精品解析：北京市第一六六中学2025-2026学年高三上学期阶段性测试数学试题

北京市第一六六中学2025-2026学年第一学期阶段性测试试题 高三年级数学学科 （时长：120分钟） 考查目标 知识：集合，函数，三角函数与解三角形，导数及其应用，数列，平面向量与复数，平面解析几何，立体几何，排列组合与二项式定理，概率统计 能力：数学抽象；逻辑推理；数学建模；直观想象；数学运算；数据分析. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数记为，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在实数集上的偶函数，在上单调递增，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8. 若实数满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的各项均为非零的整数，其前n项和为．若为正偶数，均有，且，则的最小值为（ ） A. 32 B. 26 C. 24 D. 22 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中的常数项是____． 12. 在等比数列中，，则______，前7项的乘积等于______． 13. 对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为; ②一条渐近线的倾斜角为; ③ 实轴长为,且焦点在轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________． 14. 在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________． 15. 设函数，关于有下列四个结论： ①的导函数为周期函数，且最小正周期为； ②在上单调递增； ③的图象关于对称； ④方程在上有唯一解，则实数a的值为． 其中正确结论的序号为______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，. （1）求角的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，N为棱BC的中点． （1）求证：； （2）在棱AM上是否存在一点E，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （1）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列； （2）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率； （3）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象． 19. 已知椭圆的右顶点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和的最小值. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知和在上均单调递增，求实数m的最小值； （3）已知方程与的解集的并集为，且，求证：． 21. 给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值. （1）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值； （2）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）已知数列的特征值为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六六中学2025-2026学年第一学期阶段性测试试题 高三年级数学学科 （时长：120分钟） 考查目标 知识：集合，函数，三角函数与解三角形，导数及其应用，数列，平面向量与复数，平面解析几何，立体几何，排列组合与二项式定理，概率统计 能力：数学抽象；逻辑推理；数学建模；直观想象；数学运算；数据分析. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形可得阴影部分表示的集合，然后结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得，所以， 阴影部分表示的集合为， 且或，， 则. 故选：C 2. 复数的共轭复数记为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，即可得和. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 3. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正余弦函数的周期性及奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，函数最小正周期为且是奇函数，C是； 对于D，是偶函数，D不是. 故选：C 4. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数及对数函数的单调性一一判断即可. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为在定义域上单调递减，所以， 所以， 又，， 所以，故D正确. 故选：D 5. 已知定义在实数集上的偶函数，在上单调递增，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数性质得，所求不等式即为，利用函数性质在上单调递增，进而由化为，利用单调性得，求解即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以，不等式等价于， ，构造函数， 因为函数和在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以，则化为，所以，所以或， 故不等式的解集为. 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称得，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】由题意，即， 由于，故. 故选：A 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】据题意，，，，根据向量的数量积运算即可求. 【详解】 因为为边上的中线，所以，又BE为边AC上的高， 所以，且在中，， 所以 . 故选：D. 8. 若实数满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过构造函数，利用函数的单调性分别判断充分性和必要性. 【详解】由题意设，对其求导得， 则当时，，即在上单调递增. 充分性判断：因为，所以 ，即，移项得， 所以“”可推出“”，充分性成立. 必要性判断：因为且，得，即， 根据在上单调递增，可得， 所以“”可推出“”，必要性成立. 因此，“”是“” 的充分必要条件. 故选：C. 9. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正方体的体积减去八分之一球体的体积，从而确定正确答案. 【详解】由图可知，几何体是由正方体截去八分之一球体所得， 所以体积为. 故选：B 10. 设数列的各项均为非零的整数，其前n项和为．若为正偶数，均有，且，则的最小值为（ ） A. 32 B. 26 C. 24 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】因为，分类讨论的符号，由题意求出的最小值，的最小值，进而求有最小值. 【详解】因为，所以互为相反数， 若，为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知：满足，取的最小值； 满足，因为，故取的最小值； 满足，因为，取的最小值； 同理，取的最小值； 所以， 满足，取的最小值； 满足，因为，所以，取的最小值； 满足，因为，所以，取的最小值； 同理，取的最小值； 所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值22； 若，为了取最小值，取奇数项为负值，取偶数项为正值，且各项尽可能小， 由题意知：满足，取的最小值； 满足，因为，故取的最小值； 满足，因为，取的最小值； 同理，取的最小值； 所以， 满足，取的最小值； 满足，因为，所以，取的最小值； 满足，因为，所以，取的最小值； 同理，取的最小值； 所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值22； 综上所述：的最小值为22. 故选：D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中的常数项是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得展开式的通项，令，求得，代入计算，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式中常数项为. 故答案为：. 12. 在等比数列中，，则______，前7项的乘积等于______． 【答案】 ①. ##0.125 ②. 【解析】 【分析】先利用等比中项的性质结合已知条件求出，再根据等比中项的性质求出及前7项的乘积． 【详解】因为是等比数列，所以，又，所以，解得或（舍去）， 因为，，所以，解得． 所以前7项的乘积. 故答案为：；1 13. 对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为; ②一条渐近线的倾斜角为; ③ 实轴长为,且焦点在轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________． 【答案】,答案不唯一 【解析】 【分析】 根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程． 【详解】若选择①③，所以，解得，所以， 因为焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为． 若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程． 故答案为：，答案不唯一． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 14. 在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，指对互化得，再结合条件得，，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 又若对应的声强为，对应的声强为， 所以，，则， 故答案为：. 15. 设函数，关于有下列四个结论： ①的导函数为周期函数，且最小正周期为； ②在上单调递增； ③的图象关于对称； ④方程在上有唯一解，则实数a的值为． 其中正确结论的序号为______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】求得，得到的最小正周期为，可判定①不正确；化简得到，可判定②正确；由，可判定③正确；化简函数，令，得到，结合二次函数和余弦函数的性质，可得判定④正确. 【详解】对于①，由， 可得， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数是周期函数，且最小正周期为，所以①不正确； 对于②，由， 当，可得，则， 所以，所以函数在上单调递增，所以②正确； 对于③，由， 即，所以函数关于对称，所以③正确； 对于④，由， 令，因为时，可得，所以 则，其图象开口向下，对称为， 所以，，且， 如图所示，当时，方程无解， 当时，只有一个解，此时有两个解； 当时，方程有两个解，设两解为，则， 此时有四个解； 当时，方程有一个解，且，此时有两个解； 当时，方程有一个解为，此时只有一个解； 当时，方程无解， 综上可得，方程在上有唯一解，则实数a的值为．所以④正确； 故答案为：②③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，. （1）求角的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）①②不符合题意③ 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）选条件①由余弦定理可得；选条件②，验证不符合题意；选条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得. 【小问1详解】 在中，因为，又，所以． 因为，所以．因为，所以． 【小问2详解】 选条件①：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．因为， 所以．所以． 设点为线段的中点，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 选择条件②：由（1）知，所以，可知， 不唯一，故②不符合题意，不可选择条件②. 选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．设边上的高线长为， 则面积，即，解得，因此， 设点为线段的中点，则，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，N为棱BC的中点． （1）求证：； （2）在棱AM上是否存在一点E，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，N为棱BC的中点，， 又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD平面， 所以平面ABCD， 平面，. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直判定定理推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角梯形中，取的中点为， 易知，，， 则四边形是正方形，故. 在中，. 在中，，，. 又因为平面平面，且平面平面， 平面，故平面， 连接，， 则，故平面， 故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因，则，，，， 于是， 易知平面的一个法向量为. 假设在棱上存在一点E，使得二面角的大小为. 不妨设（），则， 设为平面的一个法向量， 则 ，. 从而， 解得或（舍去） 由题知二面角为锐二面角. 所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为， 此时. 18. 一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （1）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列； （2）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率； （3）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象． 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） （3）多次游戏之后分数减少的可能性更大． 【解析】 【分析】(1)先得到可能的取值为，，，，根据每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为，得到每种取值的概率，得到分布列； (2)计算出每盘游戏没有获得15分的概率，从而得到两盘中至少有一盘获得15分的概率 (3)设每盘游戏得分为，得到的分布列和数学期望，从而得到结论. 【小问1详解】 可能的取值为，，，. 每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为. ， ， ，， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】设每盘游戏没有得到15分为事件， 则. 设“两盘游戏中至少有一次获得15分”为事件， 则 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为. 【小问3详解】 设每盘游戏得分为. 由（Ⅰ）知，的分布列为： Y -12 15 120 P 的数学期望为. 这表明，获得分数的期望为负． 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题. 19. 已知椭圆的右顶点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和的最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设椭圆的焦距为，根据题意列出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）设点，可得出点坐标为，求出点、的坐标，求出与面积之和的表达式，结合等式，利用基本不等式可求出与面积之和的最小值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，依题意，得，解得. 所以椭圆的方程为； （Ⅱ）设点，依题意，点坐标为， 满足（且）， 直线的方程为，令，得，即. 直线的方程为，同理可得. 设为与轴的交点. . 又因为，，所以. 当且仅当取等号，所以的最小值为. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考查计算能力，属于中等题. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知和在上均单调递增，求实数m的最小值； （3）已知方程与的解集的并集为，且，求证：． 【答案】（1）【小问1】 （2） （3）因为的定义域为，的定义域为， 画出两函数图象如下图所示： 由图象可知需满足方程与的解集的并集才有三个元素； 因此两个函数的两个解中有一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。 因为， 所以，所以，所以或， 同理或， 因为，所以， 所以 所以，即， 可得， 因为，所以，所以， 因为是方程的正根， 令，所以当，所以， 当，因为，所以， 由连续性和单调性以及零点存在定理可得的唯一解， 所以，即，证毕. 【解析】 【分析】(1)根据导数的意义即可求出切线斜率，代入切点及斜率，点斜式可写出切线方程； (2)分别分析的单调性，求出两个函数单调递增区间的交集即可； (3)两个函数都有两个解，但其中一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。，利用公共解条件得到，可将问题转化为证明，确定公共解的范围，即可完成证明。 【小问1详解】 易知，所以切点为， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为. 【小问2详解】 , 由于, 所以时，单调递增， 所以在上单调递增。 ，令，解得， 所以时，，所以单调递增，即在上单调递增。 又所以， 即的最小值为. 【小问3详解】 略 21. 给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值. （1）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值； （2）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）已知数列的特征值为，求的最小值. 【答案】（1）；；.的特征值为； （2）. 理由如下：由于，可分下列两种情况讨论： 当、时， 根据定义可知：， 同理可得：. 所以，所以. 当、时，同理可得： ， 所以，所以. 综上有：； （3） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题中的定义可求出、、的值及的特征值； （Ⅱ）分、和、两种情况讨论，结合题中定义可证明出； （Ⅲ）设，利用（Ⅱ）中的结论，结合数列的特征值为，可得出，并证明出，即可求出的最小值. 【小问1详解】 由题知：，，， 的特征值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设， ， 显然，， . 当且仅当时取等号；. 当且仅当时取等号； 由（Ⅱ）可知、的较小值为， 所以. 当且仅当时取等号， 此时数列为常数列，其特征值为，不符合题意，则必有 . 下证：若，，总有. 证明： . 所以. 因此 . 当时，可取到最小值，符合题意. 所以的最小值为. 【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $