第25章 概率的求法与应用 单元培优检测题 2025-2026学年北京版（2013）数学九年级下册

《概率的求法与应用》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下面事件中必然事件是（　　） A．今天下午刮风，则明天下雨 B．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等 C．抛掷一枚均匀的正六面体骰子，则点数不大于6 D．两个有理数的积为正数，则这两个数都是正数 2．“打开电视机，正好在播放新闻联播”这一事件是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 3．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　） A．黑球 B．白球 C．红球 D．黄球 4．如图，有3张卡片，它们除正面图案外其余都相同．把这3张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．小义从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图案是“化学变化”概率是（　　） A． B． C． D． 5．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为2：3：4．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（　　） A． B． C． D． 7．从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（　　） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 8．小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（　　） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 9．一个密码锁的密码由六个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当六个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了最后的两个数字，那么他一次就能打开该锁的概率是（　　） A． B． C． D． 10．社团活动是丰富学生校园生活，发展学生个性的重要方式，深受学生喜爱．正面印有四个社团名称的宣传卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机一次抽取两张，卡片正面恰好为美术社和书法社的概率为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每题3分，共24分） 11．将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是　 　 ． 12．一个仅装有球的不透明布袋里只有3个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝　 　 ． 13．某一枚质地均匀的骰子上面分别标着数字1，2，3，4，5，6．任意投掷这枚骰子一次，朝上点数是奇数的概率是　 　 ． 14．小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做实验得到如表数据： 掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000 针尖朝上的频率 90% 79% 72% 68% 69% 68% 68% 请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是　 　 ． 15．一个口袋装有红球、黄球共50枚，“若从中任取一球，是红球”的概率为，则这个口袋中有　 　 个红球． 16．盒中装有黑白两种颜色的棋子，黑色棋子有a枚，白色棋子有b枚，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑色棋子的概率是，则的值为　 　 ． 17．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620． 其中合理的是　 　 ．（填编号） 18．在一个不透明的盒子里装有6个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.2左右，则估计盒子中大约有　 　 个白色乒乓球． 三．解答题（共7小题，共66分） 19．有两颗相同的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，小风和小荷玩游戏，规定：每人连续投掷2次，若掷出两次的点数之和小于7，则小风胜，否则小荷胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 20．一个不透明布袋里共装有3个球，其中1个红球，2个白球．它们的形状大小完全相同，只有颜色不同．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球． （1）请用树状图或列表的方法，求摸出的2个球都是白球的概率． （2）若往布袋里再放入一些红球，使每一次摸到白球的概率为，则应该再放入　 　 个红球． 21．在一个不透明的口袋中装有白、红两种颜色的小球，其中白球3个，红球5个，它们除了颜色外其他都相同． （1）从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率． （2）从袋中随机摸出1个球，求摸出红球的概率． （3）请通过改变袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等． 22．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． （1）转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是　 　 ，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是　 　 ； （2）若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 23．某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解0≤x＜70；比较了解70≤x＜80；了解80≤x＜90；非常了解90≤x≤100），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 a 82 九年级 79.8 79 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）现从八、九年级所有被抽取学生中，选取测试等级为“非常了解”的学生，再从中随机抽取两名参加市级竞赛．请用列表法或树状图，求所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 24．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 （1）求出表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是　 　 （精确到0.01）； （3）如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 25．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图． 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ；扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为　 　 ； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的学生有　 　 人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A A C D D D C 二．填空题 11．． 12．2． 13．． 14．0.68． 15．15． 16．． 17．②． 18．24． 三．解答题 19．解：这个游戏不公平；理由如下： 每人连续投掷2次，掷出两次的点数之和列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况， ∴和小于7的概率，即小风胜的概率为； 和大于或等于7的概率，即小荷胜的概率为； ∴小风和小荷胜的概率不相等， 故这个游戏不公平． 20．解：（1）列表如下： 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的结果有4种， ∴摸出的2个球都是白球的概率为． （2）设应该再放入x个红球，则共有（x+3）个球， ∵每一次摸到白球的概率为， ∴， 解得x＝7， 经检验，x＝7是原方程的解且符合题意， ∴应该再放入7个红球． 故答案为：7． 21．解：（1）∵一个不透明的口袋中装有白、红两种颜色的小球，其中白球3个，红球5个， ∴从袋中随机摸出1个球，摸出白球的概率为； （2）从袋中随机摸出1个球，共有8种相同可能性的情况， ∵红球5个， ∴从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为； （3）设向袋中加白球的数量为2个（或者去掉2个红球），摸到红球和摸到白球的概率相等，答案不唯一，合理即可． 22．解：（1）根据概率的概念进行求值可得： ； ． 故答案为：，； （2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， ∴小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等， ∴该游戏不公平． 23．解：（1）样本中，被抽取的10名八年级学生的测试成绩从小到大排列，处在第5、6位的两个数的平均数为82（分）， 即被抽取的10名八年级学生的测试成绩的中位数是82分，即a＝82； 被抽取的10名九年级学生的测试成绩出现次数最多的是78分，共出现3次， 所以被抽取的10名八年级学生的测试成绩的众数是78分，即b＝78； 样本中，被抽取的10名八年级学生的测试成绩在非常了解90≤x≤100的学生人数为10﹣10×10%﹣10×30%﹣4＝2（人）， 所占的百分比为×100%＝20%，即c＝20； 故答案为：82，78，20； （2）八年级对人工智能的知晓程度更高，理由如下： 由于平均数相同，但八年级学生测试成绩的中位数是82分，而九年级学生测试成绩的中位数是79分，因为82＞79， 所以八年级对人工智能的知晓程度更高（答案不唯一）； （3）八年级测试等级为“非常了解”的学生有2名，九年级测试等级为“非常了解”的学生有2名，八年级两名学生记为A，B，九年级两名学生记为C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中抽取的两名学生恰好都是九年级学生的结果有2种， ∴所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率为． 24．解：（1）a＝1964÷2000＝0.982，b＝2949÷3000＝0.983， 故答案为：0.982，0.983； （2）由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.98附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是0.98， 故答案为：0.98； （3）49000÷0.98＝50000（顶）． 答：该厂估计要生产50000顶头盔． 25．解：（1）由题意得，调查的人数为24÷0.3＝80（人）， ∴a＝8÷80＝0.1，b＝80×0.25＝20． 扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为360°126°． 故答案为：0.1；20；126°． （2）600×0.3＝180（人）， ∴估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的学生约有180人． 故答案为：180． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中这两位同学选的项目一样的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/12 23:46:23；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 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