专题6.1 数据的分析讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学“数据的分析”单元复习讲义通过思维导图构建知识体系，以表格对比算术平均数与加权平均数的区别联系，系统梳理平均数、中位数、众数、方差等考点，呈现各统计量的特征及内在逻辑。 讲义亮点在于分考向的典例设计，如结合演讲比赛算平均分培养数据意识，通过已知两组平均分求人数提升运算能力。分层练习覆盖基础与提升，助力不同学生掌握，教师可据此实施精准复习教学。

数据的分析 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 算术平均数 考点梳理 1. 定义：一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 典例引领 考向01 求一组数据的平均数 【例1】我校八年级举行英语演讲比赛．小高和小新积极参与，两人比赛后各项得分如表： 演讲内容 语言表达 演讲技巧 小高 95 85 85 小新 85 90 93 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？（结果精确到） (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“演讲技巧”三个项目在总分中的占比为，那么两位同学的排名顺序又怎样？ 【答案】(1)小新排名第一，小高排名第二 (2)小高排名第一，小新排名第二 【分析】本题考查了平均数和加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义与计算公式是解答本题的关键． （1）先分别计算出两人的平均数，然后按照从高到低进行排名； （2）根据加权平均数的概念再计算各班的加权平均数，然后再排名． 【详解】（1）解：小高的平均数为（分）， 小新的平均数为（分）， ∵， ∴小新排名第一，小高排名第二； （2）解：小高的得分为：（分）， 小新的得分为：（分）， ∵， ∴小高排名第一，小新排名第二． 考向02 已知平均数求未知数据的值 【例2】某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值．根据平均数×数量=总数可列关于x、y的等式，化简得出结果，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴， ∴， 故答案为：． 考向03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例3】已知一组数据的平均数是3，那么另一组数据，，，，的平均数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的定义是解题的关键．由题意得，再根据平均数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴数据，，，，的平均数是12． 故答案为：12． 考向04 利用平均数做决策 【例4】某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查利用统计量作决策，熟记平均数及方差的意义是解决问题的关键． 根据平均数和方差的意义，平均数高表示成绩好，方差小表示发挥稳定，结合表中数据，选择平均数最高且方差最小的同学即可得到答案． 【详解】解：由表中数据可知，乙和丁的平均数最高，甲和乙的方差最小， 乙同学平均数最高且方差最小， 因此选择乙， 故选：B． 对点提升 【对点1】甲、乙两人在次打靶测试中命中的环数如下： 甲：，，，，；乙：，，，，； (1)填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 (2)教练根据这次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)如果乙再射击1次，命中环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】(1)见解析 (2)甲与乙的平均成绩相同，但甲的方差比较小，说明甲的成绩比乙稳定 (3)变小 【分析】本题主要考查众数、平均数和中位数的求法，利用方差作决策，理解题意，熟练掌握运用各个数据的求法是解题关键． （1）根据众数、平均数和中位数的定义求解； （2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定； （3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中环，那么乙的射击成绩的方差变小． 【详解】（1）解：甲的众数为， 甲的方差为， 乙的平均数为， 填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （2）因为甲、乙的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； （3）如果乙再射击1次，命中环，那么乙的射击成绩的方差为，故方差变小， 故答案为：变小． 【对点2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 【对点3】若数据、、的平均数是2，则数据、、的平均数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平均数的计算方法，熟练掌握平均数的计算方法和整体代入的方法是解决本题的关键．根据平均数的计算方式“所有数据之和除以数据的个数”表示出的平均数，再表示出的平均数整体代换即可． 【详解】解：∵数据、、的平均数是2， ∴， ∴数据、、的平均数为：， 故选：C． 【对点4】为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数及其方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 如果选拔一名学生去参赛，应派（   ）去． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查方差及平均数，熟练掌握方差及平均数的意义是解题的关键；选拔参赛选手时，应优先选择平均成绩小（时间短）的选手；若平均成绩相同，则选择方差小（成绩稳定）的选手，然后问题可求解． 【详解】解：∵平均成绩：丁（）＞甲（）＞丙（）＞乙（），且乙和丙的方差均为1.3， ∴应派乙去参赛； 故选B． 考点02 加权平均数 考点梳理 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 典例引领 考向01 求加权平均数 【例1】某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”）； (3)按笔试成绩占，面试成绩占，请算出各位同学的综合成绩，并写出谁的综合成绩最好． 【答案】(1)， (2)乙 (3)综合成绩最高的是乙 【分析】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得m、n的值；把十位评委的打分相加可得p的值； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【详解】（1）解： 由扇形图可知丙的得分8分的最多，故众数； ， 故答案为：8，83； （2）解：由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致； 故答案为：乙； （3）解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， 因为， 所以综合成绩最高的是乙． 考向02 利用加权平均数求未知数据的值 【例2】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 考向03 运用加权平均数做决策 【例3】某校把学生的笔答测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，高于90分为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学期总评成绩优秀的是（   ） 笔答测试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙 90 88 90 A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的计算方法．通过计算加权平均数得到每个人的总评成绩，再判断是否大于90分以确定优秀. 【详解】解：甲的总评成绩， 乙的总评成绩， 丙的总评成绩， 因此甲和乙的总评成绩优秀． 故选：C． 考向04 出错情况下的平均数问题 【例4】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 考向05 用计算器求平均数 【例5】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下 ，则显示的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了计算器的应用，涉及到平均数，解题的关键是掌握计算器的基本功能键． 根据计算器上的按键功能，理解是求该组数据的平均数． 【详解】解：根据计算器上的按键功能，求该组数据的平均数为， 故答案为：2． 对点提升 【对点1】国庆节期间某校组织了“爱我中华”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知八（3）班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是9分，8分，9分，则该班的最终得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形统计图、加权平均数等知识点，理解加权平均数的意义是解题的关键． 根据加权平均数，结合扇形统计图得出，然后求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知，该班的最终得分分． 所以该班的最终得分为分． 故选B． 【对点2】在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 【对点3】自双减以来，延时服务活动丰富多彩．某学校开设了“篮球特色班”，由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成．下表是选拔者甲、乙两名同学的成绩： 成绩（分） 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 乙 (1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，通过计算说明谁将获胜； (2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能的成绩按如图所示权重确定最终评价成绩，通过计算说明谁将获胜． 【答案】(1)甲将获胜，见解析 (2)乙将获胜，见解析 【分析】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数； （1）利用算术平均数的定义求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：甲的成绩为：， 乙的成绩为：， ∵， ∴甲将获胜； （2）解：甲的成绩为：， 乙的成绩为：， ∵， ∴乙将获胜． 考点03 中位数考点梳理 1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同． 3. 中位数的求法 （1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列； （2）确定这组数据的个数； （3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数的平均数作为中位数． 典例引领 考向01 求中位数 【例1】某同学统计了4月份某天全国8个城市的空气质量指数，并绘制了如下折线统计图，则这8个城市的空气质量指数的中位数是 ． 【答案】57 【分析】本题主要考查了中位数，熟练掌握中位数的确定方法是解题的关键．先把这些数据，从小到大排列，然后再确定中位数即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列为：29，36，40，57，57，73，77，81，最中间两个数的平均数是：， ∴这8个城市的空气质量指数的中位数是：57． 故答案为：57． 考向02 利用中位数求未知数据的值 【例2】粮店计划从10袋面粉（质量如图所示）中挑选出7袋面粉，其中五袋面粉的质量已经确定，且这五袋面粉质量的中位数为，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，若要使选出的7袋面粉质量的中位数仍为，则第6袋面粉和第7袋面粉可能会选择（    ） A．A、D B．A、E C．B、E D．C、E 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数的含义，由图形可知，要使选定7袋面粉质量的中位数仍为10kg，则第6袋面粉和第7袋面粉需要选择一袋不低于，另一袋不高于，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：∵序号为1到5袋的面粉已选定，这5袋面粉质量的中位数恰好为10kg，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，使选定7袋面粉质量的中位数仍为， ∴选定的第6袋面粉和第7袋面粉的质量应该一袋不低于，另一袋不高于， 结合题图可得，第6袋面粉和第7袋面粉分别可以选择A和E、或B和D、或C和D， 选项B符合题意 故选：B． 考向03 运用中位数做决策 【例3】某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表： 统计量 中位数 众数 男生 a 9 女生 8 b (1)根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：______，________； (2)请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩； (3)请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？ 【答案】(1)8.5,8 (2)8.4；8.2 (3)男生，理由见解析 【分析】本题主要考查了众数，中位数，平均数， 对于（1），根据众数和中位数的定义解答； 对于（2），根据平均数的定义解答即可； 对于（3），通过分析三数，比较可得答案． 【详解】（1）解：男生的成绩从小到大排列排在中间的两个数是8,9，所以男生成绩的中位数是； 女生成绩的众数是8． 故答案为：8.5,8； （2）解：被抽查的男生的平均成绩是； 被抽查的女生的平均成绩是； （3）解：男生的成绩较好，理由如下： 男生的成绩的平均数比女生高，中位数，众数都比女生高， 所以男生的成绩较好． 对点提升 【对点1】如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ，众数是 ． 【答案】 9 8 【分析】本题主要考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数（将数据排序后中间位置的数）和众数（数据中出现次数最多的数）的定义是解题的关键．根据中位数、众数和极差的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超过8小时的有人． 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9． 故答案为：9；8． 【对点2】若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数的值不可能是（　　） A．4 B． C．0 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平均数与中位数的定义，通过分类讨论x在不同取值范围时中位数的值，令平均数等于中位数，解方程得到x的可能值，从而找出不可能的值． 【详解】平均数为， 当时，排序后中位数为3， 根据题意得，， 解得，符合条件； 当时，中位数为x， 根据题意得，， 解得，符合条件； 当时，中位数为5， 根据题意得，， 解得，符合条件． ∴x的可能值为、4、9． 选项中0不在其中，故x的值不可能是0． 故选：C． 【对点3】为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中，，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在组的分数为：91，92，93，94． 八年级20名学生在组的分数为： 90，93，93，93，94，94，94，94，94， 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 m% 八年级 91 93 65% (1)直接写出表中的值，并把条形统计图补充完整； (2)根据以上数据，推断该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”的知识竞赛中哪个年级学生成绩较好？请说明理由（写一条理由即可）； (3)若该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)，见解析 (2)八年级，见解析 (3)810人 【分析】本题考查了中位数，众数，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握定义和计算是解题的关键． （1）根据众数，中位数的定义，圆心角的计算，统计图的画法解答即可： （2）根据特征量作出决策解答即可； （3）用样本估计总体的思想解答即可． 【详解】（1）解：由条形统计图得：D组3人，C组5人， ∴七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 故中位数， 八年级竞赛成绩中，A组人数为：人， C组人数为：人， D组人数为：人， ∴八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多， 故众数， ， 即， 七年级A组的人数为（人），补全条形统计图如下： （2）解：因为两个年级的平均数都是91，成绩平均水平相同，八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，综上分析，八年级成绩较好 （3）解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共约有810人． 考点04 众数 考点梳理 1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数． 2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． （1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； （2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． 典例引领 考向01 求众数 【例1】某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． (1)该校此次调查共抽取了________名学生； (2)此次调查的众数是________；（填项目类别） (3)在扇形统计图中，“朗诵”部分所对应的圆心角的度数是________°，补全条形统计图； (4)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数． 【答案】(1)200 (2)朗诵 (3)144，见解析 (4)800人 【分析】本题主要考查众数、条形统计图与扇形统计图，解题的关键是理解题意； （1）由条形统计图与扇形统计图可知合唱有76人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据众数的定义可进行求解； （3）根据（2）可进行求解； （4）由题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（名）； 故答案为200； （2）解：由（1）及条形统计图可知：“朗诵”的人数为（人）， ∴“朗诵”的人数是最多的，故此次调查的众数是朗诵； 故答案为朗诵； （3）解：由（2）可得：“朗诵”部分所对应的圆心角的度数是， 补全条形统计图如下： （4）解：由题意得： （人）； 答：估计该校参加朗诵的学生人数为800人． 考向02 利用众数求未知数据的值 【例2】植树节当天，某校九年级一班学生去植树，已知该班 6 个小组的植树棵数分别是：5、7、3、x、6、4，已知这组数据的众数是 5，则这组数据的平均数是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了众数和平均数，掌握一组数据中出现次数最多的数是众数是解题关键．由于众数为5，则x必须为5，使5出现两次，其他数各出现一次，计算所有数据的和再除以6，可得平均数． 【详解】解：∵众数为5，且数据中已有1个5， ∴，使5出现两次，成为众数， 此时数据为：5、7、3、5、6、4， 和为，个数为6， ∴平均数， 故选：B． 考向03 运用众数做决策 【例3】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表： 尺码/厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 如果你是鞋店的经理，你会最关注哪个统计量（   ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，熟练掌握众数的求法是解题关键． 根据众数的意义解答即可． 【详解】解：∵众数是数据中出现次数最多的值，能指示最畅销的尺码，帮助鞋店的经理进货决策； ∴鞋店的经理应关注众数， 从销售数据看，尺码23.5厘米的销售量为11双，23.5这个数据出现次数最多，故众数为23.5厘米， 故选：A． 对点提升 【对点1】某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵·展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整理、分析如下： 【数据收集】 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 【数据整理】 绘制成如下两幅不完整的统计图． 【数据分析】 年级 众数 中位数 平均数 八年级 九年级 根据上述收集、整理、分析的结果，解答下列问题： (1)扇形图中________，表中_______，并补全条形统计图； (2)请计算表中的值（需写出计算过程）； (3)若九年级共有名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分？ 【答案】(1)，，见解析； (2)分，过程见解析； (3)名． 【分析】本题考查了用样本估计总体、中位数、众数、平均数，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （）由八年级竞赛成绩分的人数有人，人数最多，从而得到的值，用分的人数除以样本容量可得的值；根据题意得分的人数，进而补全条形统计图； （）根据加权平均数的计算方法解答即可； （）用乘样本中拿到满分的学生所占百分比即可． 【详解】（1）解：八年级竞赛成绩分的人数有人，人数最多， ∴， 九年级竞赛成绩分的人数有人，则， ∴， 故答案为：，， 八年级竞赛成绩分的人数有人，则补全条形统计图如下， （2）解： （分）； （3）解：（名）， 答：九年级参加竞赛的同学中，共有名同学在此次竞赛中拿到了满分． 【对点2】已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是 ． 【答案】3 【分析】根据众数的定义，x必须是2，从而确定数据组，再计算平均数． 本题考查了众数、平均数，熟练掌握众数、平均数的定义以及求解方法是解题的关键． 【详解】解：∵数据1，2，4，6，x的众数是2， ∴， ∴这组数据为1，2，4，6，2， 其平均数为， 故答案为：3． 【对点3】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示：若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（ ） 鞋的尺码/cm 22 23 24 25 销售量（双） 2 3 12 17 9 5 2 A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 【答案】A 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．最值得关注的应该是哪种尺码的鞋销售量最多，即众数． 【详解】解：∵ 众数是一组数据中出现次数最多的值， ∴ 由销售数据表可知，尺码的销售量为17双，是最高值， ∴ 众数为， ∴ 店主重点关注了众数． 故选：A． 考点05 合理使用平均数、中位数和众数分析问题 考点梳理 1. 平均数、中位数和众数各自的特征 （1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常用，但它易受极端值的影响． （2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数时，中位数不一定是数据中的数． （3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数． 2. 数据分析时的选用依据 平均数 众数 中位数 当要解决的问题需要一组数据中的每个数据都参加运算时，应当选用平均数 当一组数据中 出现极端值时， 应选用中位数 当一组数据中有的数据重 复出现，以至于其他数据 的作用显得相对较小时，应选用众数 考点06 从统计图分析数据的集中趋势 考点梳理 条形统计图 扇形统计图 众数 最高的直条所对的横轴的数 占比例最大的部分所对应的数 中位数 确定中间位置是第n个数，按从左到右的顺序依次计算纵轴对应的个数和，和为n时对应的横轴上的数就是中位数（若处于中间位置的数有两个，则求这两个数的平均数） 按从小到大的顺序计算所占百分比之和，处于最中间位置的数（或最中间位置两个数的平均数）就是中位数 平均数 按平均数的计算公式计算 考点07 方差与标准差 考点梳理 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 6. 离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”，多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和． 典例引领 考向01 求方差 【例1】求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（    ） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误即可． 【详解】解：选项A、算式中差的平方项数为5，对应数据个数，正确； 选项B、平均数，正确； 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误； 选项D、原方差， 加入两个7后的的方差， 加入两个7后，方差由减小为，正确； 综上，错误的说法是C． 故选：C． 考向02 利用方差求未知数据的值 【例2】若一组数据的方差为，则这组数据的众数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差、众数，熟练掌握方差公式是解题的关键．根据方差公式中的系数，确定每个数据出现的次数，从而得到原数据为：，，，，，，，再根据众数的定义即可解答． 【详解】解：由方差可知， 数据点出现次，出现次，出现次，出现次， 因此原数据为：，，，，，，， 其中出现次，次数最多，则众数为， 故答案为：． 考向03 根据方差判断稳定性 【例3】甲、乙、丙三人各投掷5次实心球，他们三人的5次成绩（单位：）的平均数都是，方差分别是，，，三人中，成绩最稳定的是 ． 【答案】丙 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性． 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定；比较三人方差大小即可判断． 【详解】解：因为，，，， 所以丙的方差最小，成绩最稳定． 故答案为：丙． 考向04 运用方差做决策 【例4】甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是 班． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差，根据方差的意义，方差越小，表示数据波动越小，成绩越整齐，据此求解即可． 【详解】解：甲班方差为，乙班方差为．由于， 因此乙班方差更小，成绩更整齐． 故答案为：乙． 考向05 标准差 【例5】一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了标准差及方差的知识，解题的关键是了解标准差是方差的算术平方根． 数据中的每个值都加上相同的常数，方差不变，因此新数据的方差仍为9，标准差为方差的算术平方根，故为3． 【详解】解：∵数据，，的方差是9， ∴数据，，的方差是9． ∴数据，，的标准差是． 故答案为：3． 考向06 用计算器求方差 【例6】用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【详解】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入MODE 2状态； ②依次输入各数据； ③按求的功能键，即可得出结果． 故选：B． 考向07 求离差平方和 【例7】为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人进行了5次测试，已知甲同学5次测试的平均成绩是28分，甲测试成绩的方差为3，乙同学的测试成绩（单位：分）统计如下：28，28，27，28，29． 求乙测试成绩的离差平方和及方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的“英语听说”大赛，请你判断谁参加学校的“英语听说”大赛更合适，并说明理由． 【答案】乙测试成绩的离差平方和为2，方差为0.4；乙参加更合适，理由见解析 【分析】此题主要考查了方差、离差平方和、算术平均数等统计量，其中方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．先根据平均数和方差的定义求出乙测试成绩的离差平方和及方差，再根据平均数和方差的意义判断即可． 【详解】解：乙的平均数为：， 乙的离差平方和为：， 乙的方差为：； 乙参加学校“英语听说”大赛更合适，理由如下： 因为甲的平均成绩等于乙的平均成绩，且乙的方差较小，即乙的成绩稳定， 所以选乙参加学校的“英语听说”大赛更合适． 考向08 离差平方和的应用 【例8】若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差和方差，根据方差定义为离差平方和的平均数，给定数据个数为，直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和，数据个数， ∴方差， 故选：． 考向09 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【例9】我市某校在三月份“学雷锋”活动月中，七（1）班开展向福利院孤残儿童献爱心捐款活动，全班40人共捐款210元，捐款情况如下表．表中捐款5元和10元的人数不小心被墨水污染已看不清楚． 捐款（元） 2 5 10 20 人数（人） 20 ▓▓▓ ▓▓▓ 2 (1)请你帮助确定表中看不清楚的数据，并说明理由； (2)若按捐款数目制成扇形统计图，则捐款为10元人数的扇形的圆心角的度数为_____； (3)学校团委号召全校学生向七（1）学习，若全校2600名学生都能像该班这样积极响应，请估计全校共捐款多少元？ 【答案】(1)10，8 (2) (3)元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求扇形圆心角的度数，用样本估计总体． （1）设捐款5元的有x人，捐款10元的有y人，根据全班40人共捐款210元列方程组求解即可； （2）用360度乘以捐款为10元人数所占的比例即可； （3）利用样本估计总体的思想求解即可． 【详解】（1）设捐款5元的有x人，捐款10元的有y人 根据题意得： 解之得． （2）， 故答案为：； （3）（元）． 对点提升 【对点1】一组数据的方差为5，若将每个数据都加上2，则新数据的方差为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了方差得求解，设原数据的平均数为，由方差公式得，表示新数据的各个数，计算新的平均数，代入方差公式求解即可． 【详解】解：∵一组数据、、的方差是， ∴设原数据的平均数为， 由方差公式得， 由题意得，该组数据每一个数据都加上2后得到的新数据是：，，． ∴新数据组的平均数为 ∴新数据组的方方差为： ． 故答案为：5． 【对点2】若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值． 【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值， 又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等， ∴第一组数据也应为连续整数， 当时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数， 当时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数， ∴x的值为1或6． 故选：C． 【对点3】甲、乙、丙三个人同时进行了8次排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．三者一样 【答案】B 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性．根据方差越小，成绩越稳定即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴成绩最稳定的是乙， 故选：B． 【对点4】2029年将在长沙举办第十六届全国运动会．为备战此次全运会，江苏省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，成绩的方差分别是，，，应该选 参加全运会填“甲”、“乙”、“丙”中的一个 【答案】丙 【分析】本题考查了方差，掌握方差的意义是解题的关键．方差表示的是一组数据的波动大小，方差越小这组数据的波动越小，成绩越稳定，所以三个人的平均成绩相同时要选三个人中方差最小的丙去参加全运会． 【详解】解：∵甲、乙、丙的平均成绩均为9.5环，且，，，其中丙的方差最小， ∴应选丙参加全运会． 故答案为：丙． 【对点5】超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和标准差分别为x，s，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平均数、标准差的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据标准差越大，平均值的离散程度越大，稳定性越小，反之，标准差越小，平均值的离散程度越小，稳定性越好，逐一判断即可． 【详解】解：顾客选购的鸡蛋大小均匀，说明其质量数据的波动性较小，离散程度较小，则标准差较小，即，对于平均数 和 ，无法比较大小，故只有D一定成立， 故选：D． 【对点6】设有两组数据，第一组数据为3，5，7；第二组数据为6，8，10．分别计算这两组数据各自的组内离差平方和． 【答案】 【分析】先明确组内离差平方和的计算方法，即先求每组数据的平均数，再用每个数据减去平均数求平方，最后求和，然后分别对两组数据进行计算． 【详解】解：第一组数据：，组内离差平方和为：． 第二组数据：，组内离差平方和为：． 【对点7】在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（   ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了离差的实际应用，解题的关键是掌握离差的意义． 根据分组的要求和离差的意义，“在总离差平方和一定的情况下，组内离差平方和越小，则组间离差平方和越大，即组间数据差异越大”，进行判断即可． 【详解】解：根据离差的意义可得，使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大， 故选：B． 【对点8】某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了个成熟的西瓜，称重如表： 西瓜质量（单位：） 西瓜个数（单位：个） (1)这个西瓜的平均质量是多少千克？ (2)根据计算结果你估计这亩地的西瓜产量约是多少千克？ 【答案】(1)千克 (2)千克 【分析】本题考查了加权平均数，用样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）总数乘个西瓜质量的平均值即可估计出这亩地的西瓜产量． 【详解】（1）解：样本西瓜平均质量为； （2）这亩地的西瓜产量约为． 考点08 四分位数与箱线图 考点梳理 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图： 典例引领 考向01 求四分位数 【例1】有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【分析】本题考查中位数，以及数字变化，属于中档题．根据题意逐一分析即可． 【详解】解：箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； 箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； 箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； 箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 考向02 画箱线图 【例2】小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 【答案】(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可) (2)A组有可能是青年组 【分析】本题考查了箱线图，能从箱线图获取信息是解题的关键． （1）观察箱线图，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群； （2）根据箱线图并结合实际情况即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)； （2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人， 所以A组有可能是青年组． 考向03 根据要求选择合适的统计量 【例3】2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学想了解“豆包”、“腾讯元宝”、“文心一言”三种应用软件中哪种最受欢迎，“最受欢迎”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】D 【分析】本题考查了众数．“最受欢迎”指的是出现频率最高，因此涉及的统计量是众数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，众数表示一组数据中出现次数最多的值， 则“最受欢迎”指的是出现频率最高， 故“最受欢迎”涉及的统计量是众数， 故选：D 考向04 利用合适的统计量做决策 【例4】学校计划面向全校学生对校服款式的喜欢情况进行调研，应该选用的统计量是（   ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】C 【分析】本题主要考查了用众数做决策，调研校服款式的喜欢情况，需要找出最受欢迎的款式，即出现频率最高的款式，因此选用众数． 【详解】解：∵校服款式为类别数据，调研目的为找出最喜欢款式的集中趋势；而众数表示一组数据中出现次数最多的值，适用于类别数据； ∴应选用众数作为统计量， 故选；C． 对点提升 【对点1】在学校组织的初三学生体检中，某班40名同学视力检查数据如表所示： 视力 人数 1 3 4 6 11 9 3 3 这40名同学视力检查数据的众数、上四分位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查众数和上四分位数的概念，找到出现次数最多的数和上四分位数的概念是解题的关键． 首先明确众数是出现次数最多的数据，再明确上四分位数是将数据从小到大排列后，位于第30个和第31个数据的平均数，再通过计算位置并查找累积频数确定即可． 【详解】∵ 视力4.7的人数为11人，是体检中的最多人数， ∴ 众数为4.7； ∵ 总人数， ∴上四分位数的位置在， ∴上四分位数是将数据从小到大排列后，位于第30个和第31个数据的平均数， ∵视力不高于4.7的人数为25人，视力不高于4.8的人数为34人， ∵ ， ∴上四分位数为， 故选：B． 【对点2】如图是某两个理财团队负责的产品的收益率的箱线图，现有一笔资金想要投入理财账户中，则从总体经营效益与稳健度方面，应该选择团队 .（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图等知识，理解箱线图是解题关键．根据箱线图可得团队A的收益率波动更大，稳定性差；团队B的收益率波动更小，更稳健，同时收益率整体水平更高，据此即可求解． 【详解】解：由箱线图可得，团队A的收益率范围是2.02到4.89，波动更大，稳定性差；团队B的收益率范围是3.18到4.44，波动更小，更稳健，同时收益率整体水平更高，总体效益更好． 故答案为：B． 【对点3】在一次身高测量中，小明的身高为，低于全班半数学生的身高，分析得到结论所用的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握并区分中位数、众数、平均数及方差的含义．根据中位数的意义求解可得． 【详解】解：全班学生的身高数据排列后，最中间一个数或最中间两个身高数的平均数是这组身高数的中位数，半数学生的身高位于中位数或中位数以下，小明低于全班半数学生的身高所用的统计量是中位数， 故选：B． 【对点4】某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是 ． 【答案】部门5 【分析】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 分别求出得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数占完成人数的比例，可得完成人数的总和的个位数为0，再由 6个部门有153人，可得未参与部门人数个位一定为3，即可求解． 【详解】解：得分为100分的人数占完成人数的， 得分为90分的人数占完成人数的， 得分为80分的人数占完成人数的， 得分为70分的人数占完成人数的， 得分为60分的人数占完成人数的， ∵各分数人数为整数，即总参与人数整数， ∴总参与人数是10的倍数，即完成人数的总和的个位数为0， ∵ 6个部门有153人，即人， ∴未参与部门人数个位一定为3， ∴未参与答题的部门是部门5． 故答案为：部门5． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统计图，下列判断正确的是（    ） A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 【答案】D 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，折线统计图，根据折线统计图以及中位数，平均数和众数的定义来判断A、B、C，根据方差与稳定性之间的关系可判断D． 【详解】解：A、由统计图可知，甲的中位数为8个，乙的中位数为8个，故甲的中位数与乙的中位数相同，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可知，甲的众数是8个，原说法错误，不符合题意； C、甲的平均数为个，乙的平均数为个，故甲的平均数与乙的平均数相同，原说法错误，不符合题意； D、由统计图可知甲成绩的波动比乙成绩的波动小，故甲的成绩比乙的成绩稳定，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．下列说法正确的是（ ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 B．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖 C．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，采用抽样调查 D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为，方差分别为、．若，，，则乙的成绩比甲的稳定 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类、概率意义、调查方式和方差的含义．根据必然事件和随机事件的含义判断A；根据概率意义判断B；根据调查方式的含义判断C；根据方差与稳定性的关系判断D． 【详解】解：A．交通信号灯有红、黄、绿三种情况，遇到绿灯是随机事件，不是必然事件， A说法错误，不符合题意． B．概率为表示每次抽奖中奖的可能性，并非抽奖20次一定中奖，B说法错误，不符合题意． C．对市场上粽子质量调查，因数量大且破坏性强，采用抽样调查合理， C说法正确，符合题意． D．方差越小表示成绩越稳定，甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故甲的成绩更稳定， D说法错误，不符合题意． 故选：C． 3．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，190，194．现用两名身高分别为和的队员换下场上身高为和一名的队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．中位数变小，众数变大 B．中位数变小，众数变小 C．中位数变大，众数变小 D．中位数变大，众数变大 【答案】B 【分析】本题考查了中位数和众数的概念及计算，解题的关键是分别确定换人前、后数据的中位数和众数，再比较其变化．先将换人前的身高数据排序，计算其中位数和众数；再列出换人后的身高数据并排序，计算新的中位数和众数，最后对比两者的变化． 【详解】解：换人前身高数据排序：180，184，188，190，190，194，中位数：，众数：190； 换人后身高数据：180，185，188，188，190，194， 排序后：180，185，188，188，190，194，中位数：，众数：188； 对比得：中位数变小，众数变小． 故选：B． 4．若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据平均数的定义可得，则可推出，可求出，根据方差的定义可推出，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的平均数为12； ∵样本，，…，的方差为6， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的方差为6， 故选：B． 5．“这么近，那么美，周末到河北．”河北某文旅集团招聘30名讲解员，年龄均在岁之间，其中23岁的有13人，24岁的有7人，则无论26岁招聘人数为何值，对于这30名讲解员年龄数据的分析，下列统计量一定不变的是（   ） A．众数和中位数 B．方差 C．中位数和方差 D．众数和平均数 【答案】A 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据各个数据的计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数受极值影响，方差受平均数的影响， ∴当26岁招聘人数发生变化时，平均数和方差会产生变化， ∵，，， ∴23岁的人数最多，第15和第16个数据均为24岁， ∴众数是23岁，中位数为24岁，不会受到26岁招聘人数的影响； 故选：A． 6．国家卫健委携手多部门联合启动了为期三年的“体重管理年”活动，体重管理成为全民关注的焦点．某社区志愿者随机抽取500名居民进行指数检测（图中A：为偏瘦；B：为正常；C：为偏胖；D：为肥胖），将结果绘制成了如图所示扇形统计图，下列说法错误的是（   ） A．体重为肥胖的居民人数有50人 B．该组数据的中位数所在区间为偏胖 C．体重为偏瘦的居民人数占 D．体重为正常对应扇形的圆心角为 【答案】B 【分析】本题考查了扇形统计图的应用． 用总数乘以肥胖的百分比可判断A；求出偏瘦的度数所占百分比可判断C；求出正常的百分比，根据中位数的定义可判断B；用求出正常的百分比乘以可判断D． 【详解】解：（人），故A说法正确，不符合题意； 体重为偏瘦的居民人数占，故C说法正确，不符合题意； 正常的百分比为，，，该组数据的中位数所在区间为正常，故B说法错误，符合题意； ，故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 7．下列说法不正确的是（    ） A．明天下雨是随机事件 B．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 C．已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】B 【分析】本题考查随机事件、调查方式、中位数和方差的概念．选项A正确，明天下雨是随机事件；选项B错误，因为日光灯使用寿命的测试是破坏性的，全面调查不现实，应采用抽样调查；选项C正确，数据中位数为5；选项D正确，方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵选项A：明天下雨可能发生也可能不发生，是随机事件，正确； ∵选项B：全面调查需检查所有个体，但日光灯寿命测试是破坏性的，全面调查不经济且不现实，应采用抽样调查，错误； ∵选项C：数据3，3，4，5，8，10，11按升序排列，共7个数，中位数为第4个数5，正确； ∵选项D：方差，乙组数据方差更小，更稳定，正确； 故选B． 8．在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．下图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了统计中的中位数，箱线图，四分位数，正确理解定义是解题的关键． 从箱线图中可获取数据的最大值、最小值和四分位数以及中位数，据此进行分析比较即可． 【详解】解：①由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为，正确； ②由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数为，西安每天的最高温度的中位数为，故济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故②正确； ③箱线图反映的是整体分布趋势，并非“每一天”的温度都严格高于。济南的最低温度可能低于西安的最低温度，但济南的最高温度也可能高于西安的最高温度。因此“都高于”的表述过于绝对，所以结论③ 错误； ④由箱线图可得西安每天的最高温度的中位数为，西安有超过一半的天数最高温度不低于，故④错误， 正确的有2个， 故选：B． 9．在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义． 【详解】解：由题意可得，若去掉一个最高分，平均分为，则此时的一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 去掉一个最低分，平均分为，则此时的一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 故， 故选：A． 10．已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A．观察箱线图知：二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知：一班成绩的下四分位数是80分，故原说法错误； C．观察箱线图知：一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知：一班和二班成绩的中位数相同， 故原说法正确． 故选：D． 2、 填空题 11．已知一组数据，x，，3，1，6的中位数是1，则其标准差为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据中位数求未知数据的值，求一组数据的标准差，根据中位数的定义，数据个数为偶数时，中位数是排序后中间两个数的平均值，由此求出x的值，再计算数据的平均值，进而求出方差，即可求出标准差． 【详解】解：∵一共有6个数， ∴把这组数据按照从小到大的顺序排列后，第3位和第4位这两个数的平均数为中位数， ∵， ∴1要么是第3位数，要么是第4位数， ∵中位数为1， ∴第3位数和第4位数的平均数为1， ∴第3位数和第4位数的和为， ∴第3位数和第4位数都是1， ∴， ∴这组数据为，，1，1，3，6， ∴这组数据的平均数为， ∴这组数据的方差为， ∴这组数据的标准差为， 故答案为：3． 12．小红等五名同学五月份参加某次数学测验的成绩如下：90、90、y、y、70．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数y的值为 ． 【答案】50或100 【分析】本题考查了中位数和平均数，根据数据90、90、y、y、70，分情况讨论y的取值范围，确定中位数，并令中位数等于平均数，解方程求整数y，熟练掌握中位数和平均数的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：数据总和为， 故平均数为， 当时，数据排序为、、70、90、90，则中位数为70， 故，解得，符合； 当时，数据排序为70、、、90、90，则中位数为， 故，解得，不是整数，舍去； 当时，数据排序为70、90、90、、，则中位数为90， 故，解得，符合； 综上所述，整数的值为50或100， 故答案为：50或100． 13．某校选拔名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 人数/名 则这组数据的下四分位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了下四分位数，根据给定心率数据，先列出所有数据点并排序，然后计算下四分位数的位置，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：心率数据按从小到大排列为：，共个数据，下四分位数的位置为，即第个和第个数据的平均值， ∵第个数据为，第个数据为， ∴下四分位数为， 故答案为：． 14．有一道题目要求计算15个自然数的平均数，结果保留两位小数．小高的计算结果是，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数字都对，正确的平均数应该是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了自然数的定义、平均数的计算等知识点，掌握有理数之和为整数是解题的关键． 既然只有百分位错，那就说明结果是和之间，就用和分别乘15，再用二者之间的整数除以15即可解答． 【详解】解：由题意可知：正确结果在和之间， 所以15个自然数的和在和，即和， 所以15个自然数的和是， 所以正确的平均数应该是． 故答案为：． 15．如下表，乐乐将，，，，，，，，分别填入九宫格内．使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在、、、分别标上其中的一个数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算与幻方性质，熟练掌握平均数的计算以及幻方中每行、每列、每条对角线上数的和相等是解题关键．先求出这组数据的平均数，从而确定每行、每列、每条对角线上三个数的和，再据此依次求出、、、的值，最后计算． 【详解】解：这组数据，，，，，，，，的平均数 ∵九宫格每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴九宫格每行、每列、每条对角线上的三个数之和为． ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ，即， ∴ ； ∴ ． 故答案为：． 3、 解答题 16．为了培养学生的实验意识，提高学生的实验操作能力，某校开展了物理实验操作技能比赛．现从该校八、九年级中各随机抽取15名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，均为整数，并分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 八年级被抽取学生C组的比赛成绩数据：82，84，84，84，84，89． 九年级被抽取学生的比赛成绩数据：61，70，71，74，80，82，86，86，86，90，92，92，95，95，100． 八、九年级被抽取学生的比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 a 84 九年级 84 b c (1)________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的实验操作技能较好？并说明理由； (3)若该校八年级500名和九年级600名学生都参加此次实验操作技能比赛，请估计该校八、九年级所有学生的平均成绩．（结果保留一位小数） 【答案】(1)，，； (2)八年级技能较好，理由见解析 (3)分 【分析】本题考查了求中位数、众数、加权平均数，根据平均数、中位数、众数做判断． （1）根据中位数、众数的定义作答即可； （2）根据平均数、中位数、众数作答即可； （3）求加权平均数即可． 【详解】（1）解：由统计图可知，八年级中位数是C组从小到大第4个数，即； 由九年级被抽取学生的比赛成绩数据可知，第八个数是，即中位数；出现次数最大，即； 故答案为：，，； （2）解：八年级技能较好，八年级平均数高于九年级，说明八年级的学生实验操作技能整体水平高于九年级（答案不唯一，合理即可）； （3）解：（分）． 答：该校八、九年级所有学生的平均成绩为分． 17．2025年10月10日故宫博物院建院100周年，为了普及文化遗产知识并推动文化传承，某学校组织了“青少年文化遗产知识大赛”活动，从七．八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理．描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：85，90，66，83，73，95，86，85，67，99，95，81，93，100，100，93，89，93，90，97． 八年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，85，89，87，87，86 七．八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 88.05 a 90 八年级 88.05 94 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七．八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有600名，八年级有700名学生参加了此次“青少年文化遗产知识大赛”，估计该校七．八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)93，88；30 (2)七年级学生的知识竞赛成绩更好，平均值相同，七年级的中位数高于八年级的中位数 (3)估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有645人 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解：七年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，73，81，83，85，85，86，89，90，90， 93，93，93，95， 95，97，99，100，100．其中93出现次数最多，所以众数a的值为93； 由题知，八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93，88；30； （2）解：七年级学生的知识竞赛成绩更好， 因为平均值相同，七年级的中位数高于八年级的中位数． （3）解：根据数据，七年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又七年级有600名学生，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有700名学生，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有645人． 18．为让学生了解“大别山红色革命史”，立德中学拟举办主题为“赓续大别山红色革命史”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为分、分、分、分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． (1)这次预赛中，一班参加比赛的人数为 人，二班成绩在B等及以上的有 人； (2)分别计算这次预赛中一班成绩的平均数及二班成绩的中位数和众数； (3)已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 【答案】(1)20；9 (2)中位数是80，众数是80 (3)见解析 【分析】此题考查了平均数、中位数、众数等统计量的求法、方差的意义、条形统计图和扇形统计图的应用等知识，熟练掌握各统计量的求法是关键． （1）根据条形统计图求出一班参加比赛的人数，即可得到二班参加比赛的人数，再根据扇形统计图求出二班成绩在B等及以上的人数即可； （2）根据平均数、中位数和众数的定义进行解答即可； （3）比较方差的大小后即可得到答案． 【详解】（1）解：一班参加比赛的人数为（人）， ∵两个班参加比赛的人数相同， ∴二班成绩在B等及以上的有（人）， 故答案为：20；9； （2）一班成绩的平均数为：（分）， 二班成绩的中位数是，众数是． （3）选择方差，∵， ∴一班方差大于二班方差，说明一班成绩比较分散，二班成绩比较集中． 19．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【答案】(1)第一组：；；第二组：，；第三组：， (2)因为，所以应当按照第一组排列，使平均数最大；因为 所以应当按照第三组排列，使方差最小 (3)见解析 【分析】本题考查条形统计图和箱线图、方差、中位数和平均数，会绘制箱线图是解答的关键． （1）根据平均数和方差公式求解即可； （2）根据（1）中求解数据，结合条形统计图可得结论； （3）先分别求得三组的中位数，下四分位数，上四分位数，以及最大值和最小值，然后分别画出箱线图，再根据箱线图的特点分析可得答案． 【详解】（1）解：第一组平均数（分）， 方差； 第二组：（分）， 方差； 第三组：（分）， 方差； （2）解：因为，所以第一组得高分的人数较多，应当按照第一组排列，使平均数最大； 因为所以第三组离平均分近的人数较多，应当按照第三组排列，使方差最小； （3）解：第一组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第二组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第三组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 三个小组得分的箱线图如图所示： 由图知，第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大； 第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小； 第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分略微高于中位数，方差小，得分较稳定． 20．项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，； 八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，； 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100， 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 c 九年级 85 b 80 直接写出______，______，______． 【分析解决】 （2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 【答案】（1）77，85，90；（2）见解析 【分析】本题考查了中位数，众数，算术平均数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的计算方法是解题的关键． 根据算术平均数，众数和中位数的定义解答即可； 根据平均数，众数或中位数的意义解答即可． 【详解】由题意得：； 在八年级10名学生得分数中，90出现的次数最多，故众数； 把九年级10名学生得分数从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90，故中位数， 故答案为：77；85；90； 从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差，建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．答案不唯一，从中位数、众数角度回答均可 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 数据的分析 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 算术平均数 考点梳理 1. 定义：一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 典例引领 考向01 求一组数据的平均数 【例1】我校八年级举行英语演讲比赛．小高和小新积极参与，两人比赛后各项得分如表： 演讲内容 语言表达 演讲技巧 小高 95 85 85 小新 85 90 93 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？（结果精确到） (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“演讲技巧”三个项目在总分中的占比为，那么两位同学的排名顺序又怎样？ 考向02 已知平均数求未知数据的值 【例2】某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则 ． 考向03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例3】已知一组数据的平均数是3，那么另一组数据，，，，的平均数是 ． 考向04 利用平均数做决策 【例4】某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 对点提升 【对点1】甲、乙两人在次打靶测试中命中的环数如下： 甲：，，，，；乙：，，，，； (1)填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 (2)教练根据这次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)如果乙再射击1次，命中环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【对点2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【对点3】若数据、、的平均数是2，则数据、、的平均数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【对点4】为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数及其方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 如果选拔一名学生去参赛，应派（   ）去． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考点02 加权平均数 考点梳理 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 典例引领 考向01 求加权平均数 【例1】某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”）； (3)按笔试成绩占，面试成绩占，请算出各位同学的综合成绩，并写出谁的综合成绩最好． 考向02 利用加权平均数求未知数据的值 【例2】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 考向03 运用加权平均数做决策 【例3】某校把学生的笔答测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，高于90分为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学期总评成绩优秀的是（   ） 笔答测试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙 90 88 90 A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙 考向04 出错情况下的平均数问题 【例4】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是 ． 考向05 用计算器求平均数 【例5】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下 ，则显示的结果为 ． 对点提升 【对点1】国庆节期间某校组织了“爱我中华”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知八（3）班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是9分，8分，9分，则该班的最终得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【对点2】在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【对点3】自双减以来，延时服务活动丰富多彩．某学校开设了“篮球特色班”，由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成．下表是选拔者甲、乙两名同学的成绩： 成绩（分） 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 乙 (1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，通过计算说明谁将获胜； (2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能的成绩按如图所示权重确定最终评价成绩，通过计算说明谁将获胜． 考点03 中位数考点梳理 1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同． 3. 中位数的求法 （1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列； （2）确定这组数据的个数； （3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数的平均数作为中位数． 典例引领 考向01 求中位数 【例1】某同学统计了4月份某天全国8个城市的空气质量指数，并绘制了如下折线统计图，则这8个城市的空气质量指数的中位数是 ． 考向02 利用中位数求未知数据的值 【例2】粮店计划从10袋面粉（质量如图所示）中挑选出7袋面粉，其中五袋面粉的质量已经确定，且这五袋面粉质量的中位数为，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，若要使选出的7袋面粉质量的中位数仍为，则第6袋面粉和第7袋面粉可能会选择（    ） A．A、D B．A、E C．B、E D．C、E 考向03 运用中位数做决策 【例3】某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表： 统计量 中位数 众数 男生 a 9 女生 8 b (1)根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：______，________； (2)请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩； (3)请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？ 对点提升 【对点1】如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ，众数是 ． 【对点2】若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数的值不可能是（　　） A．4 B． C．0 D．9 【对点3】为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中，，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在组的分数为：91，92，93，94． 八年级20名学生在组的分数为： 90，93，93，93，94，94，94，94，94， 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 m% 八年级 91 93 65% (1)直接写出表中的值，并把条形统计图补充完整； (2)根据以上数据，推断该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”的知识竞赛中哪个年级学生成绩较好？请说明理由（写一条理由即可）； (3)若该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 考点04 众数 考点梳理 1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数． 2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． （1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； （2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． 典例引领 考向01 求众数 【例1】某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． (1)该校此次调查共抽取了________名学生； (2)此次调查的众数是________；（填项目类别） (3)在扇形统计图中，“朗诵”部分所对应的圆心角的度数是________°，补全条形统计图； (4)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数． 考向02 利用众数求未知数据的值 【例2】植树节当天，某校九年级一班学生去植树，已知该班 6 个小组的植树棵数分别是：5、7、3、x、6、4，已知这组数据的众数是 5，则这组数据的平均数是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 考向03 运用众数做决策 【例3】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表： 尺码/厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 如果你是鞋店的经理，你会最关注哪个统计量（   ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 对点提升 【对点1】某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵·展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整理、分析如下： 【数据收集】 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 【数据整理】 绘制成如下两幅不完整的统计图． 【数据分析】 年级 众数 中位数 平均数 八年级 九年级 根据上述收集、整理、分析的结果，解答下列问题： (1)扇形图中________，表中_______，并补全条形统计图； (2)请计算表中的值（需写出计算过程）； (3)若九年级共有名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分？ 【对点2】已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是 ． 【对点3】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示：若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（ ） 鞋的尺码/cm 22 23 24 25 销售量（双） 2 3 12 17 9 5 2 A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 考点05 合理使用平均数、中位数和众数分析问题 考点梳理 1. 平均数、中位数和众数各自的特征 （1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常用，但它易受极端值的影响． （2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数时，中位数不一定是数据中的数． （3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数． 2. 数据分析时的选用依据 平均数 众数 中位数 当要解决的问题需要一组数据中的每个数据都参加运算时，应当选用平均数 当一组数据中 出现极端值时， 应选用中位数 当一组数据中有的数据重 复出现，以至于其他数据 的作用显得相对较小时，应选用众数 考点06 从统计图分析数据的集中趋势 考点梳理 条形统计图 扇形统计图 众数 最高的直条所对的横轴的数 占比例最大的部分所对应的数 中位数 确定中间位置是第n个数，按从左到右的顺序依次计算纵轴对应的个数和，和为n时对应的横轴上的数就是中位数（若处于中间位置的数有两个，则求这两个数的平均数） 按从小到大的顺序计算所占百分比之和，处于最中间位置的数（或最中间位置两个数的平均数）就是中位数 平均数 按平均数的计算公式计算 考点07 方差与标准差 考点梳理 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 6. 离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”，多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和． 典例引领 考向01 求方差 【例1】求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（    ） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 考向02 利用方差求未知数据的值 【例2】若一组数据的方差为，则这组数据的众数为 ． 考向03 根据方差判断稳定性 【例3】甲、乙、丙三人各投掷5次实心球，他们三人的5次成绩（单位：）的平均数都是，方差分别是，，，三人中，成绩最稳定的是 ． 考向04 运用方差做决策 【例4】甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是 班． 考向05 标准差 【例5】一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为 ． 考向06 用计算器求方差 【例6】用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 考向07 求离差平方和 【例7】为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人进行了5次测试，已知甲同学5次测试的平均成绩是28分，甲测试成绩的方差为3，乙同学的测试成绩（单位：分）统计如下：28，28，27，28，29． 求乙测试成绩的离差平方和及方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的“英语听说”大赛，请你判断谁参加学校的“英语听说”大赛更合适，并说明理由． 考向08 离差平方和的应用 【例8】若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 考向09 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【例9】我市某校在三月份“学雷锋”活动月中，七（1）班开展向福利院孤残儿童献爱心捐款活动，全班40人共捐款210元，捐款情况如下表．表中捐款5元和10元的人数不小心被墨水污染已看不清楚． 捐款（元） 2 5 10 20 人数（人） 20 ▓▓▓ ▓▓▓ 2 (1)请你帮助确定表中看不清楚的数据，并说明理由； (2)若按捐款数目制成扇形统计图，则捐款为10元人数的扇形的圆心角的度数为_____； (3)学校团委号召全校学生向七（1）学习，若全校2600名学生都能像该班这样积极响应，请估计全校共捐款多少元？ 对点提升 【对点1】一组数据的方差为5，若将每个数据都加上2，则新数据的方差为 ． 【对点2】若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【对点3】甲、乙、丙三个人同时进行了8次排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．三者一样 【对点4】2029年将在长沙举办第十六届全国运动会．为备战此次全运会，江苏省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，成绩的方差分别是，，，应该选 参加全运会填“甲”、“乙”、“丙”中的一个 【对点5】超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和标准差分别为x，s，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【对点6】设有两组数据，第一组数据为3，5，7；第二组数据为6，8，10．分别计算这两组数据各自的组内离差平方和． 【对点7】在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（   ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 【对点8】某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了个成熟的西瓜，称重如表： 西瓜质量（单位：） 西瓜个数（单位：个） (1)这个西瓜的平均质量是多少千克？ (2)根据计算结果你估计这亩地的西瓜产量约是多少千克？ 考点08 四分位数与箱线图 考点梳理 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图： 典例引领 考向01 求四分位数 【例1】有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 考向02 画箱线图 【例2】小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 考向03 根据要求选择合适的统计量 【例3】2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学想了解“豆包”、“腾讯元宝”、“文心一言”三种应用软件中哪种最受欢迎，“最受欢迎”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 考向04 利用合适的统计量做决策 【例4】学校计划面向全校学生对校服款式的喜欢情况进行调研，应该选用的统计量是（   ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 对点提升 【对点1】在学校组织的初三学生体检中，某班40名同学视力检查数据如表所示： 视力 人数 1 3 4 6 11 9 3 3 这40名同学视力检查数据的众数、上四分位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【对点2】如图是某两个理财团队负责的产品的收益率的箱线图，现有一笔资金想要投入理财账户中，则从总体经营效益与稳健度方面，应该选择团队 .（填“A”或“B”） 【对点3】在一次身高测量中，小明的身高为，低于全班半数学生的身高，分析得到结论所用的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【对点4】某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是 ． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统计图，下列判断正确的是（    ） A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 2．下列说法正确的是（ ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 B．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖 C．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，采用抽样调查 D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为，方差分别为、．若，，，则乙的成绩比甲的稳定 3．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，190，194．现用两名身高分别为和的队员换下场上身高为和一名的队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．中位数变小，众数变大 B．中位数变小，众数变小 C．中位数变大，众数变小 D．中位数变大，众数变大 4．若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 5．“这么近，那么美，周末到河北．”河北某文旅集团招聘30名讲解员，年龄均在岁之间，其中23岁的有13人，24岁的有7人，则无论26岁招聘人数为何值，对于这30名讲解员年龄数据的分析，下列统计量一定不变的是（   ） A．众数和中位数 B．方差 C．中位数和方差 D．众数和平均数 6．国家卫健委携手多部门联合启动了为期三年的“体重管理年”活动，体重管理成为全民关注的焦点．某社区志愿者随机抽取500名居民进行指数检测（图中A：为偏瘦；B：为正常；C：为偏胖；D：为肥胖），将结果绘制成了如图所示扇形统计图，下列说法错误的是（   ） A．体重为肥胖的居民人数有50人 B．该组数据的中位数所在区间为偏胖 C．体重为偏瘦的居民人数占 D．体重为正常对应扇形的圆心角为 7．下列说法不正确的是（    ） A．明天下雨是随机事件 B．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 C．已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 8．在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．下图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． 10．已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 2、 填空题 11．已知一组数据，x，，3，1，6的中位数是1，则其标准差为 ． 12．小红等五名同学五月份参加某次数学测验的成绩如下：90、90、y、y、70．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数y的值为 ． 13．某校选拔名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 人数/名 则这组数据的下四分位数为 ． 14．有一道题目要求计算15个自然数的平均数，结果保留两位小数．小高的计算结果是，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数字都对，正确的平均数应该是 ． 15．如下表，乐乐将，，，，，，，，分别填入九宫格内．使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在、、、分别标上其中的一个数，则的值为 ． 3、 解答题 16．为了培养学生的实验意识，提高学生的实验操作能力，某校开展了物理实验操作技能比赛．现从该校八、九年级中各随机抽取15名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，均为整数，并分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 八年级被抽取学生C组的比赛成绩数据：82，84，84，84，84，89． 九年级被抽取学生的比赛成绩数据：61，70，71，74，80，82，86，86，86，90，92，92，95，95，100． 八、九年级被抽取学生的比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 a 84 九年级 84 b c (1)________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的实验操作技能较好？并说明理由； (3)若该校八年级500名和九年级600名学生都参加此次实验操作技能比赛，请估计该校八、九年级所有学生的平均成绩．（结果保留一位小数） 17．2025年10月10日故宫博物院建院100周年，为了普及文化遗产知识并推动文化传承，某学校组织了“青少年文化遗产知识大赛”活动，从七．八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理．描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：85，90，66，83，73，95，86，85，67，99，95，81，93，100，100，93，89，93，90，97． 八年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，85，89，87，87，86 七．八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 88.05 a 90 八年级 88.05 94 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七．八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有600名，八年级有700名学生参加了此次“青少年文化遗产知识大赛”，估计该校七．八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 18．为让学生了解“大别山红色革命史”，立德中学拟举办主题为“赓续大别山红色革命史”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为分、分、分、分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． (1)这次预赛中，一班参加比赛的人数为 人，二班成绩在B等及以上的有 人； (2)分别计算这次预赛中一班成绩的平均数及二班成绩的中位数和众数； (3)已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 19．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 20．项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，； 八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，； 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100， 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 c 九年级 85 b 80 直接写出______，______，______． 【分析解决】 （2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $