第四章 计数原理（单元分层自测·基础通关卷）高二数学湘教版选择性必修第一册

2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第四章 计数原理·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B D B A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD ABD CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14．18 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1)1，64；(2)60，64． 【详解】（1）令，得，所以二项展开式中各项系数之和为1，.................3分 二项展开式中各二项式系数之和为．.................6分 （2）通项公式，.................8分 令得，故的系数为，.................10分 令得，故常数项为．.................13分 16．（15分） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）令 ，得 .................5分 （2）令 ，得 . .................7分 两式相加得 ，.................9分 即 . .................11分 令 得.................13分 所以 。.................15分 17．（15分） 【答案】(1)80(2) 【详解】（1）设的展开式通项为，那么.................1分 ,.................4分 令，得 ，，.................6分 所以，的展开式中的系数为..................7分 （2）由题意可知，,.................9分 所以，,.................10分 在中，令，得，，.................14分 所以，或..................15分 18．（17分） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意得，解得，所以，.................2分 则，展开的通项为，.................4分 令，即的系数..................6分 （2）令，即，则有，.................7分 即，.................8分 令，即，则有，即，.................10分 所以..................11分 （3）.................12分 ，.................14分 因为能被7整除，.................15分 被7除的余数为，.................16分 所以被7除的余数..................17分 19．（17分） 【答案】(1)72(2)1560(3)21 【详解】（1）利用捆绑法求解：第一步，将同一奖项的学生分别捆绑为1个整体，共得到3个整体，对3个整体全排列，排列数为；.................1分 第二步，计算各整体内部的排列数：一等奖共1人，内部排列数为；.................2分 二等奖共2人，内部排列数为；.................3分 三等奖共3人，内部排列数为；.................4分 根据分步乘法计数原理，总站法数为..................5分 （2）6人分配到4个不同活动，每个活动至少1人，人数分堆分为两类： 第一类：分堆为3,1,1,1：从6人中选3人作为1组，剩余3人各为1组，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为；.................8分 第二类：分堆为2,2,1,1： 从6人中选2人、再从剩余4人中选2人，剩余2人各为1组， 由于两个2人组、两个1人组为平均分组，需除以重复的排列数去重，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为；.................10分 根据分类加法计数原理，总分配方法数为..................11分 （3）粽子完全相同，采用隔板法求解：6名同学中，1名一等奖同学至少分3个，2名二等奖同学每人至少分2个，3名三等奖同学每人至少分1个..................13分 先给每人分配最低要求减1的粽子：一等奖先分2个，每名二等奖先分1个，每名三等奖先分0个，共分配个，剩余粽子数为个；.................15分 问题转化为将8个相同粽子分给6名同学，每人至少1个，根据隔板法公式，方法数为..................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第四章 计数原理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某校开设类选修课3门，类选修课2门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（    ） A．3种 B．2种 C．6种 D．5种 2．（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁四个人排成一排，其中甲乙不相邻，则所有的排队方法数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 4．二项式的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（    ）． A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知四棱锥.用红、黄、蓝、绿四种颜色（四种颜色全部使用），涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 8．与是的子集，若，则称为一个理想配集，若将与看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数是（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式中共有9项 B．第3项为 C．各项系数的和为256 D．二项式系数的最大值为70 11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，从甲地到乙地有3条公路，从乙地到丙地有2条公路，从甲地不经过乙地到丙地有3条水路，则从甲地到丙地共有______种不同的走法． 13．若的展开式中各项系数之和为，则第4项与第5项的系数之比为________． 14．先从A点走到点，再从点走到点，则可供选择的最短路线有___________条．（走格点） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知二项式，求： (1)展开式中各项系数之和及各二项式系数之和； (2)展开式中含项的系数及常数项． 16．（15分）已知． (1)求的值； (2)求的值； 17.（15分）已知． (1)求的展开式中的系数； (2)设的展开式中前三项的二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，若，求实数的值． 18．（17分）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； 19.（17分）为了喜迎端午佳节，高坪中学某班举行了一场文化知识竞答比赛．经过比拼，最终评出获奖学生共6人：一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名． (1)6人排成一排上台领奖，同一奖项的获奖同学必须站在一起，求不同的站法数； (2)将这6名获奖者分配到包粽子、挂艾草等4个手工活动中，每个手工活动至少去1人，求不同的分配方法数； (3)班主任为获奖的6名同学准备了12个完全一样的粽子，若一等奖至少分得3个粽子，二等奖至少分得2个粽子，三等奖至少分得1个粽子，求不同分发方法数． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第四章 计数原理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某校开设类选修课3门，类选修课2门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（    ） A．3种 B．2种 C．6种 D．5种 【答案】D 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据组合数性质计算求解. 【详解】根据组合数性质，可直接得出，故C选项正确 3．甲、乙、丙、丁四个人排成一排，其中甲乙不相邻，则所有的排队方法数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】先排丙、丁两人，再将甲、乙插入空隙，则共有种排队方法 4．二项式的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因二项式的展开式的通项为， 取，得，故常数项为. 5．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，所以, 在中，令得， 即展开式的各项系数之和为1. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，取，得， 取，得， 所以. 7．如图，已知四棱锥.用红、黄、蓝、绿四种颜色（四种颜色全部使用），涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数（    ）    A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】由于 5 个顶点涂 4 种颜色且棱两端异色、4 色全部使用，故只能是同色或同色两类，两类计数方式同理，相加可得总涂色方法数. 【详解】因为同一条棱的2个顶点异色，所以恰好有一对不相邻顶点颜色相同，其余顶点颜色互不相同， 故分两类：一类是同色；另一类是同色. 若同色，可分4步完成涂色： 第一步，涂顶点，有4种颜色可选； 第二步，涂，不能和同色，有3种颜色可选； 第三步，涂，与都异色，有2种颜色可选； 第四步，涂，与异色，且四种颜色必须全部用完， 已经用了三种颜色，只有1种颜色可选； 故不同的涂色方法有种， 同理可得同色时，也有不同的涂色方法种， 所以共有不同的涂色方法种. 8．与是的子集，若，则称为一个理想配集，若将与看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数是（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】对子集分，，，四种情况讨论，列出所有符合题意的集合即可求解. 【详解】因为，与是的子集，， 对子集分情况讨论： 当时，，，，，有种情况； 当时，，，有种情况； 当时，，，有种情况； 当 时，，有种情况； 所以共有种. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，，，或者直接计算，左边，右边，故C正确； 对于D，，故D正确． 10．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式中共有9项 B．第3项为 C．各项系数的和为256 D．二项式系数的最大值为70 【答案】ABD 【详解】对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确； 对于B，第3项为，故B正确； 对于C，令，得各项系数的和为，故C错误； 对于D，二项式系数的最大值为，故D正确. 11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 【答案】CD 【分析】A：利用组合数的性质求解判断；B：由第行中的数为的展开式的二项式系数判断；C：由第n行的第i个数为代入求解判断；D：根据第20行中的数为的展开式的二项式系数求解判断. 【详解】对于A：， ，A错误； 对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误； 对于C：第n行的第i个数为， 则，C正确； 对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第12个数为，第13个数为， 则，D正确． 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，从甲地到乙地有3条公路，从乙地到丙地有2条公路，从甲地不经过乙地到丙地有3条水路，则从甲地到丙地共有______种不同的走法． 【答案】 【详解】根据分步和分类计数原理可知，甲地到丙地共有条不同的走法. 13．若的展开式中各项系数之和为，则第4项与第5项的系数之比为________． 【答案】 【分析】利用二项展开式的各项系数之和的公式以及二项展开式第项系数公式分析求解即可. 【详解】令，得各项系数之和为，解得：， 所以第4项系数为，第5项系数为， 所以第4项与第5项的系数之比为：． 14．先从A点走到点，再从点走到点，则可供选择的最短路线有___________条．（走格点） 【答案】18 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 从到的最短路径，总要向右走2个单位，向上走2个单位，共走4个单位长度，有种走法， ①先从向上走2个单位，再向右走2个单位， ②先从向上走1个单位，再向右走2个单位，再向上走1个单位， ③先从向上走1个单位，再向右走1个单位，再向上走1个单位，再向右走1个单位， ④先从向右走2个单位，再向上走2个单位， ⑤先从向右走1个单位，再向上走2个单位，再向右走1个单位， ⑥先从向右走1个单位，再向上走1个单位，再向右走1个单位，再向上走1个单位. 从点走到点最短路线，总要向右走2个单位，向上走1个单位，共走3个单位长度，有种走法． ①先从向上走1个单位，再向右走2个单位， ②先从向右走1个单位，再向上走1个单位，再向右走1个单位， ③先从向右走2个单位，再向上走1个单位. 所以先从点走到点，再从点走到点，根据乘法原理，可供选择的最短路线共有种走法. 【点睛】先看从点走到点可走的最短路线，再看从点走到点可以走的最短路线. 本题考查了分步乘法计数原理，观察图形中最短路线分别列举是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知二项式，求： (1)展开式中各项系数之和及各二项式系数之和； (2)展开式中含项的系数及常数项． 【答案】(1)1，64；(2)60，64． 【详解】（1）令，得，所以二项展开式中各项系数之和为1， 二项展开式中各二项式系数之和为． （2）通项公式， 令得，故的系数为， 令得，故常数项为． 16.（15分）已知． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）令 ，得 （2）令 ，得 . 两式相加得 ， 即 . 令 得 所以 。 17．（15分）已知． (1)求的展开式中的系数； (2)设的展开式中前三项的二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，若，求实数的值． 【答案】(1)80(2) 【详解】（1）设的展开式通项为，那么 , 令，得 ，， 所以，的展开式中的系数为. （2）由题意可知，, 所以，, 在中，令，得，， 所以，或. 18．（17分）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求被7除的余数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意得，解得，所以， 则，展开的通项为， 令，即的系数. （2）令，即，则有， 即， 令，即，则有，即， 所以. （3） ， 因为能被7整除， 被7除的余数为， 所以被7除的余数. 19．（17分）为了喜迎端午佳节，高坪中学某班举行了一场文化知识竞答比赛．经过比拼，最终评出获奖学生共6人：一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名． (1)6人排成一排上台领奖，同一奖项的获奖同学必须站在一起，求不同的站法数； (2)将这6名获奖者分配到包粽子、挂艾草等4个手工活动中，每个手工活动至少去1人，求不同的分配方法数； (3)班主任为获奖的6名同学准备了12个完全一样的粽子，若一等奖至少分得3个粽子，二等奖至少分得2个粽子，三等奖至少分得1个粽子，求不同分发方法数． 【答案】(1)72(2)1560(3)21 【详解】（1）利用捆绑法求解：第一步，将同一奖项的学生分别捆绑为1个整体，共得到3个整体，对3个整体全排列，排列数为； 第二步，计算各整体内部的排列数：一等奖共1人，内部排列数为； 二等奖共2人，内部排列数为； 三等奖共3人，内部排列数为； 根据分步乘法计数原理，总站法数为. （2）6人分配到4个不同活动，每个活动至少1人，人数分堆分为两类： 第一类：分堆为3,1,1,1：从6人中选3人作为1组，剩余3人各为1组，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为； 第二类：分堆为2,2,1,1： 从6人中选2人、再从剩余4人中选2人，剩余2人各为1组， 由于两个2人组、两个1人组为平均分组，需除以重复的排列数去重，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为； 根据分类加法计数原理，总分配方法数为. （3）粽子完全相同，采用隔板法求解：6名同学中，1名一等奖同学至少分3个，2名二等奖同学每人至少分2个，3名三等奖同学每人至少分1个. 先给每人分配最低要求减1的粽子：一等奖先分2个，每名二等奖先分1个，每名三等奖先分0个，共分配个，剩余粽子数为个； 问题转化为将8个相同粽子分给6名同学，每人至少1个，根据隔板法公式，方法数为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第四章 计数原理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某校开设类选修课3门，类选修课2门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（    ） A．3种 B．2种 C．6种 D．5种 2．（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁四个人排成一排，其中甲乙不相邻，则所有的排队方法数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 4．二项式的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（    ）． A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知四棱锥.用红、黄、蓝、绿四种颜色（四种颜色全部使用），涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数（    ）    A．24 B．48 C．72 D．96 8．与是的子集，若，则称为一个理想配集，若将与看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数是（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式中共有9项 B．第3项为 C．各项系数的和为256 D．二项式系数的最大值为70 11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，从甲地到乙地有3条公路，从乙地到丙地有2条公路，从甲地不经过乙地到丙地有3条水路，则从甲地到丙地共有______种不同的走法． 13．若的展开式中各项系数之和为，则第4项与第5项的系数之比为________． 14．先从A点走到点，再从点走到点，则可供选择的最短路线有___________条．（走格点） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知二项式，求： (1)展开式中各项系数之和及各二项式系数之和； (2)展开式中含项的系数及常数项． 16．（15分）已知． (1)求的值； (2)求的值； 17.（15分）已知． (1)求的展开式中的系数； (2)设的展开式中前三项的二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，若，求实数的值． 18．（17分）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； 19.（17分）为了喜迎端午佳节，高坪中学某班举行了一场文化知识竞答比赛．经过比拼，最终评出获奖学生共6人：一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名． (1)6人排成一排上台领奖，同一奖项的获奖同学必须站在一起，求不同的站法数； (2)将这6名获奖者分配到包粽子、挂艾草等4个手工活动中，每个手工活动至少去1人，求不同的分配方法数； (3)班主任为获奖的6名同学准备了12个完全一样的粽子，若一等奖至少分得3个粽子，二等奖至少分得2个粽子，三等奖至少分得1个粽子，求不同分发方法数． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $