专题06.代数式期末复习冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学代数式复习讲义通过知识框架图系统梳理代数式的核心内容，涵盖定义、书写规范、列代数式方法、求值运算及易错点警示，并用对比表格呈现书写规范（如数字与字母相乘的正确格式），构建从基础概念到综合应用的递进脉络，突出整体代入、规律探究等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固概念（如代数式识别），中档题提升建模能力（如用代数式表示商品打折价格），压轴题强化推理意识（如单项式系数次数规律探究）。通过典型例题解析整体代入技巧，易错点警示帮助规避常见错误，支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题06.代数式期末复习冲刺必备讲义 1.理解代数式的概念，能准确区分代数式与等式、不等式。 2.掌握代数式的书写规范，避免常见格式错误。 3.会用代数式表示实际问题中的数量关系，提升建模能力。 4.熟练进行代数式的求值运算，掌握整体代入等解题技巧。 5.突破代数式相关的规律探究、分类讨论类压轴题。 期末必备 知识点梳理 1.代数式的定义 2.代数式的书写规范 3.列代数式的方法 4.代数式的值 5.题型分类突破 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.列代数式 2.用代数式表示数.图形的规律 3.已知字母的值求代数式的值 4.已知式子的值.求代数式的值 5.程序流程图与代数式求值 6.单项式的识别与判断 7.单项式的系数与次数 8.单项式的规律题探究题 9.多项式的项.项数与次数 10.多项式中含字母的系数.指数求值 11.多项式按字母升幂(降幂)排列 12.整式的识别与判断 期末备考 压轴通关 压轴题(16题) 【知识点01.代数式的定义】 概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 易错辨析： 代数式中不含等号（=）、不等号（>、<、≥、≤、≠）。 例：3x+2 是代数式；3x+2=5、3x+2>5 不是代数式。 【知识点02.代数式的书写规范】 要求 示例 错误写法 数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号可省略 3a a3、3×a 字母与字母相乘，乘号可省略，按字母顺序书写 xy x×y 带分数与字母相乘，先把带分数化成假分数 a 2a 除法运算写成分数形式 a÷b 代数式后有单位，且代数式是和或差的形式，要加括号 (a+b)米 a+b米 【知识点03.列代数式的方法】 核心：把实际问题中的数量关系，用代数式表示出来。 步骤： 1.找出问题中的关键词（如和、差、积、商、倍、分、大、小、多、少）。 2.理清数量之间的运算顺序。 3.用字母和运算符号表示出来。 典型例题： (1)a的 3 倍与b的和：3a+b (2)x与y的差的平方：(x−y)2 (3)比m的大 5 的数：m+5 【知识点04.代数式的值】 概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。求值步骤： 1.代入：用指定的数值代替代数式中的字母。 2.计算：按照代数式规定的运算顺序计算。常用技巧： 直接代入：适用于字母取值明确的情况。 例：当x=2时，求2x2−1的值。 解：原式=2×22−1=2×4−1=7 整体代入：适用于已知代数式的值，求相关代数式的值。 例：已知x+y=5，求2x+2y+3的值。 解：原式=2(x+y)+3=2×5+3=13 【知识点05.题型分类突破】 题型 1 代数式的概念与书写规范（基础题） 1.下列各式中，属于代数式的是（ ） A. x+5=7 B. 4>3 C. 0 D. x⩽1 答案：C解析：代数式不含等号和不等号，单独的一个数是代数式。 2. 下列代数式书写规范的是（ ） A. a×2 B.2a C. D.x+5米 答案：C 题型 2 列代数式（中档题） 3. 某商品原价为 a 元，打八折后的价格是（ ）A. 0.8a B. 8a C. 80a D.​ 答案：A 题型 3 代数式求值（重点题） 4.当a=−1，b=2时，求代数 a2b−2ab2+ab的值。 解： 原式=(−1)2×2−2×(−1)×22+(−1)×2 =1×2−2×(−1)×4−2 =2+8−2=8 5.已知2a−b=3，求代数式4a−2b+5的值。 解： 原式=2(2a−b)+5=2×3+5=11 题型 4 规律探究（压轴题） 6. 观察下列一组代数式：a，−2a2，4a3，−8a4，… （1） 写出第 5 个代数式； （2） 写出第n个代数式（n为正整数）。 分析： 系数：1，−2，4，−8，… 规律为 (−2)n−1 字母次数：a1，a2，a3，a4，… 规律为an 答案： （1） 第 5 个代数式：16a5 （2） 第n个代数式：(−2)n−1an 【知识点06.易错点警示】 1.混淆运算顺序：如 “x与y的平方和”是x2+y2，不是(x+y)2。 2.整体代入时漏乘系数：如已知x−y=2，求3x−3y+1，易误算为3×2+1=7（正确），若写成x−y+1就错了。 3.书写规范错误：带分数与字母相乘、除法未写成分数形式是期末高频扣分点。 【题型1.列代数式】 【典例】某品牌电脑原价n元，降价后又降低m元，该电脑现价（单位：元）为（ ）元 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，理清降价顺序是解题关键． 根据题意，先计算降价后的价格，再减去降低的m元即可得到现价． 【详解】解：原价为n元，降价后价格为元， 又降低m元，现价为元． 故选：C． 【跟踪专练1】下面四个代数式：①②③④其中能够表示图中阴影部分面积的代数式是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了列代数式，对阴影部分进行割补即可求解；由长方形面积减去空白部分面积得阴影部分面积，从而可判断①；上面大长方形面积加下面小长方形的面积可判定③；右边大长方形的面积加左边正方形的面积可判断②和④． 【详解】解：大长方形的长为，宽为，空白部分是一个长为，宽为x的长方形，则阴影部分面积为：，故①正确； 上面大长方形的长为，宽为，面积为，下面阴影部分长方形的面积为，则阴影部分面积为，故③正确； 右边大长方形的长为，宽为3，面积为，右边正方形的面积为，则阴影部分面积为，则②错误，④正确； 故正确的有①③④； 故答案为：①③④． 【跟踪专练2】下面每个选项中的两种量成反比例的是（   ） A．路程一定，速度和时间 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．长方形周长一定，长和宽 D．商品单价一定，数量和总价 【答案】A 【分析】本题考查了反比例关系的判断，根据两种量是否成反比例，需看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则成反比例，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵路程速度时间，路程一定， ∴速度与时间的乘积为定值， ∴速度和时间成反比例，原选项符合题意； 、∵体积底面积高，高一定， ∴体积与底面积的比值为定值， ∴体积和底面积成正比例，原选项不符合题意； 、∵周长（长宽），周长一定， ∴长与宽的和为定值，但乘积不一定， ∴长和宽不成反比例，原选项不符合题意； 、∵总价单价数量，单价一定， ∴总价与数量的比值为定值， ∴总价和数量成正比例，原选项不符合题意； 故选：． 【题型2.用代数式表示数.图形的规律】 【典例】用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第2025个图形需要棋子 枚． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律．根据图形发现图形棋子个数的规律是解题的关键． 第1个图中，棋子个数为4；第2个图中，棋子个数为；第3个图中，棋子个数为；得出规律，进而求解出第2025个图中的棋子个数． 【详解】解：第1个图中，棋子个数为4； 第2个图中，棋子个数为； 第3个图中，棋子个数为； …… 得出规律为第n个图中，棋子个数为； 当时，棋子个数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则壬烷分子结构式中“H”的个数是（   ） A．9 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结归纳出图形变化规律． 根据题意，得到氢原子数目的规律，即可解答． 【详解】解：观察，发现规律： 甲烷：氢原子的数目； 乙烷：氢原子的数目； 丙烷：氢原子的数目； ……． 烷：氢原子的数目； 则壬烷的碳原子数为9，分子结构式中“”的个数：， 故选D． 【跟踪专练2】老师画了一排相连的正六边形蜂巢结构示意图，第1个图形有6条线段，第2个图形有11条线段，第3个图形有16条线段…，要画出n(n为正整数)个相连的蜂房，一共需要画 条线段． 【答案】/ 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据前几个图形中线段的条数总结规律；根据前几个图形中线段的条数总结规律，用此规律求解在第个图形中的线段的条数即可． 【详解】解：观察图形可知：第个图形有条线段， 第个图形有条线段， 第个图形有条线段， ， 则第个图形中线段数共有条， 故答案为：． 【题型3.已知字母的值.求代数式的值】 【典例】若，且，那么的值是（    ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据绝对值的意义，x和y各有两种可能值，结合 的条件，排除不满足的组合，计算 的值． 【详解】解：，， ，， 又， 当时，，， 当时，，， 当时，，不符合题目要求， 当时，，不符合题目要求， 的值为2或12． 故选：A． 【跟踪专练1】当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的整体代入求值，能够进行代数式之间的转化是解题关键． 利用已知条件求出p与q的和，再利用时的特点，将代数式转化为含的形式，代入计算． 【详解】解：当时， ， 当时， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若，，且那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、平方根的定义以及有理数的减法运算，熟练掌握根据条件筛选变量的可能值是解题的关键． 先根据绝对值和平方的定义求出、的可能值，再结合的条件筛选出符合的组合，最后计算的值． 【详解】解：∵ ∴或 ∵ ∴或 ∵ ∴当时，、均不成立，故不符合条件； 当时，成立，成立． ∴符合条件的组合为：； 当时，； 当时， ∴的值为或 故选：． 【题型4.已知式子的值.求代数式的值】 【典例】.若代数式，则代数式值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值，由已知等式得出，再将所求代数式变形后代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值．由可得，进而得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型5.程序流程图与代数式求值】 【典例】如图，按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值最多有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，程序计算，读懂题意，将程序进行逆运算是解本题的关键．根据题目中的程序进行逆运算即可得出答案． 【详解】解：若运算一次即输出，则，； 若运算两次输出，则第一次输出，令，； 若运算三次输出，则第一次输出，令，； 若运算四次输出，则第一次输出，令，，因为x为正整数，不合题意；满足条件的x的不同值有3个， 故选：A． 【跟踪专练1】按如图所示的程序计算，当输入的有理数m，n满足时，y的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，非负性，根据非负性求出的值，根据流程图将的值代入关系式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作，它的内容丰富，如图所示的程序框图就是源于《九章算术》中的“更相减损术”．如果输入的值为，那么输出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序框图中代数式求值，根据程序框图把代入即可求解，理解程序框图中的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【题型6.单项式的识别与判断】 【典例】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了单项式、多项式和整式的判断，解题的关键是熟练掌握定义． 利用单项式、多项式和整式的定义进行分类即可． 【详解】解：单项式：{，，0，，m，…}； 多项式：{，，…}； 整式：{，，0，，，，m，…}． 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（    ） A．是单项式 B．多项式的次数是4 C．0不是整式 D．单项式的系数是，次数是2 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式的相关概念（包括次数、系数），熟练掌握这些概念的定义是解题的关键．依次分析每个选项，结合单项式、多项式、整式的定义及相关概念判断正误． 【详解】解： 是多项式，不是单项式，A错误． ∵ 多项式中次数最高项是，次数为， ∴ 该多项式的次数是4，B正确． ∵ 单独的数字0是单项式，而单项式属于整式， ∴ 0是整式，C错误． 单项式的系数是，次数是，D错误． 故选：B． 【跟踪专练2】在下列代数式：，，，，中，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的概念是解决本题的关键．数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【详解】解：在这一组数中只有代数式：，，是单项式，共3个； 分母中含有字母，故不是单项式． 故选：A 【题型7.单项式的系数与次数】 【典例】有五种说法∶ ①表示负数；②精确到百分位；③单项式的系数是，次数是4；④多项式是三次三项式；⑤在中，整式有2个；其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正负数的定义、科学记数法、近似数、单项式的系数与次数、多项式及整式的定义，熟练掌握各个定义是解题的关键；因此此题可根据正负数的定义、科学记数法、近似数、单项式的系数与次数、多项式及整式的定义进行排除选项即可． 【详解】解：①当时，，0既不是正数也不是负数，故说法错误； ②，精确到百位，故说法错误； ③单项式的系数是，次数是3；故说法错误； ④多项式是三次三项式，说法正确； ⑤在中，整式有，共3个，故说法错误； 故选:A． 【跟踪专练1】已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式与单项式的定义，根据多项式的次数为6，可求出m的值；根据单项式的次数与多项式次数相同，可求出n的值，进而计算． 【详解】解：多项式是六次四项式，最高次项为 ，其次数为，解得． 单项式的次数为，与多项式次数相同，即， 解得． 因此， 故答案为：4 【跟踪专练2】若单项式的次数是3，当时，此单项式的值是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 先根据单项式的概念求出的值，再将代入计算即可． 【详解】∵单项式的次数是3， ∴， ∴， ∴单项式为， 当时，此单项式的值是， 故答案为：． 【题型8.单项式的规律探究题】 【典例】观察下列关于的单项式：，按照上述规律，第个（为正整数）单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律问题． 观察单项式的系数和指数，发现系数是正负交替的奇数，指数是连续整数，从而写出第n个单项式 【详解】解：∵关于x的单项式为：， ∴第n个单项式的系数为，指数为n， 故第n个单项式为． 故答案为：． 【跟踪专练1】一组按规律排列的单项式：，，，，，根据其中的规律，第10个单项式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式找规律，细心观察每一项系数和次数的变化是关键． 观察符号、系数和指数的规律，然后推断出第10项即可． 【详解】解：观察规律得，第n个单项式的符号规律：n为奇数时正，n为偶数时负；系数的绝对值为；指数为n； 由此推断第10个单项式：为偶数，符号负；系数的绝对值；指数为10；故为． 故选：A． 【跟踪专练2】观察下列单项式：，，，，……，按此规律，第5个单项式是 ，第个单项式是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式规律探究，观察单项式的系数符号、分子、分母和x的指数变化规律，x的指数与项数相同；系数符号交替变化，分子为项数n，分母为． 【详解】解：由给定单项式可知，第n个单项式的x指数为n，系数符号由决定，分子为n，分母为， 因此第n个单项式为， 当时，符号为负，分子为5，分母为， 故第5个单项式为． 故答案为：，． 【题型9.多项式的项.项数与次数】 【典例】下列说法错误的是（   ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是3 C．是整式 D．多项式是四次三项式 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数、次数以及整式和多项式的定义，根据相关概念逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 单项式 的系数是数字部分，包括常数π，因此系数是 ，而不是 ，∴ A选项错误，符合题意； B选项：单项式 ，次数为3，正确，不符合题意； C选项：，是多项式，属于整式，正确，不符合题意； D选项：多项式 的最高次项 的次数为4，且有三项，因此是四次三项式，正确，不符合题意， 故选：A． 【跟踪专练1】若关于x的多项式是三次三项式，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数与项数的定义，解题的关键是根据三次三项式的定义确定次数和项数的条件． 根据“三次三项式”的定义，先由次数为3得求的可能值，再由项数为3得，最终确定的值． 【详解】解：由题意，多项式为三次三项式，则最高次项指数满足， 解得 ，即 或 ． 当 时，系数 ，第一项为零， 多项式变为 ，是二项式，不符合题意； 当 时，系数 ，指数 ， 多项式为 ，是三次三项式，符合题意． 故 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】李老师在黑板上写了一个多项式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个多项式是一个四次三项式； 小红：这个多项式的最高次项的系数是4； 小华：这个多项式的常数项是5． 如果上面的描述都是正确的，那么李老师写出的多项式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的相关定义．根据描述，多项式需满足：是四次三项式、最高次项系数为4、常数项为5．逐项验证各选项即可． 【详解】解：∵ 小明描述：多项式是四次三项式； 小红描述：最高次项系数为4； 小华描述：常数项为5． 对于选项A： 项数为三项，符合； 最高次项为 ，次数为4，系数为4，符合； 常数项为5，符合． 对于选项B： 最高次数为5，不是四次，不符合． 对于选项C： 最高次项为 ，系数为，不是4，不符合． 对于选项D： 最高次项系数为，不是4，且常数项为，不是5，不符合． ∴ 李老师写出的多项式有可能是A， 故选：A． 【题型10.多项式中含字母的系数.指数求值】 【典例】多项式是关于的二次三项式，则取值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了多项式的概念． 根据二次三项式的定义，多项式应具有三个项，且最高次项的次数为2，同时最高次项的系数不能为零． 【详解】解：由于多项式是关于的二次三项式，因此最高次项的次数必须为2，系数不为0， 即，， 解方程， 得或， 即或， 解得， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式为四次三项式，需满足第一项系数非零且次数为4，其他项次数较低．通过计算各项次数，结合条件求解m． 【详解】解：∵多项式为四次三项式， ∴第一项系数，即． 第一项次数为， 第二项次数为， 第三项次数为． ∵最高次数为4， ∴， 解得，即或． 但， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，根据多项式为五次三项式，确定第二项的次数为，求出，再识别二次项及其系数，求出，最后代入计算． 【详解】解：多项式 是五次三项式， 因此最高次项的次数为， 第一项 的次数为， 第三项 的次数为， 故第二项 的次数必须为， 即 ， 解得， 二次项是次数为的项，即第三项，其系数为 ， 故， 因此，． 故答案为：． 【题型11.多项式按字母升幂(降幂)排列】 【典例】多项式 按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是确定多项式各项中的次数．按的次数由低到高排列各项，然后对比选项即可． 【详解】解：按的升幂排列（次数由低到高）为：．     故选：C． 【跟踪专练1】把多项式按照字母降幂排列： ． 【答案】 【分析】此题考查多项式的定义，多项式按某个字母降幂排列，则该字母的指数按从大到小的顺序排列． 【详解】解：按照字母降幂排列为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 【答案】B 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，逐项分析判断即可． 本题主要考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项和项数是解题的关键． 【详解】解：整式为， 选项A：按字母升幂排列需指数从小到大，但各项指数依次为1、3、0，非升幂排列，故A错误； 选项B：按字母降幂排列需指数从大到小，各项指数依次为2、1、0，是降幂排列，故B正确； 选项C：常数项为不含字母的项，即，非4，故C错误； 选项D：最高次项为，次数为4，系数为，非1，故D错误； 故选：B． 【题型12.整式的识别与判断】 【典例】代数式，，，，，，中，整式共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列判断中错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的次数是 C．是整式 D．的系数是 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是整式的概念、单项式的次数和系数、多项式的项、项数或次数，解题关键是熟练掌握整式的概念． 根据整式的概念、单项式的次数和系数、多项式的项、项数或次数对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； 选项，的次数是，判断正确，不符合题意； 选项， 整式是单项式和多项式的统称，分母中不含字母， 分母含有字母 ，不是整式，判断错误，符合题意； 选项，的系数是，判断正确，不符合题意． 故选：． 【跟踪专练2】在代数式：，，，，，中，整式有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的概念，掌握整式是单项式与多项式的统称成为解题关键．根据整式的概念是单项式与多项式的统称逐个判断即可． 【详解】解：代数式：，，，，，中的按整式有，，， ，共有5个． 故答案为：5． 1．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查代数式化简求值，熟练掌握提公因式法则是解题的关键，通过提取公因式，将所求表达式转化为已知条件的形式，直接代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故选：A． 2．已知，，且， 则的值为 （       ） A． B．7 C．或 D．7或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简与有理数乘方计算，由绝对值和平方根求出x和y的可能值，再根据绝对值方程推出x与 y的大小关系，排除不满足条件的值，最后计算的可能值． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵，且当且仅当， ∴，即， 当时，，但或均小于5，故不满足； 当时，，或均满足， 若，则； 若，则， ∴的值为或， 故选：C． 3．观察下列关于的单项式，探究其规律：，．．．按照上述规律，第n个单项式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，奇数位系数的符号为正，偶数位系数的符号为负，系数的绝对值为，的指数是从3开始的连续的奇数，据此进行作答即可． 【详解】解：观察可知，奇数位系数的符号为正，偶数位系数的符号为负，的指数是从3开始的连续的奇数， ∵， ， ， ∴第n个单项式的系数的绝对值为：， ∴第n个单项式表示为； 故答案为： 4．已知多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的相关定义，掌握多项式的次数和项数为解答本题的关键．根据二次三项式的定义，最高次项次数为且项数为，据此求解． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴，且， ∴． 故答案为：． 5．观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为． （1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可； （2）当时，得到和为：，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为， ∴它的第5项是； 故答案为：； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 故答案为：． 6．假设队伍中共有x人现列队，需要每10人中走出一个人，当除以10的余数大于5时，则在余下的人中再走出一人，则共走出（   ）人． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题建立函数关系——取整函数．本题的关键在于理解余数大于5时余下的人中再走出一人这个条件，通过对取整函数的性质和实际情况的分析，找到合适的函数表达式，是解题的关键． 【详解】解：设队伍中共有x人，表示x除以10的商，即每10人一组能分成的组数，每组走出1人，这部分走出的人数为人． 当x除以10的余数大于5时，即，（其中n为商，r为余数），，此时需要在余下的r人中再走出1人． 可以将x表示为， 则， ∵， ∴， ∴， 也就是在原来的基础上多1人，满足余数大于5时再走出1人的条件． 当余数时， ， ∵， ∴， 即不会额外多走出一人，也符合条件． 所以共走出人． 答案选：C． 7．如图，将同样大小的铜币有规律地摆放为以下四个图案，则第九个图案需要铜币（   ） A．29个 B．32个 C．37个 D．46个 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，根据图形变化找出规律是解题关键．分别计算四个图案需要的铜币数量，进而得到第n个图案需要个；把代入即可求解． 【详解】解：第1个图案需要铜币个； 第2个图案需要铜币个； 第3个图案需要铜币个； 第4个图案需要铜币个； ……， 所以第n个图案需要个； 当时，． 故选：D 8．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是，可发现第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，数字规律问题，关键是找到规律代入求值； 根据题目所给运算程序，先计算出前几次输出结果，得出一般规律代入求值即可． 【详解】解：第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是，……， 根据上述推理可知，从第次开始，六次一循环，分别是：， ∵ ∴第次输出的结果和第次相同，是：． 故选：B． 9．形如这样表示的数就是百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字为c．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查用代数式表示数，整数的运算，熟练根据整数乘法的特征进行推理是解题的关键．利用个位推理得出，再利用积的十位上的数是由两个因数的个位和十位的组成的数的积决定的，且，得出，最后利用最高位推出即可． 【详解】解：由， 得， 可知积个位上的数是的积的个位数， 则， 得， 由积的十位上的数是由两个因数的个位和十位的组成的两位数的积决定的，且， ∴， 得， 由积是10位数，最高位是6，因数是5位数，可知因数最高数位相乘有进位， 由最高数位的两位数是66，则我们可以尝试用验证， 由，成立， 故， 故答案为：8． 10．现有2025个关于x、y、z三个字母一起构成的十一次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据题意依次列举出所有符合题意的单项式（系数假设为1），由此即可求得答案． 【详解】解：由题意可得： 若x的次数为1，则符合题意的单项式有，共6种； 若x的次数为2，则符合题意的单项式有，共6种； 若x的次数为3，则符合题意的单项式有，共4种； 若x的次数为4，则符合题意的单项式有，共4种； 若x的次数为5，则符合题意的单项式有，共2种； 若x的次数为6，则符合题意的单项式有，共4种； 若x的次数为7，则符合题意的单项式有，共2种； 若x的次数为8，则符合题意的单项式有，共2种； 由上可得：关于x、y、z三个字母一起构成的十一次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，且互不为同类项的一共有（种）， ∴若有2025个关于x、y、z三个字母一起构成的十一次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过． 故答案为：． 11．已知有理数a，b，c在数轴上所对应的点分别是A、B、C三点，且a、b、c满足： ①多项式是关于x的二次三项式； ②． 直接写出a，b，c的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了非负数的性质，多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数和项的定义可得a的值，根据非负数的性质可得b、c的值． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴ 12．已知：有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数．求：的值． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了数轴、相反数、倒数、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由数轴、相反数、倒数可得或，，，然后分和两种情况求解即可． 【详解】∵有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴或，，， 当时，原式； 当时，原式． 综上，代数式的值为3或． 13．如图是由大小相同的五角星摆出的一组有规律的图形，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，，按照这样的规律摆下去． (1)第个图形中有_____颗五角星； (2)请你用含的代数式表示第个图形中五角星的数量； (3)求第个图形中五角星的数量． 【答案】(1) (2)颗 (3)颗 【分析】本题考查了图形变化以及列代数式： （1）根据所给图形，依次求出图形中五角星的个数，根据发现的规律求出第 6 个图形中的五角星即可； （2）根据（1）中发现的规律即可； （3）根据发现的规律求出代入数值计算． 【详解】（1）由所给图形可知，第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 所以第个图形中五角星的数量是颗， 当时， ， 故答案为：． （2）由（1）可知，第个图形中五角星的数量是颗． （3）当时，（颗）， 所以第个图形中五角星的数量是颗． 14．如图，一块长为m，宽为n的长方形草坪，上下开辟的花园都是由等半径的两个四分之一圆和一个半圆组成． (1)用m，n表示中间草坪的面积S． (2)若，，时，求草坪面积S的值． 【答案】(1) (2)S的值为186 【分析】本题考查列代数式表示图形面积，掌握面积公式，以及拼凑图形解题的方法是解题关键． （1）根据图形可得4个半径，求出半径，中间草坪的面积用长方形面积个四分之一圆个半圆即可求解； （2）将，，代入求解即可． 【详解】（1）解：设半径为r， 则由图可得，， ， ∴中间草坪的面积 ； （2）解：当，，时， ． 15．阅读下面材料（如图所示）： 点、在数轴上分别表示、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，；当、两点都不在原点时， ①如图2，点、都在原点的右边，； ②如图3，点、都在原点的左边，； ③如图4，点、在原点的两边，． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是_____，如果，那么为_____； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是_____； (4)的最小值． 【答案】(1)3，3，4 (2)，1或 (3) (4)997002 【分析】（1）根据两点间的距离公式分别求解即可； （2）根据两点间的距离公式求解和的两点和之间的距离即可，表示x到的距离为2，即可求解； （3）表示x到，2的距离之和，当在与2之间时，距离之和最小； （4）表示x到1，2，3，，1997的距离之和，当x取时，的值最小，再代入求值即可． 【详解】（1）解：2和5的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3，3，4． （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， ， x到的距离为2， 或， 故答案为：，1或． （3）解：表示x到，2的距离之和， 当x的取值范围是时，代数式取最小值， 故答案为：． （4）解：表示x到1，2，3，，1997的距离之和， 当x取时，的值最小， 的最小值为 ， 故答案为：997002． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值，求代数式的值，有理数的加减法，解题关键是理解数轴上两点间的距离两个数之差的绝对值． 16．先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令  ①， 则  ②， 得：， 即． 材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：______；______； (2)已知，且，求的值； (3)设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）先判断y的范围，再根据新定义化简并整体代入求值即可； （3）根据非负性可得，根据新定义可得，即可求出a，再根据数轴上两点之间的距离求出b，再分类讨论，根据新定义和材料一的求和求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）解：，且， ， ； （3）解：， ， ， ， 线段的长为4， ， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，M的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06.代数式期末复习冲刺必备讲义 1.理解代数式的概念，能准确区分代数式与等式、不等式。 2.掌握代数式的书写规范，避免常见格式错误。 3.会用代数式表示实际问题中的数量关系，提升建模能力。 4.熟练进行代数式的求值运算，掌握整体代入等解题技巧。 5.突破代数式相关的规律探究、分类讨论类压轴题。 期末必备 知识点梳理 1.代数式的定义 2.代数式的书写规范 3.列代数式的方法 4.代数式的值 5.题型分类突破 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.列代数式 2.用代数式表示数.图形的规律 3.已知字母的值求代数式的值 4.已知式子的值.求代数式的值 5.程序流程图与代数式求值 6.单项式的识别与判断 7.单项式的系数与次数 8.单项式的规律题探究题 9.多项式的项.项数与次数 10.多项式中含字母的系数.指数求值 11.多项式按字母升幂(降幂)排列 12.整式的识别与判断 期末备考 压轴通关 压轴题(16题) 【知识点01.代数式的定义】 概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 易错辨析： 代数式中不含等号（=）、不等号（>、<、≥、≤、≠）。 例：3x+2 是代数式；3x+2=5、3x+2>5 不是代数式。 【知识点02.代数式的书写规范】 要求 示例 错误写法 数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号可省略 3a a3、3×a 字母与字母相乘，乘号可省略，按字母顺序书写 xy x×y 带分数与字母相乘，先把带分数化成假分数 a 2a 除法运算写成分数形式 a÷b 代数式后有单位，且代数式是和或差的形式，要加括号 (a+b)米 a+b米 【知识点03.列代数式的方法】 核心：把实际问题中的数量关系，用代数式表示出来。 步骤： 1.找出问题中的关键词（如和、差、积、商、倍、分、大、小、多、少）。 2.理清数量之间的运算顺序。 3.用字母和运算符号表示出来。 典型例题： (1)a的 3 倍与b的和：3a+b (2)x与y的差的平方：(x−y)2 (3)比m的大 5 的数：m+5 【知识点04.代数式的值】 概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。求值步骤： 1.代入：用指定的数值代替代数式中的字母。 2.计算：按照代数式规定的运算顺序计算。常用技巧： 直接代入：适用于字母取值明确的情况。 例：当x=2时，求2x2−1的值。 解：原式=2×22−1=2×4−1=7 整体代入：适用于已知代数式的值，求相关代数式的值。 例：已知x+y=5，求2x+2y+3的值。 解：原式=2(x+y)+3=2×5+3=13 【知识点05.题型分类突破】 题型 1 代数式的概念与书写规范（基础题） 1.下列各式中，属于代数式的是（ ） A. x+5=7 B. 4>3 C. 0 D. x⩽1 答案：C解析：代数式不含等号和不等号，单独的一个数是代数式。 2. 下列代数式书写规范的是（ ） A. a×2 B.2a C. D.x+5米 答案：C 题型 2 列代数式（中档题） 3. 某商品原价为 a 元，打八折后的价格是（ ）A. 0.8a B. 8a C. 80a D.​ 答案：A 题型 3 代数式求值（重点题） 4.当a=−1，b=2时，求代数 a2b−2ab2+ab的值。 解： 原式=(−1)2×2−2×(−1)×22+(−1)×2 =1×2−2×(−1)×4−2 =2+8−2=8 5.已知2a−b=3，求代数式4a−2b+5的值。 解： 原式=2(2a−b)+5=2×3+5=11 题型 4 规律探究（压轴题） 6. 观察下列一组代数式：a，−2a2，4a3，−8a4，… （1） 写出第 5 个代数式； （2） 写出第n个代数式（n为正整数）。 分析： 系数：1，−2，4，−8，… 规律为 (−2)n−1 字母次数：a1，a2，a3，a4，… 规律为an 答案： （1） 第 5 个代数式：16a5 （2） 第n个代数式：(−2)n−1an 【知识点06.易错点警示】 1.混淆运算顺序：如 “x与y的平方和”是x2+y2，不是(x+y)2。 2.整体代入时漏乘系数：如已知x−y=2，求3x−3y+1，易误算为3×2+1=7（正确），若写成x−y+1就错了。 3.书写规范错误：带分数与字母相乘、除法未写成分数形式是期末高频扣分点。 【题型1.列代数式】 【典例】某品牌电脑原价n元，降价后又降低m元，该电脑现价（单位：元）为（ ）元 A． B． C． D． 【跟踪专练1】下面四个代数式：①②③④其中能够表示图中阴影部分面积的代数式是 （填序号）． 【跟踪专练2】下面每个选项中的两种量成反比例的是（   ） A．路程一定，速度和时间 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．长方形周长一定，长和宽 D．商品单价一定，数量和总价 【题型2.用代数式表示数.图形的规律】 【典例】用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第2025个图形需要棋子 枚． 【跟踪专练1】化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则壬烷分子结构式中“H”的个数是（   ） A．9 B．16 C．18 D．20 【跟踪专练2】老师画了一排相连的正六边形蜂巢结构示意图，第1个图形有6条线段，第2个图形有11条线段，第3个图形有16条线段…，要画出n(n为正整数)个相连的蜂房，一共需要画 条线段． 【题型3.已知字母的值.求代数式的值】 【典例】若，且，那么的值是（    ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【跟踪专练1】当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为 ． 【跟踪专练2】若，，且那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型4.已知式子的值.求代数式的值】 【典例】.若代数式，则代数式值是 ． 【跟踪专练1】若，则的值是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值是 ． 【题型5.程序流程图与代数式求值】 【典例】如图，按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值最多有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练1】按如图所示的程序计算，当输入的有理数m，n满足时，y的值为 ． 【跟踪专练2】古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作，它的内容丰富，如图所示的程序框图就是源于《九章算术》中的“更相减损术”．如果输入的值为，那么输出的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6.单项式的识别与判断】 【典例】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（    ） A．是单项式 B．多项式的次数是4 C．0不是整式 D．单项式的系数是，次数是2 【跟踪专练2】在下列代数式：，，，，中，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型7.单项式的系数与次数】 【典例】有五种说法∶ ①表示负数；②精确到百分位；③单项式的系数是，次数是4；④多项式是三次三项式；⑤在中，整式有2个；其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，则 ． 【跟踪专练2】若单项式的次数是3，当时，此单项式的值是 ．（结果保留） 【题型8.单项式的规律探究题】 【典例】观察下列关于的单项式：，按照上述规律，第个（为正整数）单项式是 ． 【跟踪专练1】一组按规律排列的单项式：，，，，，根据其中的规律，第10个单项式是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列单项式：，，，，……，按此规律，第5个单项式是 ，第个单项式是 ． 【题型9.多项式的项.项数与次数】 【典例】下列说法错误的是（   ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是3 C．是整式 D．多项式是四次三项式 【跟踪专练1】若关于x的多项式是三次三项式，则n的值为 ． 【跟踪专练2】李老师在黑板上写了一个多项式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个多项式是一个四次三项式； 小红：这个多项式的最高次项的系数是4； 小华：这个多项式的常数项是5． 如果上面的描述都是正确的，那么李老师写出的多项式有可能是（   ） A． B． C． D． 【题型10.多项式中含字母的系数.指数求值】 【典例】多项式是关于的二次三项式，则取值为 ． 【跟踪专练1】已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【跟踪专练2】已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【题型11.多项式按字母升幂(降幂)排列】 【典例】多项式 按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】把多项式按照字母降幂排列： ． 【跟踪专练2】对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 【题型12.整式的识别与判断】 【典例】代数式，，，，，，中，整式共有 个． 【跟踪专练1】下列判断中错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的次数是 C．是整式 D．的系数是 【跟踪专练2】在代数式：，，，，，中，整式有 个． 1．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．已知，，且， 则的值为 （       ） A． B．7 C．或 D．7或 3．观察下列关于的单项式，探究其规律：，．．．按照上述规律，第n个单项式表示为 ． 4．已知多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 5．观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 6．假设队伍中共有x人现列队，需要每10人中走出一个人，当除以10的余数大于5时，则在余下的人中再走出一人，则共走出（   ）人． A． B． C． D． 7．如图，将同样大小的铜币有规律地摆放为以下四个图案，则第九个图案需要铜币（   ） A．29个 B．32个 C．37个 D．46个 8．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是，可发现第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 9．形如这样表示的数就是百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字为c．已知，则 ． 10．现有2025个关于x、y、z三个字母一起构成的十一次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过 ． 11．已知有理数a，b，c在数轴上所对应的点分别是A、B、C三点，且a、b、c满足： ①多项式是关于x的二次三项式； ②． 直接写出a，b，c的值． 12．已知：有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数．求：的值． 13．如图是由大小相同的五角星摆出的一组有规律的图形，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，，按照这样的规律摆下去． (1)第个图形中有_____颗五角星； (2)请你用含的代数式表示第个图形中五角星的数量； (3)求第个图形中五角星的数量． 14．如图，一块长为m，宽为n的长方形草坪，上下开辟的花园都是由等半径的两个四分之一圆和一个半圆组成． (1)用m，n表示中间草坪的面积S． (2)若，，时，求草坪面积S的值． 15．阅读下面材料（如图所示）： 点、在数轴上分别表示、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，；当、两点都不在原点时， ①如图2，点、都在原点的右边，； ②如图3，点、都在原点的左边，； ③如图4，点、在原点的两边，． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是_____，如果，那么为_____； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是_____； (4)的最小值． 16．先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令  ①， 则  ②， 得：， 即． 材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：______；______； (2)已知，且，求的值； (3)设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $