专题05 锐角三角函数（4大类基础+5大类提升）（高效培优期末专项训练）数学浙教版九年级上学期

专题05 锐角三角函数 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 锐角三角函数的定义 1 题型2 三角函数的有关运算 2 题型3 特殊角的三角函数值的有关运算 4 题型4 解直角三角形 5 【优选提升题】 8 题型1 解非直角三角形 8 题型2 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题 10 题型3 解直角三角形的实际应用-坡度问题 12 题型4 解直角三角形的实际应用-方向角问题 15 题型5 解直角三角形的实际应用-其他问题 17 【经典基础题】 题型1 锐角三角函数的定义 1．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 三角函数的有关运算 1．如图，中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 3．在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 4．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 6．如图，在正方形中，点,,分别是 ,,上的点，，，, ,则的长为(    ) A． B． C． D． 7．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 9．如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 题型3 特殊角的三角函数值的有关运算 1．的值等于（   ） A． B． C． D．1 2．的值等于（    ） A． B． C． D．2 3．计算：． 4．计算：． 5． 计算：． 题型4 解直角三角形 1．如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，，则的长为（   ） A． B． C． D．1 3．如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 4．如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 5．如图，在中，于D，，． (1)求的长． (2)若的面积为4，求的正弦值． 6．如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若连接，求的长． 7．如图，在中，，的平分线交于点，，． (1)求的长． (2)求的值． 8．如图，在中，，E为的中点，连结，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【优选提升题】 题型1 解非直角三角形 1．在中，，求的长． 2．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 3．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 4．阅读下列材料： 如图1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到： 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中， ∴ ∴ 同理： ∴ （1）通过上述材料证明： （2）运用（1）中的结论解决问题： 如图2，在中，，求AC的长度． （3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积． （本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数） 题型2 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题 1．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据： ） 2．某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 3．如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 4．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地处，处高出湖面的距离米，无人机旋停在点正上方的点处，测得月亮酒店大楼的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离湖面的高度为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）米． (1)求月亮酒店大楼的高度． (2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线？请说明理由． 题型3 解直角三角形的实际应用-坡度问题 1．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 2．某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．    3．在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，，斜坡的长为，坡度，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为，点B到旗杆底端C的距离为． (1)求斜坡的坡角α的度数． (2)求旗杆顶端离地面的高度．（参考数据，，，结果精确到） 4．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 5．过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 6．在坡度为的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点在斜坡上，，从点向右发射出的小球沿抛物线运动，解决下列问题． (1)点的坐标是__________； (2)①求所满足的数量关系； ②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式． 7．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 题型4 解直角三角形的实际应用-方向角问题 1．如图，所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西方向上，且海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为40海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（已知，） 2．如图，城市A的正东方向处有一卫星城B，现计划在这两座城市间修筑一条城际快速通道（即线段），经测量，核能开发中心P在A城的北偏东和B城的北偏西的方向上，已知核辐射区域是以P点为圆心，为半径的圆形区域，请问这条快速通道会不会穿过核辐射区？请说明理由． 3．如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，且，在的正北方向，点在点的南偏东方向，在点的东南方向，且米．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到米） (2)大门在风景点的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 4．某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点在点的正南方，点在点的东南方向，点在点的正西方，点在点的南偏西方向上，点在点A北偏东方向上，若米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？ 题型5 解直角三角形的实际应用-其他问题 1．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 2．为方便市民绿色出行，临沂市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，图②是其示意图，其中、均与地面平行，车轮半径为，，坐垫与点的距离为． (1)若，，求的度数； (2)根据经验，当坐垫到的距离为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约，，求调整后的长度．（结果精确到，参考数据：，，） 3．图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度．(参考数据：，，) 4．数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，， ， ，， ，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 5．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； (2)如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，） 6．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 锐角三角函数 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 锐角三角函数的定义 1 题型2 三角函数的有关运算 3 题型3 特殊角的三角函数值的有关运算 9 题型4 解直角三角形 11 【优选提升题】 18 题型1 解非直角三角形 18 题型2 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题 23 题型3 解直角三角形的实际应用-坡度问题 29 题型4 解直角三角形的实际应用-方向角问题 38 题型5 解直角三角形的实际应用-其他问题 43 【经典基础题】 题型1 锐角三角函数的定义 1．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 3．如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 题型2 三角函数的有关运算 1．如图，中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．根据，得，结合解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 故选C． 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴. 在中，. 故选：D. 3．在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可． 【详解】解：在中，， 即， 解得：． 由勾股定理得，， 故选：B． 4．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，圆周角定理，先根据勾股定理解求出，进而求出，再根据圆周角定理得出，即可得出的值． 【详解】解：如图，连接，    ，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 5．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 6．如图，在正方形中，点,,分别是 ,,上的点，，，, ,则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作△EFG的外接圆交BC与另一点H.由圆的性质可得∠BHE=∠EGF=45°，∠CHG=∠GEF=60°.然后求出BH和CH的长即可. 【详解】作△EFG的外接圆交BC与另一点H. ∵∠BHE与∠EGF所对的弧相同， ∴∠BHE=∠EGF=45°， ∴△BHE是等腰直角三角形， ∴BH=BE=3. ∵∠CHG是圆内接四边形的外角， ∴∠CHG=∠GEF=60°. ∴∠CGH=30°， ∴CH=tan30°·CG=， ∴BC=BH+CH= . 故选A. 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，及锐角三角函数的知识，正确作出辅助线是解答本题的关键. 7．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 8．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选： D． 9．如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，掌握等腰三角形的性质是关键；由等腰三角形的性质得，在中，利用正切函数即可求出． 【详解】解：，， ； 在中，， ， ； 故选：A． 题型3 特殊角的三角函数值的有关运算 1．的值等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 2．的值等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 3．计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查实数的混合运算．原式分别计算算术平方根、特殊角三角函数值、零指数幂，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查零次幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值的计算，掌握实数的混合运算法则是关键． 分别算出零次幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数，再计算和差即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，三角函数值. 先计算零指数幂，三角函数，负整数指数幂，再计算加减即可. 【详解】原式 题型4 解直角三角形 1．如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，与相交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 2．如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，，则的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质以及解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及锐角三角函数的应用是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质得出，再结合等腰三角形的性质解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：C． 4．如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，由矩形的性质可得，利用锐角三角函数求出，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形是矩形，， ， ， 在中，， ， 是的中点 ， 在中，， ， 故选：D 5．如图，在中，于D，，． (1)求的长． (2)若的面积为4，求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1）根据角的正切值，求出，再利用勾股定理求解即可； （2）根据三角形面积公式求出，从而得到，在中，利用勾股定理求出，再求的正弦值即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ， ， ； （2）解：的面积为4， ， ， ， ， 在中，， ． 6．如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形； （2）过点作于点，得矩形，根据，，可得，，根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长． 【详解】（1）证明：点为边中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点，得矩形， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，是的中点， ． 的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 7．如图，在中，，的平分线交于点，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）求出，得到； （2）设相交于点，作于点，证明，得到，设，则，得到，解得，得到，求出． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：如图，作于点， 平分，， ，， ， ， 由（1）知，， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ． 8．如图，在中，，E为的中点，连结，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形． （1）利用正切函数的定义求得，利用勾股定理求得，据此求解即可； （2）利用勾股定理求得，再利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 在中，， ； （2）解：为的中点， ． 在中，， ． 【优选提升题】 题型1 解非直角三角形 1．在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 2．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 3．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 4．阅读下列材料： 如图1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到： 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中， ∴ ∴ 同理： ∴ （1）通过上述材料证明： （2）运用（1）中的结论解决问题： 如图2，在中，，求AC的长度． （3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积． （本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数） 【答案】（1）证明见解析  （2）12  （3）38 【分析】（1）根据材料中的S△ABCabsinCacsinBbcsinA，化为比例式可得结论； （2）根据公式，直接代入可得结论； （3）先根据公式计算AC的长，由S△ABCAC×BC×sin∠ACB可得结论． 【详解】（1）∵absinCacsinB，∴bsinC=csinB，∴，：同理得：，∴； （2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20，∴，即，∴，∴AC=40×0.3=12； （3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，由得：，∴AC=6，∴S△ABCAC×BC×sin∠ACB6×18×0.7≈38． 【点睛】本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关键是理解并运用公式S△ABCabsinCacsinBbcsinA解决问题． 题型2 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题 1．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据： ） 【答案】(1)调整，使得 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． （2）解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 2．某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)约米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度、仰角的含义，构造直角三角形是解题的关键； （1）过B作于E，由坡度设米，则米，由勾股定理得米，由的长度即可求得，从而求解； （2）由（1）所求得，再由正切函数关系求得，则即可求解． 【详解】（1）解：如图，过B作于E， ∵坡度， ∴设米，则米， 由勾股定理得米， ∵米， ∴， ∴， ∴米； 答：点到的水平距离为米． （2）解：由（1）知，米， 在中，， ∴米， ∴（米）． 答：教学楼的高度约为米． 3．如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义，熟练运用三角函数求出，的值是解题的关键， （1）根据，，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，在中易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 答：点D与塔顶P的距离为． （2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 4．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地处，处高出湖面的距离米，无人机旋停在点正上方的点处，测得月亮酒店大楼的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离湖面的高度为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）米． (1)求月亮酒店大楼的高度． (2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线？请说明理由． 【答案】(1)100米 (2)无人机还未离开瑶瑶的视线 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． （1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，米，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解； （2）连接并延长，交于点M，先求出米，米，在中，，进而在中，（米），再求出无人机飞行12秒的路程，与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：过点B作于点G， 根据题意可得：，米，，米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴米． 答：月亮酒店大楼的高度为100米． （2）解：连接并延长，交于点M， ∵米，米，米，米， ∴（米）， （米）， ∵米， ∴在中，， ∴在中，（米）， ∵无人机以4米/秒的速度飞行， ∴飞行12秒时，飞行了（米） ∵， ∴无人机还未离开瑶瑶的视线． 题型3 解直角三角形的实际应用-坡度问题 1．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 2．某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．    【答案】的长为米 【分析】作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论． 【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，    ∵在中，，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 由题意，，，，， ∴为等腰直角三角形，， 设，则， 在中，， ∴，即：， 解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意， ∴， ∴， ∴的长为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键． 3．在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，，斜坡的长为，坡度，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为，点B到旗杆底端C的距离为． (1)求斜坡的坡角α的度数． (2)求旗杆顶端离地面的高度．（参考数据，，，结果精确到） 【答案】(1) (2)约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度、坡角问题，解决本题的关键是仰角俯角、坡度、坡角的定义． （1）根据坡度、坡角的定义即可求出结论； （2）利用锐角三角函数即可求出的长． 【详解】（1）解： ，垂足为点， ． 在中， ， ，即． 答：斜坡的坡角的度数为； （2）解：在中， ，， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， 在中， ，， ， ， 答：旗杆顶端离地面的高度约为． 4．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作于点N，过点D作于点M，根据已知得出，则，再解Rt，由通道斜面的坡度，得出，然后根据勾股定理求出； （2）先解Rt，求出，得出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点N，过点D作于点M， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∵通道斜面的坡度， ∴， ∴， ∴． 即通道斜面的长约为米； 故答案为：； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∴ （米）． 答：的长为米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ； (2)改建后需占路面宽度 的长为 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面的距离为； （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ， , 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 6．在坡度为的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点在斜坡上，，从点向右发射出的小球沿抛物线运动，解决下列问题． (1)点的坐标是__________； (2)①求所满足的数量关系； ②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 或或； 【分析】本题考查了勾股定理、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作轴于点，设，则，利用勾股定理求出的值即可得出答案； （2）①将代入解析式求解即可；②将原点代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：如图：作轴于点， ，坡度为， 设，则， ， ，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ，， 点的坐标为； （2）解：①点在抛物线上， ， 或或； ②当小球落到原点时，点在抛物线上， ， ， ， 抛物线的解析式为． 7．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 题型4 解直角三角形的实际应用-方向角问题 1．如图，所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西方向上，且海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为40海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（已知，） 【答案】渔船在B处需要等待1.3小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据A在B的正西方，延长交南北轴于点D，则于点D，在和中，根据锐角三角函数即可求出和的长，进而可得，然后利用距离除以速度可得渔船在B处需要等待的时间． 【详解】解：因为A在B的正西方，延长交南北轴于点D，则于点D， ∵，， ∴， 在中，，海里， 即， 解得海里， ∴海里， 在中，， 即， 解得海里， ∵， ∴海里， ∵海监船A的航行速度为40海里/小时， 则渔船在B处需要等待的时间为（小时）， ∴渔船在B处需要等待1.3小时． 2．如图，城市A的正东方向处有一卫星城B，现计划在这两座城市间修筑一条城际快速通道（即线段），经测量，核能开发中心P在A城的北偏东和B城的北偏西的方向上，已知核辐射区域是以P点为圆心，为半径的圆形区域，请问这条快速通道会不会穿过核辐射区？请说明理由． 【答案】不会，见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用，解答本题的关键是作出高线．在中，设，，由题可得，进而可得x的值；再由，将求得的值与半径50千米作比较，即可作出判断． 【详解】解：这条快速通道不会穿过核辐射区，理由如下： 过点P作，垂足为D，如图， ∵， ∴，． 设， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴这条快速通道不会穿过核辐射区． 3．如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，且，在的正北方向，点在点的南偏东方向，在点的东南方向，且米．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到米） (2)大门在风景点的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【答案】(1)约为米 (2)的距离为米 【分析】（1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解； （2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出即可求解． 本题考查了解直角三角形的应用，方位角，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ，，, ，， 在中，米， ∴（米）， ∴（米）． （2）解：过点作于点， 由（1）得（米）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ，， ， ∵，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）． 答：的距离为米． 4．某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点在点的正南方，点在点的东南方向，点在点的正西方，点在点的南偏西方向上，点在点A北偏东方向上，若米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？ 【答案】(1)米 (2)小聪 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，数形结合、正确计算是解题的关键． （1）过连接，过点作于点，利用解直角三角形，求出、、，得米，再在求出计算结果保留整数即可． （2）先求出两人路程，再求出需要的时间即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，    又∵点A在点C的正南方，点D在点A的正西方， ∴， 依题意得：，，， ∵米； ∴（米） （米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度为米． （2）∵米，， ∴（米） ∴小聪选择沿路线慢跑到点C，所需要的时间为：（分） ∵（米） 所以爸爸选择沿路线散步到点C，所需要的时间为：（分）， ∵， 答：小聪先到达点C． 题型5 解直角三角形的实际应用-其他问题 1．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得 ， ，利用三角函数可得（），易得 ，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得 ，然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 2．为方便市民绿色出行，临沂市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，图②是其示意图，其中、均与地面平行，车轮半径为，，坐垫与点的距离为． (1)若，，求的度数； (2)根据经验，当坐垫到的距离为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约，，求调整后的长度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，三角形内角和定理进行计算即可； （2）过点作，垂足为，交直线于点，根据题干数据求出和的长，根据，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）过点作，垂足为，交直线于点， 由题意得，， 当坐骑比较舒适时，， ∵，即， ∴， 答：调整后的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度．(参考数据：，，) 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. ()过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后根据线段的中点定义可得米，从而在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； ()设交于点，根据题意可得：， ，米，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答. 【详解】（1）解：过点作，垂足为，则； 由题意得：， ∴ ∵ ∴ ∵为的中点， ∴ 在中， ∴此时支点到小竹竿的距离为米； （2） 设交于点， 由题意得：，，，， ∵ ∴ ∵ ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴点上升的高度约为米． 4．数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，， ， ，， ，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，根据等腰三角形的性质可得，结合可得答案；最后由即可得到答案. 【详解】解：数学抽象：如图，过作于， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 问题总结：∵ ， ， ∴. 5．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； (2)如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)可行 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据代入数据求出的值即可； （2）延长交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于， 在中，， ． 即的点到墙面的距离为； （2）解：如图，延长交于点，延长交于点， 可得，，， 在中，，， ， 由题意，四边形是矩形，则， 由可知，， 在中，， 即：， ， ，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行． 6．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)高度是增加了，增加了约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：支点C离桌面的高度为． （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵，， ∴． 当时，； 当时，； ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约． / 学科网（北京）股份有限公司 $