数学-山东高考质量测评联盟大联考·2026届高三12月联考

绝密★启用前 山东高考质量测评联盟大联考·高三12月联考 数学 2025.12 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米 黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上， 1已知袋合A={r-3z-4长0，B={女行2六0，则AUB=( A.(-2,4] B.[-2,4] c.[-1,1] D.(-2,-1] 2.已知复数之= 为虚数单位)，则-( ) A.-1-i B.-1-2i C.-1+2i D.1-2i 3.若平面a∥平面B,A,B∈a,C,D∈B,则AC=BD是AC∥BD的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.将函数f(x)=3sin(2x十p)+1的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象， 若g(x)为偶函数，则o的值可以是() A晋 6.肾 C.、5π 6 D.- 5.已知正六边形ABCDEF中，设AB=a,AF=b,则DF=() A.2a+b B.2a-b 3 C.-2a-b D. 2a-b 高三数学试题第1页（共4页） 2|1-x,0≤x≤2， .已知函数f052),之2， 函数g(x)=f(x)一kx有4个零点，则实数飞的 取值范围是( ) A[哈》 B[] c.[) D[3] 7.若对任意的x>1,不等式mx一ln号≥0恒成立，则实数m的取值范围是() A.[e,+o) B.[2e,+o) c.安0+ D.[是，tw) 8.在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2√3，BC=6,且BM=2√2，AC.AM= 0,则平面ACM与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围是() A.(0,1) B.[) c[) n[g, 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部 分分，不选或有选错的得0分， 9.已知m,n,x,y为实数，则下列结论正确的是( ) A.若x>y,则WE>√y B若y>0+2=4则2+}≥2 C.若x>y>m>n,则x-n>y-m>0 D.若x>y,m>n,mn≠0，则>y n m 10.已知a|=3,b|=4,|cl=6,则下列结论正确的是() A.|a+b+c的取值范围为[0,13] B.若a⊥b,则|c一a一b1的取值范围为[1,11] C若aLb且c=xa十ba,μ∈R),则A+r的最大值为号 D.若a⊥b,则(a+b)·(a-c)的最小值为-21 1.在数列a中a1=a,a1=一a+a.(n∈N),则下列结论正确的是() A.对Ha∈R,{am}为递减数列 B.当a=一1时，对任意常数M≥0，an<M恒成立 C.当a=2时，对任意常数>0，am≤M有解 D.当a=1时，10aw∈(8,9) 高三数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上 12.设等比数列{an}的前n项和为Sm,公比g>1,若a2十a5=18,a3a4=32,则Sn= 1.若f)=1oe:(4+-2x)-,则不等式fx)+f(2z-1D>0的解集为 14.已知函数f)=sin(ux十p)(w>0,9∈R)在区间（受，3）上单调，且满足f(）- -）,函数f(x)在区向[经，)上恰有5个零点，则实数。的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知数列fa.}满足a=a1=2a7∈N). an (1)求证：数列{1}是等差数列，并求数列(am}的通项公式； an (2)求数列{anam+2}的前n项和Sn. 16.(15分) 已知函数f(x)=2e+(a-1De-a,a∈R (1)求函数f(x)在(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)极值点的个数. 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a(W3sinB+cosB)=b+c. (1)求角A; (2)D为边BC上一点，若AD为角A的平分线，且AD=3,求AB+5BD的最小值： 高三数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，A1B1=√2，AB=2√2. (1)当AA1=2时， (1)求证：平面BDE⊥平面BCCB1; (ⅱ)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值 (2)若正四棱台ABCD-A1B1C1D1存在内切球，求正四棱台的体积 D C A B E B 19.(17分) 正弦型函数被广泛运用于信号处理领域.不同周期的正弦型函数叠加是构造复杂信 号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图像处理、通信系统等）中发挥着关键作用.已知 函数f.(m)=sinx+sin3x+…+sinC2n-1Dz,x∈R,n∈N'(提示：sin3a=3sina-4sina, 3 2n-1 cos 3a-4cosa-3cos a). (1)求函数f2(x)的所有零点组成的集合； (2)求函数f3(x)的最值； (3)对于给定的大于1的正整数n,设集合M={m对Hx∈R,均有fm(x)≤fn(m), 且0≤m≤100π}，求集合M中元素的个数. 高三数学试题第4页（共4页）山东高考质量测评联盟大联考·高三12月联考 数学答案解析及评分标准 2025.12 1.A【解析】由题意有A={x|x2-3x-4≤0}=[-1,4]，B=(-2,1],所以AUB= (-2,4].故选A. 2B【解折1=--得+88+器-5专16i=-1+ 5 故z=一1一2i.故选B. 3.C【解析】如图，当AC∥BD时，可证AB∥CD,故四边形ABCD B 为平行四边形，所以AC=BD. /O 当AC=BD时，AC与BD可能相交、平行或异面.故选C. 4.D【解析】g(x)=f(x-)=3sin2(x-)+p]+1 =3sin(2x-3+p+1. 由g(x)为偶函数，得-否十p=受十kπ，k∈Z,得g=5F+π，k∈乙. 当k=-1时p=-石.故选D. 5.C【解析】DF-DC+C京=-A京-2AB=-b-2a.故选C. (4, 3 B 第5题图 第6题 6.D【解析】由图知2<4<1∴日<≤子故选 7.C【解析】mx≥ln受，m≥nx,ln2 山杀 令f(x)=nxlh2,则f(x=1+ln2-lnx 令f(x)>0,得1<x<2e;令f(x)<0,得x>2e. ∴.f(x)在(1,2e)单调递增，在(2e,十∞)单调递减， ∴fx)as=12e)=20 m≥记故选C 高三数学参考答案第1页（共9页） 8.B【解析】AC·AM=0,A,M不重合，AM⊥AC, .M在过点A且与AC垂直的平面a上. 设平面a∩平面ABCD=AF,则AC⊥AF,M任AF. 作BG∥AC交AF于点G,则BG⊥平面a, 在矩形ABCD中，AB=2√3，BC=6,∴.AC=43. 如图，点B到平面α的距离为√3， 又BGLGM,故GM=BM BG=V5, M ∴.M在以G为圆心，W5为半径的圆上，且M氏AF 2V② ,AC⊥AF,AC⊥AM,.∠MAG为两个平面的夹角0， G /3 当AM与图G相切时，030取最小值，为号， 6 又0>0，.cos01. 综上00∈[号，故选B 9.BC【解析】当x,y为负数时，不等式不成立，故A错误. xy>0,x+2y=4>0,.x>0,y>0, 2*3-✉+2（层+号）=(4+经+）≥4+)=2， xy 4 当且仅当x=2,y=1时取“=”，.B正确。 .x>y,-n>-m,∴.x-n>y-m>0,.C正确 由不等式可乘性，m,n正负不定，故D错误.故选BC 10.ABD【解析】当a,b,c同向时，a+b+c取最大值为13； 当a,b,c构成三角形时，若a,b,c首尾相连，则|a十b十c取最小值0，故A正确. 当a⊥b时，设d=a+b,|d|=|a+b|=5, 1=||c-|d|≤|c-a-b|=|c-d≤|cl+|d=6+5=11,故B正确. 方法1：当a⊥b时，以a,b所在直线建立直角坐标系，如图，a=(3,0),b=(0,4), c=(3,0)+μ(0,4)=(3λ，4)， 自1e=6,得9以2+16r=36,即+专=1. A=cos a, 设 B 2 3u=sin a, b xth=2cosa+8sn8-号sne十p X十公的最大值为号 高三数学参考答案第2页（共9页） 方法2：利用等和线易得a十)m=号.故C错。 当a⊥b时，以a,b所在直线建立直角坐标系，如图， a=(3,0),b=(0,4),c=(6cos0,6sin0), a+b=(3,4),a-c=(3-6cos0,-6sin0), (a+b)·(a-c)=9-18cos0-24sin0=9-30sin(0+3), ∴.(a十b)·(a-c)的最小值为9-30=-21， 故D正确.故选ABD. 11.BCD【解析】当a=0时，{am}为常数列，故A错， 3a,2≤0，a*1=a(-3a+1,又a=-1,则a<0, .{an}为递减数列，an≤a1=-l,故B正确。 由B选项同理得an∈(0,2]，M≥(am)mim,∴.C正确， .a1=1,∴.am∈(0,1]， 1 1一=1+，1，则1-1=，1 An+1 12 an 3-an 则a+1an-3-an1 an+1 累加得<d<安≥2。 3 an ∴.100a100∈ (9)D正确，放选BCD. 12.2m-1 【,,相2十5一0’得s或=（舌去，侍0=2，人 a2a5=32, ”a5=16a5=2 5.=2=20-1.故答案为2-1 13.(-o,3） 【解析】由题知f(x)的定义域为R. f-xw)=log(V4x2+1+2x)-3-1 3-x+1 东高 1+3 一f(x), .f(x)为奇函数. :f(x)=log:√4x+1+2x 1 一1十 .2 3r+1 .f(x)单调递减. 由f(x)+f(2x-1)>0,得f(2x-1)>f(-x), .2x-1<-x, 故答案为(-0，）)片 高三数学参考答案第3页（共9页） 14.(,3]【解析】因为函数f()=sin(ax十p)(ow>0,p∈R)在区间（受，3）上单调， π+2π 且满足（经）=-）.而2。-登登（臣）， 即f(x)的一个对称中心为（受，0），故f()=0。 而登∈（臣，），故x)在区同经）上单调. 设函数f)的最小正周期为则≥要-7登-看所以2≥子，即0≤3。 函数f田)在区间瓷)上恰有5个零点，则登拾好为第一个零点· 相邻两个零点之间相距半个周期子， 25r 结合0u≤3，可得氵<u<3, 3 经检验8<w<3成立.故答案为（停，3] 3 15.【解】(1)由题意am≠0， 1-2a+1=2+1,…1-1=2, 3分 an+1 an an antl an “侣}是以2为首项，2为公差的等差数列， …4分 “2=2+2m-1)=2m,即a=元 …6分 an 2aan+2-8(份-2》 1 8分 ∴8=1-++号-++日2》 nn十2 =1+日本2) …10分 =是-（中+如十2） 3 2n+3 168(n+1)(n+2) 3 2n+3 ∴.S.=68(m+1)(n+2) …13分 高三数学参考答案第4页（共9页） 16.【解11)：f(0)=)+a-1=a-号， f(x)=e2x+(a-1)e2-a, 2分 ∴.f(0)=1+a-1-a=0, ∴f(x)在(0，a一）处的切线方程为 y-(a-2）=0x-0),即y-a-2 5分 (2)f(x)的定义域为R f'(x)=e2x+(a-1)e2-a=(e-1)(e+a), ①当a≥0时，由f(x)>0,得x>0,由f(x)<0,得x<0, ∴.f(x)在（一o,0)单调递减，在(0，十o)单调递增， .f(x)在x=0处取得极小值.…7分 ②当a=一1时，由f(x)≥0，∴.f(x)在R上单调递增，f(x)无极值.…8分 ③当-l<a<0时，由f(x)>0,得x<ln(-a)或x>0, 由f(x)<0,得ln(-a)<x<0, ∴.f(x)在(-o,ln(-a),(0,十o)单调递增，在(ln(一a),0)单调递减， ∴.f(x)在x=ln(-a)处取得极大值，在x=0处取得极小值.…l1分 ④当a<-1时，由f(x)>0,得x<0或x>ln(-a), 由f'(x)<0,得0<x<ln(-a), ∴.f(x)在(-o,0),(ln(-a),十o)单调递增，在(0，ln(-a)单调递减， ∴.f(x)在x=0处取得极大值，在x=ln(一a)处取得极小值. 综上，当a=-1时，f(x)的极值点个数为0； 当a≥0时，f(x)有1个极值点； 当a<0且a≠-1时，f(x)有2个极值点. …15分 17.【解】(1)由a(√3sinB+cosB)=b+c,得sinA(W3sinB+cosB)=sinB+sinC, 3 sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin(A+B), V3 sin Asin B=sin B+sin Bcos A, 而B∈(0，π)，sinB≠0，故√3sinA-cosA=1 4分 2sin(A-晋)=1，所以sim(A-晋）=， 因为A∈(0，x),所以A=于 6分 (2)因为AD为∠BAC的平分线， 在△ABD中，由正弦定理得AD BD AB sin B sin∠BAD sin,∠ADB' 高三数学参考答案第5页（共9页） 即3=BD= AB 3 3sin(B+吾） sin B ，所以BD sin(B+) 2sin B'AB= …9分 sin B 2 6sin(B+晋）)+15 因此AB+5BD 2sin B 533xcos B5 2T2 sin B =35+3× 3cos +2sin 23W3 3 3。十2tan B 2 …12分 2 2 2 sin 2 cos 2 又B∈(0，），所以号心，因此tam号∈0v, 则AB+5BD= 3√39 2 +3tan B≥35+36， 2tan 2 22 当且仅当 -2tan B 号即m号-时，上式等号成立 2 tan 2 所以AB+5BD的最小值为3)3+3V5. 2 …15分 18.【解】(1)(1)证明：连接AC交BD于O,连接A1C1,B1D1,交于点O1,连接OO1, 则OO1⊥平面ABCD. ,BDC平面ABCD,∴.OO1⊥BD 在正方形ABCD中，BD⊥AC, 且AC∩OO1=O,AC,OO1C平面ACC1A1, ∴.BD⊥平面ACCA1. .CC1C平面ACC1A1,.CC1⊥BD.…2分 AA1=CC1=2,A1B1=√2，AB=2W2. .A1C1=2,AC=4, 连接OC1,AO∥AC1且AO=A1C1, .四边形AOC1A1为平行四边形. ∴.OC1=AA1=OC=CC1=2. 连接OE,.E为CC1的中点， .CC⊥OE. 4分 'OE,BDC平面BDE,OE∩BD=O, .CC⊥平面BDE. ,CC1C平面BCC1B1, .平面BDE⊥平面BCCB1. …………小……小4………………小… 5分 高三数学参考答案第6页（共9页） (i)由题意，OA,OB,OO1两两互相垂直， 以O为原点，分别以OA,OB,OO所在直线为x轴，y轴，之轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 连接OA1,则OC1=OA1=A1C1=2,.OO1=√3， .A(2,0,0),B(0,2,0),A1(1,0,w3),B1(0,1,3), D C1(-1,0W3). .AB=(-2,2,0),AA=(-1,0W3), C1B=(1,2,-3).… 7分 设平面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z), 则n·A应-2x+2=0, n·AAi=-x+3z=0, 取x=√3，则y=√3，之=1， ∴.n=(W3,w3,1). 9分 设直线BC1与平面ABB1A1所成的角为0， sin0=|cos(C店，n1=1C店·nl=Y2 1C1B1|n14 小直线BC与平面ABB,A:所成角的正弦值为Y2 …11分 141 (2)取BC,B1C1的中点M,N, 连接0，N,NM,OM,则0，V/0M,0N=号，oM=反. 由题意，设球O2为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的内切球， 则O2为OO的中点，且球O2与平面BCC1B1的切点T在MN上 如图， 可证△O2NO1≌△O2NT,△O2MO≌△O,MT, NT=O,N=号MT=0OM=反. NM=NT+TM-3/2 2 14分 过N作NH⊥OM,垂足为H, 则HM=OM-O,N=Y 2, ∴o0=(32)-()‘=4, .001=2,… 16分 六正四棱台ABCD-AB,CD,的体积为}×2×(2+8+√2X8)=2 .…17分 高三数学参考答案第7页（共9页） 19.【解11)f2(x)=sinx+n3Z-2sinx-号si 3 3sinc 号sinx(3-2sin2z）,m 1分 .3-2sin2x≥3-2=1>0， 则由f2(x)=0,得sinx=0,解得x=kπ，k∈Z. 故f2(x)的所有零点组成的集合为{xx=kπ，k∈Z}.…3分 (2)'.'sin 5x=sin 2xcos 3x+cos 2xsin 3x =2sin xcos x(4cos'x-3cos a)(1-2sin'z)(3sin x-4sin'x) =2sin x(4cos'z-3cos")(1 2sin'z)(3sin x-4sin'x) =2sin x[4(1-sin)3(1-sin'z)]-10sin'z+3sin x+8sin'x =16sinx-20sin3x+5sin x, 、◆ f ()=sin t sin 3xsin 5x 3 5 t33inx-4sinx)+号（16sin'x-20sinz+5sinx） -sin 3 -3sin 3 sin+16: 16 6分 5 sin'x. 令t=sinx∈[-1,1]， 则Fa0=3a-9+9. F(t)=3-16t2+16t4=(4t2-1)(4t2-3),F(t)为偶函数. F(t)为奇函数，故只需考虑t∈[0,1]上的情形， 当0≤号或<C1时，F0≥0，rd单调递猫， 当2<4<时，F<0,F0单调递减 2 0=0,r(）-普F(）-2g5F-8 f3(x)m= 总f=-总 …9分 (3)2sin xcos(2k-1)x=sin[(2k-1)x+x]-sin[(2k-1)x-x] =sin 2kx-sin(2k-2)x, 可知当x≠kπ，k∈N*时， fm'(x)=cosx十cos3x+…+cos(2n-1)x sin 2a-0 sin 4x-sin 2x.sin 2nz sin(2n-2)zsin 2na 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x 令f()=0,可得x-额∈N.…11分 高三数学参考答案第8页（共9页） 为了求fn(x)的最大值，由fn(x)为奇函数，且fn(x)的最小正周期为2x及fn(x一x) =f.(x),故只需考虑0<x≤交的情形 设k∈N,当1)r<<(2h,1)时，f:'()>0,f,()单调递增， 2n 当2k1)r<x<π时，f,'(x)<0,f.(x)单调递减， 2n 放f.（()的极大值点为=(2k二1)匹，k∈N.…13分 2n 当1≤<”2和<x≤21D西时， 2n 令ga)=f+f(e-)-(）-f(2). g)=.x)+f.(-》)0g+ sin 2n(s-2m) 2sin x sin(x-无) sin 2nz sin()+sin 2n()sin t sin 2nx sin()-sin ∠0. 2sin()sin 2sin()sin …………… 故ge)在[，2先]单调递减，故：(2D)<g）=-0, n 2n 考质量测评联盟 即(2”)22D)<<(》, 2n ∴f.(x)在[0,2x]上的最大值为f()或f.(②2D) 小 2n 2n …17分 高三数学参考答案第9页（共9页）绝密★启用前 山东高考质量测评联盟大联考·高三12月联考 回▣ 数学 2025.12 可 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米 黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上， 1.已知集合A={xx2-3x-4≤0，B={x<0,则AUB=( x十2 A.(-2,4] B.[-2,4] C.[-1,1] D.(-2,-1] 2.已知复数= 行为虑数单位，则=( A.-1-i B.-1-2i C.-1+2i D.1-2i 3.若平面a∥平面B,A,B∈a,C,D∈3，则AC=BD是AC∥BD的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.将函数f(x)=3sin(2x十g)十1的图象向右平移晋个单位得到函数g(x)的图象，若 g(x)为偶函数，则o的值可以是() A否 等 C、5x 6 D- 5.已知正六边形ABCDEF中，设AB=a,AF=b,则DF=() A.2a+b B.号a-b C.-2a-b D. 2a-b 高三数学试题第1页（共4页） 2|1-x|,0≤x≤2， 6.已知函数f(x)= 12x-20>2, ,函数g(x)=f(x)一kx有4个零点，则实数k的 取值范围是( ) A[g） [] c) D.( 7.若对任意的x>1,不等式mx-ln号≥0恒成立，则实数m的取值范围是( A.[e,+o) B.[2e,+oo) C.[e D.[是，+w) 8.在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2√5，BC=6,且BM=2√2，AC.AM 0,则平面ACM与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围是( A.(0,1) [导) c[) D.[) 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部 分分，不选或有选错的得0分 9.已知m,n,x,y为实数，则下列结论正确的是( ) A.若x>y,则WE>y B.若xy>0,x+2=4,则2+1≥2 x y C.若x>y>m>n,则x-n>y-m>0 D.若x>y,m>n,mn≠0，则工>义 n m 10.已知a=3,b=4,c=6,则下列结论正确的是() A.|a+b+c的取值范围为[0,13] B.若a⊥b,则|c-a一b的取值范围为[1,11] C若ab且c=a十d(4∈R),则X十u的最大值为号 D.若a⊥b,则(a十b)·(a-c)的最小值为-21 1 1.在数列{a,}中，a1=a,a+1=一3a+a.(n∈N),则下列结论正确的是() A.对Ha∈R,{anm}为递减数列 B.当a=一1时，对任意常数M≥0，am<M恒成立 C.当a=2时，对任意常数M>0,an≤M有解 D当a=1时，10am∈(9,9 高三数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12.设等比数列{an}前n项和为Sn,公比g>1,若a2十a5=18,a3a4=32,则Sn= 13.若f)=log(A干-2)-多则不等式f)十f(2x-1D>0的解集为 14.已知函数f()=sin(mc十g)(ow>0,g∈R)在区间（受，平）上单调，且清足f(受)= -),函数f(x)在区间[受，)上恰有5个零点，则实数m的取值范国为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列(a,}满足a1= 2an+n∈N*). an 2am+1 (1)求证：数列{1)是等差数列，并求数列(a}的通项公式； a (2)求数列{anam+2}的前n项和Sn. 16.(15分) 已知函数fx)-e十(a-1De-ax,a∈R (1)求函数f(x)在(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)极值点的个数， 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a(√3sinB+cosB)=b+c. (1)求角A; (2)D为边BC上一点，若AD为角A的平分线，且AD=3,求AB+5BD的最小值， 高三数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，正四棱台ABCD一A1B1C1D1中，E为CC1中点，A1B1=√2，AB=2√2. (1)当AA1=2时， (i)求证：平面BDE⊥平面BCC1B1: (ⅱ)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值 (2)若正四棱台ABCD一A1B1C1D1存在内切球，求正四棱台的体积」 D C A B E D,:1 B 19.(17分) 正弦型函数被广泛运用于信号处理领域.不同周期的正弦型函数叠加是构造复杂信 号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图像处理、通信系统等）中发挥着关键作用.已知 函数f.(r)=sinx+sin3x+…+simC2n-1)L,c∈R,n∈N(提示：sin3a=3sina-4sina, 3 2n-1 cos3a=4cos'a-3cosa). (1)求函数f2(x)的所有零点组成的集合； (2)求函数f3(x)的最值； (3)对于给定的大于1的正整数n,设集合M={m对Vx∈R,均有fn(x)≤fn(m), 且0≤m≤100x},求集合M中元素的个数. 高三数学试题第4页（共4页）