学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷（北师大版选择性必修第一册全部）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B A C D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ABD ABC AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）依题意有，即， 整理可得，解得或（不合题意，舍去），所以的值为.（6分） （2）展开式通项为，（8分） 由题意得，则，（10分） 所以第项、第项与第项为有理项，它们分别为，，.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）连接，交于点，因为是菱形，所以， 分别以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，（2分） 如图，，，则， 所以, 点是棱的中点,则， ，（6分） 所以异面直线与所成角的余弦值为；（8分） （2）由（1）知，设平面的一个法向量是， 则，取得，（12分） ， 所以直线与平面所成角的正弦值为．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意得，只实验鼠中，有7只体征状况严重. 的可能取值有0，1，2，3， （1分） ， ， ， .（5分） 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.（8分） （2）由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表： 蛋白干预 非蛋白干预 合计 体征状况严重 2 5 7 体征状况不严重 6 3 9 合计 8 8 16 零假设：实验鼠体征状况与蛋白干预没有关系. 利用列联表中的数据得，，（14分） 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与蛋白干预无关.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得；（3分） （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. （6分） 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望；（10分） （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）方法1：令，且，解得， ，椭圆的方程为.（4分） 方法2：设，由题意（常数）， 整理得：， 故，又，解得：. ，椭圆的方程为. 方法3：设，则. 由题意. 为常数，，又，解得：，故， 椭圆的方程为. （2）①由角平分线定理知：，以下求的值， 令直线的方程为：， （该方程的恒成立）， 设.则， 再令，即，代入韦达定理得 ， 由知，， ， 又，故， ，即.（10分） ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，在以为定点的阿波罗尼斯圆上， 设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，则有， 而，同理， 由①知，， ， 由式 ， 由圆周长公式：， ， ， 直线的方程为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．经过两点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 4．甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（   ） A．480 B．360 C．240 D．144 5．已知随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 6．在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与的左、右两支分别交于两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（    ） A． B． C． D． 11．已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 13．在平面直角坐标系xOy中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为 ，的角平分线所在的直线方程为，则直线的方程为 ． 14．已知以为圆心的圆及其上一点，设满足：存在圆上的两点和，使得，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比是. (1)求； (2)求展开式中所有的有理项. 16．（15分） 如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分） 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称，分为（导致早起倾向）和（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与蛋白干预实验中，出现突变的指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 指标 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 指标 长期试验发现，若实验鼠指标超过，则认定其体征状况严重， (1)从实验鼠中随机选取只，记为体征状况严重的只数，求的分布列和数学期望； (2)若编号的实验鼠为蛋白干预实验组，编号的为非蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？ 附：（其中）. 18．（17分） 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 19．（17分） 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点与两定点的距离的比值是个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方）两点，点是椭圆上异于的两点，平分平分. ①求的取值范围； ②将点看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的周长为，求直线的方程. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A D B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) B F 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．经过两点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 4．甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（   ） A．480 B．360 C．240 D．144 5．已知随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 6．在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与的左、右两支分别交于两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（    ） A． B． C． D． 11．已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 13．在平面直角坐标系xOy中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为 ，的角平分线所在的直线方程为，则直线的方程为 ． 14．已知以为圆心的圆及其上一点，设满足：存在圆上的两点和，使得，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比是. (1)求； (2)求展开式中所有的有理项. 16．（15分） 如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分） 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称，分为（导致早起倾向）和（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与蛋白干预实验中，出现突变的指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 指标 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 指标 长期试验发现，若实验鼠指标超过，则认定其体征状况严重， (1)从实验鼠中随机选取只，记为体征状况严重的只数，求的分布列和数学期望； (2)若编号的实验鼠为蛋白干预实验组，编号的为非蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？ 附：（其中）. 18．（17分） 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 19．（17分） 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点与两定点的距离的比值是个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方）两点，点是椭圆上异于的两点，平分平分. ①求的取值范围； ②将点看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的周长为，求直线的方程. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 1．【答案】B 【解析】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 2．经过两点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．【答案】C 【解析】经过两点和的直线斜率为， 所以该直线的倾斜角为， 故答案为：C. 3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 3．【答案】B 【解析】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 4．甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（   ） A．480 B．360 C．240 D．144 4．【答案】A 【解析】优先甲、乙、丙进行排列，先从6个位置中选出3个位置，共有种， 根据甲、乙均在丙同侧，有甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙、丙乙甲共4种排法， 剩下3人共有种排法， 根据分步计数乘法原理，所求不同的排法共有种. 故选:A. 5．已知随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 5．【答案】C 【解析】由题意可得：，解得， 则， 所以. 故选：C. 6．在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】D 【解析】设平行六面体棱长为，， 且，， ， 在上的投影向量为. 故选：D. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与的左、右两支分别交于两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．【答案】C 【解析】连接，，，， 由以AB为直径的圆恰好过左焦点可得，由双曲线的对称性得四边形为矩形， 可设，则， 在直角三角形中，可得， 即，解得， 又在直角三角形中，， 即，， 因为 所以，即. 故选：C． 8．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】因为，， 所以，即， 同理可证OA，OB，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以， 所以，设，， 则，所以，，，四点共面， 因为，，，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 因为，所以的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ） A． B． C． D． 9．【答案】ABD 【解析】，， 两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确； 又，所以，故B正确； 又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误； 又，所以，故D正确； 故选：ABD. 10．在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（    ） A． B． C． D． 10．【答案】ABC 【解析】对于选项A ：，令 则； 对于选项B： 令； 对于选项 C： 即 令 则； 对于选项D： 令则 此时斜率为 ，与最小二乘法不符． 故选：ABC. 11．已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 11．【答案】AB 【解析】对于A，因为，，， 所以， 所以，即，故A正确； 对于B，因为①，， 又因为，所以，所以 代入①可得：，所以， ，所以，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D不正确； 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 12．【答案】 【解析】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为：. 13．在平面直角坐标系xOy中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为 ，的角平分线所在的直线方程为，则直线的方程为 ． 13．【答案】 【解析】设， 因为点的坐标为，所以中点， 又所在的直线方程为， 所以，即， 又点在直线上， 所以， 由解得，所以， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 14．已知以为圆心的圆及其上一点，设满足：存在圆上的两点和，使得，则实数的取值范围为 ． 14．【答案】 【解析】根据题意，圆，即， 其圆心为，半径， 设，， 又由，则，，， 若，则有，变形可得， 若在圆上，则， 则有，变形可得：， 即点也在圆上， 从而圆与圆有公共点， 则有， 变形可得：， 解得：，即的取值范围为； 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比是. (1)求； (2)求展开式中所有的有理项. 15．（13分） 【解析】（1）依题意有，即， 整理可得，解得或（不合题意，舍去），所以的值为. （2）展开式通项为， 由题意得，则， 所以第项、第项与第项为有理项，它们分别为，，. 16．（15分） 如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（15分） 【解析】（1）连接，交于点，因为是菱形，所以， 分别以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，则， 所以, 点是棱的中点,则， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）知，设平面的一个法向量是， 则，取得， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．（15分） 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称，分为（导致早起倾向）和（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与蛋白干预实验中，出现突变的指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 指标 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 指标 长期试验发现，若实验鼠指标超过，则认定其体征状况严重， (1)从实验鼠中随机选取只，记为体征状况严重的只数，求的分布列和数学期望； (2)若编号的实验鼠为蛋白干预实验组，编号的为非蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？ 附：（其中）. 17．（15分） 【解析】（1）由题意得，只实验鼠中，有7只体征状况严重. 的可能取值有0，1，2，3， ， ， ， . 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. （2）由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表： 蛋白干预 非蛋白干预 合计 体征状况严重 2 5 7 体征状况不严重 6 3 9 合计 8 8 16 零假设：实验鼠体征状况与蛋白干预没有关系. 利用列联表中的数据得，， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与蛋白干预无关. 18．（17分） 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 18．（17分） 【解析】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为. 19．（17分） 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点与两定点的距离的比值是个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方）两点，点是椭圆上异于的两点，平分平分. ①求的取值范围； ②将点看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的周长为，求直线的方程. 19．（17分） 【解析】（1）方法1：令，且，解得， ，椭圆的方程为. 方法2：设，由题意（常数）， 整理得：， 故，又，解得：. ，椭圆的方程为. 方法3：设，则. 由题意. 为常数，，又，解得：，故， 椭圆的方程为. （2）①由角平分线定理知：，以下求的值， 令直线的方程为：， （该方程的恒成立）， 设.则， 再令，即，代入韦达定理得 ， 由知，， ， 又，故， ，即. ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，在以为定点的阿波罗尼斯圆上， 设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，则有， 而，同理， 由①知，， ， 由式 ， 由圆周长公式：， ， ， 直线的方程为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $