专题04 函数与导数（选填题）（培优题型专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

专题04 函数与导数（选填题）目录 第一部分 题型解码 微观解剖，精细教学 典例剖析 方法提炼 变式 题型01 抽象函数问题 题型02 分段函数问题 题型03 构造函数问题 题型04 零点问题 题型05 不等式恒（能）成立问题 题型06 新定义问题 第二部分 强化实训 整合应用，模拟实战 题型01 抽象函数问题 【例1-1】（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且，故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个，故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误.故答案为：②③ 【例1-2】（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.故选：A. 1.抽象函数的定义域： (1)若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由求出． (2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域． 2.对称轴：或者 关于对称； 3.对称中心：或者 关于对称； 4.周期：如果同时关于对称，又关于对称，则的周期. 【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】C 【详解】对于A：令，则，又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则，即，得. 由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则，，则 ，所以，可得， 可知是周期为6的周期函数．所以，故D错误． 故选：C． 【变式1-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或，综上，的定义域为.故选：C. 【变式1-3】（2025·江西南昌·模拟预测）（多选题）已知定义在上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】ACD 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，. 对于A，令，则或，若， 则对，取，都有，不满足单调函数性质，故，故A正确； 对于B，令，则或（舍），则， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数； 对于C，令，则（舍）， 则，取，取， 则，又定义为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则，令，则， 则，故D正确.故选：ACD 题型02 分段函数问题 【例2-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是.故选：B. 【例2-2】（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故.不妨设，则， 不妨设，，则，则， 则， 由，，则， 故.故答案为：. “分段函数，分段解决”遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式. （1）求函数值：在求分段函数值时，分清所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即可. （2）求自变量的值：由的值求，可通过图像得出所在的范围，再选择相应的解析式列方程求解，求参数值（范围）也是如此. （3）技巧方法: ①图象法或单调性法：直接画出分段函数的图象（单调性），根据图象直接解不等式. ②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集. ③借助单调性和奇偶性求解. 【变式2-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以，即.所以实数的取值范围是.故选：D 【变式2-2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为R，得函数在上的值域包含， 当时，函数，求导得，而， 当时，，函数在上单调递增，函数值集合为， 而恒成立，则； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 函数值集合为，于是，解得，则， 所以a的取值范围是.故选：A 【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）（多选题）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．存在实数a，使得成立 B．若为奇函数，则 C．若在上单调递增，则 D．若方程有两个不等实根，则 【答案】BCD 【详解】对于A：，即，其判别式， 所以该方程无解，即不存在实数a，使得成立，故A错误； 对于B：若为奇函数，则， 当时， ，则， ，其对都成立，解得； 当时同理可得； 当时，也符合题意，故，B正确； 对于C：函数在单调递增； 当时，，单调递增，又，即处连续， 所以在单调递增，符合题意； 当时，，即在单调递减，单调递增，又处连续 因此，函数在单调递增，所以，，得，则； 当时，，又处连续，因为，所以在单调递增， 因此，函数在单调递增，符合题意， 综上可知，若在上单调递增，则，故C正确. 对于D：由单调性可知，当时在单调递增，则方程有一个实根； 当时， 在单调递减，在单调递增， 则，所以方程有两个不等实根； 综上可知，方程有两个不等实根，则.故选：BCD 题型03构造函数问题 【例3-1】（2025·四川成都·三模）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，将等式进行移项可得. 根据对数运算法则，进一步变形为. 因为，则，所以， 令，对求导可得，所以在上单调递增. 因为，，， 所以，根据的单调性可知，即， 再根据对数函数的性质，所以，C错，D对； 若，此时，且， 而， 所以，则，此时，排除A， 若，此时，且， 若时，，必有，排除B；故选：D. 【例3-2】（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 在上单调递增，，即， ，又，，即； 令，则， 令，则，在上单调递减， ，在上单调递减， ，即，； 综上所述：.故选：C. 1.与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 2.添项同构 乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 3.常见结构 ①； ②； ③ ④； 5.常见函数的变形 （1）对于不等式，构造函数 （2）对于不等式，构造函数 （3）对于不等式，构造函数 （4）对于不等式，构造函数 （5）对于不等式，构造函数 （6）对于不等式，构造函数 （7）对于不等式，构造函数 【变式3-1】（25-26高三上·湖北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 构造函数， ， 故函数在单调递减， 则.故选：C. 【变式3-2】（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导得， 由，得，函数在R上单调递减， ，即， 由，得，因此，解得， 所以原不等式的解集为.故选： 【变式3-3】（2025·四川·模拟预测）若实数，且，则、的关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为实数，且，所以，则， 对于A选项，则，令，其中， 则，故函数在上单调递减， 当时，；当时，， 故当时，，此时，当时，，此时， 当时，，此时，则.A选项不合乎要求； 对于B选项，，令，其中， 则，当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， 故函数在处取得最大值，即， 综上所述，当时，，B选项不合乎要求； 对于C选项，由A选项可知，当时，， 此时，则.C选项不合乎要求； 对于D选项，，令，其中，则， 由得，可得，解得， 由得，可得，解得. 故函数的减区间为，增区间为， 所以函数在处取得最小值，即，故， 故，D选项合乎题意.故选：D. 题型04 零点问题 【例4-1】（2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由函数，可得， 当时，可得，单调递减；当时，可得，单调递增； 又由，可得， 当时，可得，单调递减；当时，可得，单调递增， 画出函数，和的图象，如图所示， 可得或，可得， 又由， ①当时， 即，可得，即， 所以，所以. ②又由，可得，即， 所以，所以， 综上可得：.故选：A. 【例4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】中取，，得，即， 取，，得，即，所以， 得， 是周期为2的周期函数，，作出函数的图象及直线， 可得两图象有7个交点，故选：B.    1.零点存在定理：连续函数在满足，则在一定存在零点 2.判断函数零点个数问题一般化为两个函数，判断两个函数的交点个数 3.根据函数零点的存在情况求参数 ①若题目中出现唯一零点，求参数，要想到偶函数的性质，结合零点的唯一性求解 ②若题目给出零点的个数，求参数，一般通过画出函数的图象，转化为交点个数问题解决 【变式4-1】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是 【答案】 【详解】作出的图象， 令，则方程，即为， 有4个不同的实数根，则在内有两个不等实根， 所以，解得，所以实数m的取值范围为.故答案为：. 【变式4-2】（2025·江苏常州·模拟预测）已知正实数满足，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知为正实数，且，化简得到，进一步变形为； 同理，由，可得到，即； 由，可得到，即； 令，，对求导得， 当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递减； 当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递增； 当时，； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标；   在同一平面直角坐标系中画出，，，的图象，如图所示：    从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为.故选：A. 【变式4-3】（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为.故选：C. 题型05 不等式恒（能）成立问题 【例5-1】（2025·河南·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设函数，可得， 当时，可得，在上单调递减； 当时，可得，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值，所以， 再设函数，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值，所以， 要使得不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立，所以， 所以实数的取值范围为.故答案为：. 【例5-2】（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ． 【答案】 【详解】由，得， 即不等式在上能成立. 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 即实数a的取值范围为.故答案为： 1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略 （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2.单变量不等式：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）， （2）， （3）， （4）， 3.双变量不等式：一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【变式5-1】（2025·湖南长沙·三模）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设函数，则， 所以是奇函数，且时，单调递增， 则单调递增，且， 所以， 即，，则不等式恒成立，， 设，， 设，，， 所以在上单调递增，， 所以恒成立，则恒成立， 则在上单调递增， ，根据洛必达法则可知，.故答案为： 【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则 . 【答案】4 【详解】显然时，无意义， 当时，由可得，即函数定义域为， 此时，若，则，即，解得， 故在定义域上不恒成立，不合题意； 当时，由可得，即函数定义域为， 由，解得，当时，，由， 需， 当时，，由，需， 由于，上述两种情况都需成立，所以只需，即, 此时，对于，都有恒成立.故答案为：4 【变式5-3】（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为 . 【答案】 【详解】当时，由，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 所以或或.故答案为：. 题型06 新定义问题 【例6-1】（2025·山东临沂·模拟预测）直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数的图象关于原点对称的图象，判断其与函数图象 交点个数即可， 如图所示： 当时，，当时，，且，观察图象可得： 它们有2个交点，故的“姊妹对点”有2个.故选：B． 【例6-2】（2025·江苏·三模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，且，， 由题意可得，可得，解得， 因此，函数在区间上的“中值点”的个数为.故选：C. 审题，结合题意处理问题. 【变式6-1】（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则，令，则， 如图，作出函数的图象，由图可知函数的图象有两个交点， 即函数有两个零点，且，令，则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值点为，极小值点为. 对于A，函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符； 对于B，函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符； 对于C，，当或时，，当时，， 所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意； 对于D，，则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符. 故选：C. 【变式6-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”.称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.设，当时，的值域为 ；当，. . 【答案】 【详解】第一空：当，，所以， 当，，， 当，，所以， 所以当时，的值域为； 第二空：， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故答案为：①；②. 【变式6-3】（2025·广东肇庆·一模）（多选题）不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（   ） A．只有1个不动点 B．若（）没有不动点，则没有零点 C．若（）没有不动点，则方程无实根 D．有3个不动点 【答案】AC 【详解】对于A，令，，，当且仅当时取“=”， 则在上单调递减，而，即在上只有一个零点，函数只有一个不动点，A正确； 对于B，没有不动点等价于的图象与直线没有交点， 没有零点等价于的图象与轴没有交点， 显然，当对称轴在轴左边，的图象与没有交点时，不能推出与轴没有交点，B错误； 对于C，依题意，没有不动点等价于方程无实数根无实数根， 即， 当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立， 即，恒有，而，因此有恒成立，即方程无实根， 当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立， 即，恒有，而，因此有恒成立，即方程无实根， 所以函数（）没有不动点，则方程无实根，C正确； 对于D，由，得，易知 当时，，单调递减，且， 所以当时，的图象与直线有且只有一个交点； 当时，，单调递减，且； 当时，，单调递增.令，得， 解得，此时，所以直线与曲线相切于点. 所以直线与曲线共有两个交点，所以只有两个不动点，故D错误；故选：AC． 1.（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示    所以， 因为为方程，即的两个不相等实根，所以， 因为为方程的根，所以，所以， 令，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以.故选：D 2.（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，整理可得，解得或.故选：D. 3.（2025·河北保定·三模）已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，求导得， 则当 时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，即当时，， 由奇函数的性质可知时，，故时有， 如图所示，，都有，所以， 故由恒成立可得.故选：C. 4.（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得.故选：C 5.（2025·广东·模拟预测）设，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，，．其中． 取，此时，， ，此时x最大． 又与比较，等价于比较7与，等价于比较49与27大小，故． 同理比较与，可得，故，故．综上，当时，．故A是可能的． 取．此时，，，故且． 比较y和z，即与，，且是增函数， 所以，又底数，所以，故． 综上，当时，．故B是可能的． 取极小正数，取，此时，，，易知x最小． 现在比较和，即比较与，即和，比较和， 易知，故． 综上，取，．故C是可能的． 下面证明D选项不可能．若，则和同时成立． 若，则．当时，，当时，， 同理可得，故存在，使得，所以成立的必要条件是． 若，则，设， 则，且取时，，等价于， 又，等价于，，易知其在时成立， 已证当时，，所以在上单调递增， 因为，所以当时，，即恒成立， 故和不可能同时成立，即D不可能．故选：D． 6.（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于 ． 【答案】/0.5 【详解】，①． 则交换可得，, 化为② 由①②可得③， ③中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于．故答案为： 7.（2025·河北邢台·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为 .若恰有2个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，，可得， 即，故，为常数， 又，解得，故，，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故的极大值； 由可得，， 因为，且在上单调递减，所以， 所以要使恰有2个整数解，则整数解为2，3， 所以，即，化简得，故实数的取值范围为. 故答案为：； 8.（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】，即， 当时，，即，故满足要求， 若，则无解，若，则，解得不满足； 若，则的解， 若，则的解，且当时，， 故当时，在上有两个零点， 当取其他值时，只有1个零点，时，， 显然当时，无解， 当且时，，令， ， 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 故在，，上单调递增，在，上单调递减， 又时，，其中，，，， 画出的图象如下： 当或或或时，有一个零点， 当时，有2个零点，当时，有3个零点， 当时，无零点，综上：最多有4个零点， 则.故答案为：. 9.（2025·山东潍坊·二模）（多选题）曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（   ） A．曲线上不存在曲率大于的点 B．曲线在点处的曲率最大 C．曲线在点处的曲率为 D．曲线在点与处曲率相等，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项，设，则，， 所以，， 所以，曲线上不存在曲率大于的点，A对； 对于B选项，令，则，，所以，， 故当时，取最小值，此时取最大值，且， 所以，曲线在点处的曲率最大，B对； 对于C选项，由可得， 令，则， 则，所以，，， 所以，曲线在点处的曲率为，C错； 对于D选项，设，则，， 则在点处的曲率， 因为曲线在点与处曲率相等， 即，即， 即，整理可得， 因为且、均为正数，所以，， 由基本不等式可得， 即，令，则， 即，由于，解得，即，D对.故选：ABD. 10.（2025·河北·模拟预测）（多选题）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 【答案】ACD 【详解】，关于对称，，故A正确； 对求导可得， 即，关于对称， 又，关于对称， 的一个周期为4，关于对称，故B错误，故C正确； 将代入，可得， 将代入，可得， ，， ，故D正确. 故选：ACD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数与导数（选填题）目录 第一部分 题型解码 微观解剖，精细教学 典例剖析 方法提炼 变式 题型01 抽象函数问题 题型02 分段函数问题 题型03 构造函数问题 题型04 零点问题 题型05 不等式恒（能）成立问题 题型06 新定义问题 第二部分 强化实训 整合应用，模拟实战 题型01 抽象函数问题 【例1-1】（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 【例1-2】（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1.抽象函数的定义域： (1)若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由求出． (2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域． 2.对称轴：或者 关于对称； 3.对称中心：或者 关于对称； 4.周期：如果同时关于对称，又关于对称，则的周期. 【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【变式1-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·江西南昌·模拟预测）（多选题）已知定义在上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 题型02 分段函数问题 【例2-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． “分段函数，分段解决”遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式. （1）求函数值：在求分段函数值时，分清所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即可. （2）求自变量的值：由的值求，可通过图像得出所在的范围，再选择相应的解析式列方程求解，求参数值（范围）也是如此. （3）技巧方法: ①图象法或单调性法：直接画出分段函数的图象（单调性），根据图象直接解不等式. ②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集. ③借助单调性和奇偶性求解. 【变式2-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）（多选题）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．存在实数a，使得成立 B．若为奇函数，则 C．若在上单调递增，则 D．若方程有两个不等实根，则 题型03构造函数问题 【例3-1】（2025·四川成都·三模）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 1.与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 2.添项同构 乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 3.常见结构 ①； ②； ③ ④； 5.常见函数的变形 （1）对于不等式，构造函数 （2）对于不等式，构造函数 （3）对于不等式，构造函数 （4）对于不等式，构造函数 （5）对于不等式，构造函数 （6）对于不等式，构造函数 （7）对于不等式，构造函数 【变式3-1】（25-26高三上·湖北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·四川·模拟预测）若实数，且，则、的关系不可能是（　　） A． B． C． D． 题型04 零点问题 【例4-1】（2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 1.零点存在定理：连续函数在满足，则在一定存在零点 2.判断函数零点个数问题一般化为两个函数，判断两个函数的交点个数 3.根据函数零点的存在情况求参数 ①若题目中出现唯一零点，求参数，要想到偶函数的性质，结合零点的唯一性求解 ②若题目给出零点的个数，求参数，一般通过画出函数的图象，转化为交点个数问题解决 【变式4-1】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是 【变式4-2】（2025·江苏常州·模拟预测）已知正实数满足，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型05 不等式恒（能）成立问题 【例5-1】（2025·河南·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【例5-2】（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ． 1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略 （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2.单变量不等式：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）， （2）， （3）， （4）， 3.双变量不等式：一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【变式5-1】（2025·湖南长沙·三模）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则 . 【变式5-3】（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为 . 题型06 新定义问题 【例6-1】（2025·山东临沂·模拟预测）直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例6-2】（2025·江苏·三模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（    ） A． B． C． D． 审题，结合题意处理问题. 【变式6-1】（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”.称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.设，当时，的值域为 ；当，. . 【变式6-3】（2025·广东肇庆·一模）（多选题）不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（   ） A．只有1个不动点 B．若（）没有不动点，则没有零点 C．若（）没有不动点，则方程无实根 D．有3个不动点 1.（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·河北保定·三模）已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 5.（2025·广东·模拟预测）设，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 6.（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于 ． 7.（2025·河北邢台·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为 .若恰有2个整数解，则实数的取值范围为 . 8.（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 9.（2025·山东潍坊·二模）（多选题）曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（   ） A．曲线上不存在曲率大于的点 B．曲线在点处的曲率最大 C．曲线在点处的曲率为 D．曲线在点与处曲率相等，则 10.（2025·河北·模拟预测）（多选题）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $