第13章 勾股定理 单元测试- 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第13章 勾股定理单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 2．如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 4．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 5．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 6．△ABC中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．如图，将七个正方形依次放在直线上，已知正放置的四个正方形的面积依次是，，斜放置的正方形的面积分别是，则的值为（ ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．6 8．如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 10．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 11．如图，在中，，，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是（   ） A． B． C．1 D． 12．如图，中，；分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 二、填空题 13．如图，在数轴上点表示的数为1，点表示的数为3，，，以点为圆心，为半径画弧交轴于点．则点表示的数为 ． 14．用反证法证明命题“已知△ABC，，则．”的第一步应先假设 ． 15．如图，△ABC中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 16．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 三、解答题 17．如图是一个机器零件的示意图，是这种零件合格的一项指标．现测得，，，，．根据这些条件，能否知道？ 18．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)△ABC是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 19．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 20．如图，已知在△ABC中，，，边上的中线． 求证： 21．著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 22．“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，我们常用图形面积来解释一些公式或完成证明． (1)如图1，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式：________； (2)图2是我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为c，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a，请通过面积证明：； (3)由（2）可知，在直角边分别为，斜边为c的直角三角形中，有．请你用这个结论解决问题：如图3，在中，，点E在上，将△ABC沿折叠，点C的对应点D恰好落在上，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D B A B C D B 题号 11 12 答案 A A 13． 14． 15．9.6 16．西北 17．解：能； ∵，，， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，∵， ∴是直角三角形，即：． 18．（1）解：是直角三角形．理由如下： ，， ，是直角三角形； （2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵; 方案一所铺设的管道较短． 19．解：是从村庄到河边最近的路． 证明：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边最近的路． 20．解：∵，边上的中线． ∴， ∵，∴，则，∴， ∵是边上的中线，∴是的垂直平分线，∴． 21．解：（1）梯形面积：，三个三角形面积和：， ∵梯形面积三个三角形面积和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ∵， ∴，即，解得， ∴千米，故答案为：； （3）设，则， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴． 22．（1）解：根据题意得，大正方形的面积可以表示为：，， ∴，故答案为：； （2）解：根据题意得，大正方形的面积为：， ∵大正方形是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵将△ABC沿折叠，点C的对应点D恰好落在上， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，，即，解得， ∴的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $