1.7正方形（教学课件）数学新教材湘教版八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的概念、性质及判定，通过生活实例导入提问“什么是正方形”，结合“做一做”活动梳理平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系，搭建从特殊平行四边形到正方形的认知支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于知识结构化与思维分层训练，通过填关系图培养几何直观（数学眼光），例2先证菱形再证直角体现推理意识（数学思维），第11题分类讨论等边三角形位置强化逻辑思维，小结系统梳理性质判定形成知识模型（数学语言）。学生能构建知识网络提升解题能力，教师可借助典例和分层练习优化教学效果。

1.7 正方形 第1章 四边形 导入新课 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形。 正方形在生活中无处不在. 什么是正方形呢？ 学 习 目 标 1 2 3 理解正方形的概念，以及正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系 掌握正方形的性质和判定（重点） 能利用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算 （难点） 新知探究 ★正方形的概念： 正方形是特殊的平行四边形，是特殊的矩形，是特殊的菱形。 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 有一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 有一个角是直角 新知探究 做一做 请根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，在图中适当的空白处填上它们的名称. 正方形是特殊的平行四边形，是特殊的矩形，是特殊的菱形。 那正方形具有哪些性质呢？ 矩形 正方形 菱形 平行四边形 新知探究 ? 正方形的性质= 菱形性质 矩形性质 正方形的性质: O A B C D 边: 对边平行； 四条边都相等； 四个角都是直角； 对角线相等； 对角线互相垂直平分； 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线以及过每组对边中点的直线都是它的对称轴； 角： 对角线： 对称性： 总结归纳 典例分析 例1 如图，点E 是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D 作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE = DF. 证明线段相等，常用三角形全等 DE=DF 分析： △ADE≌△CDF 正方形的性质（边、角） ∠EDF=90° 典例分析 例1 如图，点E 是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D 作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE = DF. 证明∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AD=CD， ∠A=∠DCF= 90°. ∵ DF⊥DE， ∴ ∠EDF= 90°， 即∠1+∠3 =90°， 又∵ ∠2+∠3= 90°， ∴ ∠1=∠2. ∴ △AED≌△CFD （ASA）. ∴ DE=DF. 新知探究 说一说 如何判断一个四边形是正方形? 我们知道正方形既是矩形又是菱形。 可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等。（菱形） 也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角（矩形）. 新知探究 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个角是直角 一组邻边相等 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等且 一内角是直角 正方形 总结归纳 正方形的判定： 定义法 菱形法 矩形法 典例分析 例2 如图,已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′ =BB′ =CC′ =DD′. 求证：四边形A′B′C′D′是正方形. 分析： 由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可. 三种方法：定义法，矩形法，菱形法。 典例分析 证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AB = BC = CD = DA. 又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′， ∴ D′A = A′B = B′C = C′D. 又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， ∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′. ∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′. ∴ 四边形 A′B′C′D′ 是菱形. 又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°， ∴ ∠2 +∠3 = 90°.∴ ∠D′A′B′= 90°. ∴ 四边形 A′B′C′D′ 是正方形. 基础巩固题 新知应用 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角互补 D. 对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 B D 基础巩固题 新知应用 4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 . A D B C O E 22.5° 3.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为__________. 5 3 3 9-x x 基础巩固题 新知应用 5.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( ) A.∠D=90° B.AB＝CD C.AD=BC D.BC=CD D 6. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）． ②③或①④ 矩形法 定义法 基础巩固题 新知应用 7. 已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积. A D B C 解 如图，∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB=BC，∠B=90°. 在Rt△ABC中， ∵AB²+BC²=AC²，AB=BC，AC=4cm， ∴ 2AB²=4²，即AB²=8. ∴ AB=2. ∴ 正方形的边长是2cm，面积为8cm² . 基础巩固题 新知应用 8. 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？ 解 矩形的对角线互相垂直则为菱形. 既是菱形又是矩形的四边形是正方形. 所以一定是正方形. 矩形法 基础巩固题 新知应用 9.如图，正方形ABCD的对角线AC为菱形AEFC的一边，求∠FAB的度数. 解:因为四边形ABCD为正方形， 所以∠CAB=∠DAB=45°. 又因为四边形ACFE为菱形， :.∠FAB=∠CAE=45°=22.5°. 能力提升题 新知应用 10.如图，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F. (1)求证：BE＝CF； (2)求BE的长． 解：(1)∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°. ∵AE平分∠BAC， ∴BE＝EF. 又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°. ∴∠FEC＝∠FCE.∴EF＝FC. ∴BE＝CF. 能力提升题 新知应用 10.如图，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F. (1)求证：BE＝CF； (2)求BE的长． 解：(2)设BE＝x，则EF＝CF＝x， 在Rt△CEF中，CE==x ∵BC＝1， ∴x＋ x＝1， 解得x＝ －1，即BE的长为－1. 能力提升题 新知应用 11.四边形 ABCD 是正方形，以正方形ABCD 的一边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 解：当等边△ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图①， ∵AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°， ∴∠AEB ＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°. 分类讨论 能力提升题 新知应用 当等边△ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30°或 150°. 课堂小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 判定 一组邻边相等 有一个角是直角 平行四 边形 正方形 矩形 有一个角是直角 一组邻边相等 菱形 感谢聆听! $