精品解析：广西壮族自治区崇左市天等县金洞乡实验学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级上册数学能力达标检测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑） 1. 如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为(　　) A. 16 B. 12 C. 15 D. 18 3. 在下列各数中，，，，0，（每相邻两个2之间依次多一个6），无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若x，y为实数，且，则的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 4 D. 5 5. 下列数中是无理数的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（ ） A 13 B. C. D. 7. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 ABDE的方法证明了勾股定理，若的斜边，，则图中线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 8. 已知，则a等于（　　）． A. 2 B. C. 4 D. 9. 如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果可能是（ ） A. 388947 B. 388944 C. 388953 D. 388949 11. 介于和间的整数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 题目：“如图，已知，过端点作射线，点为射线上一点，且．点为射线上的动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，求的长．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中于点尺，尺．设的长度为尺，可列方程为______． 14. 如图，长方体盒内长、宽、高分别是、、，盒内可放木棒最长的长度是______． 15. 若 ，则x的值为___． 16. 如图①是第七届国际数学教育大会会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么这些线段中，有______条线段的长度为无理数． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知的平方根为，的算术平方根为2，求的平方根． 19. 求下图中字母所代表的正方形的面积．其中， 20. 如图，地面上放着一个小凳子，凳子的高是，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在凳子的点处，两点的距离是，求点离墙的距离． 21. 阅读理解】 的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】 （1）若，且是整数，求的值； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 22. 如图，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD中AC，BD相交于点O，试说明边AB，BC，CD，AD的长度和对角线AC，BD的长度中，哪些是有理数？哪些不是有理数？ 23. 如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米?(结果保留根号) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上册数学能力达标检测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑） 1. 如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】由勾股定理得：cm, ∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）； 故选C． 【点睛】考查了勾股定理、长方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 2. 如图，正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为(　　) A. 16 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出DE，再根据正方形的面积公式求出即可． 【详解】如图所示： ∵正方形A、B的边长分别为3和5， ∴DF=5，EF=3， ∴DE==4， ∴正方形C的面积为42=16. 故选：A． 【点睛】考查了勾股定理，解题关键是利用直角三角形之间的三边关系求得正方形C的边长为4． 3. 在下列各数中，，，，0，（每相邻两个2之间依次多一个6），无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数，带根号且开不尽才是无理数，根据定义进行判断即可． 【详解】解：在，，，，0，（每相邻两个2之间依次多一个6）中， 无理数有，,（每相邻两个2之间依次多一个6）共3个， 故选：C． 4. 若x，y为实数，且，则的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根与绝对值的非负数性．运用非负数的性质先求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ， 故选：A． 5. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表达方式有三种：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；用特殊规律表示的数，例如(每两个之间依次多个)． 【详解】解：A选项：是开不尽方的数，是无理数，故A选项符合题意； B选项：是整数，是有理数，故B选项不符合题意； C选项：是分数，是有理数，故C选项不符合题意； D选项：是分数，是有理数，故D选项不符合题意． 故选：A ． 6. 如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（ ） A. 13 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，从不同的方向看几何体，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示，将木块展开， 由题意得，展开后的长方形的长为，宽为， ∴一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为， 故选A． 7. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 ABDE的方法证明了勾股定理，若的斜边，，则图中线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理计算和证明，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题的关键．根据勾股定理求得，再由，得到，，再次利用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示： 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知，则a等于（　　）． A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式化简即可． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴，即． 故选：A． 9. 如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可. 【详解】， ， ， ， 因为0.268＜0.732＜1.268， 所以 表示的点与点B最接近， 故选B. 10. 设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果可能是（ ） A. 388947 B. 388944 C. 388953 D. 388949 【答案】B 【解析】 【分析】由n3-n=n（n-1）（n+1）≈n3，由答案四项的大小相差不大，且立方根约为自然数73，所以可得n的值为73，即可求出代数式的值． 详解】∵n3-n=n（n-1）（n+1）≈n3 又 ∴n=73 ∴n3-n=72×73×74=388944 故选B． 【点睛】本题考查了代数式求值在实际问题中运用． 11. 介于和间的整数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由于1<<2得到2<<3，根据3<<4得到2<<<4，从而求解． 【详解】解：∵1<3<4， ∴1<<2， ∴2<<3， ∵9<11<16， ∴3<<4， ∴2<<<4， ∴介于和间的整数是3， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数大小的估算，解题关键是估算一个无理数介于哪两个整数之间． 12. 题目：“如图，已知，过端点作射线，点为射线上一点，且．点为射线上的动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，求的长．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、平行线的判定和性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和分类讨论思想的应用．①当时，根据折叠的性质得，，设，则，，可判定A，D和C三点共线，在中，求得，得，在中即可求得；②当时，过点D作，交于点H，则，即有，在中解得，在中即可求得；③当时，则，有，可得到，则有． 【详解】解：①当时，如图， 根据题意知，， 设，则，， ∵， ∴A，D和C三点共线， 中，，即， 解得， 则， 在中，，即， 解得， 则； ②当时，过点D作，交于点H，如图， 则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 在中，，即， 解得； ③当时，如图， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的长为或2或， 故选：D． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中于点尺，尺．设的长度为尺，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据题目要求列出方程即可． 【详解】 故答案为：． 14. 如图，长方体盒内长、宽、高分别是、、，盒内可放木棒最长的长度是______． 【答案】##11厘米 【解析】 【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为． 这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形． 盒内可放木棒最长的长度是． 故答案为：． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于理解最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线长组成了直角三角形． 15. 若 ，则x的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题关键是掌握平方根的求法； 先系数化为1，再开平方即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16. 如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么这些线段中，有______条线段的长度为无理数． 【答案】20 【解析】 【分析】由题意可得出（且n为正整数），再根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； …； ∴（且n为正整数）， ∴到的长度分别为1，，，…，． ∵当，4，9，16，25时，为有理数， ∴n为其余数时为无理数，有个， ∴有20条线段的长度为无理数． 故答案为：20． 【点睛】本题考查勾股定理，无理数的定义．利用勾股定理求得直角三角形的斜边长，进而发现规律是解本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）12； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的计算方法计算即可得解； （2）根据立方根的定义计算即可得解； （3）根据平方根的定义计算即可得解； （4）根据立方根的定义计算即可得解． 小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：． 18. 已知的平方根为，的算术平方根为2，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得和的值，进而求得的值，再代入求得的平方根即可． 【详解】解：的平方根为， ， 的算术平方根为2， ， ； 当，时，， 的平方根为． 【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解题的关键． 19. 求下图中字母所代表的正方形的面积．其中， 【答案】（1）100（2）11 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，正方形面积的计算． （1）根据两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案； （2）根据两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案． 【详解】解：（1）的边长为直角三角形的斜边，则的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：36和64， 的面积； （2）由直角三角形可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边边长的平方和， ∴，则． 20. 如图，地面上放着一个小凳子，凳子的高是，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在凳子的点处，两点的距离是，求点离墙的距离． 【答案】 【解析】 【分析】过作地面于点，在中，由勾股定理求出长即可． 【详解】解：如图，过作地面于点， 则， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 答：点离墙的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 【阅读理解】 的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】 （1）若，且是整数，求的值； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分，无理数的估算，利用平方根解方程 （1）因为得，结合即可得出整数的值； （2）先求出，得，，可得，同理得，代入计算即可 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴，即 而，且是整数， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则或 22. 如图，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD中AC，BD相交于点O，试说明边AB，BC，CD，AD的长度和对角线AC，BD的长度中，哪些是有理数？哪些不是有理数？ 【答案】AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数. 【解析】 【分析】运用勾股定理求出各条线段的长度即可求得结果. 【详解】由题图知，，，，，， 由勾股定理，得， ， ， ， 因此AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数. 【点睛】此题主要考查了有理数及无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数. 23. 如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米?(结果保留根号) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：在中： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：船向岸边移动了米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $