江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二上学期12月阶段测试数学试卷

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学12月测试卷 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的准线方程为 （ D ） A． B． C． D． 2．若双曲线的离心率为，则 （ D ） A． B． C． D． 3．在数列中，，则等于 （ B ） A． B． C． D． 4．设抛物线上的一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和8，则该抛物线的方程为 （ D ） A． B． C． D． 5．直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为 （ A ） A． B． C． D． 6．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示，聚光版由抛物线（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果（容器灶圈在抛物线面对应轴截面的抛物线的焦点处），容器灶圈应距离聚光版顶点 （ B ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为 （ C ） A. B. C. D. 【详解】如图．设，则，，，在中，由勾股定理：，即，在中，由勾股定理：，即，即，解得，∴，则，所以渐近线方程：.故选：C. 8．已知直线与椭圆交于两点，直线经过右焦点与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率是 （ A ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是 （ ACD ） A．的通经长为 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线的准线交于点，则 10．已知椭圆，分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有 （ ABC ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 11．已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线于点，则下列结论正确的有 （ ACD） A．四边形周长的最小值为 B．若的面积为 C．的最小值为 D．若的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知抛物线的焦点，抛物线上一点，则抛物线的方程为 . 13．双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与在第一象限相交于点，若直线的斜率为的面积为，则双曲线的方程为 . 14. 已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_____##0.9____. 【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴， 当时，,解得符合，∴，，当时，符合，∴，， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点， （1）若点到直线的距离为，点，求的最小值. （2）若，求的最小值. 15．解：（1）依题意，抛物线焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义知，， 于是问题转化为求的最小值， 如图，连接，交抛物线于点，则最小值为； （2）把点的横坐标代入中，得， 因为，所以点在抛物线内部， 过点垂直准线于点，交抛物线于点如图， 由抛物线的定义知，， 则, 即的最小值为4. 16．已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点. （1）求抛物线方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 16．解：（1）由双曲线的右顶点为， 由抛物线可得抛物线 的焦点， 所以，，所以抛物线方程为：. （2）由题意可得：直线的方程：， 将直线与抛物线联立，整理可得， 设，，所以，， 所以， 原点到直线的距离， 所以. 17. 如图，平面直角坐标系中，和为两等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．设和的外接圆圆心分别为,．（1）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程； （2）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；（3）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由． ( )17．解：（1）为等腰直角三角形，点坐标为， ， 的方程为， 又为等腰直角三角形，点的坐标为， 直线的方程为， 与直线相切， 圆心到直线的距离， 直线的方程为； （2）由已知得，直线的方程为，圆心的坐标为， 圆心到直线的距离为， 直线截所得的弦长为4， ， 的方程为； （3）存在，由（2）知，到直线的距离恒为， 且始终成立， 当且仅当半径时，上有且只有三点到直线的距离为， 此时的标准方程为 18．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列.①求数列的前项和；②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 18．解：（1）等差数列的前项和为，公差， 且成等比数列， 可得， 且， 解得， 则； （2）①由是首项为1，公比为3的等比数列， 可得，即有， 两式相减，得 ； ②不等式，即， 对一切恒成立。 设， 当， 当， 可得数列的最小值为， 则，可得实数的最大值为 19．如图，己知椭圆C：过点（1，），离心率为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线线l与椭圆相交于M，N两点． （1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的而积分别为S1，S2，若，求k的值；（3）己知直线AM、BN的斜率分k1，k2，求的值． 19．解：（1）设椭圆的焦距为．离心率为 ， 解得． 则椭圆的方程为； 1. 设点，整理可得 即，代入坐标，可得即， 又点在椭圆C上 ，解得 直线的斜率； 1. 直线的方程为由消去得 又 . 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学12月测试卷 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的准线方程为 （ ） A． B． C． D． 2．若双曲线的离心率为，则 （ ） A． B． C． D． 3．在数列中，，则等于 （ ） A． B． C． D． 4．设抛物线上的一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和8，则该抛物线的方程为 （ ） A． B． C． D． 5．直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为 （ ） A． B． C． D． 6．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示，聚光版由抛物线（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果（容器灶圈在抛物线面对应轴截面的抛物线的焦点处），容器灶圈应距离聚光版顶点 （ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为 （ ） A. B. C. D. 8．已知直线与椭圆交于两点，直线经过右焦点与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率是 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是 （ ） A．的通经长为 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线的准线交于点，则 10．已知椭圆，分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有 （ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 11．已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线于点，则下列结论正确的有 （ ） A．四边形周长的最小值为 B．若的面积为 C．的最小值为 D．若的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知抛物线的焦点，抛物线上一点，则抛物线的方程为 . 13．双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与在第一象限相交于点，若直线的斜率为的面积为，则双曲线的方程为 . 14. 已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点， （1）若点到直线的距离为，点，求的最小值. （2）若，求的最小值. 16．已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点. （1）求抛物线方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 17. 如图，平面直角坐标系中，和为两等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．设和的外接圆圆心分别为,．（1）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程； （2）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；（3）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由． ( ) 18．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列.①求数列的前项和；②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 19．如图，己知椭圆C：过点（1，），离心率为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线线l与椭圆相交于M，N两点． （1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的而积分别为S1，S2，若，求k的值；（3）己知直线AM、BN的斜率分k1，k2，求的值． 4 学科网（北京）股份有限公司 $