第4章 计数原理 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册 第4章：计数原理 单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（    ） A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理，可直接得出结果. 【详解】由分步乘法计数原理，可知从甲地到丙地不同的走法有种． 故选：D 2．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　） A．24 B．120 C．48 D．60 【答案】C 【分析】将捆绑在一起，计算得到答案. 【详解】将捆绑在一起，共有种排法. 故选：C. 3．将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案. 【详解】若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法； 若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法． 故不同的放法有7种．故选：C 4．某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后将所分的三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理可求得结果. 【详解】先将五个人分为三组， 每组的人数分别为、、或、、， 若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组， 则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种； 若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇， 只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种. 接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校， 因此，不同的安排方案种数为种. 故选：C. 5．的展开式中的系数为（   ） A．180 B． C．960 D． 【答案】A 【分析】写出通项公式，令，得，求出的系数. 【详解】的展开式的通项， 令，得，所以的系数为. 故选：A 6．如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理依次涂色即可. 【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 7．五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 【答案】C 【分析】分两类为都被选出、被选出一辆，再应用分步计数及排列组合数求两类对应方案数，即可得答案. 【详解】若都被选出，把安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的2个有种， 从中选出2辆有种，安排到剩下的2个景区有种， 所以共有种； 若被选出一辆有种，安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的1个有种， 再把安排到剩下的3个景区有种，所以共有种； 综上，共有72种.故选：C 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式定理，可得答案. 【详解】设，由二项式定理可得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 【答案】AC 【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D. 【详解】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确； 对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误； 对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确； 对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误； 故选：AC. 10．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 【答案】ABD 【分析】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D. 【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确． 令，则各项系数之和为，B正确． 因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误． 的展开式的通式为， 令得，故所求的常数项为，D正确．故选：ABD 11．带有编号、、、、的五个球，则（    ） A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法 B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 【答案】AC 【分析】利用分步计数原理判断A，先分组，再分配，即可判断B，先选出个球，再选出个盒子，即可判断C，分和两种情况讨论，利用分组分配法判断D. 【详解】对于A：由分步计数原理， 五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确； 对于B：由排列数公式， 五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B错误； 对于C：将其中的个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有种放法，故C正确； 对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法，故D错误．故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有 . 【答案】90种 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为（种）. 故答案为：90种 13．2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 ． 【答案】36 【分析】先分组再排列计算即可. 【详解】由题意可知必有一个场馆是两名志愿者，先将四名同学分成三组，即每组各有人，再进行排列，则有种方法.故答案为： 14．展开式的常数项为 ． 【答案】 【分析】先利用二项式定理求得展开式的通项公式，再分别求中常数项与含项的系数，从而得解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 当1乘以时，令，解得，常数项为； 当乘以时，令，解得，常数项为； 所以的展开式中的常数项为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】(1)72 (2)36 【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，结合排列数运算求解； （2）分乙站在排头或排尾和甲、乙都不站排头或排尾两种情况，结合排列数运算求解. 【详解】（1）先排丙、丁、戊，有种站法，再插空排甲、乙，有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． （2）若乙站在排头或排尾，则有种站法； 若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法； 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种 16．（15分）某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目. (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ 【答案】(1)360 (2)144 【分析】（1）运用分步乘法计数原理，先排第一个节目，然后全排即得； （2）运用相邻问题“捆绑法”，将需要在一起的节目看成一个元素，与其他元素全排，再解绑，考虑内部元素的全排即得. 【详解】（1）依题意，分两步完成，① 在3个小品节目中任选一个，有种方法； ②将剩下的5个节目在第一个节目之后的五个位置上全排，有种方法， 由分步乘法计数原理可得，第一个节目是小品节目的排法共有（种）； （2）先将将3个唱歌节目进行“捆绑”看成一个元素，与其他3个节目形成4个元素进行全排有种方法， 再考虑对3个唱歌节目“松绑”，有种方法， 由分步乘法计数原理可得，排法共有（种）. 17．（15分）从等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答） (1)若必须在内，有多少种排法？ (2)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，在其余6人中选出4人，再与全排列，即可求解； （2）根据题意，先在其他4人中选出2人，将看成一个整体，再在2个空位中选出1个安排，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，若必须在内，在其余6人中选出4人，再与全排列， 共有种排法. （2）解：根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法， 将看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法， 排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排，有种情况， 所以，共有种不同的排法. 18．（17分）若，. (1)求； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)1 (2)0 (3) 【分析】(1)令 可计算出 的值; (2)令 结合 的结果可计算出 的值; (3)分别令, 然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出 的值; 【详解】（1）令 , 所以 ; （2）令 , 所以 , ，因为，所以 , （3）令 , 所以 , 又 , 所以 , 又因为 的展开式通项为 , 所以当 为奇数时, 项的系数为负数,所以 . 19．（17分）已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可求得结果； （2）分两种情况讨论：（i）测试次找到所有次品；（ii）测试次找到所有的次品.求出两种情况下不同的测试情况种数，相加即可. 【详解】（1）若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品， 则第一、三、四次抽到的都是正品， 由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为种. （2）分以下两种情况讨论： （i）测试次找到所有次品，不同的测试情况种数为种； （ii）测试次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到正品， 则不同的测试情况种数为种. 综上所述，不同的测试情况种数为种． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第一册 第4章：计数原理 单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（    ） A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 2．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　） A．24 B．120 C．48 D．60 3．将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 4．某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．的展开式中的系数为（   ） A．180 B． C．960 D． 6．如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 7．五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 10．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 11．带有编号、、、、的五个球，则（    ） A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法 B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有 . 13．2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 ． 14．展开式的常数项为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 16．（15分）某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目. (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ 17．（15分）从等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答） (1)若必须在内，有多少种排法？ (2)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？ 18．（17分）若，. (1)求； (2)求的值； (3)求的值. 19．（17分）已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册 第4章：计数原理单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从 甲地到丙地不同的走法有() A.3种 B.4种 C.7种 D.12种 2.A,B,C,D,E五人站成一排，如果A,B必须相邻，那么排法种数为() A.24 B.120 C.48 D.60 3.将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球， 则不同的放法有() A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 4.某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相 关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时 要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有() A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 5.(K-召”的展开式中x°的系数为() 1 A.180 B.-180 C.960 D.-960 6.如图，给编号为1,2,3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜 色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同.若有5种不同颜色 的颜料可供选择，则不同的涂色方案有() A.60种 B.80种 C.100种 D.125种 7.五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴A,B,C,D,E中选出4辆分别开往紫蒙湖 、美林谷、黄岗梁乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每 辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中A,B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有() A.36 B.96 C.72 D.68 8.已知x0=4+a(2x-1)+a,(2x-1)+…+4。(2x-1)°，则a,=() B器 n 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是() A.任意站成一排，有120种排法 B.学生不相邻，有24种排法 C.教师相邻，有48种排法 D.教师不站在两边，有72种排法 10.己知x- 1） 的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则() 2x 1 A.n=6 B.各项系数之和为 64 C.第3项的二项式系数最大 D.常数项为 11.带有编号1、2、3、4、5的五个球，则() A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法 C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法 D.全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次， 特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法 有】 13.2023年杭州亚运会召开后，4位同学到A,B,C三个体育场馆做志愿者服务活动，每个 体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是一 4.+x)2x 展开式的常数项为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照. (1)甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 16.(15分)某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目. (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ 17.(15分)从A,B,C等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答） (1)若A必须在内，有多少种排法？ (2)若A,B,C都在内，且A,B必须相邻，C与A,B都不相邻，有多少种排法？ 18.(17分)若(2x-1)°=4，+4x+ax2+.…+4ox°，x∈R. (1)求4： (2)求a+a2++ao的值； (3)求|a+|a+|a2+…+|ao|的值. 19.（17分)已知6件不同的产品中有2件次品，现对这6件产品一一进行测试，直至找到 所有次品并立即停止测试 (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则共有多少种 不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？湘教版高中数学选择性必修第一册 第4章：计数原理单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从 甲地到丙地不同的走法有() A.3种 B.4种 C.7种 D.12种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理，可直接得出结果 【详解】由分步乘法计数原理，可知从甲地到丙地不同的走法有4×3=12种. 故选：D 2.A,B,C,D,E五人站成一排，如果A,B必须相邻，那么排法种数为( A.24 B.120 C.48 D.60 【答案】C 【分析】将AB捆绑在一起，计算得到答案 【详解】将AB捆绑在一起，共有A4×A2=48种排法」 故选：C 3.将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球， 则不同的放法有() A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 【答案】C 【分析】先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案 【详解】若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法： 若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法. 故不同的放法有7种.故选：C 4.某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相 关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时 要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有() A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 【答案】C 【分析】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后 将所分的三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理可求得结果 【详解】先将五个人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1， 若三组的人数分别为3、1、1，则教师夫妇必在三人的一组， 则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽1人，此时，不同的分组方法数为C,=3种： 若三组人数分别为2、2、1，则两人一组的有一组是教师夫妇， 只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为2、1，此时，不同的分组方法种数为C=3 种 接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校， 因此，不同的安排方案种数为(3+3)A=6×6=36种 故选：C 5.x-3”的展开式中x的系数为（） A.180 B.-180 C.960 D.-960 【答案】A 【分析】写出通项公式，令10-2r=6,得r=2,求出x6的系数 【详解】x-3°的展开式的通项工，=Cox0(←-2xy=Co(2)x-, 令10-2r=6,得r=2,所以x6的系数为C(-2)2=180 故选：A 6.如图，给编号为1,2,3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜 色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同.若有5种不同颜色 的颜料可供选择，则不同的涂色方案有() A.60种 B.80种 C.100种 D.125种 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理依次涂色即可 【详解】由题意可得，只需确定区域1,2,3的颜色，即可确定所有区域的涂色. 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择 故不同的涂色方案有5×4×3=60种. 故选：A 7.五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴A,B,C,D,E中选出4辆分别开往紫蒙湖 、美林谷、黄岗梁、乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每 辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中A,B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有() A.36 B.96 C.72 D.68 【答案】C 【分析】分两类为A,B都被选出、A,B被选出一辆，再应用分步计数及排列组合数求两类对 应方案数，即可得答案 【详解】若A,B都被选出，把A,B安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的2个有A种， 从C,D,E中选出2辆有C?种，安排到剩下的2个景区有A种， 所以共有ACA:=36种： 若A,B被选出一辆有C种，安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的1个有C;种， 再把C,D,E安排到剩下的3个景区有A种，所以共有C2C,A;=36种： 综上，共有72种故选：C 8.己知x°=4+a(2x-1)+a,(2x-1)+…+4(2x-1)°，则a,=() 1 105 1 105 A.512 B. 512 C. D 1024 1024 【答案】B 【分析】根据二项式定理，可得答案 【详解】设xo 由二项式定理可得a=c 105 512 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分」 9.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是() A.任意站成一排，有120种排法 B.学生不相邻，有24种排法 C.教师相邻，有48种排法 D.教师不站在两边，有72种排法 【答案】AC 【分析】根据全排列可求得A,根据不相邻问题用插空法可求得B,根据相邻问题用捆绑法 可求得C,根据特殊位置优先排可求得D 【详解】对于A,任意站成一排，是全排列，所以有A=120种排法，故A正确： 对于B,学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即AA=12种排法，故B错误： 对于C,教师相邻用捆绑，即AA=48种排法，故C正确： 对于D,教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即AA=36种排法，故D 错误： 故选：AC 10.已知-2x 1 的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则() A.n=6 B.各项系数之和为 1 64 C.第3项的二项式系数最大 D.常数项为-3 【答案】ABD 【分析】根据二项式系数和的性质列式求得n=6,判断A,令x=1得各项系数之和判断B, 根据二项式系数的性质判断C,求出 展开式的通项，令6-2r=0得r=3,代入即 2x 可求常数项判断D 【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得2=64，解得n=6,A正确. 令=1，则各项系数之和为1-分B正 因为=6，所以第4项的二项式系数最大，C错误. 的展开式的通武为T(-c(06N) 1 令6-2r=0得r=3,故所求的常数项为 -2 c- D正确.故选：ABD 11.带有编号1、2、3、4、5的五个球，则() A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法 C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法 D.全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法 【答案】AC 【分析】利用分步计数原理判断A,先分组，再分配，即可判断B,先选出4个球，再选出 1个盒子，即可判断C,分(1,1,3)和(1,2,2)两种情况讨论，利用分组分配法判断D. 【详解】对于A:由分步计数原理， 五个球全部投入4个不同的盒子里共有4种放法，故A正确： 对于B:由排列数公式， 五个不同的球放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有CA4=240种放法，故B错误： 对于C:将其中的4个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有CC:=20种放法，故C 正确： 对于D:全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有CA+CSA-150种不同的放法， A 故D错误，故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次， 特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法 有 【答案】90种 【分析】根据分类加法计数原理即可求解。 【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为30+20+40=90（种）. 故答案为：90种 13.2023年杭州亚运会召开后，4位同学到A,B,C三个体育场馆做志愿者服务活动，每个 体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 【答案】36 【分析】先分组再排列计算即可， 【详解】由题意可知必有一个场馆是两名志愿者，先将四名同学分成三组，即每组各有2,1,1 人，再进行排列，则有CA=36种方法故答案为：36 14.1+x2) 2x- 展开式的常数项为 【答案】 -100 【分析】先利用二项式定理求得 19 2x- 展开式的通项公式，再分别求 中常数项 与含x2项的系数，从而得解 【详解】因为(2x 展开式的通项公式为T1=C:(2x) =(-1)26-rCx6-2, 当1乘以 /2x-1时，令6-2r=0,解得r=3,常数项为(12C=-160: 当x2乘以 2-时，令62，解得7=4，常数项为-2℃=60 所+(2x》 的展开式中的常数项为-160+60=-100.故答案为：-100 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照. (1)甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】(1)72 (2)36 【分析】(1)先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，结合排列数运算求解： (2)分乙站在排头或排尾和甲、乙都不站排头或排尾两种情况，结合排列数运算求解 【详解】(1)先排丙、丁、戊，有A=6种站法，再插空排甲、乙，有A?=12种站法， 故甲、乙两人不相邻的站法共有6×12=72种. (2)若乙站在排头或排尾，则有2×A=12种站法： 若甲、乙都不站排头或排尾，则有2×AA=24种站法； 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有12+24=36种 16.(15分)某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目， (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ 【答案】(1)360 (2)144 【分析】(1)运用分步乘法计数原理，先排第一个节目，然后全排即得： (2)运用相邻问题“捆绑法”，将需要在一起的节日看成一个元素，与其他元素全排，再解 绑，考虑内部元素的全排即得」 【详解】(1)依题意，分两步完成，①在3个小品节目中任选一个，有A,种方法： ②将剩下的5个节目在第一个节目之后的五个位置上全排，有A种方法， 由分步乘法计数原理可得，第一个节目是小品节目的排法共有A;A;=360(种)： (2)先将将3个唱歌节目进行“捆绑”看成一个元素，与其他3个节日形成4个元素进行全 排有A4种方法， 再考虑对3个唱歌节目“松绑”，有A种方法， 由分步乘法计数原理可得，排法共有AA=144(种). 17.(15分)从A,B,C等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答） (1)若A必须在内，有多少种排法？ (2)若A,B,C都在内，且A,B必须相邻，C与A,B都不相邻，有多少种排法？ 【答案】(1)1800 (2)144 【分析】(1)根据题意，在其余6人中选出4人，再与A全排列，即可求解： (2)根据题意，先在其他4人中选出2人，将A,B看成一个整体，再在2个空位中选出1 个安排C，,结合分步计数原理，即可求解 【详解】(1)解：根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列， 共有C6A=1800种排法。 (2)解：根据题意，先在其他4人中选出2人，有C:=6种选法， 将A,B看成一个整体，与选出2人全排列，有AA?=12种选法， 排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C,有2种情况， 所以，共有6×12×2=144种不同的排法 18.(17分)若(2x-1)°=a4。+4x+4,x2++aox0,x∈R. (1)求4： (2)求4+a2++4o的值； (3)求ao+|a+a2|+…+ao的值. 【答案】(1)1 (2)0 (3)30 【分析】1)令x=0可计算出4，的值； (2)冷x=1结合x=0的结果可计算出4+42+..+4。的值； (3)分别令x=1,x=-1,然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出 a,+a+a2++ao的值； 【详解】(1)令x=0,所以4=(-1)°=1； (2)令x=1,所以a。+a1+a2+..+4。=1,,因为a。=1,所以4+a2+.+a。=0, (3)令x=-1,所以4-4+a2-.+4。=(-3)°=30，又4+4+42+.+40=1， 所以2(a,+a,+a,+..+ao)=310+1,2(a+a,+a+.+a)=1-30 又因为(2x-1)°的展开式通项为C0(2x)(~1),所以当r为奇数时，项的系数为负 数所以a =30 19.(17分)己知6件不同的产品中有2件次品，现对这6件产品一一进行测试，直至找到 所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则共有多少种 不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】(1)48 (2)18 【分析】(1)根据分步乘法计数原理可求得结果： (2)分两种情况讨论：()测试2次找到所有次品；（ⅱ）测试3次找到所有的次品.求出两 种情况下不同的测试情况种数，相加即可」 【详解】(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品， 则第一、三、四次抽到的都是正品， 由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为4×2×3×2×1=48种， (2)分以下两种情况讨论： ()测试2次找到所有次品，不同的测试情况种数为2×1=2种： ()测试3次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到正品， 则不同的测试情况种数为2×2×4=16种 综上所述，不同的测试情况种数为2+16=18种.