专题3.1 代数式的概念与代数式的值（高效培优讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题3.1 代数式的概念与代数式的值 教学目标 1. 理解代数式概念，能区分代数式与等式、不等式。 2. 掌握列代数式方法，把文字语言转化为代数式。 3. 会代入数值准确求代数式的值，规范书写步骤。 教学重难点 1.重点 （1）代数式的概念及特征，明确其与其他式子的区别； （2）根据数量关系正确列出代数式，确保表达准确。。 2.难点 （1）理解用字母表示数的抽象性，克服具体数字思维定式； （2）列代数式时处理复杂数量关系，尤其是隐含关系的转化。 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 【即学即练1】有下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨.其中，代数式的个数为（    ） A．9 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的概念及识别，掌握代数式的概念是解题的关键． 代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式，注意，单独的一个数或字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：①，是代数式， ②，不是代数式， ③，是代数式， ④，是代数式， ⑤，不是代数式， ⑥，是代数式， ⑦，是代数式， ⑧，不是代数式， ⑨，不是代数式， ∴代数式的有①③④⑥⑦，共5个， 故选：D ． 知识点02 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 【即学即练2】有下列各式：①；②；③米；④其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键．根据代数式书写要求进行判断即可． 【详解】解：符合代数式书写要求； 应该写成，不符合代数式书写要求； 米应该写成米，不符合代数式书写要求； 符合代数式书写要求； 故选B． 知识点03 代数式的值 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【即学即练3-1】当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2)4 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． （1）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可． （2）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：当，，时， ． （2）解：当，，时， ． 【即学即练3-2】已知，互为倒数，，互为相反数，． (1)根据已知条件回答：______，______，______； (2)求的值． 【答案】(1)1，0，1． (2) 【分析】本题主要考查了相反数、倒数的定义、绝对值的意义、代数式求值等知识点，熟练掌握相反数、倒数的定义、绝对值的意义是解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义可得及的值，由绝对值的性质可得，从而可得的值即可； （2）由（1）可得、、，然后代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，互为倒数，，互为相反数，， ∴、、， ∴、、． 故答案为：1，0，1． （2）解：由（1）可得：、、， ∴． 【即学即练3-3】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：，， ． 题型1 代数式的概念 【典例1】在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的定义是解题的关键； 根据代数式的定义，逐个判断即可； 【详解】解：是单独的一个数，是代数式； 是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式； 是等式，不是代数式； 是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式； 是不等式，不是代数式； 0是单独的一个数，是代数式； 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式 ． ∴代数式共5个， 故选：B． 【变式1】下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，含有等号，不是代数式，符合题意； B、5是代数式，不符合题意； C、是代数式，不符合题意； D、是代数式，不符合题意． 故选：A． 【变式2】在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的识别，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫做代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、a、1、、中，、a、1、是代数式，共4个；是等式，不是代数式， 故选C． 【变式3】下列各式：，，，，，，，中，代数式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】D 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 根据代数式的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：，，，，，，，中，代数式有：，，，，，共个， 故选：D． 题型2 代数式书写格式 【典例2】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：B． 【变式1】学完代数式内容后，下列各式书写规范的是（   ） A．个 B． C． D． 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：多项式后面有单位时，多项式必须用小括号括起来，因此个书写错误，故A错误； 代数式中不能出现乘号且数字在前，因此书写错误，故B错误； 符合书写要求，故C正确； 应该为，故D错误． 故选：C． 【变式2】下列各式最符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C．千克 D． 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键． 根据代数式书写的标准规范逐项判断即可． 【详解】解：A. 不符合代数式书写规范，应写为，故该选项不符合题意； B. 符合代数式书写规范，故该选项符合题意； C. 千克不符合代数式书写规范，应写为千克，故该选项不符合题意； D. 不符合代数式书写规范，应写为，故该选项不符合题意； 故选：B ． 【变式3】下列单项式书写规范的有（   ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的规范书写要求，根据代数式的规范书写格式要求进行判断即可求解；理解要求是解题的关键． 【详解】解：①的正确书写格式为；②书写格式正确；③书写格式正确；④正确书写格式为； 书写规范的有②③， 故选：B． 题型3 列代数式 【典例3】用代数式表示“a 的平方的3 倍与 b 的平方的差”为 ． 【答案】/ 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，先分别表示出a 的平方的3 倍和b的平方，再作差即可得到答案． 【详解】解：用代数式表示“a 的平方的3 倍与 b 的平方的差”为， 故答案为；． 【变式1】某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的3倍少10件，用代数式表示去年的产量为 件． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据“某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的3倍少10件”列出代数式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：用代数式表示去年的产量为件， 故答案为：． 【变式2】一支钢笔元，一支圆珠笔元，购买支钢笔和支圆珠笔需要 元． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，购买支钢笔和支圆珠笔需要元， 故答案为：． 【变式3】伊伊今年a岁，妈妈的年龄比伊伊年龄的3倍多4岁，用含有字母的式子表示妈妈的年龄是 岁． 【答案】/ 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，伊伊的年龄乘以3，再加上4即可得到答案． 【详解】解；由题意得，妈妈的年龄是岁， 故答案为：． 题型4 代数式表示的实际意义 【典例4】联系实际背景，说明代数式的意义 ． 【答案】6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一） 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的实际意义，解题的关键是理解代数式所表示的实际意义；因此此题可根据代数式进行求解即可 【详解】解：代数式的意义可表示为6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可） ． 【变式1】对代数式“”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是元，那么表示4支铅笔的总价．请你再对“”赋予一个实际意义： ． 【答案】如果一个排球的价格为元，那么表示4个排球的总价（答案不唯一） 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式写成符合式子的实际意义即可，理解代数式的特点是解题的关键． 【详解】解：如果一个排球的价格为元，那么表示4个排球的总价（答案不唯一）． 故答案为：如果一个排球的价格为元，那么表示4个排球的总价（答案不唯一）． 【变式2】对代数式“”可以赋予实际意义：如果一天读书页，那么表示天读书的总页数．请你对代式“”赋予一个实际意义： ． 【答案】已知一支钢笔元，一块橡皮擦元，购买支钢笔和块橡皮擦共计元（答案不唯一，合理即可）． 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，理解代数式的特点是解题关键． 根据代数式写成符合式子的实际意义，合理即可． 【详解】解：已知一支钢笔元，一块橡皮擦元，购买支钢笔和块橡皮擦共计元． 故答案为：已知一支钢笔元，一块橡皮擦元，购买支钢笔和块橡皮擦共计元（答案不唯一，合理即可）． 【变式3】商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为元的商品提价后标价，再以元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去30元．能正确表达该商店促销方法的是 ．（填序号） 【答案】③④/④③ 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】此题主要考查了代数式，成本为元的商品提价后标价为，分别列出四个说法的促销价，再可判断即可． 【详解】解：成本为元的商品提价后标价为， ①标价减去30元后再打9折，则促销价为：， 故①不符合； ②标价打9折后再减去30元，则促销价为：， 故②不符合； ③标价减去50元后再打6折，则促销价为：， 故③符合； ④标价打6折后再减去30元，则促销价为：， 故④符合； 综上，能正确表达该商店促销方法的是③④． 故答案为：③④． 题型5 已知字母的值，求代数式的值 【典例5】当时，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，关键步骤是先平方后乘法，最后注意负号的处理．由题意将代入进行运算即可． 【详解】解：将代入， 可得． 【变式1】当，时，代数式的值是（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把，代入所求式子中求解即可． 【详解】解：当，时，， 故选：D． 【变式2】已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了相反数、绝对值的非负性、含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． 先根据相反数的定义、绝对值的非负性可求出x、y的值，再代入代数式运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用x、y的代数式表示地面总面积； (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)21600元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）首先求得各部分的面积，然后再相加即可； （2）将x、y的值代入所得代数式计算即可． 本题主要考查的是求代数式的值和列代数式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：客厅面积为，卧室面积为，厨房面积为，卫生间面积为． 故总面积． （2）解：当时， 总费用为（元）． 所以总费用为21600（元）． 题型6 已知式子的值，求代数式的值 【典例6】【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，运用“整体思想”的方法在求代数值中非常重要，有这样一道题： 代数式：的值为9，则代数式的值为． 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则______． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键． （1）由题意得，整体代入中求值即可； （2）由题意得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：由题意得， 则， ∴， 故代数式的值为． 【变式1】若，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题是一道求代数式的值的题目，采用整体代入法是解题的关键． 首先将原式变形为，接下来将代入中计算，问题可迎刃而解． 【详解】解：， 将代入上式得：原式． 故选：D． 【变式2】已知、互为倒数，、互为相反数（、不为0），，根据已知条件请回答： (1)_____，_____，_____，_____； (2)求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【知识点】有理数的除法运算、已知式子的值，求代数式的值、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值，有理数除法，代数式求值，掌握相关定义和运算法则是解题关键． （1）根据倒数、相反数、绝对值以及有理数除法法则求解即可； （2）将（1）所得式子值代入计算即可． 【详解】（1）解：、互为倒数，、互为相反数（、不为0），， ，，， ， ， 故答案为：，，，； （2）解： ， ． 【变式3】历史上，数学家欧拉最先把关于的代数式用记号来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．如：当时，代数式的值记作， 则． 已知代数，且，回答下列问题： (1)__________； (2)若，求的值； (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，新定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入中进行求解即可； （2）根据，得到，据此可得答案； （3）根据，，得到，则，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：代数，且， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ， ， ； （3），， ， ， ． 题型7 程序流程图与代数式求值 【典例7】如图是某算法的程序框图，若开始输入的，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、代数式求值，掌握有理数混合运算顺序，读懂题意是解题关键．把代入，得出，不合题意，再次依次代入，直到得出符合条件的结果． 【详解】把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 故答案为：． 【变式1】按下面的程序计算： 若输入，输出结果是 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据程序流程图把代入计算即可求解，看懂程序流程图是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴输出结果是， 故答案为：． 【变式2】在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】2 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查程序问题，从程序中找到从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环的规律是解题的关键． 【详解】解：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， 第5次， 第6次， 第7次． …… 从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环， ， ∴第2025次输出的结果为2， 故答案为：2． 【变式3】按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 【答案】或10或3 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复输入． 由程序图，可以得到输出结果和x的关系：输出结果，当输出结果是150时，可求出x的值．若计算结果与x的值相等且时，需重新确定输入新的数值，反复直到x不能满足正整数为止． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时，x不是正整数，不合题意． 即当或10或3时，输出的结果都是150． 故答案为：或10或3． 一、单选题 1．若，则代数式的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式求值的知识，将代入代数式求解即可． 【详解】解：若， 则代数式， 故选：C． 2．用代数式表示“的倍与的差的平方”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列代数式即可，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词． 【详解】解：用代数式表示“的倍与的差的平方”为：， 故选：． 3．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可． 【详解】解：①是代数式； ②是代数式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤不是代数式； ⑥不是代数式； ⑦是代数式． 综上，代数式有①②③④⑦，共5个． 故选：C． 4．已知a是一个两位数，b是一个三位数，将a写在b的后面组成一个五位数，则这个五位数可以表示为（    ） A．ba B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．将b乘以100加上a即可． 【详解】解：∵a是一个两位数，b是一个三位数， ∴将a写在b的后面组成一个五位数为． 故选：C． 5．按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．观察图示我们可以得出关系式为：，因此将的值代入就可以计算出结果．如果计算的结果则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值为止，即可得出输出结果． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：由于， ， 应该按照计算程序继续计算， ， 应该按照计算程序继续计算， ， 输出结果为． 故选：D． 二、填空题 6．下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的是 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了代数式的书写要求，①在代数式中出现的乘号通常简写成“”或省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；④带分数要写成假分数的形式． 【详解】①应表示为，故书写错误； ②应表示为，故书写错误； ③，书写正确； ④，书写正确， 故答案为：③④． 7．某服装店新上一款羽绒服，第一天销售了件，第二天的销售量比第一天的2倍少3件，则第二天的销售量是 件（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 根据题意，列出代数式即可． 【详解】解：由题意可得，第一天销售了m件，第二天的销售量比第一天的2倍少3件， 则第二天的销售量为件， 故答案为：． 8．班长小强带了元钱去买体育用品，已知一个足球元，一个篮球元，则代数式表示的实际意义是 ． 【答案】班长小强购买个足球，个篮球后剩余的钱 【分析】本题考查代数式的实际意义，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，分析代数式，即可得出其实际意义． 【详解】解：∵一个足球元，一个篮球元， ∴表示个足球的钱数，表示个篮球的钱数， 又∵班长小强带了元钱去买体育用品， ∴代数式表示的实际意义是：班长小强购买4个足球，3个篮球后剩余的钱， 故答案为：班长小强购买个足球，个篮球后剩余的钱． 9．已知，则的值是 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入是解题的关键． 根据，可得，然后整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：100 ． 10．远古时期，人们通过绳子打结的方式来记录数量，如图1为一队互相合作打猎的猎人在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，记录了他们一天之内所打的猎物数量．若把这个量的十进制数输入如图2的程序计算，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及代数式求值，先根据图1，得出，再代入程序计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ 输出 故答案为：． 三、解答题 11．用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 【答案】(1)cm (2)元 (3)人 (4)千米 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键． （）根据长方形周长公式 “周长(长宽)”，直接代入长和宽，得到代数式； （）根据小强剩下的钱数开学爸爸给小强钱数小强买文具用的钱数，列出式子即可； （）先算出抽调的人数 (原有人的，即)，再用“原有人数抽调人数”，得到； （）根据“路程速度时间”，分别算出甲、乙小时走的路程，反向行走时总距离为两人路程之和是千米； 【详解】（1）解：∵长方形长为、宽为， ∴长方形的周长是； （2）∵剩余钱数总钱数花费钱数， ∴由题意得：小强还剩元； （3）∵原有工作人员人，被抽调下基层工作， ∴留在该机关工作的还有人； （4）∵甲每小时走千米，乙每小时走千米， ∴小时后，甲走的路程千米，乙走的路程千米， ∵两人同时同地出发反向行走， ∴甲、乙之间的距离是千米， 即千米. 12．如图是一个计算程序图： (1)若输入的值为，求输出的结果的值； (2)若输出的结果的值为4，求输入的值； 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是程序框图与代数式求值； （1）由，再把代入进行计算即可； （2）由，再分两种情况分别代入解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：当时，， ∴． ∵， ∴； 当时，， ∴． ∵， ∴不符合题意． 综上所述，． 13．如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． (1)用含有a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S； (2)请求出当，，时，S的值（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式、代数式求值等知识点，根据图形、利用三角形与圆的面积公式列出代数式是解题的关键． （1）根据列式即可； （2）将、、代入由（1）所得的代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： 答：剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S为． （2）解：当，，时， ． 14．甲、乙两家超市月份的销售额均为万元．在月和月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长，而乙超市的销售额平均每月减少． (1)月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？ (2)若，，则月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？ 【答案】(1)万元； (2)万元． 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、求代数式的值． 根据平均增长率列出甲、乙两个超市月份的销售额，用甲超市的销售额减去乙超市的销售额即可得到结果； 把，代入中的代数式求值即可． 【详解】（1）解：月份甲超市的销售额为万元，乙超市的销售额为万元， 甲、乙两超市的销售额的差为 （万元）； 答：月份甲超市的销售额比乙超市多万元； （2）解：当，时， ， 答：月份甲超市的销售额比乙超市多万元． 15．数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例：，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： (1)______； (2)计算：； (3)已知实数a，b满足行列式，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由=，可得，再计算可得答案； （2）先推导规律：，再利用规律进行计算即可得到答案； （3）由，可得：，再化简代数式可得：原式，再代入求值可得答案． 【详解】（1）解：（1）， 故答案为：． （2）由 （为正整数） （一共个） （3） 【点睛】本题考查的是定义情境下的有理数的混合运算，整式的乘法运算，合并同类项，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． 16．【教材呈现】下题是某七年级上册数学教材中的内容． 代数式的值为7，则代数式的值为__________． 【阅读理解】小敏同学在做作业时的解题过程如下： 由题意得，则有， ， 所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值； （2）若当时，代数式的值为6，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，则代数式的值为__________． 【答案】（1）；（2）；（3）48 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）利用整体代入法，进行求解即可； （2）把代入，得到，进而得到，再利用整体代入法，进行计算即可； （3）将代数式变形，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴当时， ． （3）∵，， ∴ ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 代数式的概念与代数式的值 教学目标 1. 理解代数式概念，能区分代数式与等式、不等式。 2. 掌握列代数式方法，把文字语言转化为代数式。 3. 会代入数值准确求代数式的值，规范书写步骤。 教学重难点 1.重点 （1）代数式的概念及特征，明确其与其他式子的区别； （2）根据数量关系正确列出代数式，确保表达准确。。 2.难点 （1）理解用字母表示数的抽象性，克服具体数字思维定式； （2）列代数式时处理复杂数量关系，尤其是隐含关系的转化。 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 【即学即练1】有下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨.其中，代数式的个数为（    ） A．9 B．7 C．6 D．5 知识点02 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 【即学即练2】有下列各式：①；②；③米；④其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点03 代数式的值 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【即学即练3-1】当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 【即学即练3-2】已知，互为倒数，，互为相反数，． (1)根据已知条件回答：______，______，______； (2)求的值． 【即学即练3-3】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 题型1 代数式的概念 【典例1】在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1】下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【变式2】在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】下列各式：，，，，，，，中，代数式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 题型2 代数式书写格式 【典例2】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】学完代数式内容后，下列各式书写规范的是（   ） A．个 B． C． D． 【变式2】下列各式最符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C．千克 D． 【变式3】下列单项式书写规范的有（   ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型3 列代数式 【典例3】用代数式表示“a 的平方的3 倍与 b 的平方的差”为 ． 【变式1】某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的3倍少10件，用代数式表示去年的产量为 件． 【变式2】一支钢笔元，一支圆珠笔元，购买支钢笔和支圆珠笔需要 元． 【变式3】伊伊今年a岁，妈妈的年龄比伊伊年龄的3倍多4岁，用含有字母的式子表示妈妈的年龄是 岁． 题型4 代数式表示的实际意义 【典例4】联系实际背景，说明代数式的意义 ． 【变式1】对代数式“”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是元，那么表示4支铅笔的总价．请你再对“”赋予一个实际意义： ． 【变式2】对代数式“”可以赋予实际意义：如果一天读书页，那么表示天读书的总页数．请你对代式“”赋予一个实际意义： ． 【变式3】商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为元的商品提价后标价，再以元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去30元．能正确表达该商店促销方法的是 ．（填序号） 题型5 已知字母的值，求代数式的值 【典例5】当时，求的值． 【变式1】当，时，代数式的值是（    ） A．6 B． C．9 D． 【变式2】已知与互为相反数，求的值． 【变式3】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用x、y的代数式表示地面总面积； (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少元？ 题型6 已知式子的值，求代数式的值 【典例6】【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，运用“整体思想”的方法在求代数值中非常重要，有这样一道题： 代数式：的值为9，则代数式的值为． 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则______． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【变式1】若，则的值是(　　) A． B． C． D． 【变式2】已知、互为倒数，、互为相反数（、不为0），，根据已知条件请回答： (1)_____，_____，_____，_____； (2)求的值． 【变式3】历史上，数学家欧拉最先把关于的代数式用记号来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．如：当时，代数式的值记作， 则． 已知代数，且，回答下列问题： (1)__________； (2)若，求的值； (3)若，求的值 题型7 程序流程图与代数式求值 【典例7】如图是某算法的程序框图，若开始输入的，则最后输出的结果为 ． 【变式1】按下面的程序计算： 若输入，输出结果是 ． 【变式2】在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 ． 【变式3】按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 一、单选题 1．若，则代数式的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 2．用代数式表示“的倍与的差的平方”，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 4．已知a是一个两位数，b是一个三位数，将a写在b的后面组成一个五位数，则这个五位数可以表示为（    ） A．ba B． C． D． 5．按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的是 （填序号）． 7．某服装店新上一款羽绒服，第一天销售了件，第二天的销售量比第一天的2倍少3件，则第二天的销售量是 件（用含的代数式表示）． 8．班长小强带了元钱去买体育用品，已知一个足球元，一个篮球元，则代数式表示的实际意义是 ． 9．已知，则的值是 ． 10．远古时期，人们通过绳子打结的方式来记录数量，如图1为一队互相合作打猎的猎人在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，记录了他们一天之内所打的猎物数量．若把这个量的十进制数输入如图2的程序计算，则最后输出的结果是 ． 三、解答题 11．用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 12．如图是一个计算程序图： (1)若输入的值为，求输出的结果的值； (2)若输出的结果的值为4，求输入的值； 13．如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． (1)用含有a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S； (2)请求出当，，时，S的值（结果保留）． 14．甲、乙两家超市月份的销售额均为万元．在月和月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长，而乙超市的销售额平均每月减少． (1)月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？ (2)若，，则月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？ 15．数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例：，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： (1)______； (2)计算：； (3)已知实数a，b满足行列式，求代数式的值． 16．【教材呈现】下题是某七年级上册数学教材中的内容． 代数式的值为7，则代数式的值为__________． 【阅读理解】小敏同学在做作业时的解题过程如下： 由题意得，则有， ， 所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值； （2）若当时，代数式的值为6，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，则代数式的值为__________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$