第1章 解直角三角形（知识清单）数学浙教版九年级下册

第1章 解直角三角形 1.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. 2.正弦、余弦、正切的定义 　　如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定： 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 3.sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.三角函数有时还可以表示成sinα，cosβ等. 4.锐角三角函数之间的关系： （1）余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB； *（2）同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1； 5.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 6.在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图： 　　（1）角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 　　（2）边边关系：勾股定理，即； 　　（3）边角关系：锐角三角函数，即 　　 7.解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； (2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)． 这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， . 斜边，一直角边(如c，a) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， . 一 边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， . 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， . 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， . 8.常见应用问题常识 坡度：； 坡角:α. . 方位角 仰角与俯角 9.解实际应用问题的一般过程 (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 10.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 1.混淆锐角三角函数sin、cos和tan的定义 错误：对锐角三角函数的定义不熟悉，导致做题时张冠李戴。 注意：锐角的三角函数是锐角所在直角三角形三边中其中两边的比的值，因此容易混淆。在平时要多使用，多练习，记忆并熟练。 例1 （24-25九年级下·甘肃·课后作业）分别求出下列直角三角形中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】； 【分析】根据勾股定理，可得直角三角形的另一边，再根据锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案． 【详解】解：对于图1中的直角三角形，由勾股定理，得， ； 对于图2中的直角三角形，由勾股定理，得， ． 2.特殊锐角的三角函数值不熟悉或混淆 错误：特殊的锐角函数值一共有三组9个，在使用时混淆。 注意：熟练记忆特殊的锐角三角函数值，并能在遇到特殊角时进行运用。 例2 （25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，代入式子计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值，代入式子计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.勾股定理结合锐角三角函数解直角三角形 错误：在计算直角三角形中的边时，只使用刚学习的锐角三角函数知识，不能结合勾股定理求解。 注意：回顾勾股定理，已知直角三角形的两条直角边a，b和斜边c，则有：，。其可以通过已知两边求第三遍。 例3 （25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了正切、正弦、余弦的定义，勾股定理，由正切的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 4.结合已知条件求直角三角形的其他元素（边或角） 错误：常见的错误：①错误使用勾股定理；②当已知（除直角这个条件外）一边一角时，不能使用合适的锐角三角函数来求出更多的边长 注意：参考知识清单中第7条，已知不同情况的一边一角时，使用合适的锐角三角函数来求其他边长。 例4 （25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质；熟练利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由三角函数得，设，，由勾股定理得 ，即可求解； （2）由直角三角形的特征得，由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解． 【详解】（1）解： 是边上的高，， ， 设，， ， ， 解得：， ； （2）解： 是边的中点，是边上的高， ， ， ， ， ． 5.作垂线构成直角三角形求角的三角函数值 错误：不能掌握在没有直角三角形的环境下求一个锐角的三角函数值，或已知一个锐角的三角函数值求边长时求线段长的方法。 注意：通过合适的方式做垂线，构成直角三角形。在直角三角形中，可以结合线段长求出锐角三角函数值，也可以结合已知的锐角三角函数值就可以求出其他的线段长。 例5 （25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 例6 （2025九年级·浙江·学业考试）如图，在菱形中，点为边上一点，连结，点关于的对称点在上．若，则的长为 ，的值为 ． 【答案】 4 【分析】连结，利用直线平行的性质证明，从而得到，进而可求；作于点，作于点，利用等面积法求出，利用进行求解． 【详解】解：如图，连结， 点关于的对称点在上， ， ∵四边形是菱形， ． ， ， ， ． 作于点，作于点，则， ， ， ， ， ， 故答案为：4，． 6.通过几何性质中的等角关系间接求角的三角函数值 错误：对几何图形的性质不熟悉，需要求三角函数值的角找不到已知条件和直角三角形的环境。 注意：在我们已经学习的几何图形的知识中，可以通过图形的性质找到所求角的等角，如通过平行线的同位角、内错角的性质；通过全等三角形、相似三角形的性质；通过特殊四边形的性质；圆周角的性质等。要根据所给的已知条件使用合适的性质来转移所求角所在的位置。 例7 （25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，求一个角的正切值，平行线的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．取格点E，连接、，根据平行线的性质得出，证明为直角三角形，根据三角函数定义求出． 【详解】解：取格点E，连接、，如图所示： 根据图形可知：， ∴， ∵，，， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 故答案为：2． 例8 （2021·湖南株洲·三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆周角定理，求余弦，熟练掌握以上知识是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，，利用勾股定理求解的长，再根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7.坡度的概念 错误：认为坡度i=1：m是坡角的对边比斜边的结果。 注意：坡度i=1：m表示的是在以坡角为α的斜坡直角三角形中，对边比上邻直角边的结果。 例9 （25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡比的定义是解决此题的关键．根据坡度和已知条件即可求出和，再根据勾股定理即可求出和，从而得出结论． 【详解】解：∵扶梯的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∵米，的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∴经过的路程米． 故答案为：． 8.根据方位角的描述或根据仰角俯角的描述作图探究 错误：不熟悉方位角的描述或仰角俯角的描述，也不能根据题意作图，构成三角形并解直角三角形。 注意：一般关于方位角的数学问题，或关于仰角俯角的数学问题，需要进行作图，或连结关键点，或作垂线构成直角三角形。比如如下方式，这些都是解决此类问题常见的方式。 南偏东75° 北偏东45° 北偏西30° 仰角30° 俯角45° 例10 （2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 例11 （2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某翼装飞行员从离水平地面高米的处出发，沿着俯角为度的方向直线滑行米到达点，然后打开降落伞以度的俯角降落到地面上的点．求他飞行的水平距离． 【答案】运动员飞行的水平距离约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，如图，过点作，作，垂足分别为，，得出四边形是矩形，则，进而解，，分别求得，根据，即可求解． 【详解】如图，过点作，作，垂足分别为，， 由已知可得，， ， 四边形是矩形， ． 在中，，． ， ， ， ． 在中，， 米． 运动员飞行的水平距离约为米． 9.数学建模解决生活中的实际问题 错误：实际生活中的物体，不能解构成简单的几何图形，然后根据解直角三角形的知识解决实际问题。 注意：解构实际应用中的几何图形，然后作必要的辅助线（一般是连结线段或作垂线），结合求解直角三角形的知识求出必要的线段长，解决实际问题。 例12 （24-25九年级下·甘肃武威·期中）随着多媒体教学的普及，很多教学场景都引入了投影仪(如图1)，如图2是投影仪安装截面图，某数学课题研究小组打算对投影屏幕下边沿离教室顶部的高度进行测量，具体过程如下： 方案设计：投影仪垂直于地面，先测量出吊臂、投影屏幕的长度，再选取点，两处分别测得和的度数(，，，在同一条直线上)． 数据收集：通过测量得知：投影仪的光线夹角，，吊臂为，投影屏幕的高为． 问题解决：求屏幕下边沿离教室顶部的高度(结果保留一位小数)．参考数据： 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】米 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，解决本题的关键是能作出正确的辅助线．过作于，过作于，则利用三角函数知识在中，算出与，在中，算出，从而可得的长，最后在中，算出，由此可得． 【详解】解：过作于，过作于． 在中， ， ． 在中， ， ． 在中， ． ． 答：屏幕下边沿离教室顶部的高度约为米． 例13 （2025·山东泰安·模拟预测）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，弹簧活塞杆随之伸长．已知直线，． (1)求的长度． (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，过点作于，解，得出，进而得出，根据图示数据即可求解； （2）设，则，，，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于P，过点作于H， 则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由旋转一定角度后得到可知：旋转角度为，即，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则，，， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍）， ∴． 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据特殊三角形的三角函数求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键． 根据正切的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在菱形中，，，则的长度为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 连接交于点O，根据四边形是菱形，可得， ，，，再用锐角三角函数求解即可得出结论． 【详解】解：如图， 连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ，，， ∴， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 4．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，与相交于点，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，如图，取格点K，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，取格点K，连接，，则， 观察图形可得：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点C，解三角形求出的长度，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点A作于点C， 在中， ∴车门边缘的点A处与墙的距离为． 故选：A． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比，二次根式分母有理化，解题的关键是掌握以上性质． 令，得出，根据勾股定理求出，然后根据锐角三角函数比求解即可． 【详解】解：令， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义、锐角三角函数（正切函数）的应用以及直角三角形中角的性质，解题的关键是理解坡度与直角三角形两直角边的比例关系，将坡度转化为正切值求出锐角角度，再利用特殊角的直角三角形性质计算直角边长度． 中，斜坡的坡度，求出，由直角三角形的性质即可得出答案 【详解】解：中，斜坡的坡度， ∴， ∵， 8．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角的含义并熟练地运用三角函数解决问题是关键． 过点A作，垂足为E，则，求解，，从而可得答案． 【详解】解：过点A作，垂足为E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴该建筑的高度约为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 11．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）计算、化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中满足． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值、分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解． （1）根据特殊角的三角函数值代入计算求值即可； （2）先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 即， 原式． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画，使； (2)在图②中画，使； (3)在图③中画，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题是格点作图题，考查了角的正切，相似三角形的性质和判定． （1）取格点，使，连接，则即为所求； （2）取格点，使，连接，则即为所求； （3）取格点，连接交于点E，连接，则即为所求； 【详解】（1）解：如图，即为所求；； （2）解：如图，即为所求；； （3）解：如图，即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）图1是一台工业用机械臂，图2是其示意图，部分固定不变，部分可以旋转，为铅垂吊绳，表示水平地面，于点，且．将绕点向下旋转，使得落在的位置（如图），此时，求点到水平地面的距离．（参考数据：，结果精确到） 【答案】点到水平地面的距离约为 【分析】本题考查三角函数的实际应用，掌握通过作辅助线将复杂线段分解，利用三角函数和矩形性质计算各部分长度，再求和得到最终距离是解题的关键．通过作辅助线，将点到地面的距离分解为多个线段的和，利用三角函数和已知线段长度分别计算各部分，最终求和得到总距离． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，过点作垂足为，延长交于点， 由题意得：， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 点到水平地面的距离约为． 14．（2025·河南开封·模拟预测）【问题情景】我们在学习特殊角三角函数值时，借助构造含有角的直角三角形，利用的角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理解决了问题．如．如图1． 【尝试类比】的值怎么求呢？类比上述方法，构造含有角的直角三角形．如图2．填空，_____． 【方法探究】的值怎么求呢？如图3，小明同学借助于黄金三角形（顶角是的等腰三角形）和，解决了问题．请你给出小明的解答过程． 【拓展应用】如图4是小轲同学利用尺规作出的正五边形．作法如下： （1）作． （2）作直径． （3）过点C作直径的垂线交于点P． （4）作线段的垂直平分线交于点D． （5）以点D为圆心，以长为半径作弧交于点E． （6）以点P为圆心，以长为半径作弧交于点F． （7）在上依次截取等于的弦，连接，就可以作出圆内接正五边形．请你解释小轲同学作法的合理性，即证明五边形是圆内接正五边形． 【答案】【尝试类比】，【方法探究】，过程见解析，【拓展应用】证明见解析 【分析】尝试类比：画出图形，利用含30度角的直角三角形的性质，以及锐角三角函数进行求解即可； 方法探究：由题易得、、都是等腰三角形，然后构造直角三角形，设参求解即可； 拓展应用：要证五边形是圆内接正五边形就是要证，，根据作图方法以及条件易得，进而可知，所以，进而即可得证． 【详解】解：尝试类比：如图， ， ， 设，则， ， ， ， 故答案为：； 方法探究：解：如图，过点D作于E， 设，则， 在和中，， ， ， ，， ， 解得， 经检验，均为原方程的根， 但， ， 舍去，即， ． 拓展应用：证明：如图，连接，过点C作于点K， ， ． 设的半径为2，由作法知，， ， ， 连，则， ． 在中，， ， 由上一问，， ， 由作法可知，， ， 连接， ， ， ， ， ， ， 五边形是正五边形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 解直角三角形 1.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. 2.正弦、余弦、正切的定义 　　如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定： 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 3.sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.三角函数有时还可以表示成sinα，cosβ等. 4.锐角三角函数之间的关系： （1）余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA= ； cosA= ； *（2）同角三角函数关系：sin2A＋cos2A= ； 5.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 6.在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图： 　　 （1）角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 　　（2）边边关系：勾股定理，即； 　　（3）边角关系：锐角三角函数，即 　　 7.解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； (2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)． 这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由 求∠A， ∠B= ， . 斜边，一直角边(如c，a) 由 求∠A， ∠B= ， . 一 边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， . 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， . 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， . 8.常见应用问题常识 坡度：； 坡角:α. . 方位角 仰角与俯角 9.解实际应用问题的一般过程 (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 10.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 1.混淆锐角三角函数sin、cos和tan的定义 错误：对锐角三角函数的定义不熟悉，导致做题时张冠李戴。 注意：锐角的三角函数是锐角所在直角三角形三边中其中两边的比的值，因此容易混淆。在平时要多使用，多练习，记忆并熟练。 例1 （24-25九年级下·甘肃·课后作业）分别求出下列直角三角形中的正弦值、余弦值和正切值． 2.特殊锐角的三角函数值不熟悉或混淆 错误：特殊的锐角函数值一共有三组9个，在使用时混淆。 注意：熟练记忆特殊的锐角三角函数值，并能在遇到特殊角时进行运用。 例2 （25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3.勾股定理结合锐角三角函数解直角三角形 错误：在计算直角三角形中的边时，只使用刚学习的锐角三角函数知识，不能结合勾股定理求解。 注意：回顾勾股定理，已知直角三角形的两条直角边a，b和斜边c，则有：，。其可以通过已知两边求第三遍。 例3 （25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 4.结合已知条件求直角三角形的其他元素（边或角） 错误：常见的错误：①错误使用勾股定理；②当已知（除直角这个条件外）一边一角时，不能使用合适的锐角三角函数来求出更多的边长 注意：参考知识清单中第7条，已知不同情况的一边一角时，使用合适的锐角三角函数来求其他边长。 例4 （25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 5.作垂线构成直角三角形求角的三角函数值 错误：不能掌握在没有直角三角形的环境下求一个锐角的三角函数值，或已知一个锐角的三角函数值求边长时求线段长的方法。 注意：通过合适的方式做垂线，构成直角三角形。在直角三角形中，可以结合线段长求出锐角三角函数值，也可以结合已知的锐角三角函数值就可以求出其他的线段长。 例5 （25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 例6 （2025九年级·浙江·学业考试）如图，在菱形中，点为边上一点，连结，点关于的对称点在上．若，则的长为 ，的值为 ． 6.通过几何性质中的等角关系间接求角的三角函数值 错误：对几何图形的性质不熟悉，需要求三角函数值的角找不到已知条件和直角三角形的环境。 注意：在我们已经学习的几何图形的知识中，可以通过图形的性质找到所求角的等角，如通过平行线的同位角、内错角的性质；通过全等三角形、相似三角形的性质；通过特殊四边形的性质；圆周角的性质等。要根据所给的已知条件使用合适的性质来转移所求角所在的位置。 例7 （25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值是 ． 例8 （2021·湖南株洲·三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是 ． 7.坡度的概念 错误：认为坡度i=1：m是坡角的对边比斜边的结果。 注意：坡度i=1：m表示的是在以坡角为α的斜坡直角三角形中，对边比上邻直角边的结果。 例9 （25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 8.根据方位角的描述或根据仰角俯角的描述作图探究 错误：不熟悉方位角的描述或仰角俯角的描述，也不能根据题意作图，构成三角形并解直角三角形。 注意：一般关于方位角的数学问题，或关于仰角俯角的数学问题，需要进行作图，或连结关键点，或作垂线构成直角三角形。比如如下方式，这些都是解决此类问题常见的方式。 南偏东75° 北偏东45° 北偏西30° 仰角30° 俯角45° 例10 （2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 例11 （2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某翼装飞行员从离水平地面高米的处出发，沿着俯角为度的方向直线滑行米到达点，然后打开降落伞以度的俯角降落到地面上的点．求他飞行的水平距离． 9.数学建模解决生活中的实际问题 错误：实际生活中的物体，不能解构成简单的几何图形，然后根据解直角三角形的知识解决实际问题。 注意：解构实际应用中的几何图形，然后作必要的辅助线（一般是连结线段或作垂线），结合求解直角三角形的知识求出必要的线段长，解决实际问题。 例12 （24-25九年级下·甘肃武威·期中）随着多媒体教学的普及，很多教学场景都引入了投影仪(如图1)，如图2是投影仪安装截面图，某数学课题研究小组打算对投影屏幕下边沿离教室顶部的高度进行测量，具体过程如下： 方案设计：投影仪垂直于地面，先测量出吊臂、投影屏幕的长度，再选取点，两处分别测得和的度数(，，，在同一条直线上)． 数据收集：通过测量得知：投影仪的光线夹角，，吊臂为，投影屏幕的高为． 问题解决：求屏幕下边沿离教室顶部的高度(结果保留一位小数)．参考数据： 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 例13 （2025·山东泰安·模拟预测）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，弹簧活塞杆随之伸长．已知直线，． (1)求的长度． (2)求的长度． 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在菱形中，，，则的长度为（   ） A． B． C．5 D． 4．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，与相交于点，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 8．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，若，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，） 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 11．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）计算、化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中满足． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画，使； (2)在图②中画，使； (3)在图③中画，使． 13．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）图1是一台工业用机械臂，图2是其示意图，部分固定不变，部分可以旋转，为铅垂吊绳，表示水平地面，于点，且．将绕点向下旋转，使得落在的位置（如图），此时，求点到水平地面的距离．（参考数据：，结果精确到） 14．（2025·河南开封·模拟预测）【问题情景】我们在学习特殊角三角函数值时，借助构造含有角的直角三角形，利用的角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理解决了问题．如．如图1． 【尝试类比】的值怎么求呢？类比上述方法，构造含有角的直角三角形．如图2．填空，_____． 【方法探究】的值怎么求呢？如图3，小明同学借助于黄金三角形（顶角是的等腰三角形）和，解决了问题．请你给出小明的解答过程． 【拓展应用】如图4是小轲同学利用尺规作出的正五边形．作法如下： （1）作． （2）作直径． （3）过点C作直径的垂线交于点P． （4）作线段的垂直平分线交于点D． （5）以点D为圆心，以长为半径作弧交于点E． （6）以点P为圆心，以长为半径作弧交于点F． （7）在上依次截取等于的弦，连接，就可以作出圆内接正五边形．请你解释小轲同学作法的合理性，即证明五边形是圆内接正五边形． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $