8.3特殊的平行四边形（第1课时矩形的性质）（教学课件）数学新教材青岛版八年级下册

该初中数学课件聚焦矩形的定义、性质及直角三角形斜边上中线的推论，通过“将平行四边形框架变成长方形”的操作导入，先回顾平行四边形定义与性质，再以“有一个角是直角的平行四边形”衔接新知，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究式学习为主线，通过推理证明（如用全等三角形证对角线相等）培养推理意识，借助折叠实验（探究矩形轴对称性）发展几何直观与空间观念。典例解析融入转化思想，课堂练习分层设计，既帮助学生深化理解，又为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

8.3 特殊的平行四边形 第1课时矩形的性质 第八章 四边形 学 习 目 标 1 2 3 理解矩形的定义（有一个角是直角的平行四边形）；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 这一推论； 掌握矩形的性质：四个角都是直角、对角线相等； 能运用矩形的性质解决线段长度、角度计算及证明问题。 知识回顾 提问：平行四边形的定义是什么？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 回顾：平行四边形的性质有哪些？ 对边平行且相等；对角相等，邻角互补 思考：如果平行四边形有一个角是直角，这个图形是什么？ 知识导入 提问：这些图形都属于什么形状？ 思考: 如何将一个平行四边形框架变成长方形？ 知识探究 思考：如何将一个平行四边形框架变成长方形？ （一）矩形的定义 矩形 知识探究 （一）矩形的定义 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也叫做长方形. 平行四边形不一定是矩形. 知识探究 （二）矩形的特殊性质探究 探究过程： 问题 1：作为特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质，还有哪些特殊性质？ 猜想 1：矩形的角的性质 已知矩形是有一个角为直角的平行四边形，结合平行四边形 “邻角互补” 的性质： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AD∥BC， ∴∠A +∠B = 180°， ∴∠B = 90°； 同理，∠C =∠D = 90° A B C D 性质归纳：矩形的四个角都是直角。 知识探究 （二）矩形的特殊性质探究 探究过程： 问题 1：作为特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质，还有哪些特殊性质？ 猜想 2：矩形的对角线性质 已知：矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O。求证：AC = BD。 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 性质归纳：矩形的对角线相等。 A B C D O 知识探究 概括与表达 矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角 在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB. 几何语言： ★ 矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等 A B C D O 知识探究 问题 2：矩形是轴对称图形吗？ 实验操作：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.  （三）矩形的轴对称性 实验发现：沿 “经过两组对边中点的直线” 对折，两边能完全重合 性质归纳：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是经过两组对边中点的直线。 知识探究 问题 3：矩形的对角线性质能推出直角三角形的什么性质？ 实验操作：请同学们一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. （四）直角三角形的推论 实验观察：△ABC为直角三角形 实验猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 B C O A 知识探究 （二）判定定理 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 性质推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 逻辑证明： 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证: BO =AC . O C B A D 证明: 延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90° ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∴BO= BD= AC. 知识探究 概括与表达 矩形的性质归纳： 性质 1：矩形的四个角都是直角； 性质 2：矩形的对角线相等； 性质 3：矩形是轴对称图形，有两条对称轴； 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 A B C D O 典例解析 例：如图 8.3-6，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠BOC = 120°，AB = 6，求AC的长。 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=AC，OB=BD ∴OA=OB ∵∠BOC=120°， 转化思想 将矩形对角线问题转化为等边三角形问题 数形结合 结合角的度数推导图形形状 A B C D O ∴∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形 ∴OA=AB=6 ∴AC=2OA=12 典例解析 例：如图 8.3-7，在四边形ABCD中，∠BAC =∠BDC = 90°，E，F分别为BC，AD的中点，连接EF。求证：EF⊥AD。 解：如图，连接AE，DE ∵∠BAC=90°，E为边BC的中点， ∴AE=BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 同理DE=BC ∴AE=DE 数学思想 辅助线构造法（连接中线） 转化思想 将垂直问题转化为等腰三角形三线合一问题 ∵F为AD的中点，∴EF⊥AD A B C D E F 课堂练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 A C 课堂练习 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° 4.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为 (　　) A．4 B．8 C．2 D．4 C D 课堂练习 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm． 2.5 6.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______． 6 第5题图 第6题图 课堂练习 证明：（以AE=CF为例） ∵四边形ABCD是矩形，， ∴AD∥BC AD = BC，∠A =∠C = 90° ∵AE=CF 在△ABE和△CDF中： AB = CD ；∠ A =∠C ；AE = CF 7.如图 ，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点。选择下面三个条件中的一个作为已知条件，求证：BE=DF。 A B F C D 1 2 ①AE=CF ②BE∥DF ③∠1=∠2 ∴△ABE≌△CDF ∴BE=DF E 课堂练习 8.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE, （2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积. A B C D O E (1)证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC= BD,AB∥CD. 又∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形, ∴AC=BE, ∴BD=BE. 课堂练习 (2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4, ∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD= BD= ×8=4, ∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在Rt△BCD中, BC= ∴四边形ABED的面积= ×(4+8)× = . A B C D O E 课堂总结 矩形的定义： 课堂总结 有一个角是直角的平行四边形； 矩形的性质： 角：四个角都是直角；对角线：相等且互相平分； 对称性：轴对称图形，有两条对称轴； 直角三角形的推论： 斜边上的中线等于斜边的一半； 解题方法： 利用矩形对角线性质，将线段问题转化为三角形（等边、等腰）问题； 涉及直角三角形斜边中点时，优先考虑 “斜边上的中线等于斜边的一半”。 感谢聆听! $