F(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，连结CE、AF.求证：四边形AECF是平行四边形 31.如图，ABC和ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F,且 BF=DC,连接EF、EB. E B (1)求证：BE=CD: (2)求证：四边形EFCD是平行四边形 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.如图，四边形ABCD中，AD平行于BC,点E是AB中点，连接CE并延长交DA的延 长线于点F,求证：四边形AFBC是平行四边形. D 33.如图，已知AC是四边形ABCD的一条对角线，AB∥CD,∠B=∠D.求证：四边形 ABCD是平行四边形. 小舟的证明过程如下： 证明： AB I CD ∠ACB=∠CAD, :AC=CA,∠B=∠D, △ABC≌△CDA, :AB CD 四边形ABCD是平 行四边形 小舟的证明是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程. 题型七利用平行四边形的判定与性质求解 34.如图，在口ABCD中，∠BAD=I20°，连接BD,过点A作AE‖BD,交CD的延长线于 点E,过点E作EF⊥BC,交BC的延长线于点F; A D 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求∠CEF的度数； (2)若CF=1,求AB的长. 35.如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE∥CD,∠ACB=∠DAC,EF⊥AB于点 F,EG⊥AC于点G,EF=EG· D B (1)求证：四边形AECD是平行四边形： (2)若CD=4,∠B=45°，∠CEG=15°，求AB的长 36.如图，四边形ABCD为平行四边形，DF平分∠ADC,与BC相交于点E,与AB的延 长线相交于点F B 图1 图2 (1)在图1中，共有个等腰三角形 (2)如图2，连接BD,CF.若AD=2AB,求证：四边形BDCF是平行四边形. 37.如图，点E、F是ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF,连接BE、DE,BF, DF B (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若AB⊥BF,AB=4,BF=3,AC=8. ①求线段EF的长； ②求四边形BEDF的面积. 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型八利用平行四边形的判定与性质证明 38.如图在平行四边形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF,求证 DE=BF D E B 39.如图所示，线段AB,CD相交于点O,AC∥DB,A0=B0,E,F分别为OC, OD的中点，连接AE,BF.求证：AF=BE. B 4O.如图，在平行四边形ABCD中，E,G分别为AD,BC的中点，BF=DH,求证：四 边形EFGH是平行四边形. D H G 41.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD,连接AC,BD交于点O.求 证：O为BD中点； (2)如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分 线.求证：AD=CD+AB. D E 图1 图2 42.在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O. 10