专题04 走进几何世界（期末复习知识清单，3知识&12题型清单）七年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学知识清单聚焦“走进几何世界”专题，涵盖几何图形的概念、图形运动及立体与平面图形转化三大核心内容，构建从观察抽象到运动想象再到转化表达的递进式学习支架，系统梳理立体图形、平面图形等知识范畴。 清单以“3知识清单+12题型清单”构建完整体系，如正方体展开图分“1-4-1型”等类型，图形运动结合电梯平移等实例，培养空间观念与几何直观。题型从基础识别到综合应用，如蚂蚁爬行最短问题通过展开图转化，助力学生自主构建知识网络，教师可精准设计教学，提升课堂实效。

专题04 走进几何世界（3知识&12题型清单） 【清单01】 观察 抽象 一、几何图形的概念与来源 1. 几何图形的定义：我们把从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。几何图形是对现实世界中物体形状、大小和位置关系的抽象概括。 2. 几何图形的来源：几何图形源于生活，是从千姿百态的现实物体中，忽略其颜色、材料、重量等非形状、大小特征后，抽象得到的数学模型。例如，从足球抽象出球体，从粉笔盒抽象出长方体。 二、立体图形 1. 定义：各部分不都在同一平面内的几何图形叫做立体图形，也称为三维图形。 2. 常见立体图形及特征： · 正方体：由6个完全相同的正方形围成的立体图形，有8个顶点，12条棱，所有棱的长度都相等。 · 长方体：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，有8个顶点，12条棱，相对的棱长度相等。 · 圆柱：由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。圆柱有无数条高，所有高的长度都相等。 · 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。圆锥有1个顶点，1条高。 · 球：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体。球面上任意一点到球心的距离都相等（即半径）。 3. 观察立体图形的方法：从不同方向（正面、上面、左面等）观察立体图形，可以得到不同的平面图形，这些平面图形称为视图。通过多个视图可以更全面地了解立体图形的形状。 三、平面图形 1. 定义：各部分都在同一平面内的几何图形叫做平面图形，也称为二维图形。 2. 常见平面图形及特征： · 线段：直线上两点及两点间的部分，有两个端点，可以度量长度。 · 射线：直线上一点和它一旁的部分，有一个端点，无法度量长度，可以向一端无限延伸。 · 直线：没有端点，可以向两端无限延伸，无法度量长度。经过两点有且只有一条直线（即两点确定一条直线）。 · 角：由公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 · 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，有三个顶点，三条边，三个内角。 · 四边形：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，常见的有长方形、正方形、平行四边形、梯形等。 · 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆，这个固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。 3. 立体图形与平面图形的关系：立体图形是由平面图形围成的（球除外，它是由曲面围成的）。将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这个平面图形称为该立体图形的表面展开图；反之，有些平面图形也可以折叠成立体图形。 【清单02】运动 想象 一、图形的运动方式 1. 平移： · 定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。 · 特征：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 · 实例：电梯的上下移动、火车在平直轨道上的行驶、传送带上物体的移动等。 2. 旋转： · 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 · 特征：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应角相等。 · 实例：钟表指针的转动、风车叶片的转动、摩天轮的转动等。 3. 翻折（轴对称）： · 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（轴对称），这条直线叫做对称轴。 · 特征：翻折后，对称轴两侧的图形能够完全重合，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 · 实例：蝴蝶的翅膀、天安门城楼（简化图形）、等腰三角形等。 二、图形运动的应用 1. 形成新图形：通过平移、旋转、翻折等运动，可以将简单的平面图形组合或变换成更复杂的平面图形。例如，一个基本的图案通过平移可以得到一个美丽的花边；一个三角形通过旋转可以形成一个多边形。 2. 构建立体图形：一些立体图形可以看作是由平面图形通过运动形成的。例如，长方形绕着它的一条边旋转一周可以形成圆柱；直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周可以形成圆锥；半圆绕着它的直径旋转一周可以形成球。 3. 空间想象能力的培养：通过观察图形的运动过程，想象运动后图形的形状、位置和大小变化，有助于培养空间想象能力，为后续学习立体几何打下基础。例如，想象一个正方体的表面展开图折叠后形成正方体的过程，或者一个圆柱体沿着母线剪开后展开图的形状。 【清单03】转化 表达 一、立体图形与平面图形的转化——展开与折叠 1. 立体图形的表面展开图： · 定义：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的表面展开图。 · 正方体的表面展开图：正方体有6个面，其表面展开图是由6个正方形组成的平面图形。由于展开方式不同，正方体的表面展开图有多种形式，总体可分为“1-4-1型”、“2-3-1型”、“2-2-2型”、“3-3型”等（注：具体类型不要求记忆，但能识别和判断）。 · 圆柱和圆锥的表面展开图：圆柱的表面展开图由两个大小相同的圆形（底面）和一个长方形（侧面）组成，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高；圆锥的表面展开图由一个圆形（底面）和一个扇形（侧面）组成，扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面的周长。 2. 平面图形折叠成立体图形： · 定义：将平面图形按照一定的方式进行折叠，可以围成相应的立体图形。 · 判断方法：给定一个平面图形，通过空间想象，判断其能否折叠成一个立体图形，以及折叠后形成的是何种立体图形。例如，由6个完全相同的正方形组成的符合正方体展开图特征的平面图形可以折叠成正方体；由一个扇形和一个圆形组成的平面图形可以折叠成圆锥。 二、几何图形的表达——用数学符号和语言描述图形 点、线、面、体： · 体：几何体简称为体，是构成图形的基本元素之一，如正方体、圆柱等都是体。 · 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种。例如，正方体有6个平面，圆柱有2个平面（底面）和1个曲面（侧面）。 · 线：面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线之分。例如，正方体相邻的两个面相交形成一条直线（棱）；圆柱的侧面与底面相交形成一个曲线（圆）。 · 点：线与线相交的地方是点。例如，正方体的顶点是三条棱相交的地方，是一个点。 · 关系：点动成线，线动成面，面动成体。 【题型一】立体图形的识别 【例1】下列几何体中，属于棱柱的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】下列四个几何体中，是棱锥的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知一个直棱柱有18条棱，则这个直棱柱是 棱柱． 【题型二】平面图形的立体图形关系 【例2】将如图所示的平面图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，以直角三角形ABC的直角边AB为轴旋转一周后得到的圆锥的底面直径是（    ）cm． A．6 B．8 C．16 D．12 【变式2-2】一个长为，宽为的长方形，以其长所在的直线为轴旋转一周将会得到一个几何体，这个几何体的体积是 （结果保留） 【题型三】立体图形的平面展开图 【例3】如图，是一个正方体的平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    【题型四】用平面截立体图形 【例4】用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是圆的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】用一个平面截一个几何体，得到的截面形状是长方形，则这个几何体不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】用一个平面去截一个几何体，截面形状可以有圆、长方形，这个几何体可能是 ． 【题型五】点、线、面、体关系 【例5】汽车雨刷器在挡风玻璃上来回摆动，雨刷器扫过的区域形成了一个扇形，这体现了（  ）原理． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．体动成体 【变式5-1】李白的《望庐山瀑布》中描写瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，瀑布从山崖顶端倾泻而下形成水流的过程，蕴含以下哪个道理（    ） A．两点之间，线段最短 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 【变式5-2】九三阅兵中，飞机飞行时，飞机尾部的彩烟被气流快速拉长，形成细长的火焰状轨迹，这种现象可以用数学原理解释为点动成线；打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ． 【题型六】几何体中的点、棱、面 【例6】七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A．、、 B．、21、 C．、、 D．21、、 【变式6-1】关于下列几何体，说法错误的是（   ） A．图1由两个面围成，且其中一个面是曲面 B．图2由一个曲面围成 C．四个几何体中，含有平面最多的是图4 D．只有一个顶点的几何体是图1和图4 【变式6-2】若一个棱柱的侧棱长之和是，每条侧棱长为，则该棱柱有 个面． 【题型七】由展开图计算几何体的表面积或体积 【例7】一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为 立方毫米．（用含x、y的式子表示） 【题型八】正方体相对两面上的字或图案 【例8】如图是一个正方体的表面展开图，已知，，， ，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，则E代表的代数式是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（       ） A． B． C． D． 【变式8-2】将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 【题型九】补一个面使图形围成正方体 【例9】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式9-1】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 【题型十】七巧板问题 【例10】如图，用一块正方形厚纸板做了一套七巧板，现用它拼出一座桥（如图），那么这座桥的阴影部分面积占正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【变式10-2】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为 【题型十一】欧拉公式 【例11】综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 【变式11-1】瑞士数学家欧拉（Euler，）发现并证明了多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被后人称为欧拉公式．观察下面画出的多面体，解答下列问题： (1)完成表格中的空格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 长方体 8 6 八面体 8 五棱柱 7 你发现各个多面体顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是______ (2)一个多面体的面数比顶点数多8，且有条棱，这个多面体是几面体？ (3)一个玻璃饰品的外形是多面体，它的表面是由三角形和八边形两种多边形围成，且一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，这个玻璃饰品是几面体？ 【变式11-2】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种多面体模型，解答下列问题 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4     _____       长方体 8 6 12 正八面体   _____       8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______． (2)如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 【题型十二】蚂蚁爬行最短问题 【例12】某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【变式12-1】如图，一只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点沿表面爬行到顶点.    （1）画出正方体的一种展开图.（可适当调整大小.） （2）在展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线. （3）在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线. 【变式12-2】如图 所示，一个长方体的长、宽、高分别是 ，，，有一只蚂蚁从点 出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到点 时，最多爬行多远?并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．      学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 走进几何世界（3知识&12题型清单） 【清单01】 观察 抽象 一、几何图形的概念与来源 1. 几何图形的定义：我们把从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。几何图形是对现实世界中物体形状、大小和位置关系的抽象概括。 2. 几何图形的来源：几何图形源于生活，是从千姿百态的现实物体中，忽略其颜色、材料、重量等非形状、大小特征后，抽象得到的数学模型。例如，从足球抽象出球体，从粉笔盒抽象出长方体。 二、立体图形 1. 定义：各部分不都在同一平面内的几何图形叫做立体图形，也称为三维图形。 2. 常见立体图形及特征： · 正方体：由6个完全相同的正方形围成的立体图形，有8个顶点，12条棱，所有棱的长度都相等。 · 长方体：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，有8个顶点，12条棱，相对的棱长度相等。 · 圆柱：由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。圆柱有无数条高，所有高的长度都相等。 · 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。圆锥有1个顶点，1条高。 · 球：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体。球面上任意一点到球心的距离都相等（即半径）。 3. 观察立体图形的方法：从不同方向（正面、上面、左面等）观察立体图形，可以得到不同的平面图形，这些平面图形称为视图。通过多个视图可以更全面地了解立体图形的形状。 三、平面图形 1. 定义：各部分都在同一平面内的几何图形叫做平面图形，也称为二维图形。 2. 常见平面图形及特征： · 线段：直线上两点及两点间的部分，有两个端点，可以度量长度。 · 射线：直线上一点和它一旁的部分，有一个端点，无法度量长度，可以向一端无限延伸。 · 直线：没有端点，可以向两端无限延伸，无法度量长度。经过两点有且只有一条直线（即两点确定一条直线）。 · 角：由公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 · 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，有三个顶点，三条边，三个内角。 · 四边形：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，常见的有长方形、正方形、平行四边形、梯形等。 · 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆，这个固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。 3. 立体图形与平面图形的关系：立体图形是由平面图形围成的（球除外，它是由曲面围成的）。将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这个平面图形称为该立体图形的表面展开图；反之，有些平面图形也可以折叠成立体图形。 【清单02】运动 想象 一、图形的运动方式 1. 平移： · 定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。 · 特征：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 · 实例：电梯的上下移动、火车在平直轨道上的行驶、传送带上物体的移动等。 2. 旋转： · 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 · 特征：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应角相等。 · 实例：钟表指针的转动、风车叶片的转动、摩天轮的转动等。 3. 翻折（轴对称）： · 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（轴对称），这条直线叫做对称轴。 · 特征：翻折后，对称轴两侧的图形能够完全重合，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 · 实例：蝴蝶的翅膀、天安门城楼（简化图形）、等腰三角形等。 二、图形运动的应用 1. 形成新图形：通过平移、旋转、翻折等运动，可以将简单的平面图形组合或变换成更复杂的平面图形。例如，一个基本的图案通过平移可以得到一个美丽的花边；一个三角形通过旋转可以形成一个多边形。 2. 构建立体图形：一些立体图形可以看作是由平面图形通过运动形成的。例如，长方形绕着它的一条边旋转一周可以形成圆柱；直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周可以形成圆锥；半圆绕着它的直径旋转一周可以形成球。 3. 空间想象能力的培养：通过观察图形的运动过程，想象运动后图形的形状、位置和大小变化，有助于培养空间想象能力，为后续学习立体几何打下基础。例如，想象一个正方体的表面展开图折叠后形成正方体的过程，或者一个圆柱体沿着母线剪开后展开图的形状。 【清单03】转化 表达 一、立体图形与平面图形的转化——展开与折叠 1. 立体图形的表面展开图： · 定义：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的表面展开图。 · 正方体的表面展开图：正方体有6个面，其表面展开图是由6个正方形组成的平面图形。由于展开方式不同，正方体的表面展开图有多种形式，总体可分为“1-4-1型”、“2-3-1型”、“2-2-2型”、“3-3型”等（注：具体类型不要求记忆，但能识别和判断）。 · 圆柱和圆锥的表面展开图：圆柱的表面展开图由两个大小相同的圆形（底面）和一个长方形（侧面）组成，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高；圆锥的表面展开图由一个圆形（底面）和一个扇形（侧面）组成，扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面的周长。 2. 平面图形折叠成立体图形： · 定义：将平面图形按照一定的方式进行折叠，可以围成相应的立体图形。 · 判断方法：给定一个平面图形，通过空间想象，判断其能否折叠成一个立体图形，以及折叠后形成的是何种立体图形。例如，由6个完全相同的正方形组成的符合正方体展开图特征的平面图形可以折叠成正方体；由一个扇形和一个圆形组成的平面图形可以折叠成圆锥。 二、几何图形的表达——用数学符号和语言描述图形 点、线、面、体： · 体：几何体简称为体，是构成图形的基本元素之一，如正方体、圆柱等都是体。 · 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种。例如，正方体有6个平面，圆柱有2个平面（底面）和1个曲面（侧面）。 · 线：面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线之分。例如，正方体相邻的两个面相交形成一条直线（棱）；圆柱的侧面与底面相交形成一个曲线（圆）。 · 点：线与线相交的地方是点。例如，正方体的顶点是三条棱相交的地方，是一个点。 · 关系：点动成线，线动成面，面动成体。 【题型一】立体图形的识别 【例1】下列几何体中，属于棱柱的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的分类，解题关键是熟悉常见的几何体． 根据所给的图形，逐一识别，再作出统计． 【详解】解：所给的图分别为正方体、圆柱、四棱柱、球、圆锥、三棱柱， 其中属于棱柱的有正方体、四棱柱、三棱柱，共3个， 故选：B． 【变式1-1】下列四个几何体中，是棱锥的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立体几何图形的识别，解题的关键是掌握棱锥的定义； 根据立体几何图形的定义选出正确选项． 【详解】A选项是四棱锥； B选项是圆柱； C选项是长方体； D选项是三棱柱． 故选：A． 【变式1-2】已知一个直棱柱有18条棱，则这个直棱柱是 棱柱． 【答案】六 【分析】本题考查了直棱柱的基本特征，解题的关键是掌握直棱柱棱的数量与棱柱底面边数的关系．​ 根据直棱柱的特征，知道n棱柱有条棱，设该直棱柱为n棱柱，通过建立方程，求解得出n的值，确定棱柱的类型．​ 【详解】解：设这个直棱柱是n棱柱．​ 因为直棱柱的棱数规律为n棱柱有条棱，已知该直棱柱有条棱，​ 所以，​ 解得．​ 故答案为：六． 【题型二】平面图形的立体图形关系 【例2】将如图所示的平面图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟记各种常见平面图形旋转得到的立体图形是解题关键．根据直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周可得圆台即可得答案． 【详解】解：面动成体，直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周可得圆台． 故选：C． 【变式2-1】如图，以直角三角形ABC的直角边AB为轴旋转一周后得到的圆锥的底面直径是（    ）cm． A．6 B．8 C．16 D．12 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的形成及圆的直径计算，解题的关键是确定圆锥底面半径与直角三角形直角边的关系． 以直角边为轴旋转直角三角形，圆锥底面半径等于另一条直角边的长度，再根据“直径半径”计算底面直径． 【详解】解： 以直角三角形的直角边为轴旋转一周后得到的圆锥的底面直径是． 故答案为：D． 【变式2-2】一个长为，宽为的长方形，以其长所在的直线为轴旋转一周将会得到一个几何体，这个几何体的体积是 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查旋转体的体积计算，知道圆柱体的体积公式是解决本题的关键． 当长方形绕其长边旋转时，形成圆柱体，其中长边作为高，宽边作为底面半径进行求解即可． 【详解】解：∵旋转后得到的几何体是圆柱体， ∴圆柱体的体积公式为，其中是底面半径，是高． 由题意得旋转轴是长边， ∴高，底面半径． 代入公式得， ． 故答案为：． 【题型三】立体图形的平面展开图 【例3】如图，是一个正方体的平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体平面展开图的特征，需逐个分析选项中的图形是否符合正方体平面展开图的特征，判断能否折叠成正方体． 【详解】解：A项：折叠时会出现面重叠的情况，不满足正方体展开图的要求，故A错误； B项：折叠时会出现面重叠的情况，不满足正方体展开图的要求，故B错误； C项：图形结构符合正方体展开图的特征，折叠后各面无重叠且能围成封闭的正方体，故C正确； D项：折叠时会出现面重叠的情况，不满足正方体展开图的要求，故D错误． 故选：C． 【变式3-1】下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的表面展开后，侧面是三个长方形，上、下底面各是一个三角形即可判断求解，熟悉常见几何体的展开图是解题的关键． 【详解】解：将三棱柱的表面展开后，侧面是三个长方形，上、下底面各是一个三角形，由选项可知，只有是三棱柱的表面展开图， 故选：． 【变式3-2】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    【答案】25 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 则底面正方形的面积是 故答案为： 【题型四】用平面截立体图形 【例4】用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，解题关键是熟悉常见几何体． 根据四个选项中的图形，逐一分析能否得到截面的形状是圆，再作出选择． 【详解】 解：一个平面去截截面的形状不可能是圆，故A不符合； 一个平面去截截面的形状不可能是圆，故B不符合； 一个平面去截截面的形状可能是圆，故C符合； 一个平面去截截面的形状不可能是圆，故D不符合； 故选：C． 【变式4-1】用一个平面截一个几何体，得到的截面形状是长方形，则这个几何体不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的截面，根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．掌握圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征是解题的关键． 【详解】解：用一个平面截一个几何体， A．当该平面与长方体的一个面平行时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意； B．当该平面与圆柱的底面垂直时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意； C．选项的截面不可能是长方形，故该选项符合题意； D．当该平面与三棱柱的一个侧面平行时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式4-2】用一个平面去截一个几何体，截面形状可以有圆、长方形，这个几何体可能是 ． 【答案】圆柱 【分析】本题考查截一个几何体的截面形状，掌握相关知识是解决问题的关键．根据几何体的截面性质，圆柱的截面可以是圆或长方形． 【详解】解：用一个平面平行于圆柱的底面截取，截面形状是圆；用一个平面垂直于圆柱的底面截取，截面形状是长方形．因此，这个几何体可能是圆柱． 故答案为：圆柱． 【题型五】点、线、面、体关系 【例5】汽车雨刷器在挡风玻璃上来回摆动，雨刷器扫过的区域形成了一个扇形，这体现了（  ）原理． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．体动成体 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体之间的关系，掌握点、线、面、体之间的关系是解题的关键． 可将汽车的雨刷看成一条线，雨刷在刷玻璃上的雨水时形成了面，所以属于线动成面的实际应用． 【详解】解：可将汽车的雨刷看成一条线，雨刷在刷玻璃上的雨水时形成了面， 所以属于线动成面的实际应用． 故选：B． 【变式5-1】李白的《望庐山瀑布》中描写瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，瀑布从山崖顶端倾泻而下形成水流的过程，蕴含以下哪个道理（    ） A．两点之间，线段最短 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握它们之间的关系是解题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：∵ 诗句描述瀑布水流从顶端倾泻而下，是由水滴（点）的运动形成的连续线条， ∴ 蕴含了“点动成线”的道理， 故选：B． 【变式5-2】九三阅兵中，飞机飞行时，飞机尾部的彩烟被气流快速拉长，形成细长的火焰状轨迹，这种现象可以用数学原理解释为点动成线；打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了几何变换原理，解题的关键是掌握点移动形成线，线移动形成面． 题干中点动成线为例，折扇中扇骨（线）移动形成扇面（面），故答案为线动成面． 【详解】解：打开折扇时，扇骨移动形成扇面是线动成面的实例， 故答案为：线动成面． 【题型六】几何体中的点、棱、面 【例6】七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A．、、 B．、21、 C．、、 D．21、、 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的定义．根据棱柱的性质，棱柱的顶点数为，棱数为，面数为，据此即可求解． 【详解】解：∵棱柱的顶点数为，棱数为，面数为， 故七棱柱的顶点数、棱数、面数． 故选：B． 【变式6-1】关于下列几何体，说法错误的是（   ） A．图1由两个面围成，且其中一个面是曲面 B．图2由一个曲面围成 C．四个几何体中，含有平面最多的是图4 D．只有一个顶点的几何体是图1和图4 【答案】D 【分析】本题考查立体图形的认识和理解，熟练掌握立体图形的特征是解题的关键，根据各个立体图形的特征逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、圆锥：由一个平面和一个曲面围成，此项正确； B、球：由一个曲面围成，此项正确； C、图1：有1个平面；图2：没有平面；图3：有2个平面；图4：有4个平面，此项正确； D、图1：有1个顶点；图4：有4个顶点，此项错误； 故选：D． 【变式6-2】若一个棱柱的侧棱长之和是，每条侧棱长为，则该棱柱有 个面． 【答案】9 【分析】该题考查了棱柱的基本特征（侧棱数与底面边数的关系、面的组成）．解题方法：通过“侧棱长之和每条侧棱长”计算侧棱数，再利用棱柱“侧棱数底面边数侧面数”的关系，结合“面数个底面侧面数”求解．解题关键：掌握棱柱侧棱数、底面边数、侧面数之间的对应关系．易错点：混淆“侧棱数”与“面数”的计算，忽略棱柱有2个底面． 由侧棱总长和每条侧棱长可求出侧棱数量，再根据棱柱的性质，侧棱数量等于底面边数，从而得到侧面个数，最后加上两个底面得到总面数． 【详解】解：侧棱长之和为，每条侧棱长为，则侧棱数量为． 棱柱的侧棱数量等于底面边数，故底面为七边形，有7个侧面． 因此，总面数为2个底面加上7个侧面，即9个面． 故答案为：9． 【题型七】由展开图计算几何体的表面积或体积 【例7】一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，所求平行四边形的面积是圆柱的侧面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 答：这个平行四边形的面积是． 故选：B． 【变式7-1】如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图与圆柱的体积计算，明确侧面展开图的长、宽与圆柱底面周长、高的对应关系是解题关键． 侧面展开图的宽为圆柱B的底面周长，侧面展开图的长为圆柱B的高，再根据圆的面积公式、圆柱的体积公式列式求解． 【详解】解：根据题意， 圆柱B的底面半径为，圆柱B的高为， 圆柱B的底面积为， 圆柱B的体积为． 故选：C． 【变式7-2】某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为 立方毫米．（用含x、y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，将展开图折叠，可得长、宽、高为y毫米、x毫米、65毫米的长方体，根据体积计算方法可求出长方体的体积． 【详解】解：将展开图折叠，可得长、宽、高为y毫米、x毫米、65毫米的长方体， 于是，体积为， 故答案为：． 【题型八】正方体相对两面上的字或图案 【例8】如图是一个正方体的表面展开图，已知，，， ，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，则E代表的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，正方体展开图的相对面，先根据正方体的展开图的相对面必定相隔一个小正方形，确定相对面，再根据相对两个面所表示的代数式的和都相等，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，为相对面，为相对面， ∴， ∴ ； 故选B 【变式8-1】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图的认识，根据带图案的三个面相交于一点可得答案． 【详解】解：由原正方体可知，带图案的三个面相交于一点，A、B、D都不符合题意，C符合题意. 故选：C． 【变式8-2】将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【详解】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 【题型九】补一个面使图形围成正方体 【例9】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【变式9-1】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 【变式9-2】如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【题型十】七巧板问题 【例10】如图，用一块正方形厚纸板做了一套七巧板，现用它拼出一座桥（如图），那么这座桥的阴影部分面积占正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面图形的认识．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分面积占正方形面积的． 故选：A． 【变式10-1】如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，由七巧板的制作过程可知，阴影部分是用平行四边形和一个小正方形拼成的，所以面积是正方形面积的． 【详解】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：25． 【变式10-2】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质与面积计算，以及七巧板中各部分图形的面积关系．先求出大正方形的面积，再根据七巧板的组成及各部分面积关系，求出阴影部分正方形的面积． 【详解】解：∵ 大正方形边长为， ∴ 大正方形面积为． 七巧板中，阴影部分正方形的面积是大正方形面积的， ∴ 阴影部分面积为． 故答案为：． 【题型十一】欧拉公式 【例11】综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 【答案】表格见解析；；20 【分析】本题考查欧拉公式，正确数出多面体的顶点、面、棱的数量； （1）数出各个多面体的顶点、面、棱的数量填入表格即可，其中正十二面体的顶点和棱比较难数，正十二面体是由12个正五边形面组成的，每顶点连着3个面，所以顶点数为个，每条棱连着两个面，所以棱数为个； （2）从表格观察发现：顶点数面数棱数； （3）由一个多面体的面数比顶点数小8可得顶点数、面数的关系，代入顶点数面数棱数即可求解. 【详解】解：（1）填入表格如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）从表格中观察发现： 故答案为：. （3）∵一个多面体的面数比顶点数小8， ∴ ∴ 解得 故这个多面体的顶点数为20个. 【变式11-1】瑞士数学家欧拉（Euler，）发现并证明了多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被后人称为欧拉公式．观察下面画出的多面体，解答下列问题： (1)完成表格中的空格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 长方体 8 6 八面体 8 五棱柱 7 你发现各个多面体顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是______ (2)一个多面体的面数比顶点数多8，且有条棱，这个多面体是几面体？ (3)一个玻璃饰品的外形是多面体，它的表面是由三角形和八边形两种多边形围成，且一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，这个玻璃饰品是几面体？ 【答案】(1)6，6，， (2) (3) 【分析】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数及它们之间的关系，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据已知空间图形即可填空，最后可得规律顶点数面数棱数； （2）由题意得，代入（1）中的公式计算即可得到面数； （3）一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，且两点确定一条直线，则共有条棱，代入（1）中的公式计算即可得到面数． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6，五棱柱的棱数为15，关系式为：； 故答案为：6，6，，； （2）解：由题意得，代入得， ， ， ， 解得； （3）解：有个顶点，每个顶点处都有3条棱，且两点确定一条直线， 共有条棱， 那么， ， 解得， 故为面体． 【变式11-2】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种多面体模型，解答下列问题 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4     _____       长方体 8 6 12 正八面体   _____       8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______． (2)如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 【答案】(1)，， (2)正五边形有个，正六边形有个 【分析】本题考查根据表格整理归纳的能力，通过表格的数据推导出欧拉公式，通过欧拉公式来解决实际问题． (1)本题通过表格给出的数据，推导出欧拉公式，也就是； (2)本题通过设五边形的个数为，六边形的个数为，通过欧拉公式，得到一个方程组，解出对应的值． 【详解】（1）由图中可以数出，四面体的棱数为，正八面体的顶点数为，通过表格可以推出，， 故答案为，，； （2）设黑皮有个，白皮有个， 则这个足球的面数为：， 棱数为：， 顶点数为：， 由欧拉公式可得：， 解得：， 个黑皮与个白皮相邻，个白皮与个黑皮相邻， 白皮个数为（个）， 故正五边形有个，正六边形有个． 【题型十二】蚂蚁爬行最短问题 【例12】某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 【变式12-1】如图，一只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点沿表面爬行到顶点.    （1）画出正方体的一种展开图.（可适当调整大小.） （2）在展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线. （3）在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意画出正方体的展开图即可； （2）根据线段的性质：两点之间线段最短，把正方体展开，直接连接A、P两点可得最短路线； （3）共有三条路线ANP，AMP，AQP. 【详解】（1）展开图如图    （2）如图，连接.即是蚂蚁爬行的最短路线.    （3）如图，共3条路线.    【点睛】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，几何体的展开图，线段的性质：两点之间线段最短，正确的画出图形是解题的关键． 【变式12-2】如图 所示，一个长方体的长、宽、高分别是 ，，，有一只蚂蚁从点 出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到点 时，最多爬行多远?并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．      【答案】最多爬行 ．路线举例：． 【详解】分析：要使得该蚂蚁爬行的路程最长，根据AB＞AD＞AE，可知首先要沿AB爬行；接下来根据该蚂蚁沿棱爬行时，每条棱不允许重复且BC＞BF，则该蚂蚁需沿BC的方向爬行，依此类推，即可得出该蚂蚁的最长爬行路线；最后结合长方体的长、宽、高，则可计算出该蚂蚁爬行的最长路程. 本题解析: 由于不能重复且最后回到点 处，那么经过的棱数便等于经过的顶点数，当走的路线最长时必过所有顶点，则选择合理的路线时尽可能多地经过长为 的棱即可． ， 所以最多爬行 ． 路线举例：． 点睛;本题考查了应用设计与作图，关键是注意爬行的路线不重复爬同一条棱. 学科网（北京）股份有限公2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $