学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷01（天津专用，测试范围：人教A版选择性必修第一册+数列）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 4[A][B][C[D] 7[A]B][C]D] 2[A[B][C[D] 5 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4 3[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 9[A]B][C][D] 阙 ■ 二、填空题（每小题5分，共30分) 10. 11. 12 3 4 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) M --4E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册+第二册第四章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 4．圆的过点的两条切线互相垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线截C的两条渐近线所得的线段长为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 7．两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 8．已知数列满足，设，为数列的前项和．若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知数列满足，，则 ． 11．已知不能构成三角形，则 ． 12．已知等差数列，前项和分别为和，若，则 ． 13．已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是 ． 14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ． 15．数列满足，则的前项和为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17．（15分） 如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 18．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 19．（15分） 设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点． （1）若的面积为，求的值及圆的方程； （2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值． 20．（16分） 已知为等差数列，为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）记的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设求数列的前项和． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B A D C D B C B D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12．1 13． 14．2 15．1830 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【解析】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ；（6分） （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，．（14分） 17．（15分） 【解析】（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，     则，，，，； 为中点，故；为中点，故． ∴，∴， 设平面的法向量，则， 令得，则，∴， 又∵平面，∴平面．（6分） （2）∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． ∴．（10分） （3）不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 ∵，，则，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面．（15分） 18．（15分） 【解析】（1）依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为：（4分） （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则． 所以的最大值是．（10分） ②证明：由①知． 所以 ．（15分） 19．（15分） 【解析】（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边， 点到准线的距离， ， 圆的方程为．（6分） （2）由对称性设， 则点关于点对称得：得：， 直线， 切点， 直线， 坐标原点到距离的比值为．（15分） 20．（15分） （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q． 由，，可得d=1． 从而的通项公式为． 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为．（5分） （2）证明：由（1）可得， 故，， 从而， 所以．（8分） （3）当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：． 因此，． 所以，数列的前2n项和为．（16分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7[A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册+第二册第四章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 4．圆的过点的两条切线互相垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线截C的两条渐近线所得的线段长为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 7．两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 8．已知数列满足，设，为数列的前项和．若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知数列满足，，则 ． 11．已知不能构成三角形，则 ． 12．已知等差数列，前项和分别为和，若，则 ． 13．已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是 ． 14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ． 15．数列满足，则的前项和为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17．（15分） 如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 18．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 19．（15分） 设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点． （1）若的面积为，求的值及圆的方程； （2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值． 20．（16分） 已知为等差数列，为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）记的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设求数列的前项和． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册+第二册第四章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可． 【详解】，， 又，． 故选：B． 2．已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用空间中点到直线的距离公式求解即可． 【详解】由题可得，又直线的方向向量为， 所以点到的距离为； 故选：A 3．已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 【答案】D 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案． 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以． 故选：D． 4．圆的过点的两条切线互相垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由四边形为正方形，即可求解． 【详解】 设过的两条切线分别和圆相切于， 圆心为，半径为 因为两条切线互相垂直，四边形四个角都是直角，且， 则四边形为正方形， 则， 即，又， 解得， 故选：C 5．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可． 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：D 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线截C的两条渐近线所得的线段长为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件确定，再根据焦距公式和双曲线的性质，即可求解． 【详解】设，则，故， 由题意可得C的两条渐近线为，令可得， 所以，故，所以C的方程为． 故选：B． 7．两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先根据两直线平行的条件（），判断两直线平行求出，再由两平行直线间的距离公式求出，即可． 【详解】因为直线与平行， 所以，即，得：， 将变形为：， 则直线与之间的距离是， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以． 故选C． 8．已知数列满足，设，为数列的前项和．若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出，进而求出，再由裂项相消法求出即可求出最小值． 【详解】数列中，，当时，， 当时，，两式相减得， 则，而不满足此式，因此， 当时，，当时，满足上式； 因此，由对任意恒成立，得， 所以的最小值为． 故选：B 9．已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的定义，结合，求得，即可求解． 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则， 又因为， 即， 可得，则， 在中，， 即，解得， 所以，则， 所以，解得， 故椭圆的离心率为． 故选：D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件直接对前项的和进行并项求和可得结果． 【详解】由，所以， 所以． 故答案为： 11．已知不能构成三角形，则 ． 【答案】 【分析】利用三点共线，则斜率相等，即可求解． 【详解】已知不能构成三角形， 所以三点共线，因为，所以直线的斜率存在， 即， 故答案为： 12．已知等差数列，前项和分别为和，若，则 ． 【答案】1 【分析】利用等差数列下标和的性质及等差数列前n项和公式有，结合已知求值即可． 【详解】由，， 所以． 故答案为： 13．已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点与直线的位置关系可得圆心到直线的距离满足，从而列不等式求解即可得正数的取值范围． 【详解】易知圆的圆心为，半径为3， 且圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离满足， 由，得， 因为，所以正数的取值范围是． 故答案为：． 14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ． 【答案】2． 【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率． 【详解】如图，    由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有， 又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 15．数列满足，则的前项和为 ． 【答案】1830 【详解】试题分析：，令 则 ，即数列是以16为公差的等差数列， 的前60项和为即为数列{bn}的前15项和 考点：数列递推式，数列求和 【名师点睛】本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，属难题．解题时要注意等差数列的求和公式的应用，解题的关键是有已知条件的特征构造等差数列，利用等差数列求和． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 17．（15分） 如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【分析】（1）建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明直线的方向向量与该法向量垂直，证明线面平行； （2）由线面角的向量求法求得直线与平面所成角的余弦值； （3）设存在点，使得平面，根据线面垂直的向量证法求得参数的值，从而判断不存在点，使得平面． 【详解】（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，     则，，，，； 为中点，故；为中点，故． ∴，∴， 设平面的法向量，则， 令得，则，∴， 又∵平面，∴平面． （2）∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． ∴． （3）不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 ∵，，则，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面． 18．（15分） 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解． ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证． 【详解】（1）依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则． 所以的最大值是． ②证明：由①知． 所以 ． 19．（15分） 设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点． （1）若的面积为，求的值及圆的方程； （2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值． 【答案】（1），；（2）3． 【详解】（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边， 点到准线的距离， ， 圆的方程为． （2）由对称性设， 则点关于点对称得：得：， 直线， 切点， 直线， 坐标原点到距离的比值为． 20．（16分） 已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； （2）利用（1）的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可； （3）分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q． 由，，可得d=1． 从而的通项公式为． 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为． （2）证明：由（1）可得， 故，， 从而， 所以． （3）当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：． 因此，． 所以，数列的前2n项和为． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题． / 学科网（北京）股份有限公司 $