专题03一元一次方程（3大知识点+12大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材苏科版

专题03一元一次方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：一元一次方程的有关概念 1.方程：含有未知数的等式叫做方程． 2.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 注：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3.方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4.解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点2 ：等式的基本性质 二、等式的性质与去括号法则 1.等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 字母表达式为： 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 字母表达式为：． 知识点3 ：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【考点1】一元一次方程的定义 【例1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一判断各方程即可． 【详解】解：① 不是整式方程，不是一元一次方程； ② 是一元一次方程； ③ ，未知数最高次数为2，不是一元一次方程； ④ 是一元一次方程； ⑤，含两个未知数和，不是一元一次方程； 综上，一元一次方程有②④，共2个， 故选：B． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程． 【详解】解：一元一次方程需满足：一个未知数、次数为、整式方程； A中未知数的最高次数为，不符合； B中未知数的次数为，且是整式方程，符合； C中含有两个未知数和，不符合； D中分母含有未知数，不是整式方程，不符合； 故选：B． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是依据“只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程”的条件逐一判断选项． 根据一元一次方程的定义，分析每个选项是否符合“整式方程、一个未知数、次数为1”的特征． 【详解】解：A、是分式方程，不是整式方程，此选项不符合题意； B、中未知数次数为2，不是一次方程，此选项不符合题意； C、含两个未知数，不是一元方程，此选项不符合题意； D、是含一个未知数、次数为1的整式方程，符合一元一次方程定义，此选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在方程，，，，，中，一元一次方程的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），判断每个方程是否符合即可 【详解】解：∵ 含有两个未知数， ∴ 不是一元一次方程； ∵ 分母中含有未知数，不是整式方程， ∴ 不是一元一次方程； ∵ 最高次数为2，且有两个变量， ∴ 不是一元一次方程； ∵ 最高次数为2， ∴ 不是一元一次方程； ∵ 中是常数，方程可化为整式形式，且未知数x的最高次数为1， ∴ 是一元一次方程； ∵ 是一元一次方程； ∴ 一元一次方程的个数为2个， 故选：B 【考点2】根据一元一次方程的定义求参数的值 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于x的方程是一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，x的指数必须为1，且系数不为0． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程是一元一次方程， ∴ 且 由，得或， 又∵， ∴ ∴ ， 故选：C． 【变式训练】 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的特点是解题的关键． 根据一元一次方程的定义即可求得，一元一次方程的定义：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是(次)的整式方程叫做一元一次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴二次项系数， 解得， 当时，一次项系数，满足条件． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）若方程是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求参数的值，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义得到且，进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 由得， ∴或， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， ∴， 故答案为：． 【考点3】利用方程的解求参数或代数式的值 【例3】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程的解是，则a的值等于（　　） A．8 B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，解本题的关键在理解一元一次方程的解．根据题意，将代入，解出即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，可得， 解得． 故选：A． 【变式训练】 7．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如果关于x的方程的解，那么k的值是（ ） A． B．10 C．2 D． 【答案】B 【分析】把解代入方程，解方程求得k值即可． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程的解， ∴， 解得， 故选：B． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查根据一元一次方程解的情况求参数，先解方程得到x关于k的表达式，再根据x为整数确定k的取值，注意. 【详解】解：∵， ∴， 当时，方程为，无解，不合题意， ∴， ∴， ∵ x为整数，且k为整数， ∴ k整除2，即k是2的因数， ∴或， 共4个整数k满足条件． 故选：C． 9．（25-26七年级上·江苏·月考）若是方程的解，则值为 ． 【答案】13 【分析】将代入方程得的值，再将提取公因式2变形为后代入求值． 本题主要考查了一元一次方程的解，把解代入方程中得到代数式是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答案为：13． 【考点4】等式的基本性质 【例4】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，解题的关键点在于严格依据等式的基本性质进行判断， 等式两边同时乘（或除以）同一个不为的整式，等式仍然成立；等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；根据性质逐项判断即可． 【详解】选项A、若，则（等式性质：两边同减同一数，等式仍成立），选项A结论正确，不符合题意； 选项B、若，则，（等式性质：两边同乘同一个非零数，等式仍成立），选项B结论正确，不符合题意； 选项C、若，，则（等式性质：两边同除同一非零数，等式仍成立），选项C结论正确，不符合题意； 选项D、若，时，则不一定成立，选项D结论错误，符合题意． 【变式训练】 10．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）下列等式的变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 【详解】解：、如果，那么，原选项错误，不符合题意； 、如果，那么，原选项错误，不符合题意； 、如果，那么，原选项正确，符合题意； 、如果，当时，那么，原选项错误，不符合题意； 故选：． 11．（25-26七年级上·江苏南京·月考）下列变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质，逐一验证每个选项的变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵，∴，但选项，变形错误，不符合题意； B．∵，∴，即，变形正确，符合题意； C．∵，∴，即，但选项，变形错误，不符合题意； D．∵，∴，但选项，变形错误，不符合题意； 故选：B． 12．（24-25七年级上·山西吕梁·月考）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵天平①平衡， ∴， ∴，即， ∴天平一定平衡的是C， 故选：C． 【考点5】解一元一次方程：合并同类项与移项 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)． (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握是解决本题的关键． （1）方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （2）方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：移项，得． 合并同类项，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式训练】 13．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）若与互为相反数，则m的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相反数，解一元一次方程，理解题意，正确列式求解是关键． 利用相反数的定义，即两数之和为零，建立方程求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 14．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是一个正方体的展开图，如果正方体的相对两个面上所标注的式子的值互为相反数，x的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查正方体的展开图、解一元一次方程，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．由展开图找到对立面，根据相对两个面上所标注的式子的值互为相反数列方程，进而解方程可得到答案． 【详解】解：由题意正方体的相对两个面上所标注的式子的值互为相反数， 所以， 解得． 故答案为：2． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （4）根据合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：合并同类项，得， 将的系数化为1，得； （2）解：移项，得， 合并同类项，得， 将的系数化为1，得； （3）解：移项，得， 合并同类项，得， 将的系数化为1，得； （4）解：合并同类项，得， 将的系数化为1，得． 【考点6】解一元一次方程：去括号 【例6】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程：． 解：去括号，得，　(第一步) 移项及合并同类项，得，  (第二步) 系数化为1，得．  (第三步) 以上解方程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤求解即可．在去括号得时候记得每一项多要乘括号前面的系数以及符号的改变． 【详解】解：不正确，错在第一步．改正如下： 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式训练】 16．（25-26七年级上·浙江温州·月考）方程去括号变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则可得结果．熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， 去括号得， 故选：B． 17．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若关于的方程（其中、为常数，且）的解是，则关于的方程的解是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．根据第一个方程的解，得出a、b之间的关系，再代入第二个方程求解，即可解答． 【详解】解：由方程的解为，得． 将代入方程， 得，即． ∴， ∵， ∴方程两边同时除以a，得． 故答案为：2026． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可，正确的运算是解题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． （3）解：去小括号，得， 去中括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 【考点7】解一元一次方程：去分母 【例7】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的求解步骤． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． 故原方程的解为； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故原方程的解为． 【变式训练】 19．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下列各方程的变形中，去分母错误的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程过程中去分母的变形．解题的关键在于去分母时方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘常数项．逐一检查各选项方程两边是否每一项都乘即可． 【详解】解： A：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； B：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； C：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； D：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘应得 ，但选项中为 ，常数项未乘，错误．符合题意． 故答案为：D． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质对方程进行变形，掌握知识点是解题的关键． 分子分母同乘以10即可． 【详解】解： ∵ ∴， 即． 故答案为：． 21．（24-25七年级上·浙江金华·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤，是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得： （2）解： ， ， ， ， 解得：． 【考点8】一元一次方程的错解还原问题 【例8】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． （1）根据小林的错误解法求出a的值； （2）根据正确方程求出其解即可． 【详解】（1）解：， 去分母时，方程右边的漏乘了6，所以， 解得， 因为此时方程的解为， 所以， 解得； （2）当时，正确的方程为， ， ， ， ． 【变式训练】 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明在做题时不小心用墨水把方程污染了，污染后的方程为，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了方程解的定义，以及一元一次方程的解法．根据方程解的定义，将代入被污染的方程，即可求出被遮盖的常数 【详解】解：设被遮盖的常数为c，则方程为 ∵是方程的解， ∴将代入方程得： ∵， ∴ ∴ ∴ 故选A． 23．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 小佳将原方程中的“”看成了“”，得到错误方程并求解，代入错误解可求出m的值． 【详解】解：∵ 小佳看错后的方程为，且解得， ∴ 代入得， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 24．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）小明同学在解关于的方程时，把处的数字看错了，解得，则该同学把看成了 ． 【答案】5 【分析】设■处的数字为a，将代入方程，求解a的值即可． 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设■处的数字为a，将代入方程， 得， ， 解得， 故答案为：5． 【考点9】已知一元一次方程的解，求构造后方程的解 【例9】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）若关于x的一元一次方程 的解是，那么关于y的一元一次方程 的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解， 通过整体代换，将关于 的方程转化为关于 的方程，利用已知方程的解求解． 【详解】解：因为关于 的一元一次方程 的解为 ， 所以关于 的方程 ， 即，所以 ，解得 ． 故答案为：． 【变式训练】 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 26．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知方程相关的形式，利用已知方程的解求解． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴，即， 由关于x的方程的解为， 因此当时方程成立， ∴， 解得． 故答案为：1． 27．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先把关于y的一元一次方程写成的解形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． 【考点10】一元一次方程的同解问题 【例10】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）已知关于的方程，请回答下列问题． (1)k的值不可能是_______； (2)若该方程与方程的解相等，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是关键． （1）根据方程的定义进行解答即可； （2）先求出方程的解，再把得到的解代入方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解： ∴， 则 则， 根据方程的定义可知，，即， 故答案为：． （2）解方程，得， 将代入方程得到， 解得． 【变式训练】 28．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）关于x的方程与的解相同，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程解；先解方程，求出的值，再代入方程中求解即可． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 将代入方程， 得， 即． 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 故答案为：2． 29．（25-26七年级上·重庆·期中）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义． 先求解方程得到的值，再将此值代入方程中求解． 【详解】解：解方程 ， 移项得 ， 即， 解得， 将代入方程，得， 两边同乘4得， 移项得， 故答案为：9 30．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 根据与同解，因此只需要利用方程求出x的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ， ， ； ∵方程与方程的解相同， ∴将代入得 ， ， ， ． 【考点11】一元一次方程的解之间的关系 【例11】（25-26七年级上·安徽淮南·月考）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值． (2)若上述方程的解比方程的解小3，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解的关系，熟练掌握相关知识点，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）根据一元一次方程的定义，得到，进行求解即可； （2）先求出的解，根据解的关系，得到的解，代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知方程为， 解得； ∵上述方程的解比方程的解小3， ∴的解为， ∴， ∴． 【变式训练】 31．（25-26七年级上·陕西西安·月考）关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及相反数的概念，熟练掌握一元一次方程的求解步骤并利用相反数的性质确定方程的解是解题的关键． 先求出方程的解，根据解互为相反数，得到方程的解，代入后解关于的方程即可． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解互为相反数， ∴方程的解为． 将代入，得，即， 解得， 故答案为：． 32．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．分别求解两个方程，得到第一个方程的解为，第二个方程的解为，要求两者均为正整数，从而确定整数的值． 【详解】解：解方程，， 方程化为， 两边减去得， 两边乘以得， 两边乘以 得，即， 所以（）； 解方程，， 方程变为， 两边乘以得， 去括号得， 移项得，即， 所以 （）． ∵两个方程的解均为正整数， ∴和都为正整数． ∴为正整数，且是的正因数，即； 同时是的正因数，即或，但， 所以，故， 解得 ． 验证当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为，均为正整数，满足条件． 故答案为 2． 33．（25-26七年级上·河南许昌·月考）方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查解一元一次方程及倒数的定义，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题关键． 根据题意得出的解为，然后求出倒数代入求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． ∵的倒数是， ∴将代入方程， ∴， 解得． 【考点12】一元一次方程的新定义问题 【例12】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ． ①    ②    ③ (2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，新定义运算，求解代数式的值，正确理解新定义再建立新的方程求解是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案； （3）根据和解方程的定义，由已知条件求出的值，再整体代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：①的解是， ∵， ∴①不是“和解方程”； ②的解是， ∵， ∴②是“和解方程”； ③的解是， ∵， ∴③不是“和解方程”； 故答案为：②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵即是“和解方程”， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴①， ∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴②， 由①-②得：， ∴ ． 【变式训练】 34．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x 的方程与是“和一方程”，求 m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求 n 的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，列方程即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 35．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 36．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 运用 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 (填写序号) (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值 (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，则 ， 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程组等知识点，熟练掌握解方程的方法是解决此题的关键． (1)先解方程，再利用题中的新定义判断即可； (2)根据题中的新定义列出有关的方程，求出方程的解即可得到的值；利用题中的新定义确定出所求即可； (3)根据“友好方程”的定义即可得出关于、的方程组，解之即可得出、的值． 【详解】（1）解：，解得： 而，是“友好方程”； ，解得：， 而，不是“友好方程”； 故答案为：； （2）解：方程的解为， ，解得； （3）解：关于x的一元一次方程是”友好方程”，并且它的解是， ，且， 解得，， 故答案为，． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程； B、不是等式，不是方程； C、是代数式，不是等式，不是方程； D、是方程； 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）已知是关于的方程的解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是将解代入方程． 将代入方程，求解的值． 【详解】是关于的方程的解， ，即， ． 故选：． 3．（25-26七年级上·江苏·期中）解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 去括号时应用分配律，将3乘以括号内的每一项． 【详解】解：∵， ∴方程去括号后为． 故选：B． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列运用等式的性质，变形不正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的性质，直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．A、B、C选项均符合等式性质；D选项未考虑的情况，因此错误． 【详解】解：∵等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；若，则， 等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；若，则（），或（）． A．若，则，正确． B．若，则，正确． C．若，则两边乘，得，正确． D．若，当时也成立，故不正确． 故选：D． 5．（25-26七年级上·江苏南通·月考）在解方程，对该方程进行变形时，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分数的基本性质． 把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选B． 6．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）定义运算：，例如：，，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新运算，解方程，根据新运算的定义，分和两种情况讨论，分别解方程求x的值即可． 【详解】解：∵， ∴①当时，， ∴， ∵，， ∴； ②当时，，解得； 故选：D． 7．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．由第一个方程的解代入得到 的关系式，然后将第二个方程化简，利用该关系式求解，即可作答． 【详解】解：∵方程 的解为， ∴代入得 ， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 移项得， ∴， 把代入，得， ∵， ∴， 故选：D． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与k的取值无关，得到，且，求解即可． 【详解】解：方程的解总为， 代入得， 化简得， 该式对任意成立， ，且， 解得， ，， 故选：A． 二、填空题 9．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）若是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数为且系数不为，由此确定的值 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程 ∴且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若是方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解． 根据方程的解的定义，将代入方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 移项得， 即， 解得． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如果关于的方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值．根据一元一次方程的解的定义，将代入方程得到，然后将代数式变形为，整体代入求解． 【详解】解：关于的方程的解是， ． ． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解，换元法，理解题意，掌握换元法的计算是关键． 通过变量代换将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：对于方程 ， 设 ，则， ∴关于y的一元一次方程化为 ， 即 ， 两边乘以 ，得 ， 即 ， 令 ，则 ， 两边减 ，得 ， 这与已知方程 形式相同，且解为 ， 所以， 由 和 ，得 ， 所以 ， 解得，， 故答案为： ． 13．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下表是当取不同值时，整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 2 4 1 5 【答案】1011 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，已知字母的值，求代数式的值，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据表格中时，求出；再根据时，求出；代入方程，解一元一次方程即可． 【详解】解∶由表格数据， 当时，， 即， 解得∶； 当时，， 即， 解得∶； 代入方程， 得， 即； 移项，得， 系数化为1，得． 故答案为∶1011． 14．（25-26七年级上·江苏南京·月考）若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，解题时要根据方程的特点进行有针对性的计算． 将代入原方程，化简后得到关于的等式，根据等式对任意成立的条件，令的系数为零，常数项相等，解出和，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入原方程， 得， 整理得， ∵等式不论k取什么数均成立， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·江苏南通·月考）实数是关于的方程的解，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，掌握整体代入是解题关键．由方程的解可得，代入并化简，利用等式关系求值即可． 【详解】解：∵实数是关于的方程的解， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程有无数多个解，试求 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，由方程有无数多个解，可知其系数和常数项均为零，从而求出和的值．再将和代入方程 中，计算并求解 ． 【详解】解：方程 移项得 ． ∵方程有无数个解，， ∴且， 解得，． 代入方程， 得：， 即， ， 解得； 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26七年级上·江苏南通·月考）解下列方程： (1) ： (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先合并同类项，再系数化为，即可作答． （2）先去括号，移项，合并同类项，再系数化为，即可作答． （3）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为，即可作答． （4）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴合并同类项，得， ∴系数化为，得； （2）解：∵ ∴去括号，得， ∴移项，得， 合并同类项，得 ∴系数化为，得； （3）解：∵ ∴去分母，得， ∴去括号，得， ∴移项，得 ∴合并同类项，得， ∴系数化为，得； （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， ∴系数化为，得． 18．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 19．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）在解方程时，小丽和小明同学的部分过程如下： 小丽的解法： 去分母，得 （① ） …… 小明的解法： 方程变形为 （② ） …… (1)请选择合适的依据填空：①处应为______，②处应为______； A．分数的基本性质，即分数的分子和分母都乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变； B．等式的基本性质，即等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． (2)请你任选其中一种解法写出完整解题过程． 【答案】(1)①B；②A (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，分数的性质等知识．解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．正确理解等式性质是解方程的关键． （1）小丽的解法是去分母，去分母的依据是等式性质2，小明的解法是将方程左边分数的分子分母的系数化为整数，分数变形是利用分数的性质； （2）按解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：①处应为B，②处应为A； 故答案为：； （2）选小丽的解法： 去分母，得， 移项，得， 系数化为1，得． 选小明的解法： 方程变形为， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出的值是解题的关键． 先解不含参数的一元一次方程，将解代入含参数的一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 将代入得： ， ， ． 21．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)它的解与关于的方程的解互为相反数，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程等知识，熟练掌握一元一次方程的解法和定义是解题关键． （1）根据一元一次方程的定义可得，且，据此解答即可得； （2）先根据（1）可得方程为，解方程可得，则可得关于的方程的解为，再将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，方程为，即， 解得， ∵已知方程的解与关于的方程的解互为相反数， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得． 22．（20-21七年级上·北京石景山·期末）关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对、中，是“相伴有理数对”的是_______； (2)若是“相伴有理数对”，则的值是________； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，正确理解新定义的含义． （1）根据“相伴有理数对“的定义对这两个数对进行计算，然后判断即可； （2）根据“相伴有理数对“的定义列出方程，解方程即可； （3）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把整体代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ，， ， ，， 成立的一对有理数，为“相伴有理数对， 是“相伴有理数对”的有， 故答案为：； （2）解：是“相伴有理数对”， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：是“相伴有理数对”， ， 则 ． 24．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 【答案】(1)②④ (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“和解方程”的定义是解题的关键． （1）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （3）分和两种情况，分别解原方程求出原方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； （3）解：当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 综上所述，或． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元一次方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：一元一次方程的有关概念 1.方程：含有未知数的等式叫做方程． 2.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 注：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3.方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4.解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点2 ：等式的基本性质 二、等式的性质与去括号法则 1.等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 字母表达式为： 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 字母表达式为：． 知识点3 ：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【考点1】一元一次方程的定义 【例1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在方程，，，，，中，一元一次方程的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2】根据一元一次方程的定义求参数的值 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于x的方程是一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【变式训练】 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）若方程是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【考点3】利用方程的解求参数或代数式的值 【例3】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程的解是，则a的值 等于（　　） A．8 B．0 C．2 D． 【变式训练】 7．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如果关于x的方程的解，那么k的值是（ ） A． B．10 C．2 D． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．（25-26七年级上·江苏·月考）若是方程的解，则值为 ． 【考点4】等式的基本性质 【例4】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】 10．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）下列等式的变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 11．（25-26七年级上·江苏南京·月考）下列变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 12．（24-25七年级上·山西吕梁·月考）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A．B．C．D． 【考点5】解一元一次方程：合并同类项与移项 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)． (2) ． 【变式训练】 13．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）若与互为相反数，则m的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 14．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是一个正方体的展开图，如果正方体的相对两个面上所标注的式子的值互为相反数，x的值是 ． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点6】解一元一次方程：去括号 【例6】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程：． 解：去括号，得，　(第一步) 移项及合并同类项，得，  (第二步) 系数化为1，得．  (第三步) 以上解方程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程． 【变式训练】 16．（25-26七年级上·浙江温州·月考）方程去括号变形正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若关于的方程（其中、为常数，且）的解是，则关于的方程的解是 ． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【考点7】解一元一次方程：去分母 【例7】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 【变式训练】 19．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下列各方程的变形中，去分母错误的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 20．（2024七年级上·全国·专题练习）将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 21．（24-25七年级上·浙江金华·月考）解方程： (1)； (2)． 【考点8】一元一次方程的错解还原问题 【例8】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． 【变式训练】 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明在做题时不小心用墨水把方程污染了，污染后的方程为，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（   ） A．1 B． C． D．2 23．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 24．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）小明同学在解关于的方程时，把处的数字看错了，解得，则该同学把看成了 ． 【考点9】已知一元一次方程的解，求构造后方程的解 【例9】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）若关于x的一元一次方程 的解是，那么关于y的一元一次方程 的解是 ． 【变式训练】 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 26．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 27．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【考点10】一元一次方程的同解问题 【例10】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）已知关于的方程，请回答下列问题． (1)k的值不可能是_______； (2)若该方程与方程的解相等，求k的值． 【变式训练】 28．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）关于x的方程与的解相同，则 ． 29．（25-26七年级上·重庆·期中）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 30．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【考点11】一元一次方程的解之间的关系 【例11】（25-26七年级上·安徽淮南·月考）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值． (2)若上述方程的解比方程的解小3，求k的值． 【变式训练】 31．（25-26七年级上·陕西西安·月考）关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 32．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ． 33．（25-26七年级上·河南许昌·月考）方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 【考点12】一元一次方程的新定义问题 【例12】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ． ①    ②    ③ (2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【变式训练】 34．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x 的方程与是“和一方程”，求 m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求 n 的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 35．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 36．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 运用 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 (填写序号) (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值 (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，则 ， 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）已知是关于的方程的解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏·期中）解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列运用等式的性质，变形不正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26七年级上·江苏南通·月考）在解方程，对该方程进行变形时，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）定义运算：，例如：，，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 二、填空题 9．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）若是关于x的一元一次方程，则 ． 10．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若是方程的解，则m的值为 ． 11．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如果关于的方程的解，则代数式的值为 ． 12．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 13．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下表是当取不同值时，整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 2 4 1 5 14．（25-26七年级上·江苏南京·月考）若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则 ． 15．（25-26七年级上·江苏南通·月考）实数是关于的方程的解，若，则的值为 ． 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程有无数多个解，试求 的解为 ． 三、解答题 17．（25-26七年级上·江苏南通·月考）解下列方程： (1) ： (2) (3) (4) 18．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 19．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）在解方程时，小丽和小明同学的部分过程如下： 小丽的解法： 去分母，得 （① ） …… 小明的解法： 方程变形为 （② ） …… (1)请选择合适的依据填空：①处应为______，②处应为______； A．分数的基本性质，即分数的分子和分母都乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变； B．等式的基本性质，即等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． (2)请你任选其中一种解法写出完整解题过程． 20．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 21．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)它的解与关于的方程的解互为相反数，求a的值． 22．（20-21七年级上·北京石景山·期末）关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对、中，是“相伴有理数对”的是_______； (2)若是“相伴有理数对”，则的值是________； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 24．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $