清单05 平面图形的初步认识（考点清单，9个考点清单+23种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单05 平面图形的初步认识（考点清单，9个考点清单+23种题型解读） 【清单01 线段、射线、直线】 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 清单02 角】 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.（3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【清单03 余角、补角、对顶角】 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 对顶角 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【清单04 平行】 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【清单05 垂直】 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 【清单06 三线八角】 同位角、内错角、同旁内角的概念 “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1． 图1 要点诠释： (1) 两条直线AB，CD与同一条直线EF相交． (2) “三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， (3) 同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． (4) 内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． (5) 同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角． 要点诠释： 1. “三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角． (7) “三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 要点诠释： 巧妙识别三线八角的两种方法： (8) 巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨． (9) 借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 【清单07 平行公理】 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 简述：平行于同一条直线的两条直线平行。 【清单08 平行线的判定与性质】 判定定理 性质定理 条件 结论 条件 结论 同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等 两直线平行 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 两直线平行 同旁内角互补 【清单09 多边形的相关概念】 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 【考点题型一 直线、射线、线段的相关概念】 【例1】下列说法正确的有（    ） ①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③以两个点为端点只能画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线的长度是 C．直线相交于点M D．线段与射线在同一条直线上 【变式1-2】如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 【变式1-3】如图，直线和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是 （填写区域的序号）． 【变式1-4】如图，A，B，C是同一直线上的三个点．图中有几条射线？在不增加字母的情况下，能表示出的射线共几条？是哪几条？ 【考点题型二 直线、射线、线段的数量问题】 【例2】直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式2-1】从市到市，乘坐火车共经过5个车站（不包括，两种），买车票的价格因为起点和终点不同有很多种，从市到市的任意两个车站的车票价格最多有（    ） A．7种 B．14种 C．21种 D．28种 【变式2-2】将线段延长至点C，再将线段反向延长至点D，则该图中共有 条线段． 【变式2-3】如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是 （填序号）． 【变式2-4】如图： (1)图中有几条直线？ (2)图中有几条射线？能用图中字母表示的射线有几条？写出可以用字母表示的射线； (3)图中有几条线段？有哪些线段可用图中字母表示？ (4)如果一条直线上标注了n个点，那么有几条射线？ 【考点题型三 直线相交的个数问题】 【例3】观察图形，下列说法正确的有（   ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 【变式3-2】如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 【变式3-3】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【变式3-4】【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【考点题型四 尺规作线段】 【例4】已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【变式4-2】如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    【变式4-3】尺规作图：作一条线段等于已知线段． 已知：线段，如图 求作：线段，使． 小亮的作法如下： 如图，（1）作射线 ； （2）以点 为圆心， 长为半径作弧交于点 ． 线段就是所求作的线段． 【变式4-4】如图，已知线段a，b（），按要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)求作线段c，使； (2)求作线段d，使． 【考点题型五 线段的和差】 【例5】在平面内有三点，，，且，，则的长度为（    ） A．14 B．6 C．14或6 D．不能确定 【变式5-1】如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，线段，延长线段到，使，再反向延长到，使，是的中点，是的中点．则的长为 ． 【变式5-3】如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 【变式5-4】如图，将线段延长到，使，的中点为，，是上的点，且，，，求，的长． 【考点题型六 线段中点的有关计算】 【例6】如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式6-1】已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 【变式6-3】如图，点在线段上，，分别是线段，的中点，若，则的长为 ． 【变式6-4】如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【考点题型七 线段的动点问题】 【例7】B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式7-1】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【变式7-2】如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 【变式7-3】如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ． 【变式7-4】线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【考点题型八 角的相关概念】 【例8】下列说法不正确的是（    ） A．两个锐角的和不一定大于直角 B．两个钝角的和不一定大于平角 C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角 【变式8-1】下列关于角的说法中，正确的个数为（  ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-2】如图，是直角，则图中的锐角共有 个． 【变式8-3】如图，在从同一点出发的七条射线组成的图形中，共有 个锐角． 【变式8-4】如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明是否平分； (3)请你数一数，图中有多少个小于平角的角． 【考点题型九 方向角的相关计算】 【例9】如图，甲从点A出发沿北偏东方向走到点B，乙从点A出发沿南偏西方向走到点C，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【变式9-2】如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则的度数为 ． 【变式9-3】如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西．若，则的方向是 ． 【变式9-4】如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的反向延长线，在的内部，且． (1)求出射线的方向； (2)直接写出的度数． 【考点题型十 角的单位与角度制】 【例10】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】计算： ． 【变式10-3】计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式10-4】计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型十一 三角板中角度计算】 【例11】将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式11-1】将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【变式11-3】将一副三角板如图摆放，若，则的度数是 ． 【变式11-4】如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 【考点题型十二 几何图形中角度计算】 【例12】已知，，那么（　　） A． B． C．或 D． 【变式12-1】如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 【变式12-2】如图，若是的平分线，则①；②；③；④．正确的是 ．(请填写序号) 【变式12-3】如图，，，则的度数是 ． 【变式12-4】如图，已知，是的平分线，若，求： (1)的度数； (2)的度数． 【考点题型十三 角平分线的相关计算】 【例13】如图，直线交于点O，平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，，，平分，则 度； 【变式13-3】如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ． 【变式13-4】如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【考点题型十四 余角、补角的相关计算】 【例14】如图，直线与相交于点O，射线在 的内部，且于点O，  若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，O为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【变式14-2】已知与互为补角，并且的2倍比大，则 ． 【变式14-3】如图，于点，则的补角等于 ． 【变式14-4】如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【考点题型十五 对顶角与邻补角】 【例15】如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（   ） A．增大 B．减少 C．减少 D．减少 【变式15-1】如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 【变式15-2】如图所示，直线，交于点，，平分，则 ． 【变式15-3】如图，直线相交于点O，平分，，则等于 ． 【变式15-4】如图，已知直线，相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【考点题型十六 同位角、内错角、同旁内角】 【例16】如图，下列说法错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【变式16-1】如图，描述同位角、内错角、同旁内角的关系不正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【变式16-2】根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 【变式16-3】如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 【变式16-4】两条直线被第三条直线所截，与是同旁内角，与是内错角． (1)画出示意图； (2)若，求的度数． 【考点题型十七 平行公理及其推论】 【例17】“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 【变式17-1】下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等． B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离． C．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． D．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． 【变式17-2】有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【变式17-3】下列四个说法中：（1）直线被第三条直线所截，内错角相等；（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）一个角的余角一定小于这个角的补角；（4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等．正确的有 ． 【变式17-4】作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 【考点题型十八 平行线的判定】 【例18】如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式18-2】如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 【变式18-3】如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ． 【变式18-4】如图，已知平分，平分，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【考点题型十九 平行线的性质】 【例19】如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 【变式19-3】如图，，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点逆时针旋转的最小角度为 度． 【变式19-4】（1）【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在 、两平行线之间，，，求的度数． 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）【方法运用】如图，已知，点、分别在直线、上，点在、两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）【应用拓展】如图，在图的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线、之间）若，求的度数． 【考点题型二十 根据平行线的性质探究角的关系】 【例20】如图，，与相交于点C，且，，若，则n的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式20-1】如图，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的曲臂直杆道闸，已知垂直于水平地面当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升 （即 与始终平行），在该过程中始终等于 . 【变式20-3】已知与其内部一点D， 过D点作， 作，则与的数量关系是 ． 【变式20-4】已知：点C是的边上一点（点C不与点O重合），点D是内部一点，射线不与相交． (1)如图1，，过点O作射线，使得．（其中点E在内部）． ①依据题意，补全图1； ②直接写出的度数． (2)如图2，点F是射线上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线，使得（其中点H在的外部），用含的代数式表示与的数量关系，并证明． 【考点题型二十一 根据平行线的性质求角的度数】 【例21】如图，已知，交于点，且于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式21-1】光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【变式21-2】如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为 ． 【变式21-3】如图，将一张长方形纸条沿折叠，点C、D分别折叠至点、，若，则度数为 ． 【变式21-4】如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【考点题型二十二 平行线间的距离】 【例22】如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【变式22-1】已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【变式22-2】在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ． 【变式22-3】如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【变式22-4】如图，直线，，，a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，求a与c的距离. 【考点题型二十三 多边形的相关概念】 【例23】从多边形的一个顶点出发的对角线一共有条，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【变式23-1】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2020个三角形，那么这个多边形是（    ） A．2019边形 B．2020边形 C．2021边形 D．2022边形 【变式23-2】过某个多边形的一个顶点可以引出6条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 【变式23-3】若过n边形的一个顶点有七条对角线，m边形没有对角线，则 【变式23-4】某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 平面图形的初步认识（考点清单，9个考点清单+23种题型解读） 【清单01 线段、射线、直线】 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【清单02 角】 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【清单03 余角、补角、对顶角】 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 对顶角 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【清单04 平行】 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【清单05 垂直】 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 【清单06 三线八角】 同位角、内错角、同旁内角的概念 “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1． 图1 要点诠释： (1) 两条直线AB，CD与同一条直线EF相交． (2) “三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， (3) 同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． (4) 内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． (5) 同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角． 要点诠释： 1. “三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角． (7) “三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 要点诠释： 巧妙识别三线八角的两种方法： (8) 巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨． (9) 借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 【清单07 平行公理】 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 简述：平行于同一条直线的两条直线平行。 【清单08 平行线的判定与性质】 判定定理 性质定理 条件 结论 条件 结论 同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等 两直线平行 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 两直线平行 同旁内角互补 【清单09 多边形的相关概念】 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 【考点题型一 直线、射线、线段的相关概念】 【例1】下列说法正确的有（    ） ①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③以两个点为端点只能画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，直线、射线、线段的联系与区别等知识点，熟练掌握直线、射线、线段的定义及它们之间的联系与区别是解题的关键． 根据两点确定一条直线，直线、射线、线段的联系与区别等知识点逐项分析判断即可． 【详解】解：①因为两点确定一条直线，所以过两点只能画一条直线，故说法①正确； ②过两点可以画条射线，故说法②错误； ③以两个点为端点只能画一条线段，该说法正确，故说法③正确； 综上，说法正确的有，共个， 故选：． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线的长度是 C．直线相交于点M D．线段与射线在同一条直线上 【答案】D 【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断后利用排除法．本题主要考查了直线、射线、线段的特性，是基础题，需熟练掌握．本题考查了直线、射线的定义及表示方法：直线可用一个小写字母表示，如：直线，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线（或直线．射线是直线的一部分，可用一个小写字母表示，如：射线；或用两个大写字母表示，端点在前，如：射线．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．直线与射线都是无限长，不能度量．也考查了直线的性质公理． 【详解】解：A、射线和射线不是同一条射线，故本选项说法是错误； B、直线是无限长的，测量不了长度，故本选项说法是错误； C、直线不能用两个小写字母表示，故本选项说法是错误； D、两点确定一条直线，线段与射线在同一条直线上是正确的． 故选：D． 【变式1-2】如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 【答案】 3 2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义． （1）根据线段概念即可求得答案； （2）根据射线概念即可求得答案； （3）根据直线的概念即可求得答案． 【详解】解：（1）图中共有3条线段，线段、线段、线段； 故答案为：3； （2）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （3）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． 【变式1-3】如图，直线和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是 （填写区域的序号）． 【答案】② 【分析】本题考查线段定义及线段交点问题，数形结合，当点落在区域①③④⑤，线段与线段没有公共点，当点落在区域②时，线段与线段有公共点，即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，当点落在区域②时，线段与线段有公共点，如图所示： 故答案为：②． 【变式1-4】如图，A，B，C是同一直线上的三个点．图中有几条射线？在不增加字母的情况下，能表示出的射线共几条？是哪几条？ 【答案】图中有6条射线，在不增加字母的情况下，能表示出的射线共4条，分别是：射线，射线，射线，射线 【分析】本题考查了射线，根据射线的定义即可求解，熟练掌握射线的定义及表示方法是解题的关键． 【详解】解：图中有6条射线，在不增加字母的情况下，能表示出的射线共4条， 分别是：射线、射线、射线、射线． 【考点题型二 直线、射线、线段的数量问题】 【例2】直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，根据两点确定一条直线画出图形即可求解． 【详解】解：如图所示，则A、B、C、D四点能确定的直线有四条． 故选：C． 【变式2-1】从市到市，乘坐火车共经过5个车站（不包括，两种），买车票的价格因为起点和终点不同有很多种，从市到市的任意两个车站的车票价格最多有（    ） A．7种 B．14种 C．21种 D．28种 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段条数问题，根据包括A、B在内一共有7个站，且每两个站之间都有两种票价，但由于要求从市到市，则每两个站之间只有一种票价，据此求解即可． 【详解】解：∵包括A、B在内一共有7个站，且每两个站之间都有两种票价， ∴从市到市的任意两个车站的车票价格最多有种， 故选：C． 【变式2-2】将线段延长至点C，再将线段反向延长至点D，则该图中共有 条线段． 【答案】6 【分析】本题考查了线段的计数问题，根据题意画出图形求解即可． 【详解】解：如图， 线段有：，共6条． 故答案为：6． 【变式2-3】如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：以C为端点的射线共有3条，故①错误； 因为射线和射线的端点不同，方向也不同，所以不是同一条射线，故②错误； 直线和直线是同一条直线，故③正确； 射线的端点相同，都为点A，故④正确． 综上所述，其中正确的结论是：③④． 故答案为：③④． 【变式2-4】如图： (1)图中有几条直线？ (2)图中有几条射线？能用图中字母表示的射线有几条？写出可以用字母表示的射线； (3)图中有几条线段？有哪些线段可用图中字母表示？ (4)如果一条直线上标注了n个点，那么有几条射线？ 【答案】(1)有1条直线 (2)有8条射线，能用字母表示的射线有6条，分别是射线，射线，射线，射线，射线，射线 (3)有6条线段，分别是线段，线段，线段，线段，线段，线段 (4)一条直线上标注了n个点时，有条射线 【分析】本题考查的是射线，直线，线段的含义； （1）根据直线的定义可得答案； （2）根据每个端点处有2条射线，可得射线的总数量，根据射线的表示方法可得有6条射线可表示； （3）根据线段有两个端点，把线段都表示出来即可； （4）根据每个端点处有2条射线，从而额度答案． 【详解】（1）解：图中有1条直线； （2）解：以，，，为端点的射线共有8条， 能用字母表示的射线有6条，分别是射线，射线，射线，射线，射线，射线； （3）解：图中有6条线段，分别是线段，线段，线段，线段，线段，线段． （4）解：如果一条直线上标注了n个点，以每个点为端点的射线有2条， ∴有条射线． 【考点题型三 直线相交的个数问题】 【例3】观察图形，下列说法正确的有（   ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的表示法，直线的交点问题，根据直线、射线、线段的表示法可判断（1）（2）（3）；根据直线交点可判断（4）． 【详解】解：（1）直线和直线是同一条直线，正确； （2）线段和线段是同一条线段，故不正确； （3）射线和射线是同一条射线，正确； （4）三条直线两两相交时，不一定有三个交点，故不正确，如下图． 故选B． 【变式3-1】小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 【答案】B 【分析】根据直线两两都相交时，交点的个数最多，画图计算即可． 本题考查了直线的相交，熟练掌握两两相交时，交点个数最多是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 则最多有18个交点， 故选B． 【变式3-2】如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：条直线相交，最多有个交点， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， ， 条直线相交，最多有（个）交点， 故答案为：． 【变式3-3】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；…；而， ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【变式3-4】【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=； ③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点． 故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入． ∴这一轮共要进行120场比赛． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【考点题型四 尺规作线段】 【例4】已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C 【变式4-1】已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画线段的方法是解题的关键． 先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为． 【详解】解：解如图所示： ④画射线； ①在射线上画线段； ③在射线上画线段； ②则线段． 所以正确顺序为④①③②． 故选C． 【变式4-2】如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    【答案】或 【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：如图，当点在点的左侧， ；    当点在点的右侧， ；    综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意画出图形是解题的关键． 【变式4-3】尺规作图：作一条线段等于已知线段． 已知：线段，如图 求作：线段，使． 小亮的作法如下： 如图，（1）作射线 ； （2）以点 为圆心， 长为半径作弧交于点 ． 线段就是所求作的线段． 【答案】 C D 【分析】根据尺规作图的要求进行作图即可． 【详解】作法如下： 如图，（1）作射线； （2）以点C为圆心，长为半径作弧交于点D． 线段就是所求作的线段． 故答案为：（1）；（2）C，，D． 【点睛】本题考核知识点：作一条线段等于已知线段．解题关键点：注意尺规作图的要求． 【变式4-4】如图，已知线段a，b（），按要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)求作线段c，使； (2)求作线段d，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作线段（尺规作图），熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键． （1）按要求用尺规作出线段，使即可； （2）按要求用尺规作出线段，使即可． 【详解】（1）解：作射线，用圆规在射线上截取，在线段上截取，则线段就是所求作的线段，如答图所示： （2）解：作射线，用圆规在射线上顺次截取，，则线段就是所求作的线段，如答图所示： 【考点题型五 线段的和差】 【例5】在平面内有三点，，，且，，则的长度为（    ） A．14 B．6 C．14或6 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，明确线段之间的位置关系是解题的关键． 根据线段之间的位置关系确定线段的和与差，进而确定线段的长度即可． 【详解】解：平面内有三点，，，且，， 从题意中无法确定线段与之间的位置关系，因而无法确定它们的和与差，进而无法确定线段的长度， 故选：． 【变式5-1】如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式5-2】如图，线段，延长线段到，使，再反向延长到，使，是的中点，是的中点．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，理解题意，弄清题中各条线段之间的和差关系是解题的关键． 依据已知条件及题中各条线段之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：是的中点，是的中点， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 【答案】图形见解析，或 【分析】本题主要考查线段和尺规作图，分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧． 【详解】分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧，如图所示． 点位于点的左侧时，． 点位于点的右侧时，． 故答案为：或 【变式5-4】如图，将线段延长到，使，的中点为，，是上的点，且，，，求，的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了线段的和与差，等式的性质，代数式求值等知识点，明确题意，弄清线段之间的和差关系是解题的关键． 设，则依据题意可得，，于是，由可得，根据可得，进而求得，于是可求得，，的长，由的中点为可求得的长，于是根据，即可求得，的长． 【详解】解：设， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的中点为， ， ， ． 【考点题型六 线段中点的有关计算】 【例6】如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了线段中点的定义．根据线段中点的性质，可得根据线段的和差，可得的长． 【详解】解：∵点，分别为线段，的中点． ∴， ∴． 故选：B 【变式6-1】已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键． 根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可． 【详解】∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 故选： D． 【变式6-2】如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解．设，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长． 【详解】解：，可设， 点，分别是，的中点， ， ， 又， ，解得， （）， 即线段的长为． 故答案为：． 【变式6-3】如图，点在线段上，，分别是线段，的中点，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，解题的关键是正确分析线段之间的关系． 根据图示找出与、的数量关系，然后将已知数值代入解答即可． 【详解】解：∵点是的中点， ， 又点是的中点， ， ， ， 故答案为：3． 【变式6-4】如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点题型七 线段的动点问题】 【例7】B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC． 【详解】设运动时间为t， 则AB=2t，BD=10-2t， ∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点， ∴EB= =t，BC= =5-t， ∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm， 故选：B． 【点睛】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键． 【变式7-1】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 【变式7-2】如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 【答案】或2或 【分析】设三条线段的长分别是，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】∵三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是， ∵到5的距离是6， ∴， 解得， ∴三条线段的长分别为，，3， 如图所示：①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能是或2或． 故答案为：或2或 【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． 【变式7-3】如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ． 【答案】5 【分析】由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+BC）=AB，从而可以求出MN的长度． 【详解】解：∵M是AC的中点，N是CB的中点， ∴MC=AC，CN=CB， ∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=×10=5． 【点睛】本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上（或减去）CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半． 【变式7-4】线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 【考点题型八 角的相关概念】 【例8】下列说法不正确的是（    ） A．两个锐角的和不一定大于直角 B．两个钝角的和不一定大于平角 C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角 【答案】B 【分析】本题考查的是角的概念．根据角的概念判断即可． 【详解】解：A、两个锐角的和不一定大于直角，本选项不符合题意； B、两个钝角的和一定大于平角，本选项符合题意； C、直角都等于，本选项不符合题意； D、1周角=2平角=4直角，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式8-1】下列关于角的说法中，正确的个数为（  ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查角的知识，首先正确理解角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，注意不要忽略“公共端点”，还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致；然后结合角的定义的理解，对选项进行一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：角是由有公共端点的两条射线所构成的图形，故①②③正确； 角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故④错误． 故选D． 【变式8-2】如图，是直角，则图中的锐角共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了锐角的定义，锐角是指大于0度小于90度的角． 【详解】题图中的锐角有，共5个锐角 故答案为：5． 【变式8-3】如图，在从同一点出发的七条射线组成的图形中，共有 个锐角． 【答案】21 【分析】本题主要考查了角的规律探索．找出以为始边的角的个数，然后找出相邻的边为始边的角的个数相加即可，按照七条射线角的个数的计算方法即可得到答案． 【详解】解：以为始边的角有6个， 以为始边的角有5个， 以为始边的角有4个， 以为始边的角有3个， 以为始边的角有2个， 以为始边的角有1个， 故共有锐角：（个）． 故答案为：21． 【变式8-4】如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明是否平分； (3)请你数一数，图中有多少个小于平角的角． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)9个 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的概念： （1）先根据角平分线的定义求出，再根据平角的定义求解； （2）判断是否等于即可； （3）根据角的定义求解即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ； （2）解：平分，理由如下： ， ， ， 平分； （3）解：图中小于平角的角有，共9个． 【考点题型九 方向角的相关计算】 【例9】如图，甲从点A出发沿北偏东方向走到点B，乙从点A出发沿南偏西方向走到点C，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查方向角的概念，可先求解的大小，，进而可得的大小． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式9-1】如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】A 【分析】本题考查了方向角．熟练掌握方向角是解题的关键．如图，由题意知，，，则，，然后作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴的方向是北偏东， 故选：A． 【变式9-2】如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，，然后利用平角定义可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：解：如图： 由题意得：，， ， ， 故答案为：． 【变式9-3】如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西．若，则的方向是 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了方位角，先根据角的和差得到的度数，根据得到的度数，再根据角的和差得到的方向． 【详解】解：∵的方向是北偏东，的方向是北偏西， ∴， ∵， ∴， ， 故的方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 【变式9-4】如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的反向延长线，在的内部，且． (1)求出射线的方向； (2)直接写出的度数． 【答案】(1)射线的方向是北偏东 (2) 【分析】本题考查的是与方位角相关的计算题，角的和差运算，理解方位角的含义是解本题的关键； （1）先求解，再结合角的和差运算可得答案； （2）由对顶角的性质，结合角的和差运算，再计算即可． 【详解】（1）解：的方向是北偏西，的方向是北偏东， ， ， ， 射线的方向是北偏东． （2）如图， ∵，， ∴； 【考点题型十 角的单位与角度制】 【例10】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60． 根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 【变式10-1】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查度、分、秒的换算：，．先将先化成，再将化成，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴将用度分秒表示为． 故选：A． 【变式10-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查度分秒的换算．利用度、分、秒的换算即可，秒的结果若满60，则转化为1分，分的结果若满60，则转化为1度． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式10-3】计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查角的计算，解题关键是掌握度、分、秒之间的进率及四测运算法则：进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减．做加法时，秒够进分，分够进度；做减法时，不够减的，从上一级借，再进行减法运算．在乘法运算中，从最低位开始乘所给的因数，够则进；除法运算中，按从高到低的顺序相除，余数乘，再加到下一级单位中进行计算．据此解答即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 【变式10-4】计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【考点题型十一 三角板中角度计算】 【例11】将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角之间的关系，根据题意得，，可得，则，即可得；掌握角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式11-1】将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三内角之和等于求解．本题考查三角形内角之和等于． 【详解】解：依题意，如图． ，， ． 故选：C． 【变式11-2】如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【答案】180 【详解】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据进行求解即可． 【分析】解：由题意得，， ∴． 故答案为：180． 【变式11-3】将一副三角板如图摆放，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角板中的角度计算，熟练掌握三角板的度数是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 【变式11-4】如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等求解即可； （2）由图得，求的度数即可； （3）根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ． 【考点题型十二 几何图形中角度计算】 【例12】已知，，那么（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算，本题只是说出了两个角的度数，而没有指出与的位置关系，因此本题解题的关键是根据题意准确画出图形．本题是角的计算的多解问题，求解时要注意分情况讨论，可以根据在的位置关系分为在的内部和外部两种情况求解． 【详解】解：①如图1，当在内部， ，， ； ②如图2，当在外部， ，， ； 综上所述，为或． 故选：C 【变式12-1】如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，弄清楚角之间的关系成为解题的关键. 先求得,然后即可解答. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 故选B. 【变式12-2】如图，若是的平分线，则①；②；③；④．正确的是 ．(请填写序号) 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查角的比较与运算这一知识点，熟练掌握角平分线定义是解题关键．设，由是的平分线，可得，，故能判断出选项中各角大小关系． 【详解】解：设， 是的平分线， ∴ ． 故③④正确，①②错误， 故答案为：③④． 【变式12-3】如图，，，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据即可选出正确答案． 【详解】解：，， ， 故答案为： 【变式12-4】如图，已知，是的平分线，若，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是数形结合． （1）设，则．根据，得出，求出，根据角平分线定义得出． （2）根据，，求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以设， 则． 又因为， 所以， 即， 所以． 因为是的平分线， 所以． （2）解：因为，， 所以． 【考点题型十三 角平分线的相关计算】 【例13】如图，直线交于点O，平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平角结合角平分线的定义，求出的度数，再根据平角的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选：C 【变式13-1】如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易求出，根据角平分线定义得出，即可得出答案．本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，能求出的度数和求出是解此题的关键． 【详解】解：， ， 射线平分， ， 故选：B． 【变式13-2】如图，，，平分，则 度； 【答案】25 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算， 根据角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：25． 【变式13-3】如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出、、的度数和得出．由角的和差关系可得，根据角的平分线的行医可得，，结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式13-4】如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据余角的定义可得：，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）， 理由：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 【考点题型十四 余角、补角的相关计算】 【例14】如图，直线与相交于点O，射线在 的内部，且于点O，  若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余角补角的定义，即可求解， 本题考查了，余角补角的相关计算，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式14-1】如图，O为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．格局平角的性质可判断①结论；根据邻补角和角平分线的定义，可判断②结论；根据互余和角平分线的定义，可判断③结论；根据角平分线的定义可判断④结论． 【详解】解：， ，①结论正确； ， ， 平分， ，②结论正确； ，平分， ，， ， ， ，③结论正确； ，，且无法证明， 无法证明平分，④结论错误； 故选：B． 【变式14-2】已知与互为补角，并且的2倍比大，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，互为补角的和为得性质，首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：的2倍比大， ， 与互为补角， 即， ． 故答案为：． 【变式14-3】如图，于点，则的补角等于 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查余角和补角的相关计算，先计算的度数，根据互补的两个角度数之和为进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的补角等于， 故答案为：． 【变式14-4】如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键． （1）根据补角，余角的关系，可得，根据角平分线的定义，可得答案； （2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得，再根据余角的定义，可得答案． 【详解】（1）解：∵与是邻补角， ∴． ∵与互为余角， ∴． ∵与是邻补角， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：， 设，． ∵与是邻补角， ∴， 即， 解得． ∵与互为余角， ∴． 【考点题型十五 对顶角与邻补角】 【例15】如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（   ） A．增大 B．减少 C．减少 D．减少 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角、邻补角，根据对顶角的性质，邻补角的定义可得答案． 【详解】解：与是对顶角， ， 当增大时，增大； 与是邻补角，与是邻补角， ，， 当增大时，减小，减小． 当增大时，正确的是减小． 故选：C． 【变式15-1】如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义、补角的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义、补角的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的补角为或． 故选B． 【变式15-2】如图所示，直线，交于点，，平分，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题利用垂直的定义，邻补角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点． 由垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 平分， ， 故答案为：． 【变式15-3】如图，直线相交于点O，平分，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的角的运算，互补关系等知识；由及互补关系可求得，再由平分及对顶角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式15-4】如图，已知直线，相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了对顶角、邻补角、角的和差关系等知识． （1）根据平角的定义和角的和差关系进行计算即可； （2）根据，以及互为补角的定义可求出，再根据对顶角相等以及角的和差关系得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点题型十六 同位角、内错角、同旁内角】 【例16】如图，下列说法错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【详解】A．与是同旁内角，说法正确，不符合题意； B．与是内错角，说法正确，不符合题意； C．与不是两条直线被第三条直线截成的角，说法错误，符合题意； D．与是同位角，说法正确，不符合题意． 【变式16-1】如图，描述同位角、内错角、同旁内角的关系不正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键熟记同位角、内错角、同旁内角的特征．利用同位角、内错角、同旁内角的定义判定即可． 【详解】解：A、与是同位角，故A选项正确； B、与是内错角，故B选项正确； C、与是同旁内角，故C选项正确； D、与不是同旁内角，故D选项错误． 故选：D． 【变式16-2】根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 【答案】 内错 【分析】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义． （1）根据同位角的定义求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据内错角的定义求解即可． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，则和是同位角； （2）直线，被直线所截，则和是内错角； （3）和是直线，被直线所截构成的内错角； 故答案为：，，，内错． 【变式16-3】如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 【答案】 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形．根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，与是同位角； （2）直线，被直线所截，与是内错角； （3）直线，被直线所截，与是同旁内角． 故答案为：，， 【变式16-4】两条直线被第三条直线所截，与是同旁内角，与是内错角． (1)画出示意图； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查同旁内角、内错角、角度运算，理解同旁内角、内错角的概念并正确画出图形是解答的关键． （1）根据同旁内角、内错角的定义画图即可； （2）根据所给角的关系，结合平角是列方程求得即可． 【详解】（1）解：如答图所示． （2）解：因为， 所以． 因为， 所以，即， 所以， 所以． 【考点题型十七 平行公理及其推论】 【例17】“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 【答案】A 【分析】根据平行线的判定、垂直和互余、互补进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、m，n，l是直线，若，，则，具有“传递性” B、m，n，l是直线，若，，则与不一定垂直也可能是平行；不具有“传递性” C、若与互余，与互余，则与相等，不具有“传递性” D、若与互补，与互补，则与相等，不具有“传递性” 故选：A． 【变式17-1】下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等． B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离． C．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． D．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行公理，点到直线的距离，根据平行线的性质和平行公理，点到直线的距离求解即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，不符合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； C、平面内有三条直线a，b，c，若，，则，原说法正确，符合题意； D、平面内有三条直线a，b，c，若，，则，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式17-2】有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 【变式17-3】下列四个说法中：（1）直线被第三条直线所截，内错角相等；（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）一个角的余角一定小于这个角的补角；（4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等．正确的有 ． 【答案】（2）（3）（4） 【分析】利用平行线的性质与判定方法、互补的定义及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了对顶角的性质，平行线的性质与判定、余角与补角的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 【详解】解：（1）两平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，不符合题意； （2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，符合题意； （3）一个角的余角一定小于这个角的补角，正确，符合题意； （4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，正确，符合题意． 故答案为：（2）（3）（4） 【变式17-4】作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 【答案】(1)，点到直线的距离，垂线段最短，作图见解析 (2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，作图见解析 【分析】（1）先画垂线段，由点到直线的距离，垂线段最短，即可求解； （2）先画平行线，由过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】（1）过点P作P到的垂线段，垂足为如图： ， 理由是：点到直线的距离，垂线段最短； （2）过点P作直线，， 理由是∶过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查了作垂线，平行线，点到直线的距离，平行公里的推论，正确掌握基本作图方法是解题关键． 【考点题型十八 平行线的判定】 【例18】如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，可得：，不合题意； B、；当时，可得：，不合题意； C、当时，不能判定，不符合题意； D、当时，可得：，符合题意． 故选：D． 【变式18-1】如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题； 【详解】解：（1）， ，符合题意； （2）， ，不符合题意； （3）， ，符合题意； （4）， ，符合题意； 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：； 【变式18-2】如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 故答案为：③④． 【变式18-3】如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，逐一判断即可解答． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ； ④， ； 所以，能判定的是①②③， 故答案为：①②③． 【变式18-4】如图，已知平分，平分，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，利用平行线的性质求角的度数．角平分线的相关计算等知识. （1）利用角平分线的定义可得出，，由，可得出，即可得出． （2）由，等量代换可得出，由等量代换可得出即可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出的度数． 【详解】（1）解： 理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十九 平行线的性质】 【例19】如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角相等等知识点，由题意得：，由得，根据是的平分线得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴ 故选：B 【变式19-1】如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，得出，结合，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故选：D 【变式19-2】如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 【答案】114 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质得,又，即可得. 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 【变式19-3】如图，，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点逆时针旋转的最小角度为 度． 【答案】13 【分析】本题考查平行线的知识．根据平行线的性质，得到，则，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式19-4】（1）【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在 、两平行线之间，，，求的度数． 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）【方法运用】如图，已知，点、分别在直线、上，点在、两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）【应用拓展】如图，在图的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线、之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行公理，得，平行线的性质，内错角相等，，，即可； （2）过点作，根据平行公理，得，平行线的性质，同旁内角互补，则，，即可； （3）过点作，根据平行公理，则，平行线的性质，内错角相等，得，，再根据等量代换，角平分线的定义，，即可． 【详解】（1）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）过点作， ∵, ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵、平分和， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的知识、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及平行公理的运用． 【考点题型二十 根据平行线的性质探究角的关系】 【例20】如图，，与相交于点C，且，，若，则n的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．过C点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解． 【详解】解：如图，过C点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选D． 【变式20-1】如图，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴①， ②， 由①+②得，， 故选：C． 【变式20-2】小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的曲臂直杆道闸，已知垂直于水平地面当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升 （即 与始终平行），在该过程中始终等于 . 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式20-3】已知与其内部一点D， 过D点作， 作，则与的数量关系是 ． 【答案】相等或互补 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分两种情况讨论，再根据“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”可得答案． 【详解】解：如图， 延长交于点G， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴；    如图，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 所以与的数量关系是相等或互补． 故答案为：相等或互补． 【变式20-4】已知：点C是的边上一点（点C不与点O重合），点D是内部一点，射线不与相交． (1)如图1，，过点O作射线，使得．（其中点E在内部）． ①依据题意，补全图1； ②直接写出的度数． (2)如图2，点F是射线上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线，使得（其中点H在的外部），用含的代数式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)（1）①见解析；② (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可； （2）过点O作，则，根据平行线的性质得出两角的数量关系即可． 【详解】（1）解：①依据题意，补全图1如下： ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明：过点O作，则： ∴， 又∵， ∴， ∴． 【考点题型二十一 根据平行线的性质求角的度数】 【例21】如图，已知，交于点，且于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出的度数是解题关键．直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式21-1】光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 【变式21-2】如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式21-3】如图，将一张长方形纸条沿折叠，点C、D分别折叠至点、，若，则度数为 ． 【答案】/115度 【分析】首先由折叠的性质得到，然后根据平行线的性质求解即可． 此题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】由折叠可得， ∵长方形纸条的对边平行 ∴． 故答案为：． 【变式21-4】如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【考点题型二十二 平行线间的距离】 【例22】如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故选：． 【变式22-1】已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．本题考查了平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解． 【详解】解：如图1，直线在、外时， 与的距离为，与的距离为， 与的距离为， 如图2，直线在直线、之间时， 与的距离为，与的距离为 与的距离为， 综上所述，与的距离为或 故选：C 【变式22-2】在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查了两平行之间的距离，①当在、之间，②当在、之间，即可求解，能根据平行线的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当在、之间， 直线a和c的距离为； ②当在、之间， 直线a和c的距离为； 故答案：3或9． 【变式22-3】如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 【变式22-4】如图，直线，，，a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，求a与c的距离. 【答案】6cm 【分析】依据AB=10cm，BC=4cm，可得AC=6cm，进而得出a与c的距离为6cm． 【详解】解：∵a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，AB⊥a，AB⊥b， ∴AB=10cm，BC=4cm， ∴AC=6cm， 即a与c的距离为6cm． 【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【考点题型二十三 多边形的相关概念】 【例23】从多边形的一个顶点出发的对角线一共有条，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出即可，掌握多边形的对角线是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得：，即这个多边形为九边形， 故选：． 【变式23-1】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2020个三角形，那么这个多边形是（    ） A．2019边形 B．2020边形 C．2021边形 D．2022边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形对角线分三角形问题，经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， ∵从这个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2020个三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是2022边形， 故选：D． 【变式23-2】过某个多边形的一个顶点可以引出6条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 【答案】7 【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，根据过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形，即可求解． 【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出6条对角线， ∴该多边形的边数为， ∴这些对角线将这个多边形分成个三角形． 故答案为：7． 【变式23-3】若过n边形的一个顶点有七条对角线，m边形没有对角线，则 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，过k边形的一个顶点可以引条对角线，据此求出m、n的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵过n边形的一个顶点有七条对角线，m边形没有对角线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式23-4】某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2)一个十二边形总共有54条对角线 (3)三角形个数的和不可能为2016，理由见解析 【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． （1）由表格中的数据探求得出最终结果； （2）把代入求值即可； （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：由表格中的数据得： 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条， 多边形对角线的总条数为：条； 故答案为：，； （2）解：把代入计算得：. 故一个十二边形总共有54条对角线； （3）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$