精品解析：江西省南昌市新建区第二中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

新建二中2025—2026学年度上学期12月份月考 高一数学 命题人：熊远城 审题人：梅向平 考试范围：函数 时量：120分钟 总分：150分 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 2.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、学号填写在答题卡上，第I卷每小题选出答案后，将正确的答案填写在答题卡上相应的选择题方框内，第I卷用0.5毫米中性黑色签字笔在答题卡规定区域内上作答，考试结束时，只需将答题卡交到监考老师，在试题卷上作答无效. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6 3. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的偶函数，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为-3 B. 幂函数（，m，n互质），若m是偶数，n是奇数时，则是偶函数 C. 若，则的定义域为 D. 在上具有零点的必要不充分条件是 10. 设函数给出下列四个命题，其中正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 当a=1时，函数的值域为 C. 若函数是增函数，则实数的取值范围是 D. 若恰有2个零点，则参数的取值范围是 11. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应的位置上. 12. 若，则______． 13. 若函数的最小值3，则实数的值为______. 14. 已知函数，则不等式的解集______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）当时，求的值域； （2）若在时有零点，求的取值范围. 16. 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且． （1）求函数，的解析式； （2）设m，n是方程的根，求的值． 17. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 18. 已知是奇函数. （1）求实数； （2）若，求的取值范围； （3）若存在使得成立，求实数的取值范围. 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线．历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊．类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数．已知函数和满足以下条件：①；②. （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式． （2）设．证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． （3）关于x不等式对任意恒成立，求实数m取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新建二中2025—2026学年度上学期12月份月考 高一数学 命题人：熊远城 审题人：梅向平 考试范围：函数 时量：120分钟 总分：150分 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 2.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、学号填写在答题卡上，第I卷每小题选出答案后，将正确的答案填写在答题卡上相应的选择题方框内，第I卷用0.5毫米中性黑色签字笔在答题卡规定区域内上作答，考试结束时，只需将答题卡交到监考老师，在试题卷上作答无效. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 由，得， 则， 则. 故选：C. 2. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意，得抽样比为，所以高级职称抽取的人数为，中级职称抽取的人数为，初级职称抽取的人数为，其余人员抽取的人数为，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D． 考点：分层抽样． 【方法点睛】分层抽样满足“”，即“或”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个． 3. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 4. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数、对数函数的性质判断的范围. 【详解】因为在上为增函数，且，所以， 得，即， 因为在上为增函数，且，所以， 得，即， 因为在上单调递增，则， 故. 故选：A 6. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 7. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，由单调性求出a的范围，再由函数在上有意义，列式计算作答. 【详解】函数定义域为，， 因在，上单调，则函数在，上单调，而函数在区间上单调递减， 必有函数在上单调递减，而在上递增，则在上递减，于是得，解得， 由，有意义得：，解得，因此，， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数是上的偶函数，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是偶函数可得，代入解析式，判断出的单调性，利用单调性解不等式即可求. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，整理得， 由题意可知，所以，所以， 所以， 又，则， 任取，，且， 所以， 因为，，则， 又，，所以， 所以，所以， 所以， 所以在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 因为， 所以，又，解得， 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为-3 B. 幂函数（，m，n互质），若m是偶数，n是奇数时，则是偶函数 C. 若，则的定义域为 D. 在上具有零点的必要不充分条件是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用对数函数单调性及基本不等式求解判断A；利用偶函数定义判断B；求出定义域判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由，得， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，幂函数，当m是正偶数，n是正奇数时，的定义域为， 函数是非奇非偶函数，B错误； 对于C，的定义域为，在中，， 解得，因此的定义域为，C正确； 对于D，函数在上有零点0，而， 因此函数在上有零点，不一定有，D错误. 故选：AC 10. 设函数给出下列四个命题，其中正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 当a=1时，函数的值域为 C. 若函数是增函数，则实数的取值范围是 D. 若恰有2个零点，则参数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】代特殊值可判断A；由指数函数的单调性和二次函数的单调性可判断B；由单调性结合端点的连续性可得 C；分和结合单调性可判断D. 【详解】对于A，当时，， 因为，所以函数不为增函数，故A错误； 对于B，当a=1时，， 由指数函数的单调性可知，当时，为增函数，其值域为， 当时，，其对称轴为，开口向上，最小值为，无最大值， 综上函数的值域为，故B正确； 对于C，二次函数的对称轴为，若函数是增函数，则，解得，故C正确； 对于D，当时，令， 则在时无根，此时二次函数等于零的两个根为，且满足， 所以当时，函数恰有2个零点； 当时，由指数函数的单调性可得在时有且只有一个解， 所以需满足二次函数在上只有一个零点， 所以，解得， 综上，参数的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答. 【详解】函数在上单调递增，，， 而是方程的零点，因此，A正确； 由得：，两边取对数得：，B正确； 因，且在上单调递增,则，C正确； 当，，则， D错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应的位置上. 12. 若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据指对互化，以及对数换底公式和运算公式，即可求解. 【详解】由，得，， 所以. 故答案为：1 13. 若函数的最小值3，则实数的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用含绝对值三角不等式，即可求解. 【详解】， 则， 即， 当时，等号成立， ，当为0时等号成立， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为，即， 所以或. 故答案为：或 14. 已知函数，则不等式的解集______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并确定奇偶性，再由单调性求解不等式. 【详解】函数是定义域在上的减函数， 令函数，， 函数是R上的奇函数，且在R上单调递减， 不等式 ，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）当时，求的值域； （2）若在时有零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用基本不等式求出函数的值域. （2）由函数零点的意义，分离参数，利用单调性求出函数值域即可. 【小问1详解】 当时，的定义域为， ， 当且仅当，即或时取等号， 因此或，即或， 当时，；当时，， 所以函数的值域是. 【小问2详解】 函数在时有零点，即方程在上有解， 当时，在上单调递增，则， 即，因此， 所以的取值范围是. 16. 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且． （1）求函数，的解析式； （2）设m，n是方程的根，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，两边取对数解得，即可求得，再根据指数函数与对数函数的反函数关系可得； （2）由韦达定理得，利用对数运算法则得，利用换底公式化简得，即可得解. 【小问1详解】 对于函数（且），，所以， 所以，即，所以，所以，所以； 又函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以； 【小问2详解】 由题意m，n是方程即的根， 令，则是二次方程的两根， 所以，所以， 又， 所以. 17. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）当时，等价于，转化为一元二次不等式求解即可； （2）先判断出在上单调递减，转化为对任意恒成立，求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，， 即，所以，等价于， 解得或. 故的解集为：. 【小问2详解】 当时，， 则，所以在上单调递减， 所以对任意，在区间上单调递减， 所以，， 所以， 即对任意恒成立， 因为，所以在单调递增， 所以时，，解得， 所以的取值范围为： 18. 已知是奇函数. （1）求实数； （2）若，求的取值范围； （3）若存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义域为，所以求解即可； （2）由（1）可知，在上单调递减，求解不等式即可； （3）存在性问题分离参数，令，则，转化为求解函数的最小值即可. 【小问1详解】 的定义域为：. 由于是奇函数，所以， 解得.经检验成立. 【小问2详解】 由（1）可知，若， 则，且，， 即， 由在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 存在使得成立， 即成立，所以， 令，，因为，所以， 令，则即可. 所以在单调递增， 所以，所以. 故实数的取值范围为： 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线．历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊．类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数．已知函数和满足以下条件：①；②. （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式． （2）设．证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． （3）关于x不等式对任意恒成立，求实数m取值范围． 【答案】（1），； （2） 证明：由（1）知，所以，显然在上为增函数，且，则在上存在唯一的实数，使，所以有唯一的正零点； 由，得，两边同时取对数得， 于是，而在上是增函数，则有，因此，所以 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲正弦函数、双曲余弦函数的定义，结合指数运算即可； （2）化简函数，然后由函数的单调性及零点存在定理确定零点的范围，根据零点满足满足的等式变形，都化为对数函数的形式，然后由对数运算化简函数式.即可. （3）确定函数的奇偶性和单调性，然后化简不等式为，由由函数单调性求出的范围，问题转化为一元二次不等式在某个区间上恒成立，通过分类讨论，求函数的最值，解不等式求范围. 【小问1详解】 根据双曲正弦函数和双曲余弦函数的概念，可得：，解得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，该函数的定义域为R，，故函数为奇函数， 又因为，因为内层函数在R上为增函数，且，外层函数在上为增函数， 所以函数在R上为增函数，由，得，即，即，因为函数在R上是增函数，令，则函数在R上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，． 综上所述，实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $