精品解析：重庆市沙坪坝区重庆市第一中学校2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

2025年重庆一中初2026届初三上阶段性消化作业（二）数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2.作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握“数的相反数是”是解题的关键． 根据相反数的定义，求-7的相反数． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 全国初中生每天的运动量 B. 某校九年级1班所有同学的视力 C. 一批新生产的电池的续航时间 D. 某种品牌节能灯的使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：∵A项全国初中生数量大，调查成本高，难以全面调查； C项电池续航测试具有破坏性，只能抽样； D项节能灯寿命测试亦具有破坏性且耗时，不宜普查； 而B项某班级同学数量有限，易于全面调查且需精确数据， ∴最适合普查的是B． 故选：B． 3. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：C． 4. 如图，，直线分别与、交于点、．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，根据对顶角相等可得，进而根据两直线平行同旁内角互补，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴ ∵， ∴ 故选：D． 5. 如图，下列图形是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，……按此规律，则第⑦个图形中圆的个数为（） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：∵第①个图形中圆的个数为：， 第②个图形中圆的个数为：， 第③个图形中圆的个数为：， ， 第个图形中圆的个数为：， 第⑦个图形中圆的个数为：． 故选：B． 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．将原表达式化简为，再根据，即可求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴ ∴， ∴ 故选：B． 7. 已知点是线段的黄金分割点，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义．根据黄金分割的定义，当时，与的比值为，由此直接计算． 【详解】解：点是的黄金分割点，且， ， ， ． 故选：A． 8. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件元降到每件元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. % B. % C. % D. % 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，正确理解连续两次降价的模型是解题关键．设平均每次降价的百分率为，根据连续两次降价后的价格关系列方程求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 平均每次降价的百分率为． 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，延长交的延长线于点，证明得出，，进而勾股定理求得，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，再证明进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， 在中， ∵是的角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法： ①若，则当时，满足条件的整式共有4个； ②若，则当时，满足条件的整式共有7个； ③若，且，则当且时，满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式的定义、不等式的应用及组合计数，关键是根据每个说法的条件，结合多项式系数的限制，分类讨论求解符合条件的整式个数，逐一判断三个说法的正误． 【详解】解：①若，当时，为正整数，为非负整数，且． 分两种情况讨论： 当时，，对应整式，共1个； 当时，，非负整数解为，对应整式、、，共3个； 综上，总计个，故①正确； ②若，当时，为正整数， 分和讨论： 当时，，为正整数，为非负整数，式子变形为． 正整数解满足，解得、， 对应整式、，共2个； 当时，为正整数，为非负整数，式子为． 当时，式子变形为， 解得、，对应整式、，共2个； 当时，式子变形为， 解得、，对应整式、，共2个； 当时，式子变形为， 解得，对应整式，共1个； 当时，左边，无符合条件的解； 综上，时总计个，结合的2个，共个，故②正确； ③若，且，当且时： 由相邻项差，得，，，，故； 结合，得且，解得且， 结合，得，故； 由，得，即，结合为非负整数，得； 由，得，即；由，得；由，得； 列举的取值： 时，可取，共7个； 时，可取，共6个； 时，可取，共5个； 时，可取，共4个； 时，可取，共3个； 时，可取，共2个； 时，可取，共1个； 总计个； 又，若，则，无符合条件的解，故只能为4，满足条件的整式共个，故③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数为3． 故选：． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将正确答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 第十五届全运会于2025年11月9日在广州开幕，设34个竞技比赛和23个群众赛事活动，共有14000多名运动员参加．数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在不透明盒子中装有2张红桃扑克牌和1张黑桃扑克牌，这些扑克牌除花色外无其他差别．从盒子中一次性随机摸出2张扑克牌，则摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法求概率．根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：将2张红桃扑克牌记为红1、红2，1张黑桃扑克牌记为黑1 列表如下， 红1 红2 黑1 红1 红1，红2 红1，黑1 红2 红2，红1 红2，黑1 黑1 黑1，红1 黑1，红2 共有种等可能结果，其中摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的有2种 ∴摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率为 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，点是对角线的中点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提． 根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出两个空白扇形的面积，可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，点是对角线的中点，，， ∴与交于点，，，，， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 14. 已知，是方程的两个根，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到的值，并结合方程根的定义将用表示，代入代数式化简求值． 【详解】解：，是方程的两个根， ，，且，即． ． 故答案为：． 15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，对角线、相交于点，为延长线上一点，连接，若，，，则的长度为______，的长度为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查圆的综合，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，连接交于，由，得到垂直平分，，则，，根据，得到，再求出，接着根据勾股定理，解得，得到，，最后证明，得到，代入计算，解得． 【详解】解：连接交于， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴是的中位线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴半径， ∵， ∴， 解得， ∴，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：，． 16. 我们规定：若一个四位数满足千位数字与十位数字之和为5的倍数，百位数字与个位数字之和为4的倍数，则称这个数为“五湖四海数”，例如：四位数3276，因为，，所以3276是“五湖四海数”．按照这个规定，最小的“五湖四海数”为______；若一个“五湖四海数”（其中，，，，且、、、均为整数），记，，若能被3整除，则满足条件的所有的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据最小的四位数千位数字为，百位数字为，结合新定义，即可求解．分时，当时，分别求得的式子，进而根据能被3整除，得出，再分类讨论，求得最大值与最小值，即可求解． 【详解】解：∵最小的四位数的千位数字为，百位数字为 又∵千位数字与十位数字之和为5的倍数，百位数字与个位数字之和为4的倍数， ∴十位数字为， 又∵要找最小数，则个位数字为 ∴最小的“五湖四海数”为； ∵，其中：，，，，且均为整数． 当时， 当时， ∵为整数且能被3整除，其中，． ∴是的倍数， 当时，M的千位与十位数字之和为，此值应为的倍数， 当时，M的千位与十位数字之和为，此值应为的倍数， 又因能被3整除，可知是的倍数 综合以上条件，并结合a，c的取值范围，可得满足条件的的值只能是 ∴当时符合题意，则，则 列举所有可能如下： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： 所有值按升序排列：，，，，，，． 最小值，最大值 差值 故答案为：，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 按要求完成下列各题： （1）求不等式组：的所有整数解； （2）解一元二次方程：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，解一元二次方程． （1）分别解不等式①和②，找出它们的解集的交集，然后确定其中的整数解； （2）使用求根公式解一元二次方程； 【小问1详解】 解：解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 整数解为：， 【小问2详解】 解： ∴，， ∴， 解得： 18. 如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，菱形的判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据题意作的角平分线交的延长线于点，连接； （2）根据平行四边形的性质得出，进而证明得出，进而证明得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，即可得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，． ∵， 在和中 ∴ ， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ∵， ． ． ， 四边形是菱形． 故答案为：；；；． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，零指数幂与负整数指数幂，先去括号，把除法变为乘法把分式化简，同时进行整式的混合运算，再根据负整数指数幂与零指数幂求得，最后代入求值． 【详解】解：原式  当时，原式． 20. 为积极响应“体育强国”建设号召，推动青少年健康知识普及，某学校举办了“健康伴我行”体质健康知识竞赛活动．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为50分且为整数）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分四组：，，，），下面给出了部分信息： 八年级20名学生竞赛成绩是： 50，50，50，49，49，49，48，47，47，46， 46，46，46，45，44，44，43，42，40，39； 九年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：47，47，47，47，46，46，45，45，45． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 46 46 九年级 46 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生体质健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校八年级有学生1680人，九年级有学生1120人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩大于47分的学生人数共是多少? 【答案】（1），，； （2）九年级学生的成绩更好，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b,用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用九、八年级人数乘以大于47分的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：八年级20名学生竞赛成绩中出现的次数最多，故众数为，即； 九年级20名学生竞赛成绩在组人数，则九年级20名学生竞赛成绩按从小到大排列的第10和第11名在组中，分别为和，故中位数为； 组占比为， ∴组占比为， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：认为九年级学生的成绩更好，理由如下： 因为八年级学生与九年级学生的平均分相等，但九年级学生的中位数和众数都更大； 【小问3详解】 解：该校八、九年级参加此次竞赛成绩大于47分的学生人数共是（人）． 【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势． 21. 某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个． （1）请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？ （2）由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值． 【答案】（1）高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋 （2）50 【解析】 【分析】（1）设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋，进而根据所用天数相同，列出分式方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋 根据题意， 解得： 答：高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋 【小问2详解】 解：升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋 解得： 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴的值为． 22. 在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2） 函数，的图象如图所示， 的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数，根据题意求出一次函数和反比例函数是解题的关键． （1）根据运动时间的变化，的面积表示方法不同，分别根据当时和当时，表示出即可；先表示出的运动路程，再根据的长与点的运动路程之比为，解答即可； （2）根据函数，的解析式画出图象即可；根据的图象，写出函数的一条性质即可； （3）先求出和的交点，再根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为， 当时，， 当时，， ∴， ∵，的运动路程为， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， 当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， ∴由图可知，当时，的取值范围约． 23. “书香润泽心灵，阅读丰富人生”，重庆市少年儿童图书馆焕新亮相于重庆园博园附近．如图，、、、在同一平面内．图书馆在的东北方向上，且在少年宫的北偏西60°方向上，园博园正门在的正南方向千米处，且在少年宫的南偏西方向1千米处．（参考数据：，，） （1）求图书馆与少年宫之间的距离（结果保留根号）； （2）小依和小钟相约图书馆阅读，小依从少年宫出发，沿着方向匀速运动，同时小钟从园博园正门出发，沿北偏东某方向匀速直线运动，两人在上某处相遇后再一起前往图书馆．已知小钟速度为小依速度的倍，求两人的相遇点距目的地的距离．（结果保留小数点后两位） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）如图，过作于，过作于，过作于，由题意可得，，，，，即可得到，，，，设，则，，根据，解得，最后根据求解即可； （2）设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，设小依运动路程，则小钟运动路程，在中，得到，，则，，再根据，列方程解得，最后代入两人的相遇点距目的地的距离计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 由题意可得，，，，， ∴中，，， ∴，， 解得，， ∴， ∵中，， ∴， 设，则，， ∵中，，， ∴，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 设小依运动路程， ∵小钟速度为小依速度的倍， ∴小钟运动路程， ∵中，，， ∴，， ∴，， 中，， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴两人的相遇点距目的地的距离． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，过点O作直线，点M，N分别为射线和直线l上的动点，且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线经过点C，点D为抛物线对称轴上的一点，连接，过点D作交抛物线于点E，且点E位于抛物线对称轴的左侧，连接、．若，请直接写出所有符合条件的点E的横坐标． 【答案】（1） （2）， （3）x的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出点C，点B的坐标，再将点A，点B坐标利用待定系数法分别代入抛物线中即可求得其解析式； （2）作轴交于点D，作轴交于点E，得出，先利用待定系数法求出直线的解析式，随即求得点D的坐标进而得出，的值，证明得到最大值时，最大，设，则，列出的二次函数关系式求得点P的坐标；作于点F，利用三角形面积公式得出的值，通过平移得出点的坐标并得出，再作轴于点G，通过正弦的定义得出，进而求得当，M，G三点共线且轴时，的最小值； （3）先求出平移后的新抛物线解析式及其对称轴，设，则，利用正切的定义得出线段比例关系，此时分情况讨论：①当点E在点D下方时，②当点E在点D上方时，分别作对应的辅助线后利用求出的值，进而推出点的坐标， 从而得出结论当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为，进而求出和的值，利用待定系数法分别求出直线和的解析式，最终联立新抛物线解析式即可求出点E的横坐标． 【小问1详解】 解：由题意知，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将点A，B分别代入抛物线得 ，解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：如图，作轴交于点D，作轴交于点E， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴点D坐标为，则，， ∵，， ∴， ∴，则最大值时，最大， 设，则， ， ∵， ∴当时，最大，此时， 作于点F， ∴，得， 将点P沿方向平移得点，则，且， ∴， 作轴于点G，， ∴， ∴， 当，M，G三点共线且轴时取等号，故. 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线平移，且过点C， ∴新抛物线解析式为，对称轴为，记对称轴为直线， 设，则， ∴，即， ①当点E在点D下方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点下方，使得， 设， ∴，即， 延长至点F，与直线交点F， ∴， ∴，解得， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，点坐标为， ∴，， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得，， 解得（舍去），； ②当点E在点D上方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点上方，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得：， 解得（舍去），， 综上所述，x的横坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的应用及函数与几何的综合应用． 25. 如图，在中，，，点是平面内一点，连接，连接交于点． （1）如图1，，，若，求线段的长度； （2）如图2，，，点为线段延长线上一点，连接交于点且，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，．用等式表示线段，与的数量关系并证明； （3）如图3，，点，分别为线段，上的动点且，点为线段的中点，连接，．当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内得，此时以为斜边向右侧构造，，连接，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，，，则，，根据设，则，，勾股定理得出，根据得出，进而求得，根据，求得，进而求得的长，即可求解． （2）结论：，证明得出，则，延长至，使得，连接，进而证明得出，，则，即可求解； （3）过点作，过点作于点，连接，过点作于点，证明，连接，，作关于的对称点，则当在上时，取最小值，进而作出辅助线，解直角三角形，根据的面积为，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，则； 【小问2详解】 解：， 理由如下：∵， ，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，延长至，使得，连接， 又∵点为线段的中点， ∴， ∵，， ∴ ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴即， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作，过点作于点，连接，过点作于点， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴共线， ∴垂直平分， ∴， 连接，，作关于的对称点， ∴， ∴当在上时，取最小值，此时如图， ∵，点为线段的中点， ∴，， ∴， 过点作于点，则是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折到所在的平面内得， ∴，，则， 此时以为斜边向右侧构造，， 则在以的中点为圆心为半径的圆上运动，当经过点时，取最大值， 设，交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点，作的垂线，垂足为，，交于点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积为， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆一中初2026届初三上阶段性消化作业（二）数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2.作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. 7 C. D. 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 全国初中生每天的运动量 B. 某校九年级1班所有同学的视力 C. 一批新生产的电池的续航时间 D. 某种品牌节能灯的使用寿命 3. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，直线分别与、交于点、．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列图形是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，……按此规律，则第⑦个图形中圆的个数为（） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 已知点是线段的黄金分割点，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件元降到每件元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. % B. % C. % D. % 9. 如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法： ①若，则当时，满足条件的整式共有4个； ②若，则当时，满足条件的整式共有7个； ③若，且，则当且时，满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将正确答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 第十五届全运会于2025年11月9日在广州开幕，设34个竞技比赛和23个群众赛事活动，共有14000多名运动员参加．数据用科学记数法表示为_____． 12. 在不透明盒子中装有2张红桃扑克牌和1张黑桃扑克牌，这些扑克牌除花色外无其他差别．从盒子中一次性随机摸出2张扑克牌，则摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率是_____． 13. 如图，在菱形中，点是对角线的中点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 已知，是方程的两个根，则代数式的值为_____． 15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，对角线、相交于点，为延长线上一点，连接，若，，，则的长度为______，的长度为______． 16. 我们规定：若一个四位数满足千位数字与十位数字之和为5的倍数，百位数字与个位数字之和为4的倍数，则称这个数为“五湖四海数”，例如：四位数3276，因为，，所以3276是“五湖四海数”．按照这个规定，最小的“五湖四海数”为______；若一个“五湖四海数”（其中，，，，且、、、均为整数），记，，若能被3整除，则满足条件的所有的最大值与最小值的差为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 按要求完成下列各题： （1）求不等式组：的所有整数解； （2）解一元二次方程：． 18. 如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为积极响应“体育强国”建设号召，推动青少年健康知识普及，某学校举办了“健康伴我行”体质健康知识竞赛活动．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为50分且为整数）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分四组：，，，），下面给出了部分信息： 八年级20名学生竞赛成绩是： 50，50，50，49，49，49，48，47，47，46， 46，46，46，45，44，44，43，42，40，39； 九年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：47，47，47，47，46，46，45，45，45． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 46 46 九年级 46 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生体质健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校八年级有学生1680人，九年级有学生1120人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩大于47分的学生人数共是多少? 21. 某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个． （1）请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？ （2）由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值． 22. 在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. “书香润泽心灵，阅读丰富人生”，重庆市少年儿童图书馆焕新亮相于重庆园博园附近．如图，、、、在同一平面内．图书馆在的东北方向上，且在少年宫的北偏西60°方向上，园博园正门在的正南方向千米处，且在少年宫的南偏西方向1千米处．（参考数据：，，） （1）求图书馆与少年宫之间的距离（结果保留根号）； （2）小依和小钟相约图书馆阅读，小依从少年宫出发，沿着方向匀速运动，同时小钟从园博园正门出发，沿北偏东某方向匀速直线运动，两人在上某处相遇后再一起前往图书馆．已知小钟速度为小依速度的倍，求两人的相遇点距目的地的距离．（结果保留小数点后两位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，过点O作直线，点M，N分别为射线和直线l上的动点，且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线经过点C，点D为抛物线对称轴上的一点，连接，过点D作交抛物线于点E，且点E位于抛物线对称轴的左侧，连接、．若，请直接写出所有符合条件的点E的横坐标． 25. 如图，在中，，，点是平面内一点，连接，连接交于点． （1）如图1，，，若，求线段的长度； （2）如图2，，，点为线段延长线上一点，连接交于点且，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，．用等式表示线段，与的数量关系并证明； （3）如图3，，点，分别为线段，上的动点且，点为线段的中点，连接，．当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内得，此时以为斜边向右侧构造，，连接，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $