专题05 平面图形的初步认识（期末复习专项训练，10大题型）七年级数学上学期新教材苏科版

专题05 平面图形的初步认识 题型1 点、线原理（常考点） 题型6 几何旋转求t（难点） 题型2 余、补、对顶角问题（常考点） 题型7 平行与垂直作图（常考点） 题型3 多边形问题（常考点） 题型8 平行线中的数量关系问题（难点） 题型4 平行的性质余判定（常考点） 题型9 平行线中的角平分线问题（难点） 题型5 线段的计算（重点） 题型10 角的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 点、线原理（常考点） 1．在下列现象中，运用几何原理“两点之间线段最短”的是（   ） A．木工师傅过两点弹出一条墨线 B．从甲地到乙地，同样的速度选择直路通常更快到达 C．确定两个树坑位置即可让同一行树坑在一条直线上 D．建筑工人砌墙时利用墙角的两根标志杆拉一根直的线 2．去年春季，某校组织学生参加春耕插秧活动．在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做的原理可以用下列哪个基本事实来描述（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 3．在日常生活和生产中常常看到下列现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙； ③用两个钉子就可以把直木条固定在墙上； ④将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果木条中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 题型二 余、补、对顶角问题（常考点） 1．已知和互余，若，则（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的补角的度数是 ． 题型三 多边形问题（常考点） 1．过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线．如图，过四边形的一个顶点可以作1条对角线，过五边形的一个顶点可以作2条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 题型四 平行的性质余判定（常考点） 1．如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 3．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 题型五 线段的计算（重点） 1．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为 ． 3．如图，数轴上点对应的数为，点对应的数为9， (1)线段的长为_____； (2)如图1，若点为的中点时，且，求点对应的数； (3)如图2，数轴上线段在点右侧移动，点在点的右侧，且，点为中点，为中点，试探究：线段的长度是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 题型六 几何旋转求t（难点） 1．如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 2．如图，直线与相交于点，，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为 秒． 3．将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 题型七 平行与垂直作图（常考点） 1．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 2．如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段________的长度表示点到直线的距离； ②________；（填“”“”或“=”） (2)过点画的平行线，点在格点上． 3．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点C画直线的平行线；过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（仅利用所给方格纸和直尺作图）． (2)线段的大小关系为： ______．理由：______． 题型八 平行线中的数量关系问题（难点） 1．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 2．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 3．中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之最，被称为“神洲第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知，且，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）． (1)求的度数； (2)若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作交于点N且．请探究：与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 题型九 平行线中的角平分线问题（难点） 1．已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 2．如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，求证：； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含的代数式表示）； (3)如图3，，，．直线交、分别于点、，若，，则的值是______． 3．如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 题型十 角的新定义问题（难点） 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 2．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 3．新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． $专题05 平面图形的初步认识 题型1 点、线原理（常考点） 题型6 几何旋转求t（难点） 题型2 余、补、对顶角问题（常考点） 题型7 平行与垂直作图（常考点） 题型3 多边形问题（常考点） 题型8 平行线中的数量关系问题（难点） 题型4 平行的性质余判定（常考点） 题型9 平行线中的角平分线问题（难点） 题型5 线段的计算（重点） 题型10 角的新定义问题（难点） 15 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 点、线原理（常考点） 1．在下列现象中，运用几何原理“两点之间线段最短”的是（   ） A．木工师傅过两点弹出一条墨线 B．从甲地到乙地，同样的速度选择直路通常更快到达 C．确定两个树坑位置即可让同一行树坑在一条直线上 D．建筑工人砌墙时利用墙角的两根标志杆拉一根直的线 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短，根据直线的性质，线段的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、C、D都可以用“两点确定一条直线”，进行解释，不符合题意； B可以用基本事实“两点之间线段最短”解释，符合题意； 故选：B． 2．去年春季，某校组织学生参加春耕插秧活动．在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做的原理可以用下列哪个基本事实来描述（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做的原理是：两点确定一条直线． 故选：B． 3．在日常生活和生产中常常看到下列现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙； ③用两个钉子就可以把直木条固定在墙上； ④将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果木条中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查直线的性质，线段的性质，根据直线的性质和线段的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①利用的是两点之间线段最短，不符合题意； ②利用的是两点确定一条直线；符合题意； ③利用的是两点确定一条直线；符合题意； ④利用的是两点确定一条直线；符合题意； 故答案为：②③④． 题型二 余、补、对顶角问题（常考点） 1．已知和互余，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“余角的定义”，正确计算角度是解题关键． 根据互余角的定义，之和为，代入计算即可． 【详解】∵ 互余， ∴ ． ∴ ． 故选：A． 2．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义 “有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角”逐项进行判断即可． 【详解】解：A、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； B、符合对顶角的定义，是对顶角，符合题意； C、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； D、两角没有共同顶点，不是对顶角，不符合题意； 故选：B． 3．已知，则的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的概念，互补两角之和等于． 补角的定义，两个角互补则它们的和为，由此计算即可． 【详解】解：， 的补角 ． 故答案为：． 题型三 多边形问题（常考点） 1．过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线问题． 过n边形一个顶点的所有对角线将n边形分成个三角形，根据题意分成6个三角形，因此，解得． 【详解】解：从n边形一个顶点出发的对角线将n边形分成个三角形， ∵分成了6个三角形， ∴， ∴， 因此，这个n边形是八边形． 故选：C． 2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 3．学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线．如图，过四边形的一个顶点可以作1条对角线，过五边形的一个顶点可以作2条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键．根据从一个多边形的一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十边形从一个顶点出发，可以画条对角线． 故答案为：． 题型四 平行的性质余判定（常考点） 1．如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质找到与相关的角，再结合邻补角的性质计算的度数． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ 故选：C． 2．如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．根据角平分线的定义，推出，进而得到，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点F，平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90 3．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）利用邻补角的性质求得，求得，利用“内错角相等，两直线平行”即可得到； （2）由得到，由，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五 线段的计算（重点） 1．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段中点定义，以及等式的转化等，熟练掌握中点的定义是解题的关键． 因为点C、D分别是线段的中点，所以线段间存在长度相等，通过替换等检验选项是否正确． 【详解】解：∵点C是线段的中点，点D是线段的中点， ∴，， A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，不正确，符合题意． 故选：D． 2．线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为 ． 【答案】或13 【分析】本题主要考查线段中点的性质，线段和差的数量关系；根据点是中点，可得的值，根据点N为线段的三等分点分两种情况求解得的值，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 又∵点N为线段的三等分点，， 当点N靠近点C的三等分点时，， 此时， 当点N靠近点B的三等分点时，， ∴， 故答案为：或13． 3．如图，数轴上点对应的数为，点对应的数为9， (1)线段的长为_____； (2)如图1，若点为的中点时，且，求点对应的数； (3)如图2，数轴上线段在点右侧移动，点在点的右侧，且，点为中点，为中点，试探究：线段的长度是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值，定值为 【分析】本题考查数轴上的线段长度与中点问题，涉及的知识点是数轴两点间距离公式、中点坐标公式．解题中用到的思想是参数思想，通过设未知数表示动点坐标，再推导线段长度；方法技巧是利用中点坐标公式简化计算．解题关键是准确表示数轴上点的坐标，避免中点计算时的数式错误．易错点是处理动点问题时，参数的符号或位置关系分析错误，导致坐标表示偏差． （1）利用数轴上两点间距离公式，直接计算的长度； （2）先求中点对应的数，再根据的距离列绝对值方程，求解点对应的数； （3）设点对应的数为参数，分别表示出对应的数，计算的长度，判断是否为定值． 【详解】（1）数轴上两点间的距离为右边点对应的数减去左边点对应的数，因此： （2）因为点是的中点，所以对应的数为． 已知，设点对应的数为x，则： 或 或． （3）设点对应的数为，因为且在右侧，所以对应的数为． 点是的中点，对应，对应，故对应的数为； 点是的中点，对应对应，故． 因此，线段的长度为： 题型六 几何旋转求t（难点） 1．如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角平分线的定义，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由与互补，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出与的度数，由与互余，结合对顶角相等，可求出的度数，根据“在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意， ∴． ∵，， ∴． 根据题意得：或， 解得：或， ∴t的值为6或24． 故选：D． 2．如图，直线与相交于点，，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线性质和旋转中的角度计算．用含时间的代数式准确表示旋转后、的位置角度是解题的关键． 先根据角平分线性质，确定初始角的大小，再根据题意表示出动态的角度，最后根据建立方程并求解即可． 【详解】解：，平分， ， 直角三角尺的直角顶点为， ， 三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转 秒后旋转的角度为，旋转的角度为， 当平分时， ， 旋转后的位置角度（相对于初始）为， 旋转后的位置角度（相对于初始）为， 两者的夹角， 解得． 故答案为． 3．将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数， （1）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到， （2）根据题意得，求得，即可得到结论； （3）①根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）解：①∵，， ∴ ∴或， 解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴， ∴． 题型七 平行与垂直作图（常考点） 1．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：根据斜边大于直角边，得． 2．如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段________的长度表示点到直线的距离； ②________；（填“”“”或“=”） (2)过点画的平行线，点在格点上． 【答案】(1)作图见解析；①；② (2)作图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，垂线段最短，画平行线、垂线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意即可作出垂线，①根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，可得结论； （2）取格点E，作直线即可． 【详解】（1）解：直线即为所求；直线即为所求； ①线段的长度表示点到直线的距离； ②根据垂线段最短得到， 故答案为：①；②； （2）解：直线即为所求． 3．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点C画直线的平行线；过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（仅利用所给方格纸和直尺作图）． (2)线段的大小关系为： ______．理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)＜，垂线段最短 【分析】本题考查作图-平行线，垂线，垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题． (1)根据垂线的定义，平行线的判定，画出图形即可； (2)利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵， ∴（垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 题型八 平行线中的数量关系问题（难点） 1．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 3．中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之最，被称为“神洲第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知，且，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）． (1)求的度数； (2)若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作交于点N且．请探究：与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)的度数为； (2)灯A旋转的时间为秒或秒； (3)和关系不会发生变化，． 【分析】本题考查邻补角，平行线的性质，一元一次方程的实际应用． （1）由邻补角互补，结合已知，即可得的度数； （2）分情况讨论，当时，由平行线的性质可得，即，求解即可；当时，由平行线的性质可得，即，求解即可； （3）由平行线的性质，结合角的和差关系，可得，，从而可得与的数量关系，根据数量关系是否与有关，即可判断与的数量关系是否发生变化． 【详解】（1）解：如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：（秒），（秒） 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴灯A旋转的时间为秒或秒． （3）解：如图4，设灯A射线转动时间为t秒， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴和关系不会发生变化，． 题型九 平行线中的角平分线问题（难点） 1．已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，求证：； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含的代数式表示）； (3)如图3，，，．直线交、分别于点、，若，，则的值是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过作，过作，易得，利用平行线的性质可求解； （2）由角平分线的定义可设，，延长交于点G，过点M作交于点H，又由（1）可得，，则，进而求解； （3）设，，则，， 分别过点M，N作，，则，由得，再由（1）的结论得，计算可求解n值． 【详解】（1）解：过作，过作， 又∵， ∴， 则，，，， ∴，， ∴， 即； （2）解：如图2， ∵平分，平分， ∴设，， 延长交于点G，过点M作交于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作， 则，， ∴， 又由（1）可得，， ∴， ∴， 即； （3）解：如图3，设，，则，， 分别过点M，N作，，则， ∴， ∴， 即， ∴， 又由（1）知， 得到， ∴． 3．如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质得出，进而根据角平分线的定义，即可得出 （2）过点作 ，根据平行线的性质得出，根据（1）得出，根据，即可求解． （3）当在线段上时，当在的延长线上时，分别画出图形，根据已知得出，，结合图形，即可求解． 【详解】（1） 平分 （2）过点作 ， 由（1）可得， ∴ （3）如图，当在线段上时 由（1）可得， ∵ ， 如图，当在的延长线上时 同理可得，， ∴． 题型十 角的新定义问题（难点） 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 2．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【答案】(1)是 (2)2秒，3秒或4秒 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 【详解】（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 3．新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． $