1.3中心对称和中心对称图形（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

1.3中心对称和中心对称图形 题型一 成中心对称的识别 1．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A．B．C．D 2．将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A．B．C．D． 3．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（　） A． B． C． D． 5．下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（   ） A．如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C．平移改变图形的形状和大小 D．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 题型二 对称中心 7．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 8．如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 9．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 10．如图是一个中心对称图形，它的对称中心是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点A或点C 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，正确把握中心对称图形的性质是解题的关键． 11．图中下面的轿车图片是由上面的轿车图片绕某点旋转得到的，请找出这个点． 题型三 根据中心对称的性质判断正误 12．如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 14．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 15．下列说法错误的是（   ） A．平移前后的两个图形中，两组对应点的连线平行且相等 B．旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等 C．成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分 D．成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心，且被对称中心平分 16．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 17．如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 题型三 根据中心对称的性质求面积或周长 19．如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 20．如图所示的是一个中心对称图形，O为对称中心．若的面积是，，则的边上的高是（   ） A．4 B．3 C．6 D．2 21．如图，与关于点成中心对称，已知，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．16 D．19 22．如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．15 D．30 23．如图，中，，，．作出共于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（    ） A．128 B． C．64 D． 24．如图，点O是的对称中心，，E、F是边上的点，且，G、H是边上的点，且，若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是（    ） A． B． C． D． 25．如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积． 题型四 根据中心对称的性质求长度 26．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 27．如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 28．如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 29．如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块边长相等的正方形A，一块正方形B和两块全等的长方形C，正方形A的边长是（   ） A． B．3 C．4 D．5 30．如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 题型五 辨别中心对称图形 31．下面是与航天相关的图案，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 32．下列图形中，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 33．下列图案是中心对称图形的是（   ） A．中国探火 B．中国火箭 C．中国行星探测 D．航天神舟 34．“勾股定理”最早记载于中国古代《周髀算经》，中国古代用来证明勾股定理的“赵爽弦图”（下图）被称为“中国古代数学的图腾”．它曾作为2002年在我国举行的第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（   ） A．既是轴对称图形又是中心对称图形 B．是轴对称图形，不是中心对称图形 C．是中心对称图形，不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 35．医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 36．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． E． 37．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 38．剪纸是中国古老的民间艺术之一．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型六 补全图形使之成为中心对称图形 39．如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 40．如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 41．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 42.如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 43．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型七 画已知图形关于某点对称的图形 44．在网格中画图并回答问题： (1)将点A向右平移3个单位长度可到达点B，再将点B向上平移2个单位长度可到达点C，标出点B、点C，并连接和． (2)分别画出和，使和关于直线成轴对称；和关于点O成中心对称． (3)和是哪种对称关系？ （3）解∶根据题意得：和关于成轴对称． 45．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，请画出． (2)画出关于点对称的（点，，的对称点分别为点，，）． (3)与是否成中心对称？若是，画出对称中心点的位置． 46．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形．    (1)在图甲中作出，使和关于点成中心对称； (2)在图乙中分别找两个格点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为面积的4倍． 47．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，作四边形，使四边形只为中心对称图形； (2)在图②中，作四边形，使四边形只为轴对称图形； (3)在图③中，在上找一点，使 48．已知，如图，在中，． (1)作边上的中线（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)画，使和关于点成中心对称． (3)直接写出的中线的取值范围． ． 题型一 与中心对称相关的多结论问题 49．关于论述：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等；④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 50．如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 52．如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（　　） ① ② ③ ④四边形是平行四边形 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 题型二 中心对称图形的规律问题 53．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 54．用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（　　） A．4n+1 B．3n+1 C．4n+2 D．3n+2 55．古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 56．如图，的对角线相交于点O，E，F在直线上，且． (1)四边形是否是中心对称图形？请说明理由； (2)四边形的对称中心是什么？ 57．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 58．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC=CD； （2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．    59．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3中心对称和中心对称图形 题型一 成中心对称的识别 1．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A．B．C．D 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 2．将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点O旋转的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可． 【详解】解：观察选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到， 故选：C． 3．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 4．如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的定义．根据中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：根据中心对称的定义可知，与成中心对称． 故选：D． 5．下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 中阴影部分两个三角形成中心对称， 故选：A． 【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称． 6．下列说法中正确的是（   ） A．如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C．平移改变图形的形状和大小 D．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移，中心对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移，中心对称图形的定义和性质依次即可判断． 【详解】解：A. 如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，故选项错误； B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点到对称中心之间的距离相等，故选项错误； C. 平移不改变图形的形状和大小，故选项错误； D. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故选项正确； 故选D． 题型二 对称中心 7．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【答案】A 【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心. 【详解】如图，连接HC和DE交于O1， 故选A． 【点睛】此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大． 8．如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】两组对应点连线的交点即是对称中心，根据对称中心的确定方法即可解答. 【详解】如解图，连接、，相交于点E，则点E是对称中心. 故选：B. 【点睛】此题考查成中心对称的图形的对称中心，正确掌握对称中心的定义即可正确解答. 错因分析  容易题.失分的原因是：不会判断对称中心. 9．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 10．如图是一个中心对称图形，它的对称中心是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点A或点C 【答案】B 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出对称中心． 【详解】如图所示，它是一个中心对称图形，它的对称中心是点B． 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，正确把握中心对称图形的性质是解题的关键． 11．图中下面的轿车图片是由上面的轿车图片绕某点旋转得到的，请找出这个点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义．分别连接旋转前后的两组对应点，其交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 题型三 根据中心对称的性质判断正误 12．如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 13．如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 14．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的性质进而可得答案． 【详解】解：绕点O旋转得到， A、与关于点O成中心对称，符合题意 B、点B和点E关于点O对称，说法正确，不符合题意； C、∵绕点O旋转得到， ∴，， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； D、∵绕点O旋转得到， ∴， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； 故选A． 15．下列说法错误的是（   ） A．平移前后的两个图形中，两组对应点的连线平行且相等 B．旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等 C．成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分 D．成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心，且被对称中心平分 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，旋转的性质，轴对称图形，中心对称图形，正确把握相关性质是解题关键．根据平移的性质，旋转的性质，轴对称图形，中心对称图形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、平移前后的两个图形中，所有对应点的连线均平行（或在同一直线上）且相等，故该选项错误； B、旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，故该选项正确； C、成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分，故该选项正确； D、成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心，且被对称中心平分，故该选项正确； 故选：A． 16．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心， 则有：（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点，故（1）正确； （2）是的对角线，所以直线必经过点O，故（2）正确； （3）四边形是中心对称图形，故（3）正确； （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，故（4）正确； （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和成中心对称，故（5）正确； 综上所述，正确的有5个． 故选：C． 17．如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 18．如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 由与关于点 O 成中心对称，可得，则，，可判断A；证明，可判断D；由，可得，可判断B；不一定成立，可判断C． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴， ∴，，故A不符合要求； ∵，，， ∴，故D不符合要求； ∴， ∴，故B不符合要求； 不一定成立，故C符合要求； 故选：C． 题型三 根据中心对称的性质求面积或周长 19．如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出是解题关键． 【详解】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称， ∴, ∴． ∵的高， ∴． 故选D． 20．如图所示的是一个中心对称图形，O为对称中心．若的面积是，，则的边上的高是（   ） A．4 B．3 C．6 D．2 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的性质可得，再根据三角形面积公式底高可以求得底边上的高. 【详解】解：由题可得， 根据三角形的面积公式可得 边上的高是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的知识点为中心对称图形的性质和三角形面积公式，熟练掌握中心对称图形的性质和三角形面积公式是解题的关键. 21．如图，与关于点成中心对称，已知，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．16 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称． 根据中心对称的性质作答即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，已知，， ∴，， ∴的周长， 故选：B． 22．如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答． 【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分， 则阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键． 23．如图，中，，，．作出共于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（    ） A．128 B． C．64 D． 【答案】D 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，继而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵中，，，． ∴,, ∴, ∵作出共于点A成中心对称的， ∴,， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 24．如图，点O是的对称中心，，E、F是边上的点，且，G、H是边上的点，且，若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s． ∵点O是平行四边形ABCD的对称中心， ∴S△AOB=S△BOC=S平行四边形ABCD=s， ∵EF=AB，3GH=BC， ∴S1=s，S2=s， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 25．如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为平方米 【分析】根据中心对称图形的性质可得阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆，即可求解． 【详解】解：因为观赏鱼池是中心对称，且米， 所以阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆， 所以阴影部分的面积为（平方米）， 答：阴影部分的面积为平方米． 题型四 根据中心对称的性质求长度 26．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形，中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等． 根据与关于点成中心对称，得到，并利用勾股定理求得的值，最后得到的值，完成求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， 故, 根据勾股定理，， 故． 故选：B． 27．如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又∵ ∴在的垂直平分线上， ∴ 故选B． 28．如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【分析】该题考查了勾股定理和中心对称，根据勾股定理求出，再根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：∵在 中，，，， ∴， ∵与 关于点 O 中心对称， ∴， 故选：C． 29．如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块边长相等的正方形A，一块正方形B和两块全等的长方形C，正方形A的边长是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质和一元一次方程的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是正确列出方程． 首先设正方形A的边长是，正方形B的边长是，由于原来该大长方形的周长是20，得出；据此解答即可． 【详解】解：如图，设正方形A的边长是，正方形B的边长是， ∵原来该大长方形的周长是20， ， 即， ， 故选：A． 30．如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 题型五 辨别中心对称图形 31．下面是与航天相关的图案，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 32．下列图形中，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 33．下列图案是中心对称图形的是（   ） A．中国探火 B．中国火箭 C．中国行星探测 D．航天神舟 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 34．“勾股定理”最早记载于中国古代《周髀算经》，中国古代用来证明勾股定理的“赵爽弦图”（下图）被称为“中国古代数学的图腾”．它曾作为2002年在我国举行的第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（   ） A．既是轴对称图形又是中心对称图形 B．是轴对称图形，不是中心对称图形 C．是中心对称图形，不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，熟知平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形， 故选：C． 35．医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：C． 36．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 37．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴对称）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 38．剪纸是中国古老的民间艺术之一．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 题型六 补全图形使之成为中心对称图形 39．如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查设计中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行设计，即可得出结果． 【详解】解：由题意，选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形的涂法只有如图所示的一种方法： 故选：A． 40．如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 【答案】D 【分析】据中心对称图形的定义，依次分析，排除错误选项，选出正确选项． 【详解】解：选①、②、③中的图形无论以哪一点为中心旋转后都不能与自身重合，不是中心对称图形， 选④中的图形以方格的对角线的交点为中心旋转能与自身重合，是中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的意义．本题关键是运用中心对称图形的意义一一检验每个选项中的图形，要假定每个点为对称中心进行检验． 41．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 42.如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 43．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：由图可知，当放入白子的位置在点①处时，是中心对称图形． 故选：A． 题型七 画已知图形关于某点对称的图形 44．在网格中画图并回答问题： (1)将点A向右平移3个单位长度可到达点B，再将点B向上平移2个单位长度可到达点C，标出点B、点C，并连接和． (2)分别画出和，使和关于直线成轴对称；和关于点O成中心对称． (3)和是哪种对称关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)关于成轴对称 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，中心对称图形： （1）直接根据题意画出图形，即可求解； （2）分别找到点A，B，C的对应点，即可求解； （3）直接观察图形，即可求解． 【详解】（1）解∶如图，点B、点C，和即为所求； （2）解∶如图，和即为所求； （3）解∶根据题意得：和关于成轴对称． 45．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，请画出． (2)画出关于点对称的（点，，的对称点分别为点，，）． (3)与是否成中心对称？若是，画出对称中心点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，画图见解析 【分析】本题主要考查了平移变换及中心对称变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得出答案； （2）利用中心对称的性质得出对应点的位置，进而得出答案； （3）根据对称点连线交于一点即可判断否成中心对称并得到对称中心的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：与成中心对称， 点的位置如图所示 46．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形．    (1)在图甲中作出，使和关于点成中心对称； (2)在图乙中分别找两个格点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为面积的4倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用数形结合的思想，求出平行四边形为的面积为10，只要作出高为2的平行四边形即可． 【详解】（1）如图甲中，即为所求；    （2）在图乙中，平行四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，学会用数形结合的解决问题． 47．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，作四边形，使四边形只为中心对称图形； (2)在图②中，作四边形，使四边形只为轴对称图形； (3)在图③中，在上找一点，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质． （1）根据中心对称图形的定义作一个平行四边形即可； （2）根据轴对称图形的定义作一个等腰梯形即可； （3）取格点，作射线交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，四边形即为所求； （2）解：如图②中，四边形即为所求； （3）解：如图③中，线段即为所求． 48．已知，如图，在中，． (1)作边上的中线（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)画，使和关于点成中心对称． (3)直接写出的中线的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系： （1）作边的垂直平分线，即可求解； （2）延长至点E，使，连接，即可求解； （3）由作法得：，，可证明，可得，然后在中，利用三角形的三边关系解答即可． 【详解】（1）解：如图，中线即为所求； （2）解：如图，延长至点E，使，连接，则即为所求； （3）解：由作法得：，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， ∴． ． 题型一 与中心对称相关的多结论问题 49．关于论述：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等；④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，中心对称图形的定义． 根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的两个图形全等，以及中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一分析判断即可求解． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故①说法正确； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故②说法正确； ③旋转前、后的两个图形是全等图形，故③说法正确； ④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，故④说法错误； 综上，正确的有①②③． 故选：B． 50．如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O， ∴①，正确； ②，，错误； ③和关于点O成中心对称，正确； ④将绕点O旋转能与重合，正确； 所以正确的有3个． 故选：C． 51．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据与关于点O成中心对称，得到，，，即有四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，， 即四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心，则有： （1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确． （2）为是对角线，所以直线必经过点O，即（2）正确． （3）四边形是中心对称图形，（3）正确． （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，即（4）正确． （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和关于点O成中心对称，即（5）正确． 综上所述，正确的有5个， 故选：D． 52．如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（　　） ① ② ③ ④四边形是平行四边形 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质，全等形的判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质． 顺次连接，连接交于点，得，于是，证明，即可判断①；由对称性可得：，则，由，即可判定四边形是平行四边形，即可判断④；四边形是平行四边形，则，无法证明，即可判断②；四边形四边形，四边形四边形，四边形四边形，得到，则，即可判断③． 【详解】解：如图， 顺次连接，连接，连接交于点， ∵分别在四边形的各边上取中点，，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 由对称性可得：， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， 故④正确； 四边形是平行四边形， ∴， 无法证明， 故②不正确； 依题意，四边形四边形，四边形四边形， 由题意得，四边形是由移动得到的， ∵， ∴四边形可以看成是四边形以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转得到的， ∴， 即在同一条直线上，，， ∴， 又∵四边形是由四边形移动后得到的， ∴，， ∵， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴四边形四边形， ∴， ∴， 故③正确； 故答案为：B． 题型二 中心对称图形的规律问题 53．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 54．用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（　　） A．4n+1 B．3n+1 C．4n+2 D．3n+2 【答案】D 【分析】根据图像，分别确定前三个图中围棋的枚数，可知第一个图形中有（3+2）枚，且后一个图形总比第一个图形多3枚；联系上步分析，便不难得到第n个图形中需要围棋子的枚数与n的关系，从而解题. 【详解】解：∵第1个图形中有5枚，即3×1+2枚； 第2个图形中有8枚，即3×2+2枚； 第3个图形中有11枚，即3×3+2枚； … ∴第n个图形中有3n+2枚． 故选：D． 【点睛】本题属于探究图形的规律的题目，考虑从简单情形入手分析. 55．古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)24不是，28是，理由见解析 【分析】( 1 )根据规律求出即可； ( 2 )利用规律，解决问题即可； ( 3)利用(2)中结论求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：15 （2）由题意得： ， ， ， ， ， …… ∴． 故答案为： （3）24不是三角形数，28是三角形数， 理由：∵ 6和8相差2， 不符合等式中因数与相差1的规律， ∴24不是三角形数； 又∵， ∴， ∴， ∴28是三角形数． 【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出规律． 56．如图，的对角线相交于点O，E，F在直线上，且． (1)四边形是否是中心对称图形？请说明理由； (2)四边形的对称中心是什么？ 【答案】(1)四边形是中心对称图形，理由见解析 (2)对称中心是点O 【分析】本题考查的是中心对称的知识，平行四边形的判定与性质，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。 （1）根据平行四边形的性质，证明四边形是平行四边形，即可作答； （2）根据平行四边形的对称中心是对角线的交点得到答案． 【详解】（1）解：四边形是中心对称图形，理由如下： ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是中心对称图形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， 则四边形的对称中心是点O． 57．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)15 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称中心O； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△DEF各边的长，然后计算△DEF的周长； （3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平行四边形． 【详解】（1）如图，点O为所作： （2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4， ∴△DEF的周长=4+5+6=15； （3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下： ∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴OA=OD，OC=OF， ∴四边形ACDF为平行四边形． 【点睛】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键． 58．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC=CD； （2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．    【答案】见解析 【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等； （2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称， ∴△ABM≌△ACM， ∴AB=AC， 又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称， ∴△ABE≌△DCE， ∴AB=CD， ∴AC=CD； (2)∠F=∠MCD. 理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA， ∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF， ∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α， 设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β， ∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β， ∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β， ∴∠F=∠MCD. 【点睛】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键. 59．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $