专题01 二次函数（10大类基础+4大类提升）（高效培优期末专项训练）数学浙教版九年级上学期

专题01 二次函数 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 二次函数的概念 1 题型2 根据二次函数的定义求参数 2 题型3 特殊二次函数的图像和性质 2 题型4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 3 题型5 二次函数的平移变换题型 4 题型6 求抛物线与坐标轴交点坐标 4 题型7 求抛物线与x轴交点问题 5 题型8 据二次函数图象确定相应方程根的情况 5 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 6 题型10 根据交点确定不等式的解集 7 【优选提升题】 8 题型1 与特殊二次函数有关的几何知识 8 题型2 二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 9 题型3二次函数的实际应用 10 题型4 二次函数与几何综合 14 【经典基础题】 题型1 二次函数的概念 1．下列函数属于二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 2．下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是二次函数的有（　　） ①，②，③，④ A．个 B．个 C．个 D．个 题型2 根据二次函数的定义求参数 1．已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 2．已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 题型3 特殊二次函数的图像和性质 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则二次函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 5．关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（   ） A．当时，有最小值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值 D．当时，有最大值 6．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3 C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3 8．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 9．已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 题型4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1．抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．已知二次函数，当时，函数值是（   ） A． B． C．0 D．1 3．如果，那么二次函数的图象必过点（    ） A． B． C． D． 4．二次函数（为常数，）部分，的对应值如表： … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．最小值为 5．已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（    ） A．B．C．D． 6．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 8．用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 4 5 4 … 根据表格信息可知，当时，函数值 ． 题型5 二次函数的平移变换题型 1．将函数的图像向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A．把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 3．将抛物线向下平移个单位后，得到的图象经过原点，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线经过点（　） A． B． C． D． 题型6 求抛物线与坐标轴交点坐标 1．抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ． 2．抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　） A．（3，6） B．（0，8） C．（0，﹣1） D．（4，0）或（2，0） 题型7 求抛物线与x轴交点问题 1．抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 题型8 根据二次函数确定相应分成根的情况 1．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C． D．， 2．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（    ）    A． B． C． D． 3．已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 5．二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．二次函数 图像上部分点的坐标对应值列表如下： x … 0 1 … y … … 则该函数图像的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型10 根据交点确定不等式的解集 1．抛物线与直线相交于如图所示的A，B两点，则不等式的解集为（　　） A．或 B． C． D． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点B，则的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【优选提升题】 题型1 与特殊二次函数有关的几何知识 1．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 2．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 3．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 4．如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 5．如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ． 题型2 二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 1．二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 2．已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 3．当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（   ） A．或5 B．或2 C．或1 D．1或4 题型3 二次函数的实际应用 1．日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 2．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． (1)如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． (2)如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 3．每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．    (1)求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）； (2)现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度． 4．如图，正方形的边长为4，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且；点，分别是边，上的点，，，设的长度为，四边形的面积为． (1)求关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)四边形的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时长度，如果没有，请说明理由． 5．如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，，风筝的骨架由3条竹棒、、组成，其中，分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为，骨架的长度为，求关于的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中关于的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 6．如图，在浙一场篮球比赛中，金华队队员在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面3m． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式； (2)非常可惜，该球未命中篮筐．若该球员将球出手的角度和力度都不变，请求出该队员应该向前走或向后退大约多少米才能命中篮筐中心．（，保留一位小数） 7．某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． (1)求与之间的关系式； (2)是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． (3)当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 8．如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． (1)求的值． (2)已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 9．某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价（元千克）与采购量（千克）之间的函数关系如图中折线所示（不包括端点）． (1)当时，直接写出与之间的函数解析式； (2)若甲种蔬菜的种植成本为元/千克，采购量不超过千克，那么当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？ (3)在（2）的条件下，求采购甲种蔬菜多少千克时，蔬菜种植基地能获利元？ 题型4 二次函数与几何综合 1．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值； （2）求a的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数． 2．如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标． (3)连接，作点E关于的对称点，若落在y轴上，求点E的坐标． 3．已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． (1)若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； (2)已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； (3)若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 4．已知二次函数（为常数）， (1)若，求该二次函数图象的对称轴； (2)若，该二次函数在时有最小值2，求的值； (3)将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 二次函数的概念 1 题型2 根据二次函数的定义求参数 3 题型3 特殊二次函数的图像和性质 3 题型4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 7 题型5 二次函数的平移变换题型 10 题型6 求抛物线与坐标轴交点坐标 11 题型7 求抛物线与x轴交点问题 13 题型8 据二次函数图象确定相应方程根的情况 14 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 17 题型10 根据交点确定不等式的解集 18 【优选提升题】 20 题型1 与特殊二次函数有关的几何知识 20 题型2 二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 25 题型3二次函数的实际应用 29 题型4 二次函数与几何综合 38 【经典基础题】 题型1 二次函数的概念 1．下列函数属于二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意； B．函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意； C．，是二次函数，故C符合题意； D．函数关系式不是整式，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：C． 2．下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．据此判断即可． 【详解】解：．，是的一次函数，故该选项不符合题意； ．，是的一次函数 ，故该选项不符合题意； ．，是的二次函数 ，故该选项符合题意； ．，是的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．下列函数中，是二次函数的有（　　） ①，②，③，④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：形如（，，为常数且），逐一判断即可． 【详解】解：①，是二次函数； ②，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ③，整理后是二次函数； ④，整理后是二次函数； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 题型2 根据二次函数的定义求参数 1．已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 2．已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义得，进行计算即可得． 【详解】解：∵y关于x的二次函数解析式为， ∴ 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算． 题型3 特殊二次函数的图像和性质 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点，理解二次函数的顶点式是解题关键． 题目中已给顶点式，直接读取即可． 【详解】由题可知，顶点坐标为： 故选：B． 2．若，，则二次函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 3．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，的对称轴是直线．根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 4．已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．把，，分别代入计算即可判断． 【详解】解：当时，， 二次函数的图象经过点不经过点， 当时，， 二次函数的图象不经过点， 故选：C． 5．关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（   ） A．当时，有最小值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值 D．当时，有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式中的正负性，判定图象开口，顶点坐标为，结合图形开口和对称轴直线确定最值即可求解． 【详解】解：二次函数中，，顶点坐标为，对称轴直线为， ∴二次函数图象开口向上，二次函数在时，取得最小值， 故选：B ． 6．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把，，三点分别代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ，，， ∴； 故选A． 7．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3 C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据的性质进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴二次函数当时，函数有最大值3， 故选：D． 8．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，且， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意， 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 顶点坐标是，故选项C符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意． 故选：C． 9．已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 题型4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1．抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解． 【详解】解：抛物线的表达式为，其中，， 代入对称轴公式得：， 因此，抛物线的对称轴为直线， 故选A． 2．已知二次函数，当时，函数值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，即可求出函数值． 【详解】解：当时，， 故选：C． 3．如果，那么二次函数的图象必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 当时，， ∴二次函数的图象必过点． 故选：B． 4．二次函数（为常数，）部分，的对应值如表： … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．最小值为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质并结合表格的数据逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，该二次函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，故函数图象的开口向上，A错误； 当时，随的增大而增大，B正确； 当时，或，C错误； 当时，取得最小值，这个最小值小于，D错误； 故选：B． 5．已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，进而解答即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，， ∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和， 故A、B、D选项错误， 故选：C． 6．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质．将各点代入函数解析式得出函数值比较即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴． 故选：D． 7．已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：点在二次函数的图象上， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：． 8．用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 4 5 4 … 根据表格信息可知，当时，函数值 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据表格，可知抛物线的对称轴是直线，根据抛物线的对称性，可知当或5时，函数值相等，结合表格，便可以得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：利用描点法，画出的二次函数图象如下： 观察图象和表格可知，抛物线的对称轴为：， 当或5时，函数值相等，根据对称性，与时，函数值相等，都是 故答案为： 题型5 二次函数的平移变换题型 1．将函数的图像向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是关键． 依据题意，由函数的图象向右平移3个单位，从而根据“左加右减”的平移规律即可判断得解 【详解】解∶由题意，函数的图象向右平移3个单位， ∴根据“左加右减”的平移规律可得，平移后二次函数解析式是． 故选∶ A． 2．为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A．把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是．则由抛物线的图象向左平移2个单位，向下平移4个单位即可得到二次函数的图象． 故选：A． 3．将抛物线向下平移个单位后，得到的图象经过原点，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握 “上加下减”是解题的关键． 先得到平移后的解析式为，再将原点坐标代入即可求解． 【详解】解：∵将抛物线向下平移个单位 ∴平移后的解析式为：， ∵得到的图象经过原点， ∴， 解得：， 故选：C． 4．将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线经过点（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移.二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可. 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后的解析式为:， 当时，， 当时，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C. 题型6 求抛物线与坐标轴交点坐标 1．抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程， 根据抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为， 设另一个交点为 ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 故答案为; ． 2．抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标是． 故选：D． 3．已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　） A．（3，6） B．（0，8） C．（0，﹣1） D．（4，0）或（2，0） 【答案】B 【分析】y轴上的点的横坐标为0，所以把x＝0代入二次函数式即可求解． 【详解】解：当x＝0时，y＝（0﹣3）2﹣1＝8， 所以抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交点C的坐标是（0，8）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点坐标，牢记y轴上点的坐标x=0是本题的关键 题型7 求抛物线与x轴交点问题 1．抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∵时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3， 故选：D． 2．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 题型8 根据二次函数确定相应分成根的情况 1．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ， 原方程为， 解得：； 故选：D． 2．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，先估计出对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴，可以估算出左侧交点横坐标． 【详解】解：依题意得二次函数的抛物线开口向下，图象的对称轴为， 而对称轴右侧图象与x轴交点在0与1之间，即 又∵对称轴为， 则抛物线与轴的另一个交点在与之间，即一元二次方程的其中一个解的范围是， 故选：B． 3．已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据表格信息求解的对称轴为直线，再进一步求解即可. 【详解】解：由表格信息可得：的对称轴为直线， 而当时，， 根据对称性可得： 当时，， ∴的解为：，； 故选：A 4．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 5．二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的对称性和抛物线与一元二次方程的关系，也考查了二次函数的性质． 利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得或， 方程的根是， 故选：B. 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．二次函数 图像上部分点的坐标对应值列表如下： x … 0 1 … y … … 则该函数图像的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据表格的数据得和对应的函数值都是，则二次函数图像的对称轴为直线，即可作答． 【详解】解：∵和对应的函数值都是， 则， ∴二次函数图像的对称轴为直线． 故选B． 2．二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故选：A． 3．已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，根据二次函数的对称轴求出点P关于对称轴的对称点的坐标，是解题关键．根据抛物线的对称轴即可以得到点P关于对称轴的对称点． 【详解】解：∵ 抛物线对称轴为直线，并且图象过点， ∴关于直线的对称点为， 故选：A． 题型10 根据交点确定不等式的解集 1．抛物线与直线相交于如图所示的A，B两点，则不等式的解集为（　　） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式转化为图象问题．根据图象中直线不在抛物线下方的的取值范围求解． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于A，B两点，的横坐标为0，的横坐标为3， ∴当时，抛物线在直线下方， ∵不等式的解集即为的解集，也是的解集， ∴不等式的解集为， 故选：D． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，以及这些点代表的意义及函数特征． 由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于和两点，函数开口向下， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是， 故选：C． 3．如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点B，则的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】 解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故选：D 【优选提升题】 题型1 与特殊二次函数有关的几何知识 1．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 2．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 4．如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 5．如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ． 【答案】或 【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】∵A，B关于直线对称， ∴设，则， 如图所示， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∵在上， ∴， 即， 整理得：， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为或； 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度． 题型2 二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 1．二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得 ，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而分类讨论，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案． 【详解】解： ∵ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ①当时，即时， 当时，最大值 则 解得：（舍去） ②当时， 当时，最大值为 解得：（舍去）或 故选：B． 2．已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值、二次函数的性质以及解一元一次（一元二次）方程，分、以及三种情况找出关于的方程是解题的关键．将抛物线解析式变形为顶点式可得出抛物线开口方向及对称轴，分、以及三种情况画出函数图象，由当时，函数有最大值，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当，即时，时取最大值（如图1所示）， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，时取最大值（如图2所示）， ， 解得：； 当，即时，时取最大值（如图3所示）， ， 解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 故选：C． 3．当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最小值， 分两种情况讨论： 若时，当时，的最小值是， ； 若时，当时，的最小值是， ， 解得：， 综上，或， 故选：C． 4．已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（   ） A．或5 B．或2 C．或1 D．1或4 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线为，从而抛物线开口向上，当时，取最小值为1；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，再根据、和分别进行分类讨论，结合对应的函数值的最大值为9，进而计算可以得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，当时，取最小值为1；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ①当时，即， 当时，取最大值为． 或（舍去）． ②当时， 当时，取最大值为． （舍去）或． ③当时，即， 当或时，取最大值为或． 或，或或，均不符合题意． 综上，或． 故选：C． 题型3 二次函数的实际应用 1．日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，结合一枚炮弹从发射到落地，即把代入，进行计算，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为 ∴一枚炮弹从发射到落地，即 ∴， 则， 解得（舍去）， ∴一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为80秒， 故选：C 2．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． (1)如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． (2)如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 【答案】(1)①②米 (2)平方米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．理解题意列出二次函数并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； 根据面积公式列出方程求解以及利用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：① ②， 解得，． ， 的长为23米． （2）解：， 养鸡场的面积． ， ． 当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米． 3．每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．    (1)求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）； (2)现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式． （2）根据题意，两立柱间的距离为，则，，把代入解析式，再计算的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．，，． ∴，，，， 故抛物线的对称轴为， 则， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：根据题意，两立柱间的距离为， 则，， 把代入解析式， 得， 故． 故立柱的长度为米． 4．如图，正方形的边长为4，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且；点，分别是边，上的点，，，设的长度为，四边形的面积为． (1)求关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)四边形的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时长度，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积有最小值 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积列出函数关系式； （2）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，四边形的面积为． ∴ ∵正方形的边长为4，，， ∴，， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴当时，即时，有最小值，最小值为 答：时，四边形的面积有最小值． 5．如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，，风筝的骨架由3条竹棒、、组成，其中，分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为，骨架的长度为，求关于的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中关于的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，垂直平分线的性质，画二次函数图像，求二次函数的值，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是关键． （1）根据题意可知是的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可； （3）根据筝面的面积为，即，求出x的值，结合骨架长度必须骨架长度大于长度且筝面的面积超过确定x的值可得． 【详解】（1）解：， 是的垂直平分线， 分别是和的中点， ， ； （2），函数图像如图所示， （3）当时， ，解得或48， 由得，，解得， 当时，箏面的面积不超过． 6．如图，在浙一场篮球比赛中，金华队队员在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面3m． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式； (2)非常可惜，该球未命中篮筐．若该球员将球出手的角度和力度都不变，请求出该队员应该向前走或向后退大约多少米才能命中篮筐中心．（，保留一位小数） 【答案】(1)； (2)向前大约走米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式，解一元二次方程，求出二次函数的解析式是解题的关键． （）由题意得，抛物线顶点坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （）当时，，解得，（舍去），从而求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入解析式得，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得：，（舍去）， ∴该队员应该向前走（米）， ∴该队员应该向前大约走米． 7．某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． (1)求与之间的关系式； (2)是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． (3)当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 【答案】(1) (2)利润不可能达到600元，理由见解析 (3)当（元/箱）时，销售利润最大值为450元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出，化简即可； （2）化简之后利用根的判别式求解即可； （3）先求出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的关系式为． （2）解：由， 化简得：， ，方程无解， 销售利润不可能达到600元． （3）解：设， ∵， 当（元/箱）时，销售利润最大值为450元． 8．如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． (1)求的值． (2)已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 【答案】(1)0.56 (2)6 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用对称轴公式，代入求解； （2）先得到抛物线解析式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：由上得，抛物线解析式为， 当时，， 整理得，， 解得：或， ∵， ∴． 9．某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价（元千克）与采购量（千克）之间的函数关系如图中折线所示（不包括端点）． (1)当时，直接写出与之间的函数解析式； (2)若甲种蔬菜的种植成本为元/千克，采购量不超过千克，那么当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？ (3)在（2）的条件下，求采购甲种蔬菜多少千克时，蔬菜种植基地能获利元？ 【答案】(1) (2)当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元； (3)采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元． 【分析】（1）设当时，与之间的函数解析式为：，待定系数法求解析式即可求解． （2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，分别求得当时，当时，与的函数关系式，根据一次函数与二次函数的性质求得最大值，即可求解； （3）由，根据（）可得，，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：． 把，代入函数关系式得： ， 解得， 与之间的函数解析式为：； （2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元， 当时，， 当时，有最大值元， 当时，， ， 当时，有最大值为元， 综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元； （3）由，根据（）可得，， 解得：，， 采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 题型4 二次函数与几何综合 1．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值； （2）求a的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数． 【答案】（1）c=1；（2）a≠1且a＞0；（3）见解析，1 【分析】（1）把点C的坐标代入二次函数解析式中即可求得c的值； （2）把点A的坐标代入函数解析式中得到用a的代数式表示b，再由已知得到一元二次方程的判别式为正，即可求得a的取值范围； （3）设A（m，0），B（n，0），由根与系数的关系可求得AB的长，易得CD的长；过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，由三角形相似的判定与性质可分别求得PM、PN的长，从而可分别求得S1－S2的值为定值． 【详解】（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c， 解得：c=1， 答：c的值是1． （2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1， ∴b=﹣1﹣a， ax2+bx+1=0， b2﹣4ac=（﹣1﹣a）2﹣4a=a2﹣2a+1＞0， ∴a≠1且a＞0， 答：a的取值范围是a≠1且a＞0； （3）证明：∵0＜a＜1， ∴B在A的右边， 设A（m，0），B（n，0）， ∵ax2+（﹣1﹣a）x+1=0， 由根与系数的关系得：m+n=，， ∴AB=n﹣m=， 把y=1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1=1， 解得：x1=0，x2=， ∴CD=， 过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，则MN⊥x轴， ∵CD∥AB， ∴△CPD∽△BPA， ∴， ∴， ∴PN=，PM=， ∴S1﹣S2=－， 即不论a为何值，S1﹣S2的值都是常数． 答：这个常数是1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是关键． 2．如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标． (3)连接，作点E关于的对称点，若落在y轴上，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）把，代入求出的值即可确定函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式，设，则，，进而得到、，再根据列方程求得，即可确定点E的坐标； （3）如图：过E作，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质得到，设，则，，进而得到，，再根据列方程求得m，即可确定点E的坐标． 【详解】（1）解：把，代入 得：，解得． 抛物线的函数关系式为：． （2）解：设直线的解析式为：， 把，代入 得∶，解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ，解得或（舍去）． ． （3）解：如图：过E作， ，关于PC对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ，， ，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ，解得：， ． 3．已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． (1)若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； (2)已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； (3)若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)点坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴交点坐标，二次函数的几何变换，以及解绝对值方程等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）把代入，解出，，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点为再代入，即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同，进而可得出a的值，再根据中点坐标公式即可求出点P的坐标． （3）根据题意可知，，分别求出当时和时，的值， 然后解绝对值方程即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入， 解得：，， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为 把代入， 得：， 解得：． （2）解：由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称， ∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同， ∴， ∵，抛物线顶点坐标为， 的顶点坐标为：， ∴点P的坐标为，即． （3）解：在的范围内，始终存在， 即， ∴， ∴， 当时，， 当时， 此时， 解得∶ ． 4．已知二次函数（为常数）， (1)若，求该二次函数图象的对称轴； (2)若，该二次函数在时有最小值2，求的值； (3)将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求得解析式，再根据二次函数的性质即可解答； （2）先求得对称轴为．然后分和两种情况，分别运用二次函数的性质求解即可； （3）如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，然后结合图象即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴（为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴是． 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或 综上，或． （3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，m的最大值为． ∴，得（舍去）或3． ∴，得或． ∴m的最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $