专题04 概率相关解答题分类训练（专项训练）数学北京版九年级下册

专题04 概率相关解答题分类训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、概率与转盘游戏 1 题型二、判断游戏是否公平（常考点） 9 题型三、设计游戏规则（难点） 18 题型四、几何概率（难点） 27 题型五、统计与概率综合题 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、概率与转盘游戏 1．端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 2．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 3．某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【详解】（1）解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； （2）∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 4．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 5．某高级酒店为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇(转盘等分成16份) (1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会? (2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少?他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是多少? 【答案】（1）不能；（2）；；；； 【分析】（1）根据题意，“顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会”， 甲顾客消费80元，不满足获得转动转盘的条件； （2）根据概率的计算方法，可得出答案． 【详解】（1）根据题意，“顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会”， 甲顾客消费80元，不满足获得转动转盘的条件． 故答案为：不能获得转动转盘的机会． （2）乙顾客消费150元，能获得一次转动转盘的机会． 由于转盘被均分成16份，每份被转到的机会均等， 其中打折的占5份，故获得打折待遇的概率为P=； 九折占2份，故获得九折待遇的概率为P=； 八折占1份，故获得八折待遇的概率为P=； 七折占1份，故获得七折待遇的概率为P=； 五折占1份，故获得五折待遇的概率为P=． 故答案为：他获得打折待遇的概率为；他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是；；；． 【点睛】本题主要考查概率，掌握概率的计算方法是解答本题的关键． 6．如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，奖金依次为100、50、20元． （1）分别计算获一、二、三等奖的概率． （2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？    【答案】（1）一等奖：  ，二等奖：   ，三等奖：；（2），①未中奖，②中一等奖，③中二等奖，④中三等奖 【分析】（1）分别求红、黄、蓝色区域所占份数的比例即为所求的概率； （2）获奖的概率为获一、二、三等奖的概率的和，摇奖共有4种情况，一一列出即可． 【详解】解：（1）∵摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，其中红色区域占1份， ∴获一等奖的概率， 同理得，获二等奖的概率，获三等奖的概率； （2）由（1）知，获奖的概率，    老李摇奖共有4种情况：①未中奖，②中一等奖，③中二等奖，④中三等奖． 【点睛】本题考查几何概率的应用，几何概率的计算方法一般是长度比，面积比，体积比等． 7．某商场为了吸引顾客，设立了一可以自由转动的转盘，AB为转盘直径，如图所示，并规定：顾客消费100元（含100元）以上，就能获得一次转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准9折、8折、7折区域，顾客就可以获得相应的优惠． （1）某顾客正好消费99元，是否可以获得相应的优惠． （2）某顾客正好消费120元，他转一次转盘获得三种打折优惠的概率分别是多少？      【答案】（1）不能；见解析．（2），， 【分析】（1）根据题意，易得答案； （2）根据题意乙顾客消费120元，能获得一次转动转盘的机会．根据概率的计算方法，可得答案． 【详解】解：（1）根据规定消费100元（含100元）以上才能获得一次转盘的机会，而99元小于100元，故不能获得转盘的机会； （2）某顾客正好消费120元，超过100元，可以获得转盘的机会． 若获得9折优惠，则概率； 若获得8折优惠，则概率； 若获得7折优惠，则概率． 【点睛】本题考查了概率的求法；关键是根据圆形角度数．用到的知识点为：概率＝已知圆心角与360°之比． 8．超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会．摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元．一次性购物满300元者，如果不摇奖可返还现金15元． （1）摇奖一次，获一等奖的概率是多少？ （2）老李一次性购物满了300元，他是参与摇奖划算还是领15元现金划算，请你帮他算算． 【答案】（1），（2）参与摇奖划算，见解析． 【分析】（1）找到红色区域的份数占总份数的多少即为获得一等奖的概率， （2）游戏是否合算，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：（1）整个圆周被分成了16份，红色为1份，∴获得一等奖的概率为：， （2）转转盘：60×+50×+40×=20， ∵20元＞15元， ∴转转盘划算． 【点睛】本题主要考查了古典型概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中． 题型二、判断游戏是否公平（常考点） 9．电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． (1)请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次数字之和大于5的结果有6种，再由概率公式求解即可； （2）根据（1）求出小刚获胜的概率，再比较两人获胜的概率即可得到答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中摸出的两个球上的数字之和大于5的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则不公平，理由如下： 由（1）可得摸出的两个球上的数字之和不大于5的结果数有10种， ∴小刚获胜的概率为， ∵， ∴小刚获胜的概率比小明的大， ∴这个游戏规则不公平． 10．数学活动课上，小辰和小浩玩抽卡片游戏．如图，现有5张正面印有榆林旅游风景区（2张级，3张级）的卡片，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同，小辰将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小辰从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是_____； (2)若规定：小辰从中随机抽取1张卡片，不放回，小浩再从中随机抽取1张，若2张卡片的正面图案都是3A级景区，则小辰赢，否则小浩赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)这个游戏不公平 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意列出表格得到所有等可能情况，分别计算出小辰赢或小浩赢的概率，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是； 故答案为：； （2）解：如图，列表如下： （A，B） （A，C） （A，D） （） （B，A） （B，C） （B，D） （B，E） （C，A） （C，B） （C，D） （C，E） （D，A） （D，B） （D，C） （D，E） （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 由列表可知，共有20种等可能的结果， 其中2张卡片正面图案是级景区的有6种： 小辰赢的概率， 则小浩赢的概率， ， 这个游戏不公平． 11．四张除正面数字外其余都相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．游戏规定：随机抽取一张卡片，记下数字后背面朝上放回，洗匀后再抽取一张，将第一次、第二次抽取的卡片上的数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜；反之，小晶胜． (1)用列表法或画树状图法求恰好得到数22的概率． (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了游戏公平性的判断，解题的关键是根据题意正确列出表格． （1）列表可得总共有种结果，其中得到数字的有种，根据概率公式即可得到答案； （2）利用列表列出所有的情况，可知总共有种可能出现的情况，而两位数不超过的有种，超过的有种，即可以求出小贝和小晶获胜的概率，进而判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：（1）列表如下： 第二次第一次 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好得到数的结果有种， 恰好得到数的概率是． （2）解：这个游戏不公平．理由如下： 由（1）中的表格可知，共有16种等可能的结果，其中组成的两位数不超过的有种，超过的有种， ∴小贝胜出的概率是，小晶胜出的概率是， ∵ 这个游戏不公平． 12．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个 (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是根据概率求数量和游戏公平性的判断． （1）根据概率计算出各小球的数量即可； （2）列表求出甲、乙获胜的概率，然后比较解答即可． 【详解】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个， 蓝球个数为个， 答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个； （2）解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 13．2024年中国航天取得了不少举世瞩目的成就，创造了多个航天史上的第一．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“致敬航天人，共筑星河梦”为主题的演讲比赛．九（1）班的李丹和王阳都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委会决定用摸球的方式确定人选．规则如下：在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有，0，1，2四个数字．这些小球除数字不同外，其他都完全相同，将袋内小球充分搅匀．班长第一次先从袋中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字，摸到负数不放回，否则放回；搅匀后，他第二次再从中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字．若班长第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大，则李丹参加，否则，王阳参加． (1)班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为______； (2)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)这个规则对双方不公平，见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再得到第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大的结果数，最后根据概率计算公式分别求出两人参加的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有15种等可能的结果， 其中第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大的结果有6种， ，． ， 这个规则对双方不公平． 14．为了提升博物馆的服务质量，更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者某校现有名同学准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生人，女生人． (1)若从这名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率为______． (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌背面完全相同洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则，乙参加请用画树状图法或列表法说明该游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)该游戏对双方不公平，见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法球概率．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有4种，抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的结果有8种，再由概率公式求出所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的概率和抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的概率，再比较即可． 【详解】（1）解：∵现有10名同学准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人、女生4人， 从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率为， 故答案为：； （2）解：该游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有种，抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的结果有8种， 所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的概率为，抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的概率为， ， 该游戏对双方不公平． 15．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． 游戏规则：随机抽取一张卡片记下数字放回，洗匀后再随机抽取一张．将抽取的第一张，第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字．若组成的两位数不超过32，则小贝获胜；反之小晶获胜． (1)求随机抽取两张卡片，恰好得到数字22的概率； (2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．请用列表法或画树状图法说明这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)游戏不公平． 【分析】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法以及概率公式，是解题的关键． （1）列表法表示得出共有16种等可能的结果，所组成的两位数恰好为22的结果有4种，再由概率公式求解即可． （2）根据表格，求出概率，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下：                 个位数字 十位数字 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 由表可知，可能出现的结果有16种，并且它们出现的可能性相等，其中得到数字22的结果有4种，所以随机抽取两张卡片，恰好得到数字22的概率为． （2）解：从表格可以看出共有16种结果，其中两位数不超过32的结果有10种，所以P（小贝获胜）；两位数超过32的结果有6种， 所以P（小晶获胜）． 因为， 所以游戏不公平． 16．学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先画出树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸到的数字之和大于4，和小于4的结果数，然后根据概率公式分别求出数字之和大于4，和小于4的概率，即可得解． 【详解】解：游戏公平，理由如下： 画树状图如下， 由树状图可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种， ∴小明获胜的概率是，小红获胜的概率为， ∴两人获胜的概率相等， ∴游戏公平． 题型三、设计游戏规则（难点） 17．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 【答案】(1)，； (2)不公平； (3)准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了概率的计算与应用，熟练掌握概率公式（其中是所有可能的结果数，是事件发生的结果数）是解题的关键． （1）通过列举所有可能的抽取结果，确定小明和小颖获胜的情况数，再根据概率公式计算概率． （2）比较两人获胜的概率，判断是否公平． （3）设计一个两人获胜概率相等的方案． 【详解】（1）解：从三张卡片“阿、福、仙”中随机抽取两张，所有可能的结果有：（阿，福）、（阿，仙）、（福，仙），共种． 能拼成“阿福”或“阿仙”的结果有种，即（阿，福）、（阿，仙）． 所以（小明获胜），（小颖获胜） 故答案为：，； （2）解：因为， 所以小明的提议对小颖不公平． （3）解：示例：准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 18．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【分析】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率； （2）根据（1）中所求数据即可得出A班B班去参赛的概率，从而判断游戏是否公平，将规则修改为两班被选中的概率相等即可． 本题考查概率的求法，掌握利用列表法或树状图求概率是解题的关键． 【详解】（1）所有可能的结果如下表： BA 4 6 7 8 1 (1,4) (1,6) (1,7) (1,8) 2 (2,4) (2,6) (2,7) (2,8) 3 (3,4) (3,6) (3,7) (3,8) 5 (5,4) (5,6) (5,7) (5,8) 一共16种结果，每个结果出现的可能性相同， 和为偶数的概率； ∴A班去参赛的概率为：； （2）游戏不公平． 由（1）列表的结果可知：A班去的概率为，B班去的概率为， ∴游戏不公平，对B班有利． A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，则和可能为，故游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 19．小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据小明去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平； （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去． 20．小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 【答案】(1)小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是 (2)该游戏对双方不公平，设计该游戏规则见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式分别计算出摸到红球和绿球的概率，比较大小即可得出答案； （2）答案不唯一，只需使两者获胜的概率相等即可． 【详解】（1）解：（小明获胜）， （小颖获胜）， 答：小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是． （2）解：该游戏对双方不公平， 设计该游戏规则为：如可以将其中一个红球换成黄球，从袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜，摸到黄球为平局（答案为不唯一，使小明和小颖获胜的概率一样即可）． 21．国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去． (1)上述方式公平吗？请说明理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据． 【答案】(1)不公平，理由见解析， (2)若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去．（不唯一） 【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键． （1）直接得出是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案． （2）保证他们的概率相等即可． 【详解】（1）根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共6种等可能结果，其中是3的倍数是3，6共2种结果， 所以向上的点数是3的倍数的概率为：． 向上的点数不是3的倍数的概率为：． ∴爸爸去的概率大，不公平， （2）保证爸爸、妈妈去的概率相等即可； 如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此时他们的概率为，所以公平． 22．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 【答案】(1)0.48；102 (2)0.5 (3)这个游戏不公平，理由见解析，新设计一个公平游戏见解析 【分析】此题考查了频率统计表，利用频率估计概率，概率公式，游戏公平性．大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数，求出a；用摸球的总次数乘以摸到红球的频率，求出b； （2）根据图表给出的数据即可得出摸到红球的频率，然后用频率估计算概率即可； （3）根据摸到红球的频率计算出红球的个数，从而求出白球个数，再分别求出摸到的白球与黑球的概率，再比较即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.48；102． （2）解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5， ∴估计摸到红球的概率是0.5． （3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5， ∴红球的个数为（个）， ∴白球的个数为（个）， ∴摸到的白球的概率为 摸到的黑球的概率， ∵， ∴这个游戏不公平， 设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏． 23．周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)， (2)需要将个黄色区域改为红色 (3)见解析 【分析】（1）先确定转盘总等可能结果数，再找出对应颜色区域数量，用对应颜色区域数除以总结果数得概率． （2）设黄色改红色的数量为未知数，根据调整后获20元奖券概率列方程求解． （3）通过分配转盘颜色区域，使兄弟俩获胜概率相等来设计公平规则． 本题主要考查了概率的计算与应用，涉及等可能事件概率公式（，是总结果数，是事件发生的结果数 ），熟练掌握概率公式，根据题意分析事件结果数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， ∴指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， ∴他获得元和元奖券的概率分别为，． （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， ∴需要将个黄色区域改为红色． （3）解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 24．五一小长假，某商场征集促销活动方案，小明根据数学课本第75页的知识，建议商场设计一个抽奖活动． 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像图那样涂上颜色．商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．    (1)某顾客购物后获得了一次转动转盘的机会，求他获得50元购物券的概率是多少． (2)商场为了吸引顾客，决定增大顾客的获奖概率，使得顾客转动一次转盘获得购物券的概率为0.5，那么商场需要再给________个扇形涂上颜色． (3)为了增加活动的趣味性，商场还做了一个大型的质地均匀的骰子，骰子的六个面上标数字1到6．顾客获得抽奖机会时，可以选择转转盘或者掷骰子，如果转转盘和掷骰子获奖概率都是0.5，请你帮忙设计一个掷骰子的获奖规则． 【答案】(1) (2)3 (3)答案不唯一 【分析】本题考查了概率公式，已知概率求数量，游戏的公平性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）根据概率求数量的公式列式计算，即可作答． （3）根据游戏的公平性，以及概率求数量的公式进行作答即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：∵将转盘等分成20个扇形，且指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券， ∴获得50元购物券的概率． （2）解：∵商场为了吸引顾客，决定增大顾客的获奖概率，使得顾客转动一次转盘获得购物券的概率为0.5，且目前有7个扇形是有颜色的， ∴， 那么商场需要再给3个扇形涂上颜色； 故答案为：3 （3）解：∵为了增加活动的趣味性，商场还做了一个大型的质地均匀的骰子，骰子的六个面上标数字1到6．顾客获得抽奖机会时，可以选择转转盘或者掷骰子，如果转转盘和掷骰子获奖概率都是0.5，且数字1到6中偶数的有这三个情况， ∴掷骰子正面向上的数字为偶数，则可以获奖，满足． 题型四、几何概率（难点） 25．2025年山西省森林草原防灭火综合演练技能比武在忻州市举行，活动中，通过防火调度平台实现远程精准指挥，运用无人机巡护预警，并借助智慧林草平台系统辅助指挥，演练还展示了无人机、机器狗、机器人与地面部队协同作战等手段，有效提升了灭火效率．小悦是一名森林消防爱好者，受活动启发她制作了如图所示的转盘，转盘分为三个全等的菱形区域，每个区域上印有一个森林防火图案．固定指针，转动转盘，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转）． (1)若转动转盘一次，记指针停在区域A的概率为，指针停在区域B的概率为，则______．（填“>”“＝”或“<”） (2)若转动转盘两次，请利用列表或画树状图的方法，求指针两次指向的图案不同的概率． 【答案】(1)= (2) 【分析】本题考查几何概率和用列表法或者画树状图法求概率，掌握列表或者树状图的用法与概率的计算公式是解题关键． （1）落在对应区域的概率等于对应区域的面积除以整个图形的面积，因此比较区域A和区域B的面积即可； （2）将表格或者树状图绘制好后，根据表格或者树状图来计算概率． 【详解】（1）解：∵三个菱形区域都全等， ∴， 故答案为：=． （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有9种可能结果，其中两次指向不同图案的有6种， ∴指针两次指向的图案不同的概率为． 26．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是掌握简单概率公式． （1）利用简单概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出图形即可； （3）根据简单概率公式判断即可． 【详解】（1）解：大正方形包含的小正方形个数为（个） 图①阴影部分的正方形个数为8个， 投中纸板上阴影部分的概率为； 图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形， 每一个阴影三角形的面积等于的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积， 图②阴影部分的正方形个数为个， 投中纸板上阴影部分的概率为； （2）解：涂色如下： （3）解：概率不发生变化， 阴影部分概率的公式为． 27．小张和小李参加了一个有奖掷飞镖的游戏．游戏规则如下：从两个图形靶（图形靶一是正方形，图形靶二是菱形，所有扇形所在的圆都是半径为1的等圆，且相邻的圆都相切）中任选一个进行飞镖投掷，命中阴影部分就可以获得奖品．小张选择了图形靶一，小李选择了图形靶二．通过计算回答：谁更有可能获得奖品？ 【答案】小张更有可能获得奖品，理由见解析 【分析】本题考查了几何概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键； 根据概率公式分别计算出小张和小李获奖的概率并比较大小即可． 【详解】解：由题意可知，两个图形靶的边长都是． 图形靶一：， ． 图形靶二：， ． ， 即（小张获得奖品）（小李获得奖品）， ∴小张更有可能获得奖品． 28．如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 【答案】(1)是，4，见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是几何概率，概率公式，求出黑色方格在整个地板砖中所占面积的比值是本题的关键． （1）根据轴对称图形的定义即可求解； （2）先求出阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论； （3）根据概率的求解得出答案． 【详解】（1）解：这个图形是轴对称图形，它有4 条对称轴，它的对称轴如图中虚线所示： ， 故答案为：是，4； （2）正方形的面积平均分成16份，阴影部分占4份， 所以停在阴影区域的概率为； （3）如袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中一个红色，三个绿色，充分摇匀后从中随机摸出一个小球是红球的概率．（答案不唯一）． 29．【项目式学习】 问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题． 问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？ 理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是． 解决问题： 任务1： （1）同理可得，的取值范围是______，的取值范围是______． （2）如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明． 任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识） 任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是______． 【答案】任务1：（1），；（2）见解析；任务2：见解析；任务3： 【分析】（1）同题干中的方法求解即可； （2）首先得到，然后利用代入求解即可； 任务2：根据题意得到，，，然后作三边中点D，E，F，连接，，，进而求解即可； 任务3：根据题意得到即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； （2）∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 任务2：设，，， ∵，，， ∴，，， ∴如图所示，作三边中点D，E，F，连接，，， ∴内部即为所求范围． 任务3：根据题意得， ∵是等边三角形，D，E，F分别是，，的中点 ∴ ∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是． 【点睛】此题考查了几何概率，等边三角形的性质，三角形三边关系的应用，不等式的性质等知识，解题的关键是正确分析题意构造图形． 30．如图，在3×3的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案． （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12个等可能的结果，其中新图案是中心对称图形的结果有4个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率； （2）画树状图如图： 共有12个等可能的结果，其中新图案是中心对称图形的结果有4个， 分别是：AD、BC、CB、DA； ∴新图案是中心对称图形的概率为＝． 【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率、正方形的性质、中心对称图形的定义等知识，正确画出树状图得出所有的可能是解题关键． 31．如图，在正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案（计算时取）． （1）求的长和阴影部分的面积； （2）若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率（豆子落在弧上不计） 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）根据弧长公式，即可求值； （2）用阴影部分面积÷正方形面积，即可求解． 【详解】解：（1）的长＝； S阴影＝2S扇形−S正方形＝； （2）豆子落在阴影区域内的概率＝2÷4＝． 【点睛】本题考查了几何概率，弧长公式，扇形面积公式，解题的关键是正确的求得阴影部分的面积． 32．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图①，在中，，两条直角边长分别为，斜边长为．现将与全等的四个直角三角形拼成一个正方形，如图②这个图形就是“赵爽弦图” (1)利用“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若的两直角边之比均为2：5．现随机向图②图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？ (3)若正方形的边长为的周长为，求的面积． 【答案】(1)证明见解析． (2) (3)7 【分析】（1）根据正方形面积的两种求法进行计算求证； （2）设，分别计算四个直角三角形、正方形的面积进行求解； （3）根据三角形周长和勾股定理计算的值，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）， ．　 又∵正方形的面积可以看成个三角形与一个小正方形之和， 由可得：， 即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）由（1）可得：，且的两直角边之比均为， 设， 则， 四个直角三角的面积， 即针尖落在四个直角三角形区域的概率为； （3）正方形的边长为， 又， 三角形的周长为 解得： ， 即的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是关键． 题型五、统计与概率综合题 33．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 (1)填空：______，______；扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为______； (2)若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的学生有______人； (3)已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． （1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得的值，用调查的人数乘以的频率可得的值，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用乘以的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：调查的学生人数为（人）， ∴，，C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角 故答案为：；； （2）（人） 故答案为：； （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 34．某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)400，60，D，图见解析 (2)估计该校成绩优秀的学生有人 (3) 【分析】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键。 （1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，进而根据中位数的定义判断其范围范围，再根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图； （2）根据样本中优秀人数占比即可估计2000人中成绩优秀的数量； （3）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）； ∴B组的人数为（名），即； ∵所抽取学生成绩的中位数是第200和第201个成绩的平均数，且， ∴所抽取学生成绩的中位数落在D组， E组的人数为：（人）， 补全学生成绩频数分布直方图如下： 故答案为：400，60，D； （2）解：（人）， 答：估计该校成绩优秀的学生有人； （3）解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，抽取过程如图所示， 共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 35．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：    (1)本次被抽查的居民人数是______人； (2)图中的度数是______度； (3)据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用B层次人数除以其所占百分比，即可解题； （2）结合条形统计图，利用乘以层次的人数所占比，即可解题； （3）记甲、乙、丙、丁四位居民分别为，根据题意画出树状图，进而得到总的情况数，以及恰好选中甲和乙的情况数，再结合概率公式求解，即可解题。 【详解】（1）解：（人）， 故答案为：； （2）解：结合条形统计图可知层次的扇形统计图要比层次的扇形统计图小， 所以， 故答案为：； （3）解：记甲、乙、丙、丁四位居民分别为， 根据题意画树状图如下： 由图可知，总共有种情况数，其中恰好选中甲和乙的情况有种， 恰好选中甲和乙的概率为． 36．据观察，很多同学的草稿本没有用完便被扔掉，造成了较大的纸张浪费．学期末某“数学兴趣”小组为了解本学期七年级学生草稿本的使用情况，随机抽查了一个班进行调查，经过数据整理，学生的草稿本使用情况大致可分为下面四类：A．全部用完；B．剩约；C．剩约一半；D．基本未用．兴趣小组成员根据统计结果绘制了如下两个不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)这个班共有 人，在图2中D所在扇形的圆心角是 度，“数学兴趣”小组采用的调查方式是 ； (2)请补全图1中条形统计图； (3)七年级共有560人，若每本草稿本以50页纸张计算，试估算七年级学生中使用草稿本“剩约一半”的同学本学期剩余的纸张共有 张． (4)学校随机抽取7位同学草稿本的使用情况（单位：本），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是 (5)若从对节约资源达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加“节约资源，从我做起”知识竞赛，则恰好抽到1个男生和1个女生的概率是 ． 【答案】(1)48，30，抽样调查 (2)见解析 (3)3500 (4)8；9 (5) 【分析】本题主要考查概率、扇形统计图与条形统计图、中位数及众数，熟练掌握概率、扇形统计图与条形统计图、中位数及众数是解题的关键； （1）根据A所在的圆心角的度数及人数可得总人数，然后问题可求解； （2）根据（1）可得C的人数，然后可画条形统计图； （3）根据题意可直接进行求解； （4）根据中位数与众数的定义可进行求解； （5）根据树状图可进行求解． 【详解】（1）解：这个班的总人数为：（人） 在图2中D所在扇形的圆心角为度数为：， “数学兴趣”小组采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：48，30，抽样调查； （2）解：C所代表的人数为：（人） 条形统计图如下： （3）解：（张）； 故答案为：3500． （4）解：7，5，6，8，9，9，10中9出现次数最多，因此众数为9； 从小到大进行排序为5，6，7，8，9，9，10，中间位置的数为8，因此中位数是8． （5）解：画树状图得： ∵可能的情况一共有种，抽到“一男一女”学生的情况有种， ∴抽到“一男一女”学生的概率是：； 故答案为． 37．我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容为学生开设四类社团活动（要求每人必须参加且只能参加一类活动）：A．合唱社团B．足球社团；C．科技社团；D．文学社团，为了了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)本次参与调查的学生共有________人；将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为________，“文学社团”所对应的圆心角度数为________． (3)现从“文学社团”表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两名同学参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丁两名同学的概率． 【答案】(1)80；图见解析 (2)30；36 (3) 【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．解答本题的关键要熟练掌握概率的求法：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）由B的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题； （2）用“科技社团”的人数除以总人数即可得解；由乘以D的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和丁两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）此次调查的学生人数为：（人）， ∴B足球社团的人数为：（人）， 补全条形统计图为： 故答案为：； （2）扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为； “文学社团”扇形统计图中圆心角， 故答案为：；； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和丁两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲和丁两名同学的概率为． 38．某校为了解学生参加家务劳动的情况，对全校学生每周“参加家务劳动的时间”进行了随机抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； (2)已知该校有900名学生，请估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生有多少人？ (3)若D组中有2名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学恰好是一名女生和一名男生的概率． 【答案】(1)50人；见解析 (2)180人 (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． 根据条形统计图中组有人，扇形统计图中组人数占总人数的，计算出抽查的学生的总人数为人，用总人数减去组、组、组的人数，求出组的人数，根据组的人数补全条形统计图； 用900乘以样本中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生占比即可得到答案； 利用列表法把所有可能出现的情况表示出来，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，所以可知抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为． 【详解】（1）解：本次抽样的学生人数为（人）， 组的人数为（人）， 补全条形统计图如下图所示； （2）解：（人）， 估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生约人； （3）解：由题意得，有名女生，名男生， 列表如下： 男 男 女 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种， 抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为． 39．海南，简称琼，是中国第二大岛，这里气候温润，土地肥沃，盛产椰树，因此又有着“椰岛”的美誉．独特的地理环境与丰富的物产，孕育出了极为丰富的风味菜式，海南的美食种类繁多、风味各异，其中当属文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹这四大名菜最为闻名遐迩．为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次调查活动采用的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)本次随机调查的游客总人数为___________人，扇形统计图中的值为___________； (3)在扇形统计图中，喜欢加积鸭所对圆心角为___________； (4)该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率___________． 【答案】(1)抽样调查 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法和画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据普查和抽样调查的定义即可解答； （2）根据条形统计图和条形统计图中的数据计算即可： （3）先求出喜欢加积鸭的人数为，再利用喜欢加积鸭的人数占被调查总人数的比例乘以即可； （4）先列表或画树状图，再根据表格或树状图中的信息求出概率即可． 【详解】（1）解：根据题意本次调查活动采用的调查方式是抽样调查； （2）解：（人）， 则本次随机调查的游客总人数为人， ， ∴； （3）解：喜欢加积鸭的人数为（人）， 则喜欢加积鸭所对圆心角为， （4）解：用A、B、C、D分别表示文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选到B、D的结果有两种， 选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率为． 40．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 【答案】(1)475， (2) 【分析】本题考查了总数，频数，频率之间的数量关系，以及用频率估计概率，解题的关键在于掌握利用频率估计概率的方法． （1）根据总数，频数，频率之间的数量关系计算，即可解题； （2）根据频率估计概率的方法求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 故答案为475，． （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为． 一、单选题 1．赣文化是江西地区形成的物质与文明总称，包含浔阳文化、豫章文化、临川文化、庐陵文化等．若从上述四种赣文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“豫章文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的计算，从四种文化中随机选择一种，总可能结果数为4，选中“豫章文化”只有1种可能，因此概率为． 【详解】解：∵总共有4种文化，且每种文化被选中的机会均等， ∴P(选中“豫章文化”)． 故选：A． 2．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中随机摸出一个球，某种颜色的球出现的频率约为0.3，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键； 通过计算每种颜色球的概率，并与给定频率比较，概率最接近的颜色即为答案． 【详解】解：∵一共有12个球， ∴摸到红球概率为， 摸到黄球概率为， 摸到蓝球概率为， 摸到绿球概率为， ∵某种颜色的球出现的频率约为0.3， ∴绿球概率最接近， ∴该球的颜色最有可能是绿色， 故选：D． 3．某商场为促销商品进行了抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“10元优惠券”区域的统计数据如下表： 转动转盘的次数 200 600 1000 1600 2000 落在“10元优惠券”区域的次数 64 186 300 479 602 落在“10元优惠券”区域的频率 0.320 0.310 0.300 0.299 0.301 估计随机转动转盘一次，得到“10元优惠券”的概率为（） A．0.28 B．0.30 C．0.32 D．0.33 【答案】B 【分析】本题主要考查概率；通过频率估计概率，取转动转盘2000次时试验的频率值进行精确处理． 【详解】解：∵概率可以通过大量重复试验的频率稳定值来估计， ∴由表可知，转动转盘2000次时，频率为0.301， 精确到0.01为0.30， ∴估计概率为0.30， 故选：B． 二、填空题 4．一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是，则为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了简单事件的概率；根据概率公式，红球的概率等于红球数量与总球数的比值，利用给定概率建立方程求解． 【详解】解：设红球、黄球、白球的数量分别为 、、， 则总球数． 红球的概率为． 因此， 解得：， 即． 故答案为：2． 5．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率问题．先分别计算整个图形的面积为，阴影部分面积为，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得图中整个图形的面积为， 阴影部分面积为， ∴向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是． 故答案为： 6．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 三、解答题 7．有两个不透明的盒子和3个白球，2个黄球，这5个小球除颜色外完全相同．在第一个盒中放入2个白球和1个黄球，在第二个盒中放入1个白球和1个黄球，并摇匀．分别从每个盒中随机取出1个球，会出现三种情况：①都是白球；②都是黄球；③一个是白球，一个是黄球． (1)求取出的2个球都是黄球的概率； (2)请你在下图中设计一个转盘游戏，使其结果的情况与题干中描述的情况相同，且概率一致． 要求： ①用虚线划分区域，说明划分标准，并用字母，）标注颜色； ②说明转盘的规则：自由转动转盘，当它停止转动时指针所指位置（若多次转动可说明如何组合）如何与题干中的三种情况对应． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握是解题关键． （1）根据题意，利用列表法或树状图法求概率即可； （2）根据（1）中结果，设计转盘即可． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 白 白 黄 白 （白，白） （白，白） （白，黄） 黄 （黄，白） （黄，白） （黄，黄） 共有6种等可能的结果，其中出现2个球都是黄球的只有1种结果， ∴取出的2个球都是黄球的概率为； （2）由（1）得出现2个球都是白球的概率为；出现一个黄球一个白球的概率为， 如图所示：将圆六等分， A区域表示（白，白），B区域表示（黄，黄），C区域表示一个黄一个白， 转动转盘，指针所指A区域概率为：；指针所指B区域概率为：；指针所指C区域概率为：． 8．数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． (2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：， 故答案为：． （2）解：由题可得树状图如下： 小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：， 小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：， ∵， ∴这个游戏不公平． 9．打造书香文化，培养阅读习惯．某中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类；B：文学类；C：政史类；D：艺术类；E：其他类），张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 根据图中信息，请解答下列问题． (1)条形统计图中的______，文学类书籍对应的扇形圆心角的度数是_______． (2)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】(1)18； (2) 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． （1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m， 360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】（1）解：调查总人数（名）， ∴（名）， 文学类书籍对应的扇形圆心角的度数， 故答案为：18； ． （2）列表如下： 甲             乙 B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，B） （B，C） （B，D） C （C，B） （C，C） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 概率相关解答题分类训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、概率与转盘游戏 1 题型二、判断游戏是否公平（常考点） 4 题型三、设计游戏规则（难点） 7 题型四、几何概率（难点） 10 题型五、统计与概率综合题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、概率与转盘游戏 1．端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 2．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 3．某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 4．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 5．某高级酒店为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇(转盘等分成16份) (1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会? (2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少?他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是多少? 6．如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形盘，被分成16等份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，奖金依次为100、50、20元． （1）分别计算获一、二、三等奖的概率． （2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？    7．某商场为了吸引顾客，设立了一可以自由转动的转盘，AB为转盘直径，如图所示，并规定：顾客消费100元（含100元）以上，就能获得一次转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准9折、8折、7折区域，顾客就可以获得相应的优惠． （1）某顾客正好消费99元，是否可以获得相应的优惠． （2）某顾客正好消费120元，他转一次转盘获得三种打折优惠的概率分别是多少？      8．超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会．摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元．一次性购物满300元者，如果不摇奖可返还现金15元． （1）摇奖一次，获一等奖的概率是多少？ （2）老李一次性购物满了300元，他是参与摇奖划算还是领15元现金划算，请你帮他算算． 题型二、判断游戏是否公平（常考点） 9．电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． (1)请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 10．数学活动课上，小辰和小浩玩抽卡片游戏．如图，现有5张正面印有榆林旅游风景区（2张级，3张级）的卡片，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同，小辰将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小辰从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是_____； (2)若规定：小辰从中随机抽取1张卡片，不放回，小浩再从中随机抽取1张，若2张卡片的正面图案都是3A级景区，则小辰赢，否则小浩赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 11．四张除正面数字外其余都相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．游戏规定：随机抽取一张卡片，记下数字后背面朝上放回，洗匀后再抽取一张，将第一次、第二次抽取的卡片上的数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜；反之，小晶胜． (1)用列表法或画树状图法求恰好得到数22的概率． (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 12．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 13．2024年中国航天取得了不少举世瞩目的成就，创造了多个航天史上的第一．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“致敬航天人，共筑星河梦”为主题的演讲比赛．九（1）班的李丹和王阳都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委会决定用摸球的方式确定人选．规则如下：在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有，0，1，2四个数字．这些小球除数字不同外，其他都完全相同，将袋内小球充分搅匀．班长第一次先从袋中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字，摸到负数不放回，否则放回；搅匀后，他第二次再从中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字．若班长第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大，则李丹参加，否则，王阳参加． (1)班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为______； (2)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对双方是否公平？ 14．为了提升博物馆的服务质量，更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者某校现有名同学准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生人，女生人． (1)若从这名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率为______． (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌背面完全相同洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则，乙参加请用画树状图法或列表法说明该游戏对双方是否公平． 15．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． 游戏规则：随机抽取一张卡片记下数字放回，洗匀后再随机抽取一张．将抽取的第一张，第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字．若组成的两位数不超过32，则小贝获胜；反之小晶获胜． (1)求随机抽取两张卡片，恰好得到数字22的概率； (2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．请用列表法或画树状图法说明这个游戏是否公平？ 16．学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 题型三、设计游戏规则（难点） 17．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 18．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 19．小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 20．小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 21．国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去． (1)上述方式公平吗？请说明理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据． 22．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 23．周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 24．五一小长假，某商场征集促销活动方案，小明根据数学课本第75页的知识，建议商场设计一个抽奖活动． 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像图那样涂上颜色．商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．    (1)某顾客购物后获得了一次转动转盘的机会，求他获得50元购物券的概率是多少． (2)商场为了吸引顾客，决定增大顾客的获奖概率，使得顾客转动一次转盘获得购物券的概率为0.5，那么商场需要再给________个扇形涂上颜色． (3)为了增加活动的趣味性，商场还做了一个大型的质地均匀的骰子，骰子的六个面上标数字1到6．顾客获得抽奖机会时，可以选择转转盘或者掷骰子，如果转转盘和掷骰子获奖概率都是0.5，请你帮忙设计一个掷骰子的获奖规则． 题型四、几何概率（难点） 25．2025年山西省森林草原防灭火综合演练技能比武在忻州市举行，活动中，通过防火调度平台实现远程精准指挥，运用无人机巡护预警，并借助智慧林草平台系统辅助指挥，演练还展示了无人机、机器狗、机器人与地面部队协同作战等手段，有效提升了灭火效率．小悦是一名森林消防爱好者，受活动启发她制作了如图所示的转盘，转盘分为三个全等的菱形区域，每个区域上印有一个森林防火图案．固定指针，转动转盘，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转）． (1)若转动转盘一次，记指针停在区域A的概率为，指针停在区域B的概率为，则______．（填“>”“＝”或“<”） (2)若转动转盘两次，请利用列表或画树状图的方法，求指针两次指向的图案不同的概率． 26．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 27．小张和小李参加了一个有奖掷飞镖的游戏．游戏规则如下：从两个图形靶（图形靶一是正方形，图形靶二是菱形，所有扇形所在的圆都是半径为1的等圆，且相邻的圆都相切）中任选一个进行飞镖投掷，命中阴影部分就可以获得奖品．小张选择了图形靶一，小李选择了图形靶二．通过计算回答：谁更有可能获得奖品？ 28．如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 29．【项目式学习】 问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题． 问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？ 理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是． 解决问题： 任务1： （1）同理可得，的取值范围是______，的取值范围是______． （2）如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明． 任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识） 任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是______． 30．如图，在3×3的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案． （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率． 31．如图，在正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案（计算时取）． （1）求的长和阴影部分的面积； （2）若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率（豆子落在弧上不计） 32．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图①，在中，，两条直角边长分别为，斜边长为．现将与全等的四个直角三角形拼成一个正方形，如图②这个图形就是“赵爽弦图” (1)利用“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若的两直角边之比均为2：5．现随机向图②图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？ (3)若正方形的边长为的周长为，求的面积． 题型五、统计与概率综合题 33．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 (1)填空：______，______；扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为______； (2)若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的学生有______人； (3)已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 34．某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 35．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：    (1)本次被抽查的居民人数是______人； (2)图中的度数是______度； (3)据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 36．据观察，很多同学的草稿本没有用完便被扔掉，造成了较大的纸张浪费．学期末某“数学兴趣”小组为了解本学期七年级学生草稿本的使用情况，随机抽查了一个班进行调查，经过数据整理，学生的草稿本使用情况大致可分为下面四类：A．全部用完；B．剩约；C．剩约一半；D．基本未用．兴趣小组成员根据统计结果绘制了如下两个不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)这个班共有 人，在图2中D所在扇形的圆心角是 度，“数学兴趣”小组采用的调查方式是 ； (2)请补全图1中条形统计图； (3)七年级共有560人，若每本草稿本以50页纸张计算，试估算七年级学生中使用草稿本“剩约一半”的同学本学期剩余的纸张共有 张． (4)学校随机抽取7位同学草稿本的使用情况（单位：本），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是 (5)若从对节约资源达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加“节约资源，从我做起”知识竞赛，则恰好抽到1个男生和1个女生的概率是 ． 37．我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容为学生开设四类社团活动（要求每人必须参加且只能参加一类活动）：A．合唱社团B．足球社团；C．科技社团；D．文学社团，为了了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)本次参与调查的学生共有________人；将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为________，“文学社团”所对应的圆心角度数为________． (3)现从“文学社团”表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两名同学参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丁两名同学的概率． 38．某校为了解学生参加家务劳动的情况，对全校学生每周“参加家务劳动的时间”进行了随机抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； (2)已知该校有900名学生，请估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生有多少人？ (3)若D组中有2名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学恰好是一名女生和一名男生的概率． 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种， 抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为． 39．海南，简称琼，是中国第二大岛，这里气候温润，土地肥沃，盛产椰树，因此又有着“椰岛”的美誉．独特的地理环境与丰富的物产，孕育出了极为丰富的风味菜式，海南的美食种类繁多、风味各异，其中当属文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹这四大名菜最为闻名遐迩．为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次调查活动采用的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)本次随机调查的游客总人数为___________人，扇形统计图中的值为___________； (3)在扇形统计图中，喜欢加积鸭所对圆心角为___________； (4)该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率___________． 40．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 一、单选题 1．赣文化是江西地区形成的物质与文明总称，包含浔阳文化、豫章文化、临川文化、庐陵文化等．若从上述四种赣文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“豫章文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中随机摸出一个球，某种颜色的球出现的频率约为0.3，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 3．某商场为促销商品进行了抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“10元优惠券”区域的统计数据如下表： 转动转盘的次数 200 600 1000 1600 2000 落在“10元优惠券”区域的次数 64 186 300 479 602 落在“10元优惠券”区域的频率 0.320 0.310 0.300 0.299 0.301 估计随机转动转盘一次，得到“10元优惠券”的概率为（） A．0.28 B．0.30 C．0.32 D．0.33 二、填空题 4．一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是，则为 ． 5．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是 ． 6．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有 个球． 三、解答题 7．有两个不透明的盒子和3个白球，2个黄球，这5个小球除颜色外完全相同．在第一个盒中放入2个白球和1个黄球，在第二个盒中放入1个白球和1个黄球，并摇匀．分别从每个盒中随机取出1个球，会出现三种情况：①都是白球；②都是黄球；③一个是白球，一个是黄球． (1)求取出的2个球都是黄球的概率； (2)请你在下图中设计一个转盘游戏，使其结果的情况与题干中描述的情况相同，且概率一致． 要求： ①用虚线划分区域，说明划分标准，并用字母，）标注颜色； ②说明转盘的规则：自由转动转盘，当它停止转动时指针所指位置（若多次转动可说明如何组合）如何与题干中的三种情况对应． 8．数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． (2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 9．打造书香文化，培养阅读习惯．某中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类；B：文学类；C：政史类；D：艺术类；E：其他类），张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 根据图中信息，请解答下列问题． (1)条形统计图中的______，文学类书籍对应的扇形圆心角的度数是_______． (2)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $