精品解析：江苏省徐州市第三十六中学2025--2026学年上学期第三次月考九年级数学试题

九年级数学试题 （全卷共140分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的代号填在答题卡的相应位置上） 1. 已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 都有可能 2. 一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A. 15，14 B. 14，15 C. 14，14 D. 15，15 3. 若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A. B. C. D. 4. 已知，如果是的比例中项，那么的值为（　　） A. 16 B. C. 4 D. -4 5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在函数的图像上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，以的中点为圆心作，当与相切于点时，与相交于点、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若，则的值为___________． 10. 某一时刻，测得身高的同学在阳光下的影长为，同时测得旗杆在阳光下的影长为，则旗杆的高为___________． 11. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 12. 二次函数y＝-3x2-2的最大值为 _____． 13. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 14. 点在线段上，且．设，则___________． 15. 如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是___________． 16. 如图，正方形的边长为2，E是边上一个动点，F是边上一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是________． 三、解答题（本大题共有9小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 19. 已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B，若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长． 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 21. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，且AC=OC. （1）求弧BC的度数； （2）设⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正西方向，．从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏西的方向． （1） °； （2）求船C离海岸线的距离（，，，，，，精确到）． 23. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： （1）请在图1中作出的边上的高； （2）请在图2中线段上确定一点F，使得； （3）请在图3中作出的切线． 24. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，且点坐标为点坐标为， （1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上的任意一点，连接交直线于点，当最大时，求点的坐标； （3）将抛物线向左平移2个单位长度，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接，当，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求点其中一个横坐标的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （全卷共140分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的代号填在答题卡的相应位置上） 1. 已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，的半径， ∴， ∴点在外， 故选：． 2. 一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A. 15，14 B. 14，15 C. 14，14 D. 15，15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数和众数，根据平均数和众数的定义进行计算即可． 【详解】解：平均数为：， 5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14， 故选：A． 3. 若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握周长比等于相似比是关键．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴． 故选：B． 4. 已知，如果是的比例中项，那么的值为（　　） A. 16 B. C. 4 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例中项的定义得，代入，计算即可． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 6. 已知点在函数的图像上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 通过二次函数的开口方向和对称轴，比较各点与对称轴的距离来确定值大小． 【详解】解：函数的二次项系数2， 则抛物线开口向上，对称轴为 因为点离对称轴越远，值越大， 计算各点横坐标与的距离： ，， 则， 即， 所以， 故选D． 7. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于． 由是的直径，得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，在中，，，，以的中点为圆心作，当与相切于点时，与相交于点、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，过点D作，垂足为Q，先由勾股定理和直角三角形的性质得出的长度，再证明，继而得出长度，证明，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点D作，垂足为Q， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，将拆分为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 某一时刻，测得身高的同学在阳光下的影长为，同时测得旗杆在阳光下的影长为，则旗杆的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据同一时刻物高与影长成正比，列出比例式求解． 【详解】解：设旗杆的高为，则： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：． 11. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键． 按照加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分）， 故答案为：． 12. 二次函数y＝-3x2-2的最大值为 _____． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求得最值 【详解】解：由于二次函数y=-3x2-2的图象是抛物线，开口向下，对称轴为y轴， 所以当x=0时，函数取得最大值为-2， 故答案为-2. 【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+k的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解题的关键． 13. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 【答案】15π 【解析】 【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案. 【详解】解：设圆锥母线长为l， ∵r=3cm，h=4cm， ∴母线l=cm， ∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15πcm2， 故答案为15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键. 14. 点在线段上，且．设，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程和黄金分割，设，则，根据比例关系列出方程，解一元二次方程，取正根即可． 【详解】解：设，则， 由题意得：， ， ， 解得：， 线段长度取正值，故， 故答案为：． 15. 如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据抛物线的对称轴可得抛物线过，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵抛物线交y轴于点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∵图象开口向下， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为2，E是边上一个动点，F是边上一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接与交于点，证明得出，即经过点，点是正方形中心．取中点，连接，则为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：连接与交于点， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即经过点，点是正方形中心． 则， 取中点，连接， ∵， ∴， 则为定长， 过点作于． ∵， ∴， ∴， 则， 由勾股定理可得， ， 当三点共线时，最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出的值． 三、解答题（本大题共有9小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂、一元二次方程： （1）先计算绝对值、零指数幂、负指数幂以及特殊角的三角函数值，再按照实数混合运算的顺序计算； （2）用因式分解法即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， 解得：． 18. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】（1） 如图为所求： （2）C （3）该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，解题的关键是正确的从表中读出有关的信息． （1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出D组人数， （2）50个人的中位数是第25和26人的平均数； （3）由这所学校共有学生人数乘以一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率即可． 【小问1详解】 解：． D组人数：人． 【小问2详解】 解：总人数有50人，从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数， 从统计图，可知，组8人，组12人，组15人，那么第25人和26人的数据落在组， 故答案为：C； 【小问3详解】 解：， （人）． 答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人． 19. 已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B，若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：首先判定三角形ABC与三角形AED相似，然后利用相似三角形的性质得到比例式即可求得ED的长． 试题解析：∵∠AED=∠B，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴ ， ∵AE=5，AB=9，CB=6， ∴ ， 解得：DE= 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（1，0）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为（1，0）； （3）∵，，， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． 21. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，且AC=OC. （1）求弧BC的度数； （2）设⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）60°；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接OB、BC，根据切线的性质求得OB⊥AB，根据直角三角形斜边中线的性质得出BC=OA，进而求得OB=BC=OC，得出△OBC是等边三角形，求得∠BOC=60°，即可求得的度数； （2）先求得直角三角形的面积和扇形的面积，根据S阴影=S△AOB﹣S扇形即可求得． 【详解】（1）连接OB、BC． ∵AB是圆O的切线，切点为B，∴OB⊥AB． ∵AC=OC，∴BC=OA． ∵AC=OC=OA，∴OB=BC=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴的度数为60°； （2）∵∠BOC=60°，OA=10，∴AB=sin60°•OA=×10=5，∴S△AOB=AB•OB=×5×5=． ∵S扇形=×60=，∴S阴影=S△AOB﹣S扇形=． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，解题的关键是连接OB，构建直角三角形． 22. 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正西方向，．从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏西的方向． （1） °； （2）求船C离海岸线的距离（，，，，，，精确到）． 【答案】（1）76 （2）船C离海岸线的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形-方向角问题的应用． （1）作，垂足为D．利用平行线的性质即可求解； （2）作，垂足为D．在中，利用正切函数求得；在中，求得；根据，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作，垂足为D． ∴，， ∴； 故答案为：76； 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为D． 由题意可知：，， ∴在中，， 即； 在中，， 即； ∵， ∴． ∴． 答：船C离海岸线的距离为． 23. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： （1）请在图1中作出的边上的高； （2）请在图2中线段上确定一点F，使得； （3）请在图3中作出的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）延长交于点D，连接即可； （2）利用三角形的三条中线交于一点解决问题即可； （3）取格点E，连接即可． 【小问1详解】 解：如图1中，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图2中，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图3中，直线即为所求． 24. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 （2）这天售出了64辆轮椅 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 【小问2详解】 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，且点坐标为点坐标为， （1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上的任意一点，连接交直线于点，当最大时，求点的坐标； （3）将抛物线向左平移2个单位长度，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接，当，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求点其中一个横坐标的过程． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与相似三角形、二次函数与角度的综合、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，如图：过P作轴交于E，过A作轴交于F，则，，则，，，易证，可得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值，即有最大值，再确定点P的坐标即可； （3）如图：过K作新抛物线的对称轴，再求出平移后的函数解析式为，则对称轴为直线、；再说明；然后分点Q在对称轴的左边和右边分别构造等腰三角形确定点Q的位置，然后求出一次函数解析式，再与抛物线的解析式联立即可解答． 【小问1详解】 解：将，代入可得： ，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵与轴交于点， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图：过P作轴交于E，过A作轴交于F，则，， ∴，，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值，此时． 【小问3详解】 解：如图：过K作新抛物线的对称轴，交轴于点， ∵， ∴抛物线向左平移两个单位后的解析式为， ∴对称轴为直线，即为对称轴，， ∴和重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点Q在对称轴的左侧时，如图，在y的负半轴取，连接并延长交新抛物线于，即， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）或； ∴点Q的横坐标为． ②当点Q在对称轴的右侧时， ∵，， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：在上取一点D使得，连接交新抛物线于，设， ∴，， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）； ∴点Q的横坐标为． 综上，点Q的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $