5.6 函数 y＝Asin(ωx＋φ)导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数y＝Asin(ωx＋φ)的参数影响及图象变换，通过摩天轮运动情境引入，结合知识链接回顾正弦函数图象与变换规律，搭建前后知识支架。 以问题驱动分层探究参数A、ω、φ的影响，建议用几何画板动态演示，典例精析结合数形结合确定解析式，分层作业兼顾基础与提高，培养数学建模与逻辑推理能力，发展数学眼光与思维。

5.6 函数 y＝Asin(ωx＋φ)导学案—2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 一、学习目标 1.理解参数 、 、φ 对函数y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响，能准确描述各参数变化对图象形态的改变； 2.掌握由正弦函数 的图象通过平移变换、伸缩变换得到y＝Asin(ωx＋φ) 图象的两种方法（先平移后伸缩与先伸缩后平移），并能灵活运用； 3.能根据给定的图象或实际问题中的条件，通过数形结合确定函数的解析式，提升数学建模能力。 二、学习重难点 重点： 1.参数 、 、φ 对图象的影响及其几何意义； 2.函数图象的平移与伸缩变换规律，特别是变换顺序对结果的影响。 难点： 1.理解周期变换与相位变换的顺序不同导致平移量不同的本质原因； 2.从实际情境中提取关键信息，建立三角函数模型并确定参数值； 3.深刻理解图象变换的本质是“点的坐标变换”，而非“图象整体移动”。 三、知识链接（温故知新） 1. 回顾 的图象特征： 定义域： ，值域： ，周期： ； 五点法作图的五个关键点： 、 、 、 、 。 2. 函数图象的三种基本变换： 平移变换： ：左加右减（即 向左平移， 向右平移）； 伸缩变换： ：横坐标缩短（ ）或伸长（ ）到原来的 倍； 振幅变换： ：纵坐标伸长（ ）或压缩（ ）到原来的 倍。 思考与讨论： 平移变换中，“左加右减”的口诀如何从点的坐标变化角度理解？ 伸缩变换与平移变换的本质区别是什么？ 四、情境引入（感知周期现象） 情境问题： 观察摩天轮的运动（如图），假设摩天轮半径为20米，中心距离地面25米，每12分钟旋转一圈，且从最低点开始计时。你能用三角函数模型描述乘客的高度 （米）与时间 （分钟）的关系吗？ 思考： 1. 你能用已学知识写出 与 的函数关系吗？（提示：摩天轮运动具有周期性） 2. 这个函数与 有什么联系？它还能刻画哪些周期现象？（如：简谐振动中的弹簧振子位移、潮汐水位变化、声波振动等） 3. 如果要调整摩天轮的转速或起始位置，函数解析式会如何变化？ 设计意图： 通过真实情境激发兴趣，引导学生从实际问题抽象出数学模型，初步感知参数 、 、 的实际意义。 五、探究新知（问题驱动，层层递进） 探究一：参数 的影响——相位变换 观察作图： 在同一坐标系中，用五点法分别画出 、 、 的图象。 动态演示（建议使用几何画板）：拖动 的值，观察图象的变化规律。 归纳结论： 当 φ 时，图象向左平移φ个单位； 当 φ 时，图象向右平移 φ个单位； 平移量为** **（填“ ”或“ ”），方向由 的符号决定。 深化理解： 相位变换改变的是图象的起始位置（即“相位”），不改变振幅和周期。 若将 看作一个整体，其图象可以视为 图象上所有点向左（ ）或向右（φ ）平移 个单位。 例题1： 将函数 的图象向左平移 个单位，得到的函数解析式为________。（答案： ） 探究二：参数 的影响——周期变换 观察作图： 在同一坐标系中，画出 、 、 的图象。 动态演示：改变 的值，观察周期与图象“压缩”或“拉伸”的关系。 思考与讨论： 周期如何变化？与 有何关系？（周期 ） 横坐标如何伸缩？当 时，图象在横向上压缩；当 时，图象在横向上伸长。 周期变换的本质是什么？（图象在 轴方向的伸缩，改变“完成一个完整周期”所需的距离） 特别提醒： 周期变换后，相位 的平移量需重新计算（见探究四）。 探究三：参数 的影响——振幅变换 观察作图： 在同一坐标系中，画出 、 、 的图象。 动态演示：改变 的值，观察图象在纵方向的伸缩。 归纳： 决定函数的振幅，即图象偏离 轴的最大距离； 当 时，图象在纵向上伸长；当 时，图象在纵向上压缩。 值域为 ，最大值 ，最小值 。 例题2： 函数 的最大值为________，最小值为________，振幅为________。（答案：3，-3，3） 探究四：综合变换——由 到 方法一（先相位变换，再周期变换，最后振幅变换）： 1. 将 图象向左（或右）平移φ个单位，得 ； 2. 将横坐标变为原来的 倍（即周期变为 ），得 ； 3. 将纵坐标变为原来的 倍，得 。 方法二（先周期变换，再相位变换，最后振幅变换）： 1. 将 横坐标变为 倍，得 ； 2. 向左（或右）平移 个单位，得 ； 3. 纵坐标变为 倍，得最终图象。 关键辨析： · 方法二中，为何平移量为 而非？ · 因为周期变换后，图象在 轴方向被压缩或拉伸，导致“相位移动”的实际距离发生变化。例如，当 时， 轴单位长度被压缩一半，因此平移 相位需要移动的实际距离为 个单位。 例题3： 说明由 的图象如何变换得到 的图象。（两种方法对比） 解： 方法一： 1. 将 向左平移 个单位，得 ； 2. 横坐标变为原来的 倍，得 ； 3. 纵坐标变为原来的 2 倍，得 。 方法二： 1. 将 横坐标变为原来的 倍，得 ； 2. 向左平移 个单位（因为 ），得 ； 3. 纵坐标变为原来的 2 倍，得 。 总结：两种方法结果相同，但平移量计算不同，需根据变换顺序调整。 六、典例精析 例1： 某简谐运动的图象如图（可附简图），求其解析式。 解析： 1. 观察图象，确定振幅 ； 2. 由周期 ，得 ； 3. 图象过点 ，代入 得 。 答案： 。 例2： 将函数 图象向右平移 个单位，再纵坐标伸长到原来的 3 倍，求所得函数解析式。 解析： 1. 平移：向右平移 得 ； 2. 伸缩：纵坐标伸长 3 倍得 。 答案： 。 例3： 已知 的部分图象如图，且 ， ， ，求 的解析式。 解析： 1. 振幅 ； 2. 周期 ，则 ； 3. 代入点 得 。 答案： 。 七、课堂小结 参数影响与变换总结： 参数 影响 变换方式 注意事项 （振幅） 值域： ，波峰波谷高度 纵向伸缩 不影响周期和相位 （角频率） 周期： 横向伸缩 改变相位平移的实际距离 （初相） 图象起始位置（相位） 水平平移 平移量 $ 研究方法： 观察 → 猜想 → 验证 → 归纳 → 应用 研究策略：分解参数，控制变量，数形结合，类比迁移 易错点提醒： 1. 相位变换与周期变换顺序不同时，平移量不同； 2. 确定解析式时，需结合图象特征与特殊点代入验证。 八、分层作业 基础题： 1. 教材第XX页练习1、2题； 2. 写出 的振幅、周期、初相，并说明由 变换的过程。 3. 将 图象向右平移 个单位，再横坐标缩短到原来的 ，得到________。（答案： ） 提高题： 1. 若函数 图象的一个最高点为 ，相邻最低点为 ，且 ，求解析式。 2. 探究：函数 与 的关系，如何通过变换得到？（提示：利用诱导公式与图象对称性） 3. 已知 图象关于直线 对称，求 的最小正值。 学科网（北京）股份有限公司 $