数学一模提分卷04（江苏专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试（江苏专用） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出集合和集合，根据交集的定义求出. 【详解】由题意知，，，所以. 故选：C. 2．已知复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算法则化简求出，结合复数虚部定义即可求解. 【详解】由题可得， 所以. z的虚部为. 故选：A 3．设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若与所成的角相等，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，若，，则与可能平行、相交或异面. 例如，在正方体中，平面，平面，但与是相交的；平面，平面，但与是平行的.平面，平面，但与是异面的. 所以A选项错误. 对于B选项，若，则存在直线，使. 又因为，根据直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线垂直，所以. 由于，根据异面直线所成角的定义可知，所以B选项正确. 对于C选项，若，，则或.例如，当在平面内时，也能满足且，所以C选项错误. 对于D选项，若，与所成的角相等，则与可能平行、相交或异面. 例如，圆锥的母线与底面所成的角都相等，但母线之间相交.所以D选项错误. 故选：B. 4．若，，且都为锐角，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利用两角差的正弦公式求值即可. 【详解】因为都为锐角，所以，所以，， 所以， 因为。，所以， 因为，， 所以， 所以 . 故选：D. 5．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解. 【详解】由题意，设，则在平行四边形ABCD中， 因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且， 所以， 又因为，且， 所以， 所以，解得，所以。 故选：B. 6．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出的值，再利用期望公式得到与的关系，然后换元，将所求式子进行变形，结合与的关系，运用基本不等式求出其最小值. 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得. 化简可得：，进一步变形为. 设，则， 将进行变形， 给式子乘以得到. 展开式子： 根据基本不等式，有. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 7．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 8．已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】取的中点为，连接，根据中位线性质及向量运算得，进而，由得，从而，利用双曲线的定义列方程化简即可求解离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为，取的中点为，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为，且，所以，所以， 所以，由可知，所以， 又，所以，所以， 所以，在中，，， 所以， 由得，所以C的离心率为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 10．已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（    ） A． B． C． D．当时，可能为偶函数 【答案】BCD 【分析】采用赋值法，令，可判断A的真假；利用赋值法先求，设辅助函数，根据函数的单调性可得，可判断B的真假；利用B的结论，结合可判断C的真假；取函数，可判断D的真假. 【详解】对A：令，得，即，A错误. 对B：令，得，得. 由，得，构造函数， 则，则为减函数，则， 即，则，所以，故B正确； 对C：令，得. 根据B的结论，得：， 所以，故C正确； 对D：若，则可取满足， 则为偶函数，故D正确. 故选：BCD 11．如图，在圆柱中，AB，CD为圆的两条直径，CE，DF是两条母线，且．用平面ABE和平面ABF截这个圆柱所得中间部分称为“楔形体”，记平面ABE与圆柱侧面的交线为曲线C，则（    ） A．C是椭圆的一部分 B．C是抛物线的一部分 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．“楔形体”的体积V满足 【答案】ACD 【分析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，通过切线相等即可判断A、B选项；利用圆柱的外接球即为三三棱锥的外接球计算可判断C，“楔形体”的体积大于半圆柱的体积，小于圆柱的体积减去两个三棱锥的体积. 【详解】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切， 又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为，取曲线C上一点， 过点的圆柱母线与两球交于两点，由于同是下面球的切线， 同是上面球的切线，可得， 则， 由椭圆的定义知：曲线是椭圆的一部分，A正确,B错误； 因为是直径，可得圆柱的外接球即为三棱锥的外接球， 故外接球的球心在上，且为的中点， 设外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确； 圆柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以“楔形体”的体积V小于， “楔形体”的体积V大于半个圆柱的体积， 所以“楔形体”的体积V满足，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】分取1，取和取，取两种情况讨论即可. 【详解】当取1，取，的系数为； 当取，取时，得的系数为：. 所以的系数为：. 故答案为： 13．已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】由于，则， 解得或，因为等比数列为递增数列，， 所以 所以，故. 因为， 所以. 故答案为： 14．如图，已知，为边上的两点，且满足，则当取最大值时，的面积等于 .    【答案】/ 【分析】由题设，利用三角形的面积之比，将其化简得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得. 【详解】如图，设，分别记的面积为， 则 ① ② 由①，②两式左右分别相乘，可得：， 即. 设，在中，由余弦定理，， 因，则，当且仅当时，等号成立， 此时，因，故，最大， 此时，， 所以.    故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若对总成立，求实数a的取值范围． 15．（13分）【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出最小值； （2）先参数分类把转化为，再构造函数结合函数最值计算求参. 【详解】（1）时，因为，所以， 所以当时，，当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以． （2）因为，所以等价于， 令，则， 由（1）得时，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以． 16．（15分）2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率； (2)记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望. 16．（15分）【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）设出事件，利用条件概率的公式可得答案； （2）求出的取值，分别求解对应的概率，利用期望公式可得答案. 【详解】（1）设事件“该同学以获得比赛胜利”，“该同学连胜两局”， 若该同学以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况， 所以， ， 则， 则该同学在以获得比赛胜利的条件下，连胜两局获胜的概率为. （2）由题意的所有取值为. 则， ， 所以变量的分布列为 0 1 2 则的期望为. 17．（15分）如图，P为圆锥的顶点，为底面圆O的直径，C为圆周上一点，D为劣弧的中点，.    (1)求证：； (2)E在线段上且，当平面时，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，即可证明线线垂直； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）    证明：如图，连接，因为为的中点，所以， 又因为平面，故，，平面， 所以平面，平面，则. （2）如图，以为坐标原点，，为，轴正方向建立空间直角坐标系，    设，则，，， 设，则， 设，则 因为，，设平面的法向量为 由，可取， 又因为平面，所以， 即得， 于是，，则，所以， 又，设平面的法向量为， 则，可取， 又平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分）椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 18．（17分）【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆过点，离心率为，列式解得的值即得； （2）由题意设，，根据及直线与交于点F，知C，D分别是的中点,得，将代入椭圆的方程，消去即可得F点的轨迹方程 （3）分直线的斜率存在与不存在两种情况计算，斜率存在时利用联立方程求出，再求得点到直线的距离，结合即可求得为定值 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为. （2）由题意设，则 ∵，直线与交于点F. ∴C，D分别是的中点,设 则 ∵，在椭圆E：上， ∴， 由，得， 整理得 将①代入，得，即 所以F点的轨迹方程为. （3）若直线的斜率不存在，则，则, 若直线的斜率存在，设 设，，，则 由在椭圆上，在上 两式相减，整理得， 由（2）知、在椭圆上， 则， 两式相减，得 化简得 整理，得，∴ 由得，所以 到直线的距离 ∴. ∵，∴ 所以的面积为定值. 19．（17分）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． (1)判断是否成等比数列？并说明理由； (2)证明：，，成等比数列； (3)设，数列的前项和为，证明：． 19．（17分）【答案】(1)成等比数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，令，和，依次求出，利用等比数列定义判断即可； （2）由，，成公差为的等差数列，得，即可利用累加法求出，从而可得，，，再利用等比数列定义判断即可； （3）当为奇数时，，，当为偶数时，，，利用放缩法求出数列的前项和为，即可证明. 【详解】（1）当时，成公差为1的等差数列， 则，； 当时，成公差为2的等差数列，则，； 当时，成公差为3的等差数列，则． 所以，，从而，故成等比数列. （2）由，，成公差为的等差数列，得， 可得：，，，，， 累加得 因为，，成公差为的等差数列，所以， ，又因为，，成公差为的等差数列， 所以， 所以，得，，成等比数列． （3）由，由（2）知： 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 故，且对一切正整数，有， 时， ， 综上，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试（江苏专用） 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2026年高考第一次模拟考试（江苏专用) 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码☒ 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 口 3[A][B][C[D] 7[A][B][CD] 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试（江苏专用） 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 3．设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若与所成的角相等，则 4．若，，且都为锐角，则（   ） A． B． C． D．1 5．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（    ） A． B． C． D． 6．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 7．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 8．已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ） A．3 B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 10．已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（    ） A． B． C． D．当时，可能为偶函数 11．如图，在圆柱中，AB，CD为圆的两条直径，CE，DF是两条母线，且．用平面ABE和平面ABF截这个圆柱所得中间部分称为“楔形体”，记平面ABE与圆柱侧面的交线为曲线C，则（    ） A．C是椭圆的一部分 B．C是抛物线的一部分 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．“楔形体”的体积V满足 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 ． 13．已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 14．如图，已知，为边上的两点，且满足，则当取最大值时，的面积等于 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若对总成立，求实数a的取值范围． 16．（15分） 2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率； (2)记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望. 17．（15分） 如图，P为圆锥的顶点，为底面圆O的直径，C为圆周上一点，D为劣弧的中点，.    (1)求证：； (2)E在线段上且，当平面时，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分） 椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 19．（17分） 在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． (1)判断是否成等比数列？并说明理由； (2)证明：，，成等比数列； (3)设，数列的前项和为，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试（江苏专用） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D B D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得 题号 9 10 11 答案 ABD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）时，因为，所以，（2分） 所以当时，，当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以．（5分） （2）因为，所以等价于，（7分） 令，则，（8分） 由（1）得时，， 所以当时，，当时，，（10分） 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）设事件“该同学以获得比赛胜利”，“该同学连胜两局”， 若该同学以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况，（2分） 所以， ， 则，（5分） 则该同学在以获得比赛胜利的条件下，连胜两局获胜的概率为.（6分） （2）由题意的所有取值为.（7分） 则， ， （12分） 所以变量的分布列为 0 1 2 则的期望为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）    证明：如图，连接，因为为的中点，所以， 又因为平面，故，，平面， 所以平面，平面，则.（4分） （2）如图，以为坐标原点，，为，轴正方向建立空间直角坐标系，    设，则，，，（5分） 设，则， 设，则 （6分） 因为，，设平面的法向量为 由，可取，（9分） 又因为平面，所以， 即得，（10分） 于是，，则，所以， 又，设平面的法向量为， 则，可取，（12分） 又平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意得，解得，（2分） 所以椭圆E的方程为. （3分） （2）由题意设，则 ∵，直线与交于点F. ∴C，D分别是的中点,设 则 （5分） ∵，在椭圆E：上， ∴， 由，得， 整理得 将①代入，得，即 所以F点的轨迹方程为.（7分） （3）若直线的斜率不存在，则，则, （9分） 若直线的斜率存在，设 设，，，则 由在椭圆上，在上 两式相减，整理得，（11分） 由（2）知、在椭圆上， 则， 两式相减，得 化简得 整理，得，∴ 由得，所以 到直线的距离 （15分） ∴. ∵，∴ 所以的面积为定值. （17分） 19．（17分） 【详解】（1）当时，成公差为1的等差数列， 则，； 当时，成公差为2的等差数列，则，； 当时，成公差为3的等差数列，则． 所以，，从而，故成等比数列. （5分） （2）由，，成公差为的等差数列，得， 可得：，，，，， 累加得 （9分） 因为，，成公差为的等差数列，所以， ，又因为，，成公差为的等差数列， 所以， 所以，得，，成等比数列．（11分） （3）由，由（2）知： 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 故，且对一切正整数，有，（15分） 时， ， 综上，．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试(江苏专用) 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 3．设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若与所成的角相等，则 4．若，，且都为锐角，则（   ） A． B． C． D．1 5．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（    ） A． B． C． D． 6．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 7．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 8．已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ） A．3 B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 10．已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（    ） A． B． C． D．当时，可能为偶函数 11．如图，在圆柱中，AB，CD为圆的两条直径，CE，DF是两条母线，且．用平面ABE和平面ABF截这个圆柱所得中间部分称为“楔形体”，记平面ABE与圆柱侧面的交线为曲线C，则（    ） A．C是椭圆的一部分 B．C是抛物线的一部分 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．“楔形体”的体积V满足 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 ． 13．已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 14．如图，已知，为边上的两点，且满足，则当取最大值时，的面积等于 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若对总成立，求实数a的取值范围． 16．（15分） 2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率； (2)记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望. 17．（15分） 如图，P为圆锥的顶点，为底面圆O的直径，C为圆周上一点，D为劣弧的中点，.    (1)求证：； (2)E在线段上且，当平面时，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分） 椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 19．（17分） 在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． (1)判断是否成等比数列？并说明理由； (2)证明：，，成等比数列； (3)设，数列的前项和为，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $