精品解析：福建省莆田第十五中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期第二次月考 九年级数学试题 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 明年元旦是晴天 D. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意； B、任意一个一元二次方程都有实数根，是随机事件，不符合题意； C、明年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意； D、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意； 故选：D． 2. 如表是某一项实验中结果A出现的频率统计表（表中频率精确到0.01）， 试验次数 40 100 200 400 1000 频数 26 78 158 323 801 频率 0.65 0.78 0.79 0.81 0.80 请估计在一次实验中结果A出现的概率为（ ）（结果保留小数点后一位） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数充分大时，频率稳定在概率附近，观察表中频率值，随着试验次数增加，频率在0.8附近摆动，因此估计概率为0.8． 【详解】∵ 试验次数较大时，频率稳定于概率，且由表可知，试验次数为1000时频率为0.80，其他次数下频率（0.65、0.78、0.79、0.81）也接近0.8， ∴ 估计结果A出现的概率为0.8， 故选C． 3. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，形如（ 为常数，且）的函数是反比例函数，据此判断即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是反比例函数，该选项不合题意； 、不是反比例函数，该选项不合题意； 、是反比例函数，该选项符合题意； 、不是反比例函数，该选项不合题意； 故选：． 4. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标乘积是否等于6，判断点是否在反比例函数图象上． 【详解】解：反比例函数的图象上的点满足， 对于A点，，不在图象上； 对于B点，，不在图象上； 对于C点，，在图象上； 对于D点，，不在图象上． 故选：C． 5. 一个不透明的袋子中装有若干个红球和3个白球（除颜色外都相同），现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中红球个数是（） A. 8 B. 9 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率公式，利用互斥概率可简化计算，根据摸出红球的概率为，可得摸出白球的概率为，再结合白球个数求出总球数，进而求出红球个数，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵摸出红球的概率为， ∴摸出白球的概率为， ∵白球有3个， ∴总球数为：， ∴红球个数为：， 故选：B． 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 通过直接计算函数值即可比较大小． 【详解】点在上，点在上， ，， ， ． 故选：． 7. 下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（ ） A. 人的身高和年龄 B. 三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C. 购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D. 小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 8. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了“平行线分线段成比例”，掌握并运用该知识点是解题关键． 根据平行线分线段成比例，列出四条线段的比例关系，求解即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴．   故选：D ． 9. 如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的定义得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，，，则与的周长之比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由，可得，根据相似三角形的性质，由，，得，相似比为，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴相似比为，则与的周长之比为． 故答案为：． 12. 如图所示，，，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴AD=． 故答案为：． 13. 如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，再由所在的象限判断k的符号，求出满足条件的k的值，即可解答． 【详解】解：∵的面积为3， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 14. 如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 15. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是通过画树状图求出所有可能的结果数和符合条件的结果数，再根据概率公式计算． 画树状图可知，共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种，从而求出抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【详解】解：设女生为A，个男生分别是，，， 画树状图如下， 共有种机会均等的结果，其中抽到的个学生恰好是一男生与一女生的情况有种． 抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率为． 故答案为：． 16. 如图，点在上，点在上，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据得到，再结合相似比是得，再由得，进而得，最后利用等高模型求面积比可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题（共9小题，总分86分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18. 《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒 B—太乙真人 C—申公豹 D—敖丙 （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用概率公式直接求解； （2）先画出树状图，再求概率． 【小问1详解】 解：∵某款盲盒里有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片四张， ∴从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片恰好一套的结果有4种， ∴抽到的两张卡片恰好一套的概率为． 19. 已知：如图，C是AB上一点，，，，求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 由垂直的定义可得，根据平行线的性质得到，即可证明． 【详解】略 20. 已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出． 【答案】（1）如图所示：即为所求； （2） 如图所示：即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了几何的轴对称变换和位似变换，解决本题的关键是准确找到变换后的对应点． （1）找到、、关于轴对称的点，再连接相应的点； （2）将、、绕点旋转，再将对应点到点的距离扩大2倍，得到、、，连接、、． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】（1） （2）公司完成全部运输任务需要9天 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意并列出函数解析式是解决本题的关键． （1）根据题意即可列函数解析式； （2）根据“这个运输公司每天可运送土石方”进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵这个运输公司每天可运送土石方， ∴ 解得， 答：公司完成全部运输任务需要9天． 22. 某校兴趣小组测量学校旗杆的高度．如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，即，，，，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，已知，，该同学手持直角三角板的位置与地面的距离为，点F到旗杆底部的水平距离为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：根据题意得四边形为矩形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又， ， ， ， 答：旗杆的高度为 米． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的表达式，求一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，根据函数图象求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入中求解，即可得到反比例函数的表达式，进而求出点，再将点代入一次函数中求解，即可求出一次函数的表达式； （2）记直线交轴于点，利用一次函数求出，再根据求解，即可解题； （3）根据一次函数图象与反比例函数图象交点情况，直接写出当一次函数值小于反比例函数值的x的取值，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，反比例函数过点，， ， 反比例函数的表达式为； ， ， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：记直线交轴于点， 当时，， ， ，， ； 【小问3详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， 结合图象可知，一次函数值小于反比例函数值的x的取值是或； 故答案为：或． 24. 如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据，得出，证明，得出，从而得出，结合，即可证明； （2）证明为等腰直角三角形，得出，，从而得出，，由（1）知，从而得，证明，得出，从而得，由（1）知，则，即可证明． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， 又， ； 【小问2详解】 证明：，， 为等腰直角三角形， ，， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ． 25. 已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求证：是中点； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，结合同角的余角相等，再结合圆周角定理完成角的等量代换； （2）通过线段比例关系证明三角形相似，结合圆周角与圆心角的关系，推导弧的等量关系； （3）借助相似三角形的性质求出圆的半径，再利用相似三角形对应线段成比例计算线段长度，再结合勾股定理建立方程求解目标线段的长． 【小问1详解】 证明：是直径， ， ， ， ， ， 又， ． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 是中点． 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）得， ， ， 即的半径为， ，， 是直径， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了圆的性质（直径与圆周角、圆周角定理）、相似三角形的判定与性质，同角的余角相等以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的相关定理与几何计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第二次月考 九年级数学试题 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 明年元旦是晴天 D. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 2. 如表是某一项实验中结果A出现的频率统计表（表中频率精确到0.01）， 试验次数 40 100 200 400 1000 频数 26 78 158 323 801 频率 0.65 0.78 0.79 0.81 0.80 请估计在一次实验中结果A出现的概率为（ ）（结果保留小数点后一位） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 3. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的袋子中装有若干个红球和3个白球（除颜色外都相同），现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中红球个数是（） A. 8 B. 9 C. 7 D. 10 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（ ） A. 人的身高和年龄 B. 三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C. 购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D. 小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 8. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 9. 如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，，，则与的周长之比为______． 12. 如图所示，，，，若，则______． 13. 如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为____________． 14. 如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 15. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是_____． 16. 如图，点在上，点在上，，，则______． 三、解答题（共9小题，总分86分） 17. 解方程： 18. 《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒 B—太乙真人 C—申公豹 D—敖丙 （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 19. 已知：如图，C是AB上一点，，，，求证：． 20. 已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出． 21. 政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 22. 某校兴趣小组测量学校旗杆的高度．如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，即，，，，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，已知，，该同学手持直角三角板的位置与地面的距离为，点F到旗杆底部的水平距离为，求旗杆的高度． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 24. 如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． （1）求证：； （2）如果，求证：． 25. 已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求证：是中点； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $