专题05 平面图形的初步认识（期末复习知识清单，5知识&9题型&3易错&3方法清单）七年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学单元知识清单系统梳理“平面图形的初步认识”专题，涵盖直线射线线段、角、相交线、平行线、多边形五大知识范畴，搭建从基本概念到性质应用的递进式学习支架。 清单以“5知识+9题型+3易错+3方法”构建完整体系，突出几何直观与推理意识，如“过拐点作平行线”辅助线方法培养空间观念，“角平分线性质应用错误”易错点剖析强化运算能力，助力学生自主高效复习，教师可精准设计教学活动。

专题05平面图形的初步认识（5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】 直线、射线、线段 一、基本概念 1. 直线： · 定义：直线是向两方无限延伸的，没有端点，无法度量其长度。它是构成几何图形的最基本元素之一，可以想象成一根无限长的、没有粗细的线。 · 表示方法： · 用直线上的两个大写字母表示，如直线AB（或直线BA），其中A、B是直线上任意两个不同的点，这种表示方法体现了直线可以通过其上两点来确定。 · 用一个小写字母表示，如直线l，这种表示方法简洁明了，常用于在图形中标记不同的直线。 2. 射线： · 定义：射线是由线段的一端无限延长所形成的图形，它有一个端点，另一端可以无限延伸，因此也无法度量其长度。 · 表示方法： · 用两个大写字母表示，其中第一个字母是射线的端点，第二个字母是射线上除端点外的任意一点，如射线OA（端点是O，A是射线上另一点），注意表示端点的字母必须写在前面，以明确射线的方向。 3. 线段： · 定义：线段是直线上两点间的有限部分，它有两个端点，可以度量其长度。线段是可以实际操作和度量的，比如我们日常生活中的铅笔、尺子边缘等都可以近似看作线段。 · 表示方法： · 用线段的两个端点的大写字母表示，如线段AB（或线段BA），A、B是线段的两个端点。 · 用一个小写字母表示，如线段a。 二、直线的基本性质（公理） · 经过两点有一条直线，并且只有一条直线（简述为：两点确定一条直线）。这个性质在生活中有广泛的应用，例如建筑工人砌墙时会用重锤线来确保墙体是直线，就是利用了两点确定一条直线的原理；我们用直尺画直线时，也是通过确定两个点来画出唯一的一条直线。 三、线段的基本性质（公理） · 两点之间，线段最短。这条性质也被称为“线段公理”。比如，从A地到B地，人们通常会选择走直路，而不是弯路，就是因为两点之间线段最短，这样可以节省时间和路程。连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。 四、线段的大小比较与度量 1. 度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后比较它们的大小。例如，要比较线段AB和线段CD的大小，我们可以用尺子量出AB的长度是5厘米，CD的长度是3厘米，就可以得出AB大于CD的结论。 2. 叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使它们的一个端点重合，然后观察另一个端点的位置关系。 · 如果另一个端点也重合，那么两条线段相等，记作AB=CD。 · 如果另一个端点落在另一条线段内部，那么这条线段较短，记作AB<CD。 · 如果另一个端点落在另一条线段外部，那么这条线段较长，记作AB>CD。 五、线段的中点 · 定义：如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，那么点M叫做线段AB的中点。此时有AM=MB=1/2AB，AB=2AM=2MB。例如，若线段AB长为8厘米，M是AB的中点，则AM=MB=4厘米。线段的中点是一个非常重要的概念，在解决与线段长度相关的计算问题时经常用到。 【清单02】角 一、角的概念 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。例如，我们常见的三角板上的角，都是由一个顶点和两条边组成的。 2. 动态定义：角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。这种定义方式更能体现角的形成过程，比如钟面上的时针和分针在转动过程中就形成了不同的角。 二、角的表示方法 1. 用三个大写字母表示：角的顶点字母写在中间，两边上各取一个点的字母写在两旁，如∠AOB（顶点是O，OA、OB是角的两边）。这种表示方法可以准确地表示出一个角，避免混淆。 2. 用一个大写字母表示：当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点字母表示，如∠O。但如果以O为顶点的角有多个，就不能只用一个大写字母表示，否则会不清楚指的是哪个角。 3. 用一个数字表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上数字，如∠1。这种方法在图形中角比较多时使用，可以方便地区分不同的角。 4. 用一个希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上希腊字母（如α、β、γ等），如∠α。 三、角的度量 · 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）。 · 进制：1°=60′，1′=60″（六十进制）。这和我们常用的十进制不同，在进行角的度量和计算时要特别注意单位的换算。例如，30.5°等于30°30′，因为0.5°=0.5×60′=30′。 · 量角器：量角器是度量角的工具，使用时要将量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 四、角的比较 1. 度量法：用量角器量出两个角的度数，然后比较它们的大小。例如，∠1的度数是30°，∠2的度数是45°，则∠1小于∠2。 2. 叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中一条边也重合，然后观察另一条边的位置关系。 · 如果另一条边也重合，那么这两个角相等，记作∠A=∠B。 · 如果另一个角的另一条边落在这个角的内部，那么这个角较大，记作∠A>∠B。 · 如果另一个角的另一条边落在这个角的外部，那么这个角较小，记作∠A<∠B。 五、角的平分线 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。例如，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠COB。角平分线的概念与线段中点类似，在角的计算和证明中经常用到。 六、角的分类（按大小） 1. 锐角：大于0°而小于90°的角。例如，30°、45°、60°的角都是锐角。 2. 直角：等于90°的角，记作Rt∠。我们常见的长方形、正方形的四个角都是直角。 3. 钝角：大于90°而小于180°的角。例如，120°、150°的角都是钝角。 4. 平角：等于180°的角。平角的两边在同一条直线上，但它仍然是一个角，而不是一条直线。 5. 周角：等于360°的角。周角的两边重合在一起，形成一个圆周。 七、互为余角和互为补角 1. 互为余角： · 定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。即其中一个角是另一个角的余角。例如，∠1+∠2=90°，则∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。 · 性质：同角（或等角）的余角相等。如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3；如果∠1=∠4，∠1+∠2=90°，∠4+∠5=90°，那么∠2=∠5。 2. 互为补角： · 定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。即其中一个角是另一个角的补角。例如，∠3+∠4=180°，则∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角。 · 性质：同角（或等角）的补角相等。如果∠3+∠4=180°，∠3+∠5=180°，那么∠4=∠5；如果∠3=∠6，∠3+∠4=180°，∠6+∠7=180°，那么∠4=∠7。 八、对顶角 · 定义：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。例如，两条直线相交于点O，形成∠1、∠2、∠3、∠4，其中∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角。 · 性质：对顶角相等。如上例中，∠1=∠3，∠2=∠4。对顶角的性质在解决相交线所形成的角的问题中非常重要。 【清单03】相交线 一、相交线的概念 · 在同一平面内，两条直线如果有一个公共点，就说它们相交，这个公共点叫做它们的交点。例如，直线AB和直线CD相交于点O，O就是它们的交点。 二、邻补角 · 定义：两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角。邻补角也可以看作是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角。例如，直线AB和CD相交于点O，∠AOC和∠COB有公共顶点O，有公共边OC，且它们的另一边OA、OB互为反向延长线，所以∠AOC和∠COB是邻补角。 · 性质：邻补角互补，即它们的和等于180°。如上例中，∠AOC+∠COB=180°。 三、垂线的概念与性质 1. 垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直用符号“⊥”表示，如直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD，垂足为O。 2. 垂线的性质： · 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这里的“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外。例如，过直线l上一点P，有且只有一条直线与l垂直；过直线l外一点Q，也有且只有一条直线与l垂直。 · 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例如，点P是直线l外一点，PO是l的垂线，垂足为O，则线段PO的长度就是点P到直线l的距离。 四、同位角、内错角、同旁内角（两条直线被第三条直线所截） · 截线与被截线：两条直线（被截线）被第三条直线（截线）所截，形成八个角。 · 同位角：在两条被截直线的同一方，在截线的同一侧，这样的两个角叫做同位角。例如，直线a、b被直线c所截，∠1和∠5分别在a、b的上方，在c的右侧，所以∠1和∠5是同位角。同位角的位置关系像字母“F”。 · 内错角：在两条被截直线之间，在截线的两侧，这样的两个角叫做内错角。例如，∠3和∠5在a、b之间，分别在c的左右两侧，所以∠3和∠5是内错角。内错角的位置关系像字母“Z”。 · 同旁内角：在两条被截直线之间，在截线的同一旁，这样的两个角叫做同旁内角。例如，∠3和∠6在a、b之间，在c的同一侧（左侧），所以∠3和∠6是同旁内角。同旁内角的位置关系像字母“U”。 【清单04】平行线 一、平行线的概念 · 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如直线AB平行于直线CD，记作AB∥CD。 · 注意： · “在同一平面内”是前提条件，因为在空间中，不相交的两条直线不一定平行（可能异面）。 · “不相交”是平行线的特征。 · 平行线指的是直线，射线或线段平行，是指它们所在的直线平行。 二、平行公理及推论 1. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。例如，点P是直线l外一点，那么过点P有且只有一条直线与l平行。 2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行。如果a∥b，c∥b，那么a∥c。 三、平行线的判定方法 1. 同位角相等，两直线平行。例如，直线a、b被直线c所截，如果∠1=∠5，那么a∥b。 2. 内错角相等，两直线平行。例如，如果∠3=∠5，那么a∥b。 3. 同旁内角互补，两直线平行。例如，如果∠3+∠6=180°，那么a∥b。 4. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（a∥b，b∥c，则a∥c）。 5. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。例如，a⊥c，b⊥c，则a∥b。 四、平行线的性质 1. 两直线平行，同位角相等。如果a∥b，那么∠1=∠5。 2. 两直线平行，内错角相等。如果a∥b，那么∠3=∠5。 3. 两直线平行，同旁内角互补。如果a∥b，那么∠3+∠6=180°。 五、平行线间的距离 · 定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 · 性质：两条平行线间的距离处处相等。这意味着无论在两条平行线的哪个位置作垂线段，它们的长度都相等。 【清单05】多边形 一、多边形的相关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的分类： · 按边数分：三角形（3条边）、四边形（4条边）、五边形（5条边）……n边形（n条边，n≥3）。 · 按形状分： · 凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。我们初中阶段主要学习凸多边形。 · 凹多边形：如果多边形有一部分在这条直线的另一侧，那么这个多边形就是凹多边形。 3. 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。例如，正三角形（等边三角形）、正方形、正五边形等。正多边形具有对称性，是一种特殊的多边形。 二、多边形的内角和 · n边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°（n≥3，且n为整数）。这个公式的推导可以通过从n边形的一个顶点出发引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和就是（n-2）×180°。例如，三角形的内角和是（3-2）×180 【题型一】余、补角问题 【例1】已知和互余，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若一个角的度数为，则它的补角的度数为 ． 【题型二】多边形 【例2】一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（   ） A． 0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2-2】用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算 ． 【题型三】平行线的性质 【例3】如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 【题型四】折叠问题 【例4】如图，在中，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于边时，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，将长方形纸片沿折叠得到图1，再沿PM折叠得到图2，已知，． ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，若，则的度数为 （用含k的代数式表示）． 【题型五】线段的计算 【例5】如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 【变式5-1】如图，点在线段上，，，点是线段的中点，点是线段的中点，则线段的长为 cm． 【变式5-2】如图，E为线段上靠近点A的三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． (1)若，求线段的长； (2)若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； (3)若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 【题型六】平行的判定 【例6】如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【变式6-2】如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【题型七】相交线的计算 【例7】如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，与交于点F，，垂足为F，若，则 ． 【变式7-2】如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【题型八】尺规作图 【例8】如图，已知平面上有射线，线段和． (1)用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在线段的延长线上截取；以A为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形：若点E是线段的中点，，，求线段的长度． 【变式8-1】已知线段a，b如图所示，根据下列要求，依次画图或计算． (1)根据下列步骤画图，并用含有a，b的式子表示线段． ①作出射线； ②在射线上依次截取； ③在线段上截取． (2)若，，M是线段的中点，求线段的长． 【变式8-2】（1）根据下图补全作法： ①已知线段a，b，作射线， ②在射线上依次截取； ③：_________． 结论：如图，线段即为所求．此时_________．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若，，E为线段的中点，F为线段的中点，求线段的长． （3）如图，折线由有公共端点B的两条线段，组成，点D把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“总长平分点”．已知点Q是折线的“总长平分点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 【题型九】网格作图 【例9】操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线的距离． 【变式9-1】如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 【变式9-2】用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)连接交于点O； (2)过点A画直线，使； (3)过点A画直线的垂线，垂足为H． (4)观察得到的图形，请比较线段_____线段（用“＞”，“＜”或“＝”连接），你的理由是_____． 【题型一】线段、射线、直线的概念混淆 【例1】下列关于作图的语句中，叙述正确的是（） A．画直线 B．画射线 C．已知，，三点，过这三点画一条直线 D．延长线段到点 【变式1-1】下列说法中，正确的是（    ） 射线和射线是同一条射线； 若，则点为线段的中点； 连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离； 点在线段上，，分别是线段，的中点，若，则线段． A． B． C． D． 【变式1-2】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【题型二】角平分线性质应用错误 【例2】已知，，平分，平分，则的度数是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2-1】如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 【题型三】角的表示与度量单位换算 【例3】如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【变式3-1】已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 【题型一】三角形旋转求t问题 方法技巧 一、明确旋转三要素，奠定解题基础 1. 旋转中心：确定图形绕哪个点旋转（题目常以定点如点O、点A等为中心，需在图中标注）。 2. 旋转方向：区分顺时针或逆时针（题目未明确时需结合图形动态变化判断，通常用“顺时针”“逆时针”描述）。 3. 旋转角度：关键变量“t”常与角度相关（如每秒旋转30°，则t秒后旋转角度为30t°，需用含t的代数式表示）。 示例：若△ABC绕点O顺时针旋转，速度为每秒15°，则t秒后旋转角度为15t°，对应边、角的旋转角度均为15t°。 二、利用旋转性质，建立等量关系 1. 对应边相等：旋转前后对应线段长度不变（如OA=OA'，AB=A'B'，其中A'、B'为旋转后对应点）。 2. 对应角相等：旋转前后对应角度不变（如∠A=∠A'，旋转角∠AOA'=∠BOB'=θ，θ=旋转速度×t）。 3. 旋转中心到对应点距离相等：旋转中心O到原图形点A与旋转后点A'的距离相等（OA=OA'），此性质常用于判断点的位置或构造等腰三角形。 应用场景：当题目中出现“某点落在某直线上”“某线段与某直线重合”时，可利用对应边相等或对应角相等建立方程。 示例：若△ABC绕点A旋转，使得点C落在直线AB上，已知AC=5，AB=8，则旋转后点C的对应点C'满足AC'=AC=5，分两种情况： · 顺时针旋转：C'在线段AB上，BC'=AB-AC'=8-5=3； · 逆时针旋转：C'在BA延长线上，BC'=AB+AC'=8+5=13。 三、分类讨论旋转位置，避免漏解 1. 按旋转方向分类：若题目未明确顺时针或逆时针，需分别讨论两种方向下的图形位置。 2. 按对应点位置分类：旋转后图形可能与原图形重叠、部分重叠或完全分离，需根据“点在线上”“线段重合”“角为特殊角（如90°、180°）”等条件确定临界位置。 常见临界条件： · 某点落在坐标轴上（如x轴、y轴，对应坐标特征：纵坐标为0或横坐标为0）； · 某线段与已知直线垂直（夹角90°）或平行（斜率相等）； · 旋转后三角形与原三角形形成特殊图形（如等腰直角三角形、等边三角形）。 示例：Rt△ABC绕直角顶点C旋转，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，设每秒旋转t°，问t为何值时，点A的对应点A'落在直线BC上？ 分析： · 顺时针旋转：A'落在BC延长线上，∠ACA'=180°-∠ACB=90°（此时旋转角为90°），则t=90°/旋转速度（若速度为1°/秒，则t=90）； · 逆时针旋转：A'落在CB延长线上，∠ACA'=270°（或-90°），旋转角为270°，则t=270°/旋转速度（若速度为1°/秒，则t=270）。 【例1】将一副直角三角板按如图①摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转． (1)如图②，当____时，平分，此时____． (2)继续旋转三角板，使得，同时在直线的右侧，如图③，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当____时，； ②请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【变式1—1】问题提出 如图，点O为直线上一点，将一副直角三角尺按图中方式放在点O处，使边，落在直线上，，． （1）如图1，的度数为______． 问题探究 （2）如图2，三角尺固定不动，将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，两块三角板都在直线的上方．设运动时间为t秒．t为何值时，平分． 问题解决 （3）如图3，若在三角尺开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，三角尺和三角尺始终在直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1—2】如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 【题型二】平行线中的综合问题 方法技巧 一、构造辅助线：突破“无截线”或“多线交叉”困境 核心思路：当题目中平行线间无直接截线，或多条直线交叉导致角的关系不明确时，通过添加辅助线（如过“拐点”作平行线、延长线段等），构造“三线八角”基本模型，将复杂图形转化为可直接应用平行线性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）的简单图形。 常见辅助线类型： 1. 过拐点作平行线：若图形中存在“折线”（如“Z”型、“U”型、“M”型等含拐点的图形），过拐点作已知平行线的平行线，利用“平行于同一直线的两直线平行”，将拐点处的角分解为同位角、内错角或同旁内角。 ▶ 示例：如图，AB∥CD，点E为AB、CD间一点，求∠BED与∠B、∠D的关系。 ▶ 辅助线：过点E作EF∥AB（则EF∥CD），可得∠B=∠BEF（内错角），∠D=∠DEF（内错角），故∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D。 2. 延长线段构造截线：若两条平行线被某条线段部分遮挡，延长线段使其与平行线相交，形成完整的“三线八角”模型，进而利用角的关系求解。 二、方程思想：解决含“参数角”或“倍分关系”问题 核心思路：当题目中涉及角的度数未知但存在等量关系（如倍角、分角、和差关系）时，设未知数表示关键角，根据平行线性质（如“同旁内角互补”“内错角相等”）建立方程，通过解方程求出角的度数或关系。 解题步骤： 1. 设元：设题目中与所求角相关的未知角为x（通常选择较小的角或中间量）； 2. 用含x的代数式表示其他角：根据图形中角的位置关系（如对顶角、邻补角、角平分线等）及平行线性质，用x表示其他角； 3. 列方程：根据题目中的等量关系（如“某个角是另一个角的2倍”“同旁内角之和为180°”）列出方程； 4. 求解并验证：解方程求出x的值，代入代数式求出所求角，并检验结果是否符合图形逻辑。 ▶ 示例：如图，AB∥CD，∠1=3∠2，∠3=100°，求∠2的度数。 ▶ 解：设∠2=x，则∠1=3x，∵AB∥CD，∴∠1+∠3=180°（同旁内角互补），即3x+100°=180°，解得x=26.67°（即∠2=80°/3，此处需根据题目要求保留分数或小数）。 三、转化思想：将复杂图形分解为“基本模型” 核心思路：平行线综合题常由多个基本图形组合而成（如“平行线+角平分线”“平行线+垂线”“双平行线夹折线”等），需识别并分解出熟悉的基本模型，利用模型的固定结论快速解题。 常见基本模型及结论： 1. 平行线+角平分线模型： · 若一条直线平分平行线中的一组同旁内角，则该直线垂直于平行线（如AB∥CD，EF平分∠BEF，FG平分∠EFD，则EF⊥FG）； · 若角平分线平行于某条直线，则可构造等腰三角形（如AD平分∠BAC，AD∥BC，则AB=AC）。 2. 双平行线夹折线模型（“M”型、“W”型等多拐点图形）： · 规律：拐点处的角之和等于两侧角之和（如“Z”型：∠B+∠D=∠BED；“M”型：∠B+∠D+∠F=∠BEF+∠EFD，具体结论需结合辅助线推导）。 3. 平行线+垂线模型： · 若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直于另一条（可用于证明两条直线垂直）； · 过平行线间一点作两条垂线，垂线段长度相等（即平行线间的距离处处相等）。 四、动态问题：分类讨论“动点”或“动线”位置 核心思路：当题目中存在动点（如点在平行线上运动）或动线（如直线绕端点旋转）时，需根据图形位置的变化进行分类讨论，避免漏解。分类的依据通常是“动点/动线是否跨越拐点”“角的方向是否改变”等。 分类讨论要点： 1. 确定临界点：找出动点或动线位置变化的分界点（如拐点、交点、端点等）； 2. 按区域分类：根据临界点将运动范围分为不同区域，分别画出每种情况下的图形； 3. 分别求解：针对每类图形，结合平行线性质和已知条件求解，最后综合各类结果得出答案。 ▶ 示例：如图，AB∥CD，点P在直线AB、CD之间运动，当点P在不同位置时，∠APC与∠A、∠C的关系是否变化？ ▶ 分类讨论：①当点P在AC左侧时，∠APC=∠A+∠C（“Z”型模型）；②当点P在AC右侧时，∠APC=360°-∠A-∠C（“反Z”型模型，需过P作平行线推导）。 五、逆向思维：从结论出发，“执果索因” 核心思路：对于证明题（如“求证两条直线平行”“求证某角等于某角”），若正向推理困难，可从结论入手，反向分析需满足的条件，逐步追溯至已知条件，即“要证什么→需证什么→已知什么”。 适用场景： · 需证明两条直线平行时，反向思考：要证平行，需证“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”，进而寻找这些角的关系是否可通过已知条件推导； · 需证明角的关系时，反向思考：要证∠1=∠2，需证∠1与某个角相等，∠2与该角相等（等量代换），或∠1与∠2是平行线的内错角/同位角等。 ▶ 示例：已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF。 ▶ 逆向分析：要证BE∥CF，需证∠EBC=∠BCF（内错角相等）；∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（内错角相等），又∠1=∠2，∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，即∠EBC=∠BCF，故结论成立。 六、整体思想：将多个角视为“整体”简化计算 核心思路：当图形中多个角的关系复杂，但整体上满足某种等量关系（如“多个角的和为定值”）时，不单独求解每个角，而是将其视为整体代入计算，简化过程。 常见应用： · 在“双平行线夹多折线”模型中，多个拐点处的角之和可视为整体，利用平行线性质得出整体与两侧角的关系（如“M”型三拐点：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+180°，具体需结合辅助线推导）； · 涉及“角的和差”时，若部分角的和已知，可直接用整体代入（如已知∠A+∠B=120°，∠B+∠C=150°，则∠A-∠C=-30°，无需单独求∠A、∠B、∠C）。 【例2】已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【变式2—1】已知，点A、点B分别在线段上，． (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点F和点E，则_________．（直接写出角度和） (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．（补充说明：本题三角形内角和，四边形内角和可直接用） 【变式2—2】已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 【题型三】角的新定义问题 方法技巧 一、准确理解角的静态定义与动态定义 1. 静态定义的应用要点 · 三要素识别法：明确角由公共端点（顶点）和两条射线（边）组成，判断图形是否为角时需同时满足"一个顶点+两条射线"的结构特征。 · 反例辨析技巧：遇到曲线与射线组合、两条线段构成的图形等情况，可依据"射线无限延伸性"排除非角图形，如含圆弧的图形或未标注端点的两条直线均不符合定义。 2. 动态定义的深度解析 · 旋转模型构建：以射线绕端点旋转为核心，建立"始边→旋转方向→旋转量→终边"的四步分析框架，区分顺时针（负角）与逆时针（正角）旋转方向，注意零角的特殊情况（旋转量为0°）。 · 运动轨迹想象法：通过实物模拟（如直尺绕端点旋转）直观理解角的形成过程，解决"平角是否为直线""周角是否为射线"等易混问题——平角是两条方向相反的射线组成的角，直线没有顶点，二者本质不同。 二、角的表示方法规范与易错点规避 1. 四种表示法的适用场景 · 大写字母表示法：当顶点处只有一个角时，可记为∠A（顶点字母）；有多个角时必须用三个大写字母∠AOB（顶点字母在中间），避免混淆∠AOC与∠BOC等相邻角。 · 数字/希腊字母标记法：在复杂图形中优先使用∠1、∠α等标记，需确保每个角有唯一标记，且标记符号（如弧线）清晰标注在角的内部靠近顶点处。 2. 常见错误纠正策略 · 多顶点角表示错误：如将顶点O处的三个角笼统记为∠O，正确做法是按位置关系分别标记为∠AOB、∠BOC、∠AOC。 · 书写规范问题：强调"∠"符号不可省略，区分"∠"与"<"，数字表示时不可写成"角1"而应规范为"∠1"。 三、图形中角的计数规律与方法 1. 基础图形计数公式 · 射线分角公式：当一个顶点引出n条射线时（包括两边），角的总个数为n(n-1)/2，推导过程可通过"从第一条射线依次与后续射线组合"的有序计数法理解，如3条射线形成2+1=3个角，4条射线形成3+2+1=6个角。 2. 复杂图形分层计数法 · 独立角→组合角递进法：在含多个顶点的图形中，先按顶点分类，再对每个顶点处的角单独计数，最后求和。例如三角形中3个顶点，每个顶点处1个角，共3个；五角星图形需分解为5个小角和5个组合角分别计数。 · 方向排除法：计数时固定一条边为始边，按顺时针/逆时针方向依次计数，避免重复或遗漏，如从OA边开始，依次计数∠AOB、∠AOC、∠AOD... 四、新定义情境题的解题步骤 1. 定义转化能力培养 · 关键词提取法：遇到"优角""劣角"等新定义时，立即圈划核心条件（如优角是大于180°小于360°的角），将文字定义转化为数学符号表示（180°<优角<360°）。 · 图形可视化：根据新定义画出示意图，如"对顶角的邻补角"需先画出对顶角∠1=∠3，再找出∠1的邻补角∠2，通过图形直观理解数量关系∠1+∠2=180°。 2. 多步推理问题解决流程 · 定义→性质→应用三步法： 1. 明确新定义内涵（如"等角"需满足度数相等）； 2. 结合已有知识（如平角性质、角平分线定义）； 3. 构建等量关系求解，例如新定义"角的差"：若∠α=∠β-∠γ，则∠β=∠α+∠γ。 【例3】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． (1)如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由． (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 【变式3—1】国庆期间，南山区某校七年级同学在观看灯光秀表演后，以“角内特殊射线”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出倍分线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线．如图1，若，则为的3倍分线；若，则也是的3倍分线． 【特例感知】 （1）若，射线为的1倍分线，则______； （2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 如图2，在上方作（），使为的2倍分线； 【类比探究】 （3）如图3，点在同一条直线上，为直线上方的一条射线． ①若射线分别为和的4倍分线（，），当时，______； ②在①的条件下，当时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请求出的度数；若发生变化，请说明理由． 【变式3—2】定义：如果，则称是的加权伴随角．例如，此时，所以是的加权伴随角．而，所以不是的加权伴随角． 应用： (1)如果，， ①______（填“是”或“不是”）的加权伴随角； ②______（填“是”或“不是”）的加权伴随角； (2)点O在直线上，点分别为射线上一点，射线以每秒顺时针旋转，同时射线以每秒逆时针旋转，设旋转的时间为秒． ①当时，判断是否为的加权伴随角，并说明理由； ②若，求的值； ③在三个角中，若是另外两个角的加权伴随角，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平面图形的初步认识（5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】 直线、射线、线段 一、基本概念 1. 直线： · 定义：直线是向两方无限延伸的，没有端点，无法度量其长度。它是构成几何图形的最基本元素之一，可以想象成一根无限长的、没有粗细的线。 · 表示方法： · 用直线上的两个大写字母表示，如直线AB（或直线BA），其中A、B是直线上任意两个不同的点，这种表示方法体现了直线可以通过其上两点来确定。 · 用一个小写字母表示，如直线l，这种表示方法简洁明了，常用于在图形中标记不同的直线。 2. 射线： · 定义：射线是由线段的一端无限延长所形成的图形，它有一个端点，另一端可以无限延伸，因此也无法度量其长度。 · 表示方法： · 用两个大写字母表示，其中第一个字母是射线的端点，第二个字母是射线上除端点外的任意一点，如射线OA（端点是O，A是射线上另一点），注意表示端点的字母必须写在前面，以明确射线的方向。 3. 线段： · 定义：线段是直线上两点间的有限部分，它有两个端点，可以度量其长度。线段是可以实际操作和度量的，比如我们日常生活中的铅笔、尺子边缘等都可以近似看作线段。 · 表示方法： · 用线段的两个端点的大写字母表示，如线段AB（或线段BA），A、B是线段的两个端点。 · 用一个小写字母表示，如线段a。 二、直线的基本性质（公理） · 经过两点有一条直线，并且只有一条直线（简述为：两点确定一条直线）。这个性质在生活中有广泛的应用，例如建筑工人砌墙时会用重锤线来确保墙体是直线，就是利用了两点确定一条直线的原理；我们用直尺画直线时，也是通过确定两个点来画出唯一的一条直线。 三、线段的基本性质（公理） · 两点之间，线段最短。这条性质也被称为“线段公理”。比如，从A地到B地，人们通常会选择走直路，而不是弯路，就是因为两点之间线段最短，这样可以节省时间和路程。连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。 四、线段的大小比较与度量 1. 度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后比较它们的大小。例如，要比较线段AB和线段CD的大小，我们可以用尺子量出AB的长度是5厘米，CD的长度是3厘米，就可以得出AB大于CD的结论。 2. 叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使它们的一个端点重合，然后观察另一个端点的位置关系。 · 如果另一个端点也重合，那么两条线段相等，记作AB=CD。 · 如果另一个端点落在另一条线段内部，那么这条线段较短，记作AB<CD。 · 如果另一个端点落在另一条线段外部，那么这条线段较长，记作AB>CD。 五、线段的中点 · 定义：如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，那么点M叫做线段AB的中点。此时有AM=MB=1/2AB，AB=2AM=2MB。例如，若线段AB长为8厘米，M是AB的中点，则AM=MB=4厘米。线段的中点是一个非常重要的概念，在解决与线段长度相关的计算问题时经常用到。 【清单02】角 一、角的概念 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。例如，我们常见的三角板上的角，都是由一个顶点和两条边组成的。 2. 动态定义：角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。这种定义方式更能体现角的形成过程，比如钟面上的时针和分针在转动过程中就形成了不同的角。 二、角的表示方法 1. 用三个大写字母表示：角的顶点字母写在中间，两边上各取一个点的字母写在两旁，如∠AOB（顶点是O，OA、OB是角的两边）。这种表示方法可以准确地表示出一个角，避免混淆。 2. 用一个大写字母表示：当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点字母表示，如∠O。但如果以O为顶点的角有多个，就不能只用一个大写字母表示，否则会不清楚指的是哪个角。 3. 用一个数字表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上数字，如∠1。这种方法在图形中角比较多时使用，可以方便地区分不同的角。 4. 用一个希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上希腊字母（如α、β、γ等），如∠α。 三、角的度量 · 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）。 · 进制：1°=60′，1′=60″（六十进制）。这和我们常用的十进制不同，在进行角的度量和计算时要特别注意单位的换算。例如，30.5°等于30°30′，因为0.5°=0.5×60′=30′。 · 量角器：量角器是度量角的工具，使用时要将量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 四、角的比较 1. 度量法：用量角器量出两个角的度数，然后比较它们的大小。例如，∠1的度数是30°，∠2的度数是45°，则∠1小于∠2。 2. 叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中一条边也重合，然后观察另一条边的位置关系。 · 如果另一条边也重合，那么这两个角相等，记作∠A=∠B。 · 如果另一个角的另一条边落在这个角的内部，那么这个角较大，记作∠A>∠B。 · 如果另一个角的另一条边落在这个角的外部，那么这个角较小，记作∠A<∠B。 五、角的平分线 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。例如，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠COB。角平分线的概念与线段中点类似，在角的计算和证明中经常用到。 六、角的分类（按大小） 1. 锐角：大于0°而小于90°的角。例如，30°、45°、60°的角都是锐角。 2. 直角：等于90°的角，记作Rt∠。我们常见的长方形、正方形的四个角都是直角。 3. 钝角：大于90°而小于180°的角。例如，120°、150°的角都是钝角。 4. 平角：等于180°的角。平角的两边在同一条直线上，但它仍然是一个角，而不是一条直线。 5. 周角：等于360°的角。周角的两边重合在一起，形成一个圆周。 七、互为余角和互为补角 1. 互为余角： · 定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。即其中一个角是另一个角的余角。例如，∠1+∠2=90°，则∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。 · 性质：同角（或等角）的余角相等。如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3；如果∠1=∠4，∠1+∠2=90°，∠4+∠5=90°，那么∠2=∠5。 2. 互为补角： · 定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。即其中一个角是另一个角的补角。例如，∠3+∠4=180°，则∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角。 · 性质：同角（或等角）的补角相等。如果∠3+∠4=180°，∠3+∠5=180°，那么∠4=∠5；如果∠3=∠6，∠3+∠4=180°，∠6+∠7=180°，那么∠4=∠7。 八、对顶角 · 定义：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。例如，两条直线相交于点O，形成∠1、∠2、∠3、∠4，其中∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角。 · 性质：对顶角相等。如上例中，∠1=∠3，∠2=∠4。对顶角的性质在解决相交线所形成的角的问题中非常重要。 【清单03】相交线 一、相交线的概念 · 在同一平面内，两条直线如果有一个公共点，就说它们相交，这个公共点叫做它们的交点。例如，直线AB和直线CD相交于点O，O就是它们的交点。 二、邻补角 · 定义：两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角。邻补角也可以看作是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角。例如，直线AB和CD相交于点O，∠AOC和∠COB有公共顶点O，有公共边OC，且它们的另一边OA、OB互为反向延长线，所以∠AOC和∠COB是邻补角。 · 性质：邻补角互补，即它们的和等于180°。如上例中，∠AOC+∠COB=180°。 三、垂线的概念与性质 1. 垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直用符号“⊥”表示，如直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD，垂足为O。 2. 垂线的性质： · 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这里的“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外。例如，过直线l上一点P，有且只有一条直线与l垂直；过直线l外一点Q，也有且只有一条直线与l垂直。 · 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例如，点P是直线l外一点，PO是l的垂线，垂足为O，则线段PO的长度就是点P到直线l的距离。 四、同位角、内错角、同旁内角（两条直线被第三条直线所截） · 截线与被截线：两条直线（被截线）被第三条直线（截线）所截，形成八个角。 · 同位角：在两条被截直线的同一方，在截线的同一侧，这样的两个角叫做同位角。例如，直线a、b被直线c所截，∠1和∠5分别在a、b的上方，在c的右侧，所以∠1和∠5是同位角。同位角的位置关系像字母“F”。 · 内错角：在两条被截直线之间，在截线的两侧，这样的两个角叫做内错角。例如，∠3和∠5在a、b之间，分别在c的左右两侧，所以∠3和∠5是内错角。内错角的位置关系像字母“Z”。 · 同旁内角：在两条被截直线之间，在截线的同一旁，这样的两个角叫做同旁内角。例如，∠3和∠6在a、b之间，在c的同一侧（左侧），所以∠3和∠6是同旁内角。同旁内角的位置关系像字母“U”。 【清单04】平行线 一、平行线的概念 · 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如直线AB平行于直线CD，记作AB∥CD。 · 注意： · “在同一平面内”是前提条件，因为在空间中，不相交的两条直线不一定平行（可能异面）。 · “不相交”是平行线的特征。 · 平行线指的是直线，射线或线段平行，是指它们所在的直线平行。 二、平行公理及推论 1. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。例如，点P是直线l外一点，那么过点P有且只有一条直线与l平行。 2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行。如果a∥b，c∥b，那么a∥c。 三、平行线的判定方法 1. 同位角相等，两直线平行。例如，直线a、b被直线c所截，如果∠1=∠5，那么a∥b。 2. 内错角相等，两直线平行。例如，如果∠3=∠5，那么a∥b。 3. 同旁内角互补，两直线平行。例如，如果∠3+∠6=180°，那么a∥b。 4. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（a∥b，b∥c，则a∥c）。 5. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。例如，a⊥c，b⊥c，则a∥b。 四、平行线的性质 1. 两直线平行，同位角相等。如果a∥b，那么∠1=∠5。 2. 两直线平行，内错角相等。如果a∥b，那么∠3=∠5。 3. 两直线平行，同旁内角互补。如果a∥b，那么∠3+∠6=180°。 五、平行线间的距离 · 定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 · 性质：两条平行线间的距离处处相等。这意味着无论在两条平行线的哪个位置作垂线段，它们的长度都相等。 【清单05】多边形 一、多边形的相关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的分类： · 按边数分：三角形（3条边）、四边形（4条边）、五边形（5条边）……n边形（n条边，n≥3）。 · 按形状分： · 凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。我们初中阶段主要学习凸多边形。 · 凹多边形：如果多边形有一部分在这条直线的另一侧，那么这个多边形就是凹多边形。 3. 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。例如，正三角形（等边三角形）、正方形、正五边形等。正多边形具有对称性，是一种特殊的多边形。 二、多边形的内角和 · n边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°（n≥3，且n为整数）。这个公式的推导可以通过从n边形的一个顶点出发引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和就是（n-2）×180°。例如，三角形的内角和是（3-2）×180 【题型一】余、补角问题 【例1】已知和互余，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“余角的定义”，正确计算角度是解题关键． 根据互余角的定义，之和为，代入计算即可． 【详解】∵ 互余， ∴ ． ∴ ． 故选：A． 【变式1-1】如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，与余角、补角有关的计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据四个图，分别作出分析，再作出判断． 【详解】解：A中两个角互余，故符合； B中两个直角减去中间的公共角分别等于和， 所以和相等， 故不符合； C中和都是的补角，都等于， 所以它们相等，故不符合； D中两个角互为邻补角，故不符合， 故选：A． 【变式1-2】若一个角的度数为，则它的补角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了求一个角的补角． 依据补角的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型二】多边形 【例2】一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（   ） A． 0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题， 根据多边形对角线的定义，从一个顶点出发，可以连接除自身及相邻顶点外的所有其他顶点，因此可引对角线条数为顶点数减3． 【详解】解：从一个顶点出发，可引对角线条数， ∵， ∴可引对角线条数． 故选：D． 【变式2-1】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 【变式2-2】用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算 ． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 【题型三】平行线的性质 【例3】如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质找到与相关的角，再结合邻补角的性质计算的度数． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ 故选：C． 【变式3-1】将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式3-2】如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型四】折叠问题 【例4】如图，在中，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于边时，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的翻折问题，解题的关键是读懂题意，掌握翻折的性质．设，由得，故，即得，从而，可解得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，， ， ， 解得； 故选：C 【变式4-1】如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据平行线的性质得出，再根据折叠性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由折叠性质可得，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 故选：A． 【变式4-2】如图，将长方形纸片沿折叠得到图1，再沿PM折叠得到图2，已知，． ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，若，则的度数为 （用含k的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的应用−折叠问题； ①首先由平行线的性质求出∠AMP的度数，再结合折叠的性质可求出∠AMN度数； ②需要灵活运用平行线的性质以及两次折叠的关系找出相关角的等量关系，建立方程求解，同时，多个字母参与运算考查学生的代数运算能力． 【详解】解：①∵ ∴ 由折叠的性质可知 ②∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， 由折叠的性质可知 ∴ 解得 ∴ 故答案为：①25；②． 【题型五】线段的计算 【例5】如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质得到线段长度，再通过和差求目标线段． 由中点得，再用计算长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴ 又∵， ∴． 故选：C． 【变式5-1】如图，点在线段上，，，点是线段的中点，点是线段的中点，则线段的长为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的和差以及线段中点的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】如图，E为线段上靠近点A的三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． (1)若，求线段的长； (2)若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； (3)若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 【答案】(1) (2) (3)存在，动点P运动的时间为或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题，线段的和差倍分，利用一元一次方程的方法求解是解题的关键． （1）根据三等分点的定义求出的长度，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）先求出所有线段的和为，结合已知可得出，设，则，，根据三等分点的定义求出，则可得方程，解方程即可求解； （3）分三种情况：①在左边时，；②在右边，在左边时，；③在右边时且在右边时，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵E为线段上靠近点A的三等分点，， ∴， ∴， （2）解：∵以A为端点的线段有，，，；以E为端点的线段有，，；以B为端点的线段有，，以D为端点的线段有， ∴所有线段的和为 ， ， ∵所有线段的长度之和是线段长度的5倍， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 又， ∴， ∵E为线段上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵，，E为线段上靠近点A的三等分点， ∴，， ∴，， ①在左边时，， ，， ∴， 解得； ②在右边，在左边时，， ，， ∴， 解得（舍去）； ③在右边时且在右边时，， ，， ∴， 解得， 综上，存在某个时刻使得成立，此时动点P运动的时间为或． 【题型六】平行的判定 【例6】如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 【变式6-1】如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-2】如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 【题型七】相交线的计算 【例7】如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了垂直的定义，余角的性质等知识，根据垂直的定义得到，则，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式7-1】如图，与交于点F，，垂足为F，若，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查垂直的定义，角的和差关系，对顶角相等. 利用垂直的定义可知，再运用求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【变式7-2】如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得到，进而证得，运用一个角与它的补角之和为进行计算求解即可； （2）根据，可假设，，结合角之间的关系后进行计算求解即可． 【详解】（1）解：，， 答：的度数为； （2）解：， 设，则 ． 答：的度数为． 【题型八】尺规作图 【例8】如图，已知平面上有射线，线段和． (1)用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在线段的延长线上截取；以A为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形：若点E是线段的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，线段的和与差等知识，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角以及作一条线段等于已知线段的作法画出图形，即可解答； （2）根据题意可得到，再由中点的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，和即为所求； （2）解：，， ， 点E是线段的中点， ， ． 【变式8-1】已知线段a，b如图所示，根据下列要求，依次画图或计算． (1)根据下列步骤画图，并用含有a，b的式子表示线段． ①作出射线； ②在射线上依次截取； ③在线段上截取． (2)若，，M是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段的作图，解决此类题目的关键就是熟悉基本几何图形的性质． （1）按要求步骤作图即可； （2）将a、b的值代入代数式，可得的值，从而得到的长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 根据作图可得：， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵M为的中点； ∴． 【变式8-2】（1）根据下图补全作法： ①已知线段a，b，作射线， ②在射线上依次截取； ③：_________． 结论：如图，线段即为所求．此时_________．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若，，E为线段的中点，F为线段的中点，求线段的长． （3）如图，折线由有公共端点B的两条线段，组成，点D把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“总长平分点”．已知点Q是折线的“总长平分点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】（1）在线段上截取，；（2）线段的长为；（3）4或 【分析】本题考查了作图，列代数式，两点间的距离，解题的关键是要结合题意进行分类讨论； （1）根据作图，列出代数式即可； （2）将，然后分别用进行表示求解即可； （3）提出一个新的定义——“总长平分点”，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论． 【详解】解：（1）解：由题意及图可知： ③在线段上截取， 此时， 故答案为：在线段上截取，； （2）如下图： 由题意知： ， 线段的长为； （3）解：如图3， ①在上， 点为线段的中点，， ， 点是折线的“总长平分点”， ， ， ， ， ， ； ②如图4，在线段上， 同理：， ， ， ， 故答案为：4或． 【题型九】网格作图 【例9】操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了用尺规做一个角等于已知角，利用网格作垂线以及点到直线的距离的定义，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）连接，用尺规作即可． （2）根据网格即可过C点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点E，垂足点F；根据点到直线的距离定义即可得到线段的长度是点C到直线的距离； 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）①如图所示， 即为所求的垂线， ②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：． 【变式9-1】如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，依据见解析 【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合． （1）利用网格的特点作图即可； （2）利用网格的特点作图即可； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， 判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短． 【变式9-2】用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)连接交于点O； (2)过点A画直线，使； (3)过点A画直线的垂线，垂足为H． (4)观察得到的图形，请比较线段_____线段（用“＞”，“＜”或“＝”连接），你的理由是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，垂线段最短 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及垂线的性质是解题的关键． （1）根据线段的特点作图； （2）根据网格线的特点及平行线的性质作图； （3）根据网格线的特点及垂直的定义作图； （4）根据“垂线段最短”求解． 【详解】（1）即为所求； （2）即为所求； （3）即为所求； （4），理由：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 【题型一】线段、射线、直线的概念混淆 【例1】下列关于作图的语句中，叙述正确的是（） A．画直线 B．画射线 C．已知，，三点，过这三点画一条直线 D．延长线段到点 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的基本性质，熟练掌握直线和射线不可度量、线段可延长的性质是解题的关键． 根据直线、射线、线段的性质，逐一判断各选项的作图语句是否正确． 【详解】解：∵直线没有长度，不可度量， ∴画直线的表述错误，故A项错误； ∵射线没有长度，不可度量， ∴画射线的表述错误，故B项错误； ∵三点不一定在同一条直线上， ∴过A，B，C三点画一条直线的表述错误，故C项错误； ∵线段可以延长， ∴延长线段到点是可行的作图操作，故D项正确； 故选：D． 【变式1-1】下列说法中，正确的是（    ） 射线和射线是同一条射线； 若，则点为线段的中点； 连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离； 点在线段上，，分别是线段，的中点，若，则线段． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查射线、线段中点、距离定义等几何概念，根据射线、线段中点、两点间的距离求解即可． 【详解】∵射线以A为端点向B延伸，射线以B为端点向A延伸，方向不同， ∴ ①错误； ∵时，点B不一定在线段上， ∴ ②错误； ∵连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离， ∴ ③正确； ∵ C在线段上，M为中点，N为中点， ∴，， ∴， ∴ ④正确． 故选：D． 【变式1-2】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 【题型二】角平分线性质应用错误 【例2】已知，，平分，平分，则的度数是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义和角的计算，分情况分析是解题的关键． 先由角平分线定义求出和的度数，再分与在同侧、异侧两种情况，通过角的和差计算得的结果即可． 【详解】∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， 情况1：与在同侧， ， 情况2：与在异侧， ， ∴为或． 故选：D． 【变式2-1】如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的计算是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据平角的定义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵分别是，的平分线，，， ∴，， ∵是平角， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-2】如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线以及角的比较和运算： ①根据判断； ②结合和判断； ③结合和判断； ④根据判断． 【详解】∵，分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ①正确． ∵， ∴． 又∵， ∴． ②正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ③错误． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． ④正确． 故答案为：①②④ 【题型三】角的表示与度量单位换算 【例3】如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】解：选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度单位的换算，角度的大小比较．将∠1和∠3的度分秒转换为十进制度，再与∠2比较． 【详解】∵，，， ∴． 故选：B． 【变式3-2】比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，，先统一单位，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：． 【题型一】三角形旋转求t问题 方法技巧 一、明确旋转三要素，奠定解题基础 1. 旋转中心：确定图形绕哪个点旋转（题目常以定点如点O、点A等为中心，需在图中标注）。 2. 旋转方向：区分顺时针或逆时针（题目未明确时需结合图形动态变化判断，通常用“顺时针”“逆时针”描述）。 3. 旋转角度：关键变量“t”常与角度相关（如每秒旋转30°，则t秒后旋转角度为30t°，需用含t的代数式表示）。 示例：若△ABC绕点O顺时针旋转，速度为每秒15°，则t秒后旋转角度为15t°，对应边、角的旋转角度均为15t°。 二、利用旋转性质，建立等量关系 1. 对应边相等：旋转前后对应线段长度不变（如OA=OA'，AB=A'B'，其中A'、B'为旋转后对应点）。 2. 对应角相等：旋转前后对应角度不变（如∠A=∠A'，旋转角∠AOA'=∠BOB'=θ，θ=旋转速度×t）。 3. 旋转中心到对应点距离相等：旋转中心O到原图形点A与旋转后点A'的距离相等（OA=OA'），此性质常用于判断点的位置或构造等腰三角形。 应用场景：当题目中出现“某点落在某直线上”“某线段与某直线重合”时，可利用对应边相等或对应角相等建立方程。 示例：若△ABC绕点A旋转，使得点C落在直线AB上，已知AC=5，AB=8，则旋转后点C的对应点C'满足AC'=AC=5，分两种情况： · 顺时针旋转：C'在线段AB上，BC'=AB-AC'=8-5=3； · 逆时针旋转：C'在BA延长线上，BC'=AB+AC'=8+5=13。 三、分类讨论旋转位置，避免漏解 1. 按旋转方向分类：若题目未明确顺时针或逆时针，需分别讨论两种方向下的图形位置。 2. 按对应点位置分类：旋转后图形可能与原图形重叠、部分重叠或完全分离，需根据“点在线上”“线段重合”“角为特殊角（如90°、180°）”等条件确定临界位置。 常见临界条件： · 某点落在坐标轴上（如x轴、y轴，对应坐标特征：纵坐标为0或横坐标为0）； · 某线段与已知直线垂直（夹角90°）或平行（斜率相等）； · 旋转后三角形与原三角形形成特殊图形（如等腰直角三角形、等边三角形）。 示例：Rt△ABC绕直角顶点C旋转，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，设每秒旋转t°，问t为何值时，点A的对应点A'落在直线BC上？ 分析： · 顺时针旋转：A'落在BC延长线上，∠ACA'=180°-∠ACB=90°（此时旋转角为90°），则t=90°/旋转速度（若速度为1°/秒，则t=90）； · 逆时针旋转：A'落在CB延长线上，∠ACA'=270°（或-90°），旋转角为270°，则t=270°/旋转速度（若速度为1°/秒，则t=270）。 【例1】将一副直角三角板按如图①摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转． (1)如图②，当____时，平分，此时____． (2)继续旋转三角板，使得，同时在直线的右侧，如图③，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当____时，； ②请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 (3)①或12；② 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系、用代数式表示旋转过程中的角是解题的关键． （1）先由角平分线定义求出的度数，结合旋转速度算时间；再利用，通过角的和差求． （2）用表示和，通过角的差得到，再推导其与的数量关系． （3）①用表示和，结合列绝对值方程求解；②用表示旋的角度和，推导数量关系即可． 【详解】（1）解：∵，且平分， ， ∵三角板的旋转速度是每秒， ， 又∵，， ； （2）解：，理由如下： 由旋转可知，且， ， 又∵， ； （3）解：①由旋转可知，，且， ， ∵， ∴， ，即， 当时， 解得； 当时， 解得． ∴当或12时，； ②由旋转可知，，，， ∴转动的角度为，， ， 又∵，即， ． 【变式1—1】问题提出 如图，点O为直线上一点，将一副直角三角尺按图中方式放在点O处，使边，落在直线上，，． （1）如图1，的度数为______． 问题探究 （2）如图2，三角尺固定不动，将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，两块三角板都在直线的上方．设运动时间为t秒．t为何值时，平分． 问题解决 （3）如图3，若在三角尺开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，三角尺和三角尺始终在直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（3）7或9.4 【分析】本题主要考查邻补角的定义、角平分线的性质和旋转过程中角度的和差关系，解题的关键是熟悉角度和差关系，并应用动态的思想解决问题． （1）利用邻补角的定义求解即可． （2）根据角平分线的定义，再得出旋转角，再除以转动速度即可； （3）当在左侧时，在旋转过程中，和；当在右侧时，在旋转过程中，和 ，根据题意分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知：点O，A，C三点共线，且， ∴ （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴（秒）； （3）存在，理由是： 当在左侧时， 在旋转过程中，， ， 当， ∴， 解得：； 当在右侧时， 在旋转过程中， ， ， ， ， 综上：的值为7秒或9.4秒． 【变式1—2】如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 【答案】(1)90 (2)①；②20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第（2）②问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系， ②动点问题，先画出图形，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ， 故答案为：90； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； ②如图2，当射线旋转到时，旋转至,延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 未旋转前，， ， ， 解得：； 当与在直线同侧且平行时， 由，得， 故答案为：20或80． 【题型二】平行线中的综合问题 方法技巧 一、构造辅助线：突破“无截线”或“多线交叉”困境 核心思路：当题目中平行线间无直接截线，或多条直线交叉导致角的关系不明确时，通过添加辅助线（如过“拐点”作平行线、延长线段等），构造“三线八角”基本模型，将复杂图形转化为可直接应用平行线性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）的简单图形。 常见辅助线类型： 1. 过拐点作平行线：若图形中存在“折线”（如“Z”型、“U”型、“M”型等含拐点的图形），过拐点作已知平行线的平行线，利用“平行于同一直线的两直线平行”，将拐点处的角分解为同位角、内错角或同旁内角。 ▶ 示例：如图，AB∥CD，点E为AB、CD间一点，求∠BED与∠B、∠D的关系。 ▶ 辅助线：过点E作EF∥AB（则EF∥CD），可得∠B=∠BEF（内错角），∠D=∠DEF（内错角），故∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D。 2. 延长线段构造截线：若两条平行线被某条线段部分遮挡，延长线段使其与平行线相交，形成完整的“三线八角”模型，进而利用角的关系求解。 二、方程思想：解决含“参数角”或“倍分关系”问题 核心思路：当题目中涉及角的度数未知但存在等量关系（如倍角、分角、和差关系）时，设未知数表示关键角，根据平行线性质（如“同旁内角互补”“内错角相等”）建立方程，通过解方程求出角的度数或关系。 解题步骤： 1. 设元：设题目中与所求角相关的未知角为x（通常选择较小的角或中间量）； 2. 用含x的代数式表示其他角：根据图形中角的位置关系（如对顶角、邻补角、角平分线等）及平行线性质，用x表示其他角； 3. 列方程：根据题目中的等量关系（如“某个角是另一个角的2倍”“同旁内角之和为180°”）列出方程； 4. 求解并验证：解方程求出x的值，代入代数式求出所求角，并检验结果是否符合图形逻辑。 ▶ 示例：如图，AB∥CD，∠1=3∠2，∠3=100°，求∠2的度数。 ▶ 解：设∠2=x，则∠1=3x，∵AB∥CD，∴∠1+∠3=180°（同旁内角互补），即3x+100°=180°，解得x=26.67°（即∠2=80°/3，此处需根据题目要求保留分数或小数）。 三、转化思想：将复杂图形分解为“基本模型” 核心思路：平行线综合题常由多个基本图形组合而成（如“平行线+角平分线”“平行线+垂线”“双平行线夹折线”等），需识别并分解出熟悉的基本模型，利用模型的固定结论快速解题。 常见基本模型及结论： 1. 平行线+角平分线模型： · 若一条直线平分平行线中的一组同旁内角，则该直线垂直于平行线（如AB∥CD，EF平分∠BEF，FG平分∠EFD，则EF⊥FG）； · 若角平分线平行于某条直线，则可构造等腰三角形（如AD平分∠BAC，AD∥BC，则AB=AC）。 2. 双平行线夹折线模型（“M”型、“W”型等多拐点图形）： · 规律：拐点处的角之和等于两侧角之和（如“Z”型：∠B+∠D=∠BED；“M”型：∠B+∠D+∠F=∠BEF+∠EFD，具体结论需结合辅助线推导）。 3. 平行线+垂线模型： · 若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直于另一条（可用于证明两条直线垂直）； · 过平行线间一点作两条垂线，垂线段长度相等（即平行线间的距离处处相等）。 四、动态问题：分类讨论“动点”或“动线”位置 核心思路：当题目中存在动点（如点在平行线上运动）或动线（如直线绕端点旋转）时，需根据图形位置的变化进行分类讨论，避免漏解。分类的依据通常是“动点/动线是否跨越拐点”“角的方向是否改变”等。 分类讨论要点： 1. 确定临界点：找出动点或动线位置变化的分界点（如拐点、交点、端点等）； 2. 按区域分类：根据临界点将运动范围分为不同区域，分别画出每种情况下的图形； 3. 分别求解：针对每类图形，结合平行线性质和已知条件求解，最后综合各类结果得出答案。 ▶ 示例：如图，AB∥CD，点P在直线AB、CD之间运动，当点P在不同位置时，∠APC与∠A、∠C的关系是否变化？ ▶ 分类讨论：①当点P在AC左侧时，∠APC=∠A+∠C（“Z”型模型）；②当点P在AC右侧时，∠APC=360°-∠A-∠C（“反Z”型模型，需过P作平行线推导）。 五、逆向思维：从结论出发，“执果索因” 核心思路：对于证明题（如“求证两条直线平行”“求证某角等于某角”），若正向推理困难，可从结论入手，反向分析需满足的条件，逐步追溯至已知条件，即“要证什么→需证什么→已知什么”。 适用场景： · 需证明两条直线平行时，反向思考：要证平行，需证“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”，进而寻找这些角的关系是否可通过已知条件推导； · 需证明角的关系时，反向思考：要证∠1=∠2，需证∠1与某个角相等，∠2与该角相等（等量代换），或∠1与∠2是平行线的内错角/同位角等。 ▶ 示例：已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF。 ▶ 逆向分析：要证BE∥CF，需证∠EBC=∠BCF（内错角相等）；∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（内错角相等），又∠1=∠2，∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，即∠EBC=∠BCF，故结论成立。 六、整体思想：将多个角视为“整体”简化计算 核心思路：当图形中多个角的关系复杂，但整体上满足某种等量关系（如“多个角的和为定值”）时，不单独求解每个角，而是将其视为整体代入计算，简化过程。 常见应用： · 在“双平行线夹多折线”模型中，多个拐点处的角之和可视为整体，利用平行线性质得出整体与两侧角的关系（如“M”型三拐点：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+180°，具体需结合辅助线推导）； · 涉及“角的和差”时，若部分角的和已知，可直接用整体代入（如已知∠A+∠B=120°，∠B+∠C=150°，则∠A-∠C=-30°，无需单独求∠A、∠B、∠C）。 【例2】已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2—1】已知，点A、点B分别在线段上，． (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点F和点E，则_________．（直接写出角度和） (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．（补充说明：本题三角形内角和，四边形内角和可直接用） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，整理得，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证，则，再由即可求解． 【详解】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过B作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：； （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 【变式2—2】已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质得到，，进而得到，再利用角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求出的度数； （3）过点作，利用平行线的性质得到，，利用角的和差得到，进而得到，再结合（1）中的结论即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵和的角平分线交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）中的结论得，， ∴， 整理得， ∴． 【题型三】角的新定义问题 方法技巧 一、准确理解角的静态定义与动态定义 1. 静态定义的应用要点 · 三要素识别法：明确角由公共端点（顶点）和两条射线（边）组成，判断图形是否为角时需同时满足"一个顶点+两条射线"的结构特征。 · 反例辨析技巧：遇到曲线与射线组合、两条线段构成的图形等情况，可依据"射线无限延伸性"排除非角图形，如含圆弧的图形或未标注端点的两条直线均不符合定义。 2. 动态定义的深度解析 · 旋转模型构建：以射线绕端点旋转为核心，建立"始边→旋转方向→旋转量→终边"的四步分析框架，区分顺时针（负角）与逆时针（正角）旋转方向，注意零角的特殊情况（旋转量为0°）。 · 运动轨迹想象法：通过实物模拟（如直尺绕端点旋转）直观理解角的形成过程，解决"平角是否为直线""周角是否为射线"等易混问题——平角是两条方向相反的射线组成的角，直线没有顶点，二者本质不同。 二、角的表示方法规范与易错点规避 1. 四种表示法的适用场景 · 大写字母表示法：当顶点处只有一个角时，可记为∠A（顶点字母）；有多个角时必须用三个大写字母∠AOB（顶点字母在中间），避免混淆∠AOC与∠BOC等相邻角。 · 数字/希腊字母标记法：在复杂图形中优先使用∠1、∠α等标记，需确保每个角有唯一标记，且标记符号（如弧线）清晰标注在角的内部靠近顶点处。 2. 常见错误纠正策略 · 多顶点角表示错误：如将顶点O处的三个角笼统记为∠O，正确做法是按位置关系分别标记为∠AOB、∠BOC、∠AOC。 · 书写规范问题：强调"∠"符号不可省略，区分"∠"与"<"，数字表示时不可写成"角1"而应规范为"∠1"。 三、图形中角的计数规律与方法 1. 基础图形计数公式 · 射线分角公式：当一个顶点引出n条射线时（包括两边），角的总个数为n(n-1)/2，推导过程可通过"从第一条射线依次与后续射线组合"的有序计数法理解，如3条射线形成2+1=3个角，4条射线形成3+2+1=6个角。 2. 复杂图形分层计数法 · 独立角→组合角递进法：在含多个顶点的图形中，先按顶点分类，再对每个顶点处的角单独计数，最后求和。例如三角形中3个顶点，每个顶点处1个角，共3个；五角星图形需分解为5个小角和5个组合角分别计数。 · 方向排除法：计数时固定一条边为始边，按顺时针/逆时针方向依次计数，避免重复或遗漏，如从OA边开始，依次计数∠AOB、∠AOC、∠AOD... 四、新定义情境题的解题步骤 1. 定义转化能力培养 · 关键词提取法：遇到"优角""劣角"等新定义时，立即圈划核心条件（如优角是大于180°小于360°的角），将文字定义转化为数学符号表示（180°<优角<360°）。 · 图形可视化：根据新定义画出示意图，如"对顶角的邻补角"需先画出对顶角∠1=∠3，再找出∠1的邻补角∠2，通过图形直观理解数量关系∠1+∠2=180°。 2. 多步推理问题解决流程 · 定义→性质→应用三步法： 1. 明确新定义内涵（如"等角"需满足度数相等）； 2. 结合已有知识（如平角性质、角平分线定义）； 3. 构建等量关系求解，例如新定义"角的差"：若∠α=∠β-∠γ，则∠β=∠α+∠γ。 【例3】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． (1)如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由． (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】(1)射线是射线，的“双倍和谐线”，理由见解析 (2)①当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或；②当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或 【分析】本题主要考查新定义下的角度的计算、角平分线的定义和解一元一次方程，列出方程是解题的关键． （1）根据题意可得，则射线是射线，的“双倍和谐线”； （2）①由题意得：，，列出或，分别求解即可； ②由题意得，，，，结合题意得出或，分别求解即可． 【详解】（1）是，∵平分， ∴， ∴射线与射线形成的角是射线与射线组成的角的2倍， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； （2）①解：由题意得：，， ∵射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，射线是射线，的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②解：由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止， ∴此时， ∴，解得：． ∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， （i）如图所示：当时， 即：， 则：，解得：， ∴； （ii）如图所示：当时， 即：， 则：， 解得：， ∴； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 【变式3—1】国庆期间，南山区某校七年级同学在观看灯光秀表演后，以“角内特殊射线”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出倍分线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线．如图1，若，则为的3倍分线；若，则也是的3倍分线． 【特例感知】 （1）若，射线为的1倍分线，则______； （2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 如图2，在上方作（），使为的2倍分线； 【类比探究】 （3）如图3，点在同一条直线上，为直线上方的一条射线． ①若射线分别为和的4倍分线（，），当时，______； ②在①的条件下，当时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请求出的度数；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②不变，理由见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据射线为的1倍分线的定义求解； （2）在的上方作即可； （3）①求出可得结论；②的度数不变．根据n倍分线的定义以及角的和差定义求解． 【详解】解：（1）∵射线为的1倍分线， ∴． 故答案为：； （2）如图2中，即为所求； （3）①∵， ∴， ∵射线分别为和的4倍分线（，）， ∴，， ∴． 故答案为：； ②的度数不变． 理由：∵射线分别为和的四倍分线， ，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． ∴的度数不发生变化． 【变式3—2】定义：如果，则称是的加权伴随角．例如，此时，所以是的加权伴随角．而，所以不是的加权伴随角． 应用： (1)如果，， ①______（填“是”或“不是”）的加权伴随角； ②______（填“是”或“不是”）的加权伴随角； (2)点O在直线上，点分别为射线上一点，射线以每秒顺时针旋转，同时射线以每秒逆时针旋转，设旋转的时间为秒． ①当时，判断是否为的加权伴随角，并说明理由； ②若，求的值； ③在三个角中，若是另外两个角的加权伴随角，直接写出的值． 【答案】(1)①是；②不是； (2)①是的加权伴随角，理由见解析；②，或；③或 【分析】本题主要考查了角的计算．解决本题的关键是熟练掌握新定义——加权伴随角，分类讨论． （1）根据，可知是和的加权伴随角；②根据，可知不是和的加权伴随角； （2）①时，得到，，，可知是和的加权伴随角；②根据，， ，分， 和，两种情况解答；③根据当时， ，，得到，，分， ， ， ，四种情况解答；当时，此时，根据，，，分， ，两种情况解答． 【详解】（1）①∵，，， ∴， ∴是和的加权伴随角； 故答案为：是； ②∵， ∴不是和的加权伴随角； 故答案为：不是； （2）①是的加权伴随角，理由： 当时， ，，， ∴， ∴是和的加权伴随角； ②∵，， 且， ∴当时， ， 解得，； 当时， ， 解得，； 综上，或； ③当时，，， ∴， 当时， 若， 则， 解得，，舍去； 若， 则， 解得，； 当时，，， ∴， 此时， 若， 则， 解得，； 若， 则， 解得，，舍去； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公2 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $