5.7 三角函数的应用-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

163 4某同学用“五点法”画函数y=Asin(ox+p)A>0,o>0,lg<7在一个周期内的简图时，列表 如下： ωx+p 0 3π 2 T 2 2T T 5π 7π 3π 12 4 12 12 4 y 0 2 0 -2 0 则根据表格可得出A= ,= ,p= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[56] S.7三角函数的应用 新课程标准解读 学科核心素养 了解y=Asin(wx+p)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周 直观想象 期、相位、初相。 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模 型解决一些简单的实际问题， 数学建模、数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 “天津之眼”摩天轮直径为110米，轮外装挂48个360 度透明座舱，每个座舱可乘坐8个人，可同时供384个人 观光，旋转一周所需时间为28分钟，顶，点高度为119.8米. 乘客登上摩天轮后，在旋转过程中他距离地面的高度 与时间有怎样的关系呢？ P[提示] [提示] 可将其抽象为一个数 日新知初探 学问题，建立三角函数 知识点函数y=Asin(wx+p),A>0,w>0中参数的物理意义 模型来解决 是相位 x=0时的相位 称为初相 y=Asix（wxtp) A>0,0>0 振幅是 周期是T= 频率f 白预习自测 1函数y=3m子x+石） 的周期、振幅、初相分别是 6 1 T A.3T,36 1 T B.6T,3’6 C3m3,-6 D6m,3君 184 2.一根长1cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位 置的位移s(om)与时间(s)的函数关系式为s=3cs√侣1+号引1e [0,+∞)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长1= cm. 题型探究提技能 [方法总结1] 题型一 三角函数模型在物理中的应用 在物理学中，物体做简 谐运动时可用正弦型 1. (1)如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位 函数y=Asin(wx+p） 置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为 表示物体振动的位移 y随时间x的变化规 9=6sin2mi+君】 ,那么单摆摆动一个周期所需的 律，A为振幅，表示物 体离开平衡位置的最 时间为 ( 大距高，T-2元为周 A.2Ts B.TS C.0.5s D.1 s 期，表示物体往复振动 (2)(多选)电流强度（安）随时间t(秒)变化的函 1/安 10 一次所需的时间，于= 为颜率，表不想体在 数1=Asin(w+9)A>0,w>0,0<p<)的 5 图象如图所示，则下列说法正确的是 300 单位时间内往复振动 01 A.最大电流为10安 1/秒 的次数」 300 B.电流由最大值到最小值的最短时间为 秒 -10 1 [方法总结2] 解三角函数应用问题 的基本步骤 C当1=00秒时，电流强度1=5安 读懂题目中的 “文字”“图象”符 号”等语言，理 D.当1=00秒时，电流强度1=-5安 P[方法总结1] →解所反映的实 意 际问题的背景， 】跟踪训练1 得出相应的数 学问题 种波的波形为函数y=-sm受的图象，若其在区间[0，小上至少有2个 整理数据，引 入变量，找出 波峰（图象的最高点），则正整数的最小值是 建 变化规律， 立 用已掌握的三 题型二建立三角函数模型解决实际问题 角函数知识 数模 物理知识及其 他相关知识建 例2如图：个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12 立关系式，即 分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的 建立三角函数 模型 一个端点P在风车的最低点，求： (1)点P离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式： 解 利用所学的三 (2)在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14米？ 答 角函数知识解 数 →答得到的三角 8m 函数模型，求 型 得结果 2(1) 得 将所得结论翻 >译成实际问题 的答案 ●[方法总结2] 论 185 》跟踪训练2 如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心0距离水面2m,已 知水轮自点B开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距 离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y=Asin(wx+p)+2, B 则有 ( A.ω= B.@ 2折43 1 C.o-A-5 1 Dw=27A=5 题型三 三角函数模型的拟合问题 [方法总结3] 例3已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间(0≤1≤24，单位：小时)的 处理数据拟合和预测 问题的步骤 函数，记作：y=f代t).下表是某日各时的浪高数据： 1.根据原始数据，绘出 t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 散点图 2.通过散点图，作出 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 “最贴近”的直线或 经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b. 曲线，即拟合直线或拟 (1)根据以上数据，求出函数y=Acosω+b的最小正周期T,振幅A 合曲线 及函数表达式； 3.根据所学函数知识， (2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据 求出拟合直线或拟合 (1)的结论，判断一天的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多 曲线的函数关系式 少时间可供冲浪者进行活动？ ●[方法总结3] 4利用函数关系式，根 据条件对所给问题进 行预测和控制，以便为 决策和官理提供依据。 〉跟踪训练3 下表所示的是某地2001~2022年的月平均气温（华氏度）. 月份 1 2 3 4 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴，x=月份-1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系 (1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据； (2)这个函数的周期是多少？ (3)估计这个正弦曲线的振幅A； (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①7=s票：②6-mg8Y二6-s若：④26-如 6 186 随堂检测 重反馈 1.已知简谐运动(x)=2sin牙x+9]lo<罗的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期 T和初相φ分别为 A.T=6,o= 6 BT=6,9=写 C.T=6m,p= 6 DT=6m,9= 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=个水深m 3sin石+9+k据此函数可知，这段时间水深（单位：m)的最大值 为 ( 18 时间h A.5 B.6 C.8 D.10 3.某人的血压满足函数式f(t)=24sin(160π)+110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳 的次数为 ( ) A.60 B.70 C.80 D.90 4.如图某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(wx+p)+b. /万度 50 (1)这一天的最大用电量为 万度，最小用电量为 万度； 40h--- (2)这段曲线的函数解析式为 30 14x/时 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[57] 章末复习与总结 知识体系构建 两角和与差的正弦 任意角[ 定义 终边相同的角 两角和与差的余弦 公式 任意角 弧度制 两角和与差的正切 角度与孤度互化 三角恒 弧度制 等变换 扇形的弧长和面积公式 倍角的正弦 任意角的三角函数的定义 倍角的余弦 角 任意角的 三角函数 同角三角函数关系式 倍角的正切 数 诱导公式 函数y=Asin（ωx+P）的图象和性质 正弦函数的图象和性质 三角函数模型的简单应用 余弦函数的图象和性质 正切函数的图象和性质+0=2m+受(keZ).令6=0得9=-石，所以y 5.7 三角函数的应用 2xim(2x-若）月 教材梳理 明要点 新知初探 (2)由函数f(x)=Asin(or+p)(0>0,0<9<牙)的部分 知识点 因象，可得振指4=2，子=号-（-日）=子，即7=m axto A 2π0 2知，所以0=2，所以)=2sim(2x+p).因为函数图象过点 预习自测 1By=了m(分+石)的周期T=亞=6m,振幅为行，初 (日，2)，将此点坐标代入函数解析式可得2=2sn(2×号 +9）,由2×g+p=受+2km,keZ,解得9=平+2km,ke 相为π.故选B 6 Z又因为0<<牙，所以0=牙，所以函数的解析式为)2名 已知得20=1，所以√气-2，号=4,1= g =2in(2x+),所以/(）=2sm(+子)=-厄 N 题型探究 提技能 :(1)函数)的最小正周期7-受=， 例1：(1)D(2)AD 由2km-受≤2x+石≤2km+2(keZ), 【解析】(I)依题意是求函教s=6sim(2mt+石)的周期，T 得km-哥≤≤m+石(keZ), 所以x)的单调递增区间为[m-号，km+石(keZ). （2)由画教图象得A=10,1=2(品00）=00 T (2)令2x+晋=km+受(keZ),测x-钙+石(keZ, 100,所以1=10sm(100+p）,由透数图象经过点(30， 所以对称轴方程为x=受+石(e2): 10）,代入函数解析式，得10=10sim(100m·300+9）,即 令2x+君=km(keZ),则x-经-(keZ, s血号+9）=l,得号+9=牙+2km,keZ,p=石+2km,k 所以对称中心为（经-晋）keZ. 6)当m(2+君）=-1，即2x+君-受+2m(ke2, eZ,国为0<g<受，所以p=石，所以1=10in(100mt+ =一号+k(keZ)时x)服得最小值为子， ）,当1=00秒时电流强度1=10sin(10m10+看） -5. 此时x的取值集合是{xx=-写+km人keZ。 跟踪训练1：7函数y=-sinx的周期T=4,且x=3时y=1 跟踪训练4：由f代x)是偶函数，得f代-x)=f(x), 取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7. 即函数f代x)的图象关于y轴对称， ∴.f代x)在x=0时取得最值，即sinp=1或sinp=-1. 例2：(1)设h(t)=Asin(ot+p)+b,由题意得A=8,T=12,b =10; 0≤0<m0=7 则w-2牙=石，当1=0时h=2,即m9=-1 T 由)的图象关于点M对称，可知s血（子+受）=0， 即受。+号=eZ解得a普-号eZ 因此9=受 又)在[0，）上具有单调性，1S,即2四≥m 放h(0=8sm（石-受）+10，≥0 六0≤2，又如>0=1时，w=号6=2时，=2 (2)由题意h()>14,即8n(名-受）+10>14， 1 放0=受m2或号 随堂检测重反馈 又因为0≤t≤12，所以4<t<8. 故在第一圈4<t<8时点P离地面的高度超过14米 1.D2.D 3.B平移问题遵循“左加右减，只针对x而言”的原则.y= 跟踪训练2：A由1min旋转4圈，则转1圈的时间为T= co(2x+4)需右移g个单位，得到y=os2x m=15(s),则o=号-答义由图可知A=3, 4 423一子由表格得A=2.T=-晋-怎0=3， 附3：(1)由表中数据，知周期T=12心2牙=石 a+g=3x+g:当=8时，3+0=牙+p=0,p 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5. 又由t=3,y=1.0,得b=1.0, 1 1 t+1 ·A=0.5,b=1.0,即振幅为2心y=2cos6 -357- (2)由题意知，当y>1时才对冲浪者开放， s+1>11>0. mse（-受+2m,受+2km）keZ)的单洞递减区间， 2km-号<石1<2km+受keZ,即12k-3<1<12k+3. 即2km<x<受+2km,keZ故画教x)=log号0osx的单调 :0≤t≤24，.令k分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或 递增区间为(2km,受+2km)(keZ), 21<t≤24， 例2：(1) 2c0s2x-1 .在规定时间上午8：00时至晚上20：00时之间有6个小时 可供冲浪者进行活动，即上午9：00至下午15：00 2am(牙-x)sin(年+ 跟踪训练3：(1)根据表中数据画 cos 2x 出散点图，并用曲线拟合这些 80 7 数据，如右图所示. 0 sm(平-x） 0 2· (2)1月份的平均气温最低，为40 …s2(年-x 0 21.4华氏度，7月份的平均气20 (年- 温最高，为73.0华氏度，根据10 cos 2x cos 2x =0s2x=1. 246810 12x cos 2x 散点图知号=7-1=6， .T=12. (2)cos50°(5-tan10）=cos50°(5-sim10 (3)2A=最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6， cos10° .A=25.8. =cos50°.5c0s10°-sin10 (4)x=月份-1， c0s10° =c0s500.2c0s409 c0s10° .不妨取x=2-1=1,y=26.0, -2sin40°cos40°-sin809 代人①得子瓷8>1m君①不适合 c0s10° cos10°=1. 例3：因为3sinB=sin(2a+B), 代入②.得6-26,9846<0≠m E3sin(a+B-a)=sin(a+B+a), 25.8 6 整理得2sin(a+B)cosa=4cos(a+B)·sin. ∴②不适合，同理，④不适合， ∴.③最适合 因为0<<开，0<B<年 随堂检测重反馈 所以0<a+B<受osa≠0，eos(a+B)≠0， 1AT=狂=6，由图象过0,1)点得sim0=分：-受<0< 1 T 可得an(a+B)=2ana.又4lan受=1-tan2号， 3 受p=看 所以tana= 2tan 2 1 2.C由题意可知-3+k=2,∴k=5,从而y=3+k=3+5= 2 8.故选C. 3C由于心=160m,放函数的周期T=品。=如所以/=号 am(a+B)=2ana=2×7=l =80,即每分钟心跳的次数为80.故选C. 又a+Be(0,受)，所以a+B=平 4(1)5030(2y=i0m(石r+若）+40，xe[8,14 例4：由已知得(a+A)_2sima cos(a+B)cos a' 【解折}由图知.6：0，A0如=号：2高-对=君 .'sin(a+B)cos a=2cos(a+B)sin a. sin(2a+B)=sin[(a+B)+a]=sin(a+B)cos a+cos(a y=10sn(君+9）+40，又=8时，=0m(弩+ +B)sin a=3cos(a+B)sin a, 3sin B=3sin(a+B)-a =3sin(a+B)cos a-3cos(a+ ）=-lp=y=0sim(+）+40，e[8, B)sin a=3cos(a+B)sin a. 14]. ∴.3sinB=sin(2a+B). 例5：(1)由题意，设s=tsin0,t≥0，k≠0， 章末复习与总结 当0=石，1=2时s=10, 例1：(1)D(2)2④(3)(2km,7+2km）(keZ) 10=k×2n石，解得k=5, 【解析】（1)由题意，知simx≠1，即f(x)的定义域为 .∴.s关于时间t的函数表达式为s=5tsim0,t≥0 {x≠2m+受，kEZ,此函数的定义城不关于原点对称。 (2)由题意，∠OBA为直角，∠AOB=0, 20 所以f代x)是非奇非偶函数 可得OA= c0s01 (2)对于②，y=c0s(-x)=c0sx,y=c0slx=c0sx,故其图象 相同；对于④，y=c0s(-x)=c0sx,故其图象关于y轴对称； 20 =5tsin 0, cos 0 由图（图略）可知①③均不正确.故正确的说法是②④】 4 22 (3)由c0sx>0,得-7+2km<x<号+2m,keZ因为 1 化简可得t=√sin6cos0√/sm20 <1,所以函数f代x)=logcos x的单调递增区间即为u= .当日=元时，时间t最短， 4 -358—