第二十五章 概率的求法与应用 单元综合达标测试题 2025-2026学年北京版九年级数学下册

第二十五章 概率的求法与应用 一、单选题 1．不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（    ） A．1 B． C． D． 2．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 3．从3、1、－2这三个数中任取两个不同的数作为P点的坐标，则P点刚好落在第四象限的概率是（    ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 5．毛毛的电子邮箱密码由八个数字或字母组合而成，其中每个数字都是从中任选的，毛毛只记得前七位的组合，第八位只记得是一个偶数，那么毛毛一次随机试验就能解锁密码的概率为（    ） A． B． C． D． 6．七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ）． A． B． C． D． 7．下列说法合理的是(　  ) A．小明在10次抛图钉的试验中发现三次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率为30% B．抛掷一枚普通正六面体的骰子，出现6的概率是的意思是每6次就有1次掷到6 C．某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票，一定会有2张中奖 D．在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51 8．下列说法正确的是（     ） A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 B．某种彩票的中奖率为，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖 C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．“概率为1的事件”是必然事件 二、填空题 9．小明投掷一枚硬币100次，出现“正面朝上”51次，则“正面朝上”的频率为 ． 10．一个两位数，它的十位数字是1，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1-6）朝上一面的数字．任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是4的倍数概率等于 ． 11．设计如图所示的一个转盘，当转盘停止转动时，“指针落在白色区域”的可能性 “指针落在阴影区域”的可能性．（填“大于”、“小于”或“等于”） 12．一个袋中装有6个红球、4个黑球、2个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出 球的可能性最大． 13．如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ． 14．小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．    三、解答题 15．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 16．某校组织篮球队，在一次定点3分（投中一次可得3分）投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 (1)估计该运动员一次定点3分投篮命中的概率为_____． (2)估计该运动员定点3分投篮10次的得分数． 17．某超市在元旦节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式： 方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其它区域无优惠； 方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受9折优惠，其它情况无优惠． （备注：①转盘甲中，指针指向每个区域的可能性相同；转盘乙中，B、C区域的圆心角均为；②若指针指向分界线，则重新转动转盘．） (1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为______； (2)两种方式中，哪一种让顾客获得9折优惠的可能性大？请用树状图或列表法说明理由． 18．不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 19．某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 20．某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图; (2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ; (3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，有种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种， ∴； 故选D． 2．C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 3．B 【分析】根据题意画树状图，得出所有等可能结果，从中找出该点在第四象限的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其中（1，－2），（3，－2）点落在第四象限， ∴P点刚好落在第四象限的概率==； 故选：B． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，熟记各象限内点的符号特点是解题的关键． 4．B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 5．B 【分析】记毛毛一次随机试验就能解锁密码为事件A，根据列举法得出第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种，根据概率公式即可求解． 【详解】记毛毛一次随机试验就能解锁密码为事件A． 根据题意，每个数字为0~9中任意一个， 毛毛记得前七个数字，第八个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种， 而正确的只有其中一个，所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6．B 【分析】本题考查了几何概率，关键是设小正方形板的边长，来求解出空白地板和整体正方形地板面积，由于小球不是落在空白区域就是阴影区域，利用减去小球落在空白区域的概率，即可得出结论． 【详解】解：如下图所示，可设小正方形④的边长为， 等腰直角三角形③和⑤相同，且直角边长为， ③与⑤面积和为， 等腰直角三角形⑦面积等于③与⑤的和， ⑦面积为， 等腰直角三角形①和②，直角边长为， ①与②的面积和为， 铺成的正方形地板面积为①面积的倍，即为． 得到空白图形①、②、③、⑤和⑦的面积和为与整体面积的比为， 小球停留在阴影部分的概率为． 故选：． 7．D 【详解】分析：概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生． 解答：解：A、10次抛图钉的试验太少，错误； B、概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误； C、概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误； D、根据概率的统计定义，可知正确． 故选D． 8．D 【详解】A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误； B. 某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误； C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为，故C错误； D. “概率为1的事件”是必然事件，正确. 故选：D. 9． 【分析】根据频率=频数÷总数即可求解． 【详解】解：“正面朝上”的频率， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频率=频数÷总数． 10． 【分析】根据题意得出所有2位数，从中找到两位数是4的倍数的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：根据题意，得到的两位数有11、12、13、14、15、16这6种等可能结果，其中两位数是4的倍数有12、16这2种结果， ∴得到的两位数是4的倍数的概率等于； 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 11．大于 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：观察图形，转盘被平均分成了8份，其中白色区域占5份，阴影区域占5份， “指针落在白色区域”的可能性大于“指针落在阴影区域”的可能性， 故答案为：大于． 【点睛】本题考查了几何概率问题，熟知概率相应的面积与总面积之比是解题的关键． 12．红 【分析】本题考查了概率公式以及可能性大小，根据概率公式分别计算出摸出红球、黑球、白球的可能性，再进行比较即可． 【详解】解：根据题意，一个袋中装有6个红球、4个黑球、2个白球，共12个； ∴摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为=； 摸到白球的可能性为=． 比较可得： 从袋中任意摸出一个球，那么摸出红球的可能性最大． 故答案为：红 13． 【详解】解：有6种等可能的结果，符合条件的只有2种，则完成的图案为轴对称图案的概率是 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，求某个事件的概率，能够正确找到轴对称图案的个数是解题的关键． 14．不公平 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平． 【详解】解：设三张纸片分别用A，B，C表示 画树状图得：   共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况 ， 这个游戏不公平 故答案为：不公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 15．(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． 16．(1) (2)15分 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，与概率有关的计算，熟知概率的相关知识是解题的关键．（1）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此根据表格找到命中率的稳定值即可得到答案； （2）用投篮次数乘以投篮命中概率求出命中三分的次数即可得到答案． 【详解】（1）解；由表格可知，随着投篮次数的增加，命中率逐渐稳定在附近， ∴估计该运动员一次定点3分投篮命中的概率为； （2）解：（分）． 答：估计该运动员3分投篮10次的得分为15分． 17．(1) (2)两个方式让顾客获得9折优惠的可能性一样大，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由转动转盘甲共有三种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利用概率公式计算可得答案． 【详解】（1）解：若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为． 故答案为：． （2）解：将转盘乙中A区域平均分成两份，则此转盘乙转动可能出现4种等可能的情况，其中有2个A、1个B，1个C，则转动两个转盘，所有可能的结果如下： A C A A B 由表可知共有12种等可能结果，其中转到两个字母相同的有4种种结果， ∴顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为：； ∴两种方式让顾客获得9折优惠的可能性一样大． 18．(1)0.39、390 (2)0.4 (3)4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）总个数乘以黑球的概率估计值即可． 【详解】（1）解：， 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 故答案为：0.39、390； （2）解：估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （3）解：（个， 答：袋中有4个黑球． 19．(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 20．(1)补图见解析；(2)36°；(3). 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图，可求得C，D的人数，继而补全统计图； （2）可求出D所占百分比，进而求得扇形统计图中，D类所占圆心角； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选的两位同学恰好是男一女的情况再利用概率公式即可求得答. 【详解】解：(1)补全条形统计图: (2)36°; (3)树状图如下： 所选的两位同学恰好是一男一女的概率为. 【点睛】本题考点是条形统计图、扇形统计图以及用列表法与树状图法求概率，熟练掌握知识点，并会灵活运用是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $