专题02 事件概率（7大类基础+2大类提升）（高效培优期末专项训练）数学浙教版九年级上学期

专题02 事件概率 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 事件分类 1 题型2 判断事件发生的可能性的大小 3 题型3 概率意义 4 题型4 根据概率公式计算概率 6 题型5 已知概率求数量 7 题型6 几何概率 8 题型7 频率估计概率 11 【优选提升题】 13 题型1 列表法或树状图求概率 13 题型2 概率的简单应用 19 【经典基础题】 题型1 事件分类 1．下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．任意掷一枚硬币，正面朝上 B．若、是实数．则 C．两数相乘，积为正数 D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意； B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意； C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意； D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 2．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．在十字交叉路口，遇到红灯亮起 B．在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性 C．小明在一次射击练习时，命中靶心 D．掷一枚硬币，国徽面朝上 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、在十字交叉路口，遇到红灯亮起是随机事件，故本选项不符合题意； 、在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性是必然事件，故本选项符合题意； 、小明在一次射击练习时，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； 、掷一枚硬币，国徽面朝上是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：． 3．下列事件中，属于不确定事件的是（   ）． A．宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B．打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C．一个负数的绝对值是非负数 D．潜水员深潜海底捞到月亮 【答案】B 【分析】本题考查的是随机事件，根据事件发生的可能性大小判断，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、宇航员在月球上所受的重力比在地球上小，是确定事件，不符合题意； B打开电视机，屏幕显示正好在科教频道，是不确定事件，符合题意； C、一个负数的绝对值是非负数，是确定事件，不符合题意； D、潜水员深潜海底捞到月亮，是确定事件，不符合题意； 故选：B． 4．下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．两个负数的和是正数 B．在一个只装有黑球的袋中摸出白球 C．任意画一个三角形，内角和为 D．抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】D 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是解题的关键．根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析各选项，即可得出结论． 【详解】A.两个负数的和是正数，是不可能事件，不符合题意； B.在一个只装有黑球的袋中摸出白球，是不可能事件，不符合题意； C.任意画一个三角形，内角和为，是必然事件，不符合题意； D.抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意； 故选：D 题型2 判断事件发生的可能性的大小 1．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 2.下图转盘中红、蓝各占一半．雯雯和周周做“配紫色”游戏，每人转动两次，若指针所在区域是一红一蓝，则配成紫色（落在分界线上重转）．雯雯第一次转出了蓝色，当雯雯第二次转动转盘时，下列说法正确的是（   ）    A．一定转出红色 B．一定转出蓝色 C．转到红色比蓝色的可能性大 D．转出红色和蓝色的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题待查了随机事件，熟练掌握事件可能性大小，是解题的关键． 根据转到红蓝的可能性一样大，逐一判断，即得． 【详解】A.可能转出红色，故A选项不正确； B.可能转出蓝色，故B选项不正确； C.转到红色不比蓝色的可能性大，故C选项不正确； D.转出红色和蓝色的可能性一样大，故D选项正确； 故选：D 3．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类和事件的可能性大小，正确的理解题意是解题的关键．由不可能事件与必然事件的定义即可判断①和②，由事件发生的可能性大小即可判断③． 【详解】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确； ②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确； ③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确； 综上可知，正确的是①②③， 故选：A 题型3 概率意义 1．小刚抛掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的独立性，理解每次试验独立是解题关键． 抛掷硬币是独立事件，每次抛掷正面朝上的概率均为，与之前结果无关． 【详解】解：∵硬币是均匀的， ∴每次抛掷出现正面朝上的概率均为， 又∵各次抛掷相互独立， ∴第100次抛掷出现正面朝上的概率仍为． 故选：C． 2．某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（   ） A．小明夺冠的可能性较大 B．小明夺冠的可能性较小 C．小明肯定会赢 D．若小明比赛10局，他一定会赢8局 【答案】A 【分析】本题考查概率的意义，准确理解概率的意义是解题的关键．根据概率的意义分别对各选项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是，结合概率的意义， A、小明夺冠的可能性较大，故本选项符合题意； B、小明夺冠的可能性较大，故选项不符合题意； C、小明赢的可能性较大，故选项不符合题意； D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，故选项不符合题意． 故选：A． 3．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是概率的意义，正确理解概率的意义和概率的计算公式是解题的关键．根据概率的意义和概率的计算公式计算即可． 【详解】解：由于硬币质地均匀， 所以小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同，都是． 故选:C． 4．要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有组合，再由概率公式求解即可． 【详解】解：4人中选2人，基本事件有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，抽中甲乙只是其中的一种，所以抽中甲乙的概率：． 故答案为：． 题型4 根据概率公式计算概率 1．一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用红球的个数除以球的总数即可得解． 【详解】解：∵一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球， ∴从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：B． 2．在件样品中，有一等品件，二等品件，三等品件．从中任取件，结果为三等品的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法，用三等品的件数除以所有样品的总数即可求得答案． 【详解】解：∵共20件样品，三等品有3件， ∴从中任取1件，结果为三等品的概率为， 故答案为：． 3．一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：C． 4．一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式，有理数的大小比较，理解概率公式是解题关键．先求出抽取1个球是红球的概率，再逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知，从中随机抽取1个球是红球的概率， ， 故选：B． 题型5 已知概率求数量 1．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查概率公式，分式方程．根据摸到红球的概率为，利用概率公式建立关于的方程，解之可得． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：12． 2．盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是 ． 【答案】5 【分析】-此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【详解】解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋， ∴盒子中共有个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得， 故答案为：5． 题型6 几何概率 1．如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率的计算公式，正确理解概率的计算公式是解题的关键．根据题意，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，运用公式计算，即得答案． 【详解】在如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，所以指针落在偶数的概率是． 故答案为：． 2．小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 3．如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数． 根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域有种可能； 故一粒米落在阴影区域的概率为：； 故答案为： 4．如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形，若，，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概型，属于基础题． 先由勾股定理求出，然后求出大正方形面积为25，小正方形面积为1，根据几何概型公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴故大正方形面积为25，四个全等的直角三角形面积之和为， ∴小正方形面积为， ∴正方形区域内的概率为． 故选：D． 题型7 频率估计概率 1．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 2．如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据正方形的性质求面积，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 用随机点估计不规则图形面积的方法，基于比例关系求解． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 3．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）：根据频率的稳定性，则这名运动员“射中9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（   ） 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 31 83 157 322 801 “射中9环以上”的频率 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率，根据频率稳定性原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察表中数据，随着射击次数增加，频率逐渐稳定在0.8左右，即可得出答案． 【详解】解：∵射击次数为400和1000时，频率均为，且频率在多次试验中趋于稳定， ∴这名运动员“射中9环以上”的概率估计值为． 故选：C． 4．在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有 个． 【答案】12 【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式求解得到黄球的个数． 【详解】解：布袋中黄球可能有个， 故答案为：． 【优选提升题】 题型1 列表法或树状图求概率 1．一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． (1)从中任取一个球，求摸到红球的概率． (2)若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回搅匀，第二次再摸出1个球．用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用概率公式和画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解： 一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． 从中任取一个球，摸到红球的概率是； （2）解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中刚好摸到一个红球和一个白球的情况数有8种， 则刚好摸到一个红球和一个白球的概率是． 2．为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．南浔古镇，B．德清莫干山，C．太湖龙之梦，D．中南百草园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后不放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． (1)小明获得一次抽奖机会，求他恰好抽到景区A门票的概率． (2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．（请用画树状图或列表的方式求解） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况，即可求解． 【详解】（1）解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回， ∴每张卡片抽到的概率都是， 设小明恰好抽到景区A门票为事件A， 则； （2）解：根据题意，画树状图如下： ， ∴一共有12种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种， ∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为． 3．现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张．    (1)用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果． (2)求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了列表法求概率以及概率公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）直接根据题意列表即可； （2）由表格可得：共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，再根据概率公式计算即可解答． 【详解】（1）解：列表如下： （2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种， 小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ． 4．2024年酒泉市第二中学九年级学生计划到酒泉市周边的旅游景区去研学，根据酒泉市《旅游指南》2024年1月酒泉市已有五家国家级旅游景区，分别为A：嘉峪关长城景区；B：敦煌莫高窟旅景区；C：航天发射基地；D：瓜州榆林窟；E：金塔胡杨林景区．如果九年级计划从中选择部分景区研学． (1)九年级任选一家去研学，选择B：敦煌莫高窟景区的概率是多少？ (2)若九年级选择了B：敦煌莫高窟旅景区，他们再从A，C，D，E四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择A、D两个景区的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有五家旅游景区，且每个景区被选择的概率相同， ∴选择B：敦煌莫高窟景区的概率是； （2）解：画树状图如下： 则一共有12种等可能性的结果数，其中选择A，D两个景区的结果数有2种， ∴选择A，D两个景区的概率为． 5．在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； (2)若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； (3)组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)补全条形统计图见解析，40， (2)280名 (3) 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图、画树状图法求概率等知识点，不重不漏地画出树状图是解题的关键． （1）用B组的人数除以所占百分比即可求出调查的人数，求出D组人数所占百分比再乘以即可得到D组的扇形圆心角的度数；再求出C组人数，然后补全条形统计图即可； （3）用800乘以睡眠时长大于等于9小时所占百分比即可解答； （4）分别用A、B、C、D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生和1名女生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学； D组的扇形圆心角的度数为：； C组人数为：（名）． 补全条形统计图如下： 故答案为：40，． （2）解：（名）， 所以，该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生有280名． （3）解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种， 所以抽到1名男生和1名女生的概率是：． 6．为更好保护，传承和发扬浙江美食文化，“味美浙江•百县千碗”2024全省非遗美食挑战赛中，湖州多道美食上榜．例如：“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕” (1)小红想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“吴均汤包”的概率为__________； (2)湖州某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用分别表示“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求简单事件的概率、用树状图或列表求概率． （1）直接用概率计算公式求出即可； （2）先画出树状图或列表，得到所有可能结果数及恰好选中“练市羊肉”“吴均汤包”的结果数，即可求得概率． 【详解】（1）解：选中“吴均汤包”的概率为：， 故答案为：； （2）解：画出树状图如下： 所有等可能结果有12种，其中恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的可能结果有2种， ∴恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的概率为：． 题型2 概率的简单应用 1．在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，， (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图为：    共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 2．在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字． （1）计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； （2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）公平，见解析 【分析】（1）利用列表法先求出所有的等可能的结果数，然后找到数字之和为6的结果数，再利用概率公式求解即可； （2）根据（1）中所列表格得到数字之和为奇数的结果数和之和为偶数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 所有等可能的情况有16种，其中数字之和为6的情况有3种（4，2），（2，4）和（3，3）， 则P数字之和为6＝； （2）数字之和为奇数的情况有8种，之和为偶数的情况有8种， ∴P（之和为偶数）＝P（之和为奇数）＝， ∴该游戏公平． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握列表法或树状图法求解概率． 3．如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质和游戏公平性，准确分析计算是解题的关键． （1）利用树状图或列表法求解即可； （2）由（1）得到符合条件的点的个数，利用概率公式计算即可； （3）根据游戏公平性分析判断即可； 【详解】（1）列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． （2）当点坐标为或时，点在反比例函数上， 点落在反比例函数图象上的概率为． （3）由（1）中的表格可得：的值分别为3，4，5，6，5，6，7，8，7，8，9，10，共12个， 游戏是公平的， 甲乙获胜的概率都是，即的可能性有6个（的取值为3，4，5，5，6，6）． 又为整数， ． 4．某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． (2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①估计这种花卉成活9000棵；②估计还要移植100000棵 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用10000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）①（棵）， 答：估计这种花卉成活9000棵； ②（棵）， 答：估计还要移植100000棵． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 事件概率 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 事件分类 1 题型2 判断事件发生的可能性的大小 2 题型3 概率意义 2 题型4 根据概率公式计算概率 3 题型5 已知概率求数量 3 题型6 几何概率 4 题型7 频率估计概率 5 【优选提升题】 6 题型1 列表法或树状图求概率 6 题型2 概率的简单应用 8 【经典基础题】 题型1 事件分类 1．下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．任意掷一枚硬币，正面朝上 B．若、是实数．则 C．两数相乘，积为正数 D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐 2．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．在十字交叉路口，遇到红灯亮起 B．在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性 C．小明在一次射击练习时，命中靶心 D．掷一枚硬币，国徽面朝上 3．下列事件中，属于不确定事件的是（   ）． A．宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B．打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C．一个负数的绝对值是非负数 D．潜水员深潜海底捞到月亮 4．下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．两个负数的和是正数 B．在一个只装有黑球的袋中摸出白球 C．任意画一个三角形，内角和为 D．抛掷一枚硬币，正面朝上 题型2 判断事件发生的可能性的大小 1．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2.下图转盘中红、蓝各占一半．雯雯和周周做“配紫色”游戏，每人转动两次，若指针所在区域是一红一蓝，则配成紫色（落在分界线上重转）．雯雯第一次转出了蓝色，当雯雯第二次转动转盘时，下列说法正确的是（   ）    A．一定转出红色 B．一定转出蓝色 C．转到红色比蓝色的可能性大 D．转出红色和蓝色的可能性一样大 3．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 题型3 概率意义 1．小刚抛掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（   ） A．0 B．1 C． D． 2．某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（   ） A．小明夺冠的可能性较大 B．小明夺冠的可能性较小 C．小明肯定会赢 D．若小明比赛10局，他一定会赢8局 3．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 4．要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 题型4 根据概率公式计算概率 1．一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．在件样品中，有一等品件，二等品件，三等品件．从中任取件，结果为三等品的概率为 ． 3．一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 题型5 已知概率求数量 1．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 2．盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是 ． 题型6 几何概率 1．如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是 ． 2．小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ． 4．如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形，若，，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 题型7 频率估计概率 1．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 2．如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 3．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）：根据频率的稳定性，则这名运动员“射中9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（   ） 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 31 83 157 322 801 “射中9环以上”的频率 A． B． C． D． 4．在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有 个． 【优选提升题】 题型1 列表法或树状图求概率 1．一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． (1)从中任取一个球，求摸到红球的概率． (2)若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回搅匀，第二次再摸出1个球．用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 2．为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．南浔古镇，B．德清莫干山，C．太湖龙之梦，D．中南百草园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后不放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． (1)小明获得一次抽奖机会，求他恰好抽到景区A门票的概率． (2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．（请用画树状图或列表的方式求解） 3．现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张．    (1)用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果． (2)求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率． 4．2024年酒泉市第二中学九年级学生计划到酒泉市周边的旅游景区去研学，根据酒泉市《旅游指南》2024年1月酒泉市已有五家国家级旅游景区，分别为A：嘉峪关长城景区；B：敦煌莫高窟旅景区；C：航天发射基地；D：瓜州榆林窟；E：金塔胡杨林景区．如果九年级计划从中选择部分景区研学． (1)九年级任选一家去研学，选择B：敦煌莫高窟景区的概率是多少？ (2)若九年级选择了B：敦煌莫高窟旅景区，他们再从A，C，D，E四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 5．在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； (2)若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； (3)组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 6．为更好保护，传承和发扬浙江美食文化，“味美浙江•百县千碗”2024全省非遗美食挑战赛中，湖州多道美食上榜．例如：“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕” (1)小红想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“吴均汤包”的概率为__________； (2)湖州某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用分别表示“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的概率． 题型2 概率的简单应用 1．在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 2．在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字． （1）计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； （2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由． 3．如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 4．某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． (2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ / 学科网（北京）股份有限公司 $