专题04 二次函数（期末复习知识清单，5知识&9题型&3易错&3方法清单）九年级数学上学期苏科版

该初中数学二次函数专题清单系统整合了5大知识模块、9类典型题型、3项易错警示及3种解题方法，涵盖定义、图象性质、解析式确定、方程关系及实际应用等核心内容，构建了从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型变式+易错剖析+方法总结”四维架构呈现知识体系，如将二次函数增减性标注为易错点并配对比示例，培养学生的抽象能力和推理意识。题型设计包含利润、拱桥等实际问题，强化模型意识，教师可直接用于分层教学，学生能自主查漏补缺，提升学习效率。

专题04二次函数 （5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】二次函数 1. 定义：形如（(a)、(b)、(c)是常数，）的函数，叫做二次函数。 2. 一般形式：（），其中是二次项，(bx)是一次项，(c)是常数项；(a)是二次项系数，(b)是一次项系数。 3. 自变量取值范围：一般为全体实数；实际问题中需根据具体意义确定。 【清单02】二次函数的图象与性质 1. 图象：抛物线，是轴对称图形。 2. 开口方向：由(a)的符号决定：(a > 0)时，开口向上；(a < 0)时，开口向下。 3. 开口大小：(|a|)越大，抛物线开口越窄；(|a|)越小，抛物线开口越宽。 4. 顶点坐标： · 一般式：； · 顶点式（）：((h, k))。 5. 对称轴：直线（一般式）或（顶点式）。 6. 增减性： · (a > 0)：对称轴左侧（），(y)随(x)增大而减小；对称轴右侧（），(y)随(x)增大而增大。 · (a < 0)：对称轴左侧（），(y)随(x)增大而增大；对称轴右侧（），(y)随(x)增大而减小。 7. 最值： · (a > 0)：当时，(y)有最小值； · (a < 0)：当时，(y)有最大值。 【清单03】用待定系数法确定二次函数表达式 1. 已知三点坐标：设一般式（），将三点坐标代入，解三元一次方程组求(a)、(b)、(c)。 2. 已知顶点坐标((h, k))和另一点：设顶点式（），代入另一点坐标求(a)。 3. 已知抛物线与(x)轴两交点、和另一点：设交点式（两根式）（，），代入另一点坐标求(a)。 【清单04】二次函数与一元二次方程 1. 关系：二次函数的图象与(x)轴交点的横坐标是一元二次方程的实数根。 2. 判别式的作用： · ：方程有两个不相等实根，抛物线与(x)轴有两个交点； · ：方程有两个相等实根，抛物线与(x)轴有一个交点（顶点在(x)轴上）； · ：方程无实根，抛物线与(x)轴无交点。 【清单05】用二次函数解决问题 1. 基本步骤：审题→设自变量→列二次函数表达式→确定自变量取值范围→求最值（或其他目标量）→检验并作答。 2. 常见类型： · 最值问题：如面积最大、利润最大等，通过求二次函数顶点纵坐标（结合自变量取值范围）解决； · 图形问题：根据几何图形性质（如周长、面积关系）列函数表达式； · 实际应用：结合生活情境（如运动轨迹、销售问题），注意自变量的实际意义（如非负性）。 【题型一】二次函数的定义 【例1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【变式1-2】当 时，是关于的二次函数． 【题型二】二次函数的对称轴、顶点坐标 【例2】二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】关于抛物线，下列说法错误的是（） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2 【变式2-2】二次函数的对称轴为直线 ． 【题型三】二次函数的增减性 【例3】已知点在函数的图象上，当时，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是 （用“”连接）． 【题型四】二次函数与一元二次方程 【例4】如图是二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线．则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】已知在二次函数中，函数值和自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … … 则关于的一元二次方程的解是 【题型五】二次函数与不等式 【例5】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【变式5-1】抛物线与直线相交于如图所示的A，B两点，则不等式的解集为（　　） A．或 B． C． D． 【变式5-2】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是 ． 【题型六】二次函数各项系数关系 【例6】已知二次函数的图像如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-1】如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ①； ②； ③； ④若t为任意实数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 【题型七】二次函数的应用——利润问题 【例7】某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表∶ 每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 …… 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 …… 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律 (1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式； (2)门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为元，在每天售出量不超过件时，每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？(纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)？ 【变式7-1】某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为元． (1)降价3元后商场平均每天可售出____个玩具； (2)商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式7-2】公司购进某种休闲食品，成本价为20元，经过市场调研发现，这种休闲食品在未来40天的销售单价元与时间天之间的函数关系式为：，且它的日销售量与时间天之间的函数关系为： (1)求第4天公司的单价是______；销售利润______． (2)哪一天公司的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【题型八】二次函数的应用——拱桥、投球、喷水问题 【例8】综合与实践：设计隧道的限高方案． 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为8米，宽度为16米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米． 解决问题： (1)确定隧道形状：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？ 【变式8-1】掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处掷出点高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．    (1)求关于的函数表达式； (2)根据杭州市中考体育考试评分标准（男生版），见下表．该男生在此项考试中能得多少分，请说明理由． 表：杭州市中考掷实心球部分得分标准（男生版） 掷实心球（米） 10 9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 … 分值（分） 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 … (3)在掷出的实心球行进路线的形状不变而对称轴变为直线的情况下，若不改变掷出点高度，请问该同学可得满分吗？ 【变式8-2】某公园修建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管如图①，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为， (1)如图②所示建立的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为___________．水管的原设计高度应为___________m． (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出的值． 【题型九】二次函数的解析式 【例9】如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … 0 1 2 3 … … 1 … (1)若，请求出抛物线的表达式； (2)若，且，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值； (3)若，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，求的值． 【变式9-1】在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 2 … … 0 … (1)该二次函数的顶点坐标是______，并求该二次函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)将该二次函数的图象向右平移个单位长度后得到一个新图象，在新图象上，当时，函数的最小值为，直接写出的值． 【变式9-2】某二次函数的部分自变量与函数值的对应数值如下表所示： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 m ．．． (1)若，求二次函数的表达式及顶点坐标 (2)当时，记二次函数对称轴为直线，求的取值范围 (3)若，当时，二次函数最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为，求的值． 【题型一】图象平移规律混淆 【例1】将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为 ． 【题型二】“左同有异”对称轴规律混淆 【例2】抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（    ）                                                                                 A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．c的值为 【变式2-1】已知点、是二次函数图像上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 … 表格可以发现二次函数与轴有一个交点坐标为，则与轴另一个交点坐标为 ． 【题型三】最值求解忽略自变量范围 【例3】点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【变式3-2】已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 【题型一】二次函数的特殊三角形、特殊四边形的存在性问题 方法技巧 一、特殊三角形存在性问题 1. 等腰三角形存在性 方法步骤： （1）设点坐标：设抛物线上动点坐标为(P(m,n))，其中(n)用含(m)的二次函数表达式表示 （2）表示三边长：利用两点间距离公式表示出、、（(A)、(B)为已知顶点） （3）分类列方程： · 当时： · 当时： · 当时： （4）求解验证：解方程求出(m)的值，检验是否符合题意（注意：需排除三点共线情况） 关键技巧： · 利用平方形式避免根号运算，简化计算 · 若已知两点在坐标轴上，可结合几何图形直接计算边长 2. 直角三角形存在性 方法步骤： （1）设点坐标：设动点坐标为(P(m,n)) （2）分类讨论直角顶点： · 当(A)为直角顶点时：（斜率乘积为-1）或（勾股定理） · 当(B)为直角顶点时：或 · 当(P)为直角顶点时：或 （3）建立方程求解：根据不同直角顶点情况列方程，求出(m)的值 （4）验证结果：确保点(P)在抛物线上且与(A)、(B)不重合 关键技巧： · 若涉及坐标轴上的点，可直接利用坐标轴垂直特性简化计算 · 当直线斜率不存在时（垂直于x轴），单独讨论 3. 等腰直角三角形存在性 方法步骤： （1）结合等腰和直角特性：在直角三角形存在性基础上增加等腰条件 （2）利用几何性质： · 两直角边相等：且 · 斜边中线性质：斜边上的中线等于斜边一半 （3）代数法与几何法结合：通过距离公式表示边长关系，结合直角条件列方程组 二、特殊四边形存在性问题 1. 平行四边形存在性 方法步骤： （1）设点坐标：设动点坐标为(P(m,n))，已知三点(A)、(B)、(C) （2）利用对角线互相平分性质： · 若(AB)为对角线，则(AB)中点与(PC)中点重合：且 · 若(AC)为对角线，则且 · 若(AD)为对角线，则且（根据具体已知点调整） （3）解方程求坐标：根据中点坐标公式列方程，求出(P)点坐标 （4）检验：验证点(P)是否在抛物线上且不与已知点重合 关键技巧： · 利用“中点坐标公式”是解决平行四边形存在性问题的通法 · 注意分类讨论不同对角线情况，避免漏解 2. 矩形存在性 方法步骤： （1）先确定平行四边形：按平行四边形存在性方法求出所有可能的点(P) （2）增加直角条件： · 利用邻边垂直： · 利用对角线相等：（对角线长度相等） （3）筛选符合条件的点：从平行四边形候选点中筛选出满足矩形条件的点 关键技巧： · 对角线相等的平行四边形是矩形，可直接利用中点坐标公式和距离公式结合求解 3. 菱形存在性 方法步骤： （1）先确定平行四边形：求出所有平行四边形顶点(P) （2）增加邻边相等条件： · （邻边相等） · 对角线互相垂直： （3）求解验证：确保四条边相等或对角线互相垂直平分 关键技巧： · 菱形的对角线互相垂直平分，可结合中点坐标公式和斜率乘积为-1列方程 4. 正方形存在性 方法步骤： （1）结合矩形和菱形特性：在矩形基础上增加邻边相等，或在菱形基础上增加直角条件 （2）利用几何性质： · 对角线相等且互相垂直平分 · 四边相等且四个角都是直角 （3）代数法求解：通过距离公式和斜率关系建立方程组，求解动点坐标 【例1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为拋物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)①点是抛物线对称轴上一点，若为等腰三角形，则点坐标是 ； ②若点是直线下方的抛物线上的点，且的面积为12，求出满足条件的点的坐标． 【变式1—1】如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1—2】如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二】二次函数与等角、倍角、角度结合问题 方法技巧 一、等角问题处理策略 1. 对称构造法 当二次函数背景中出现相等角时，可利用抛物线的轴对称性构造对称点。若抛物线对称轴为x=a，已知点P(m,n)关于对称轴对称的点P'，则∠PAB=∠P'AB，通过这种对称变换将分散的等角条件集中，转化为线段关系求解。 2. 斜率相等法 在平面直角坐标系中，若两个角的两边分别平行或垂直，则两角相等或互补。设直线AB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2，若k1=k2且两直线不重合，则直线AB与CD平行，对应同位角或内错角相等；若k1·k2=-1，则两直线垂直，对应角互余。通过计算直线斜率建立等量关系，求解点的坐标。 3. 全等/相似三角形法 通过构造包含等角的全等或相似三角形，将角度关系转化为边的比例关系。在二次函数图像上，设动点坐标为，根据已知角的度数和位置，构造直角三角形，利用三角函数（正弦、余弦、正切）定义列出方程，如tan∠A=对边/邻边，建立关于t的方程求解。 二、倍角问题处理策略 1. 角平分线转化法 若∠α=2∠β，可作∠α的角平分线，将其分成两个等于∠β的角，再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）或角平分线定理（三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例）构建方程。例如，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/DC。 2. 构造等腰三角形法 对于∠α=2∠β，可构造以∠α为顶角、∠β为底角的等腰三角形，或构造以∠β为顶角、∠α为外角的等腰三角形。例如，在△ABC中，若∠ACB=2∠ABC，可延长BC至D，使CD=AC，连接AD，则∠ADB=∠ABC，△ABD为等腰三角形，AD=AB，从而将倍角关系转化为线段相等关系，再结合二次函数表达式求解。 【例2】综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2—1】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点是在以点为圆心个单位长度为半径的的一个动点． (1)求这个抛物线的表达式． (2)当与相切时求出点坐标． (3)在（2）的条件下，当时，在抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由 【变式2—2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，抛物线经过两点与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点为直线上方抛物线上任意一点，过作于点，当最大时，为轴上一动点，求的最大值． (3)若点在抛物线上，连接，当时，请直接写出点的坐标． 【题型三】二次函数的新定义问题 方法技巧 一、理解新定义是前提 1. 逐字逐句精读定义：拿到新定义问题后，务必仔细阅读题目中给出的所有新定义描述，包括定义名称、核心条件、数学表达式（若有）、限制范围等。将关键信息用下划线或着重号标出，确保不遗漏任何细节。例如，若定义“二次函数的‘特征值’”为其图像顶点的横坐标与纵坐标之和，就必须明确是顶点坐标的横纵坐标相加。 2. 将新定义转化为数学语言：对于文字描述的新定义，要学会将其“翻译”成数学符号、表达式或图形语言。这是运用新定义解决问题的桥梁。比如，定义“对于二次函数，若存在实数(m)，使得，则称点((m,m))为该二次函数的‘不动点’”，这里的“不动点”就可以转化为方程，即的实数根。 3. 举特例辅助理解：如果新定义比较抽象，可以尝试构造一个简单的符合新定义的二次函数例子，代入定义中进行验证，从而更直观地理解新定义的内涵和外延。例如，理解“完美二次函数”（定义为与x轴有两个不同交点且两交点间距离为2的二次函数），可以举，其与x轴交点为(1,0)和，距离为2，符合定义。 二、关联已有知识是关键 1. 联系二次函数的核心知识点：新定义问题最终落脚点还是二次函数本身，所以要主动将新定义与二次函数的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性、与坐标轴交点等）、解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）、二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）等已有知识建立联系。例如，若新定义涉及二次函数图像上两点间的某种距离，则可能需要用到两点间距离公式以及二次函数上点的坐标表示。 2. 明确新定义与旧知识的结合点：分析新定义中哪个部分需要用到二次函数的哪些性质。比如，若新定义要求“二次函数的‘和谐区间’”是指函数在某个区间上的最大值与最小值之差为1的区间，则必然涉及二次函数在给定区间上的最值求法，这就需要考虑对称轴与区间的位置关系，分情况讨论。 3. 运用数学思想方法：在关联知识的过程中，要积极运用函数与方程思想（将新定义中的条件转化为方程或函数关系）、数形结合思想（画出二次函数草图，结合新定义条件进行分析）、分类讨论思想（当新定义中条件不唯一或二次函数参数不确定导致结果有多种可能时）、转化与化归思想（将新定义问题转化为熟悉的二次函数问题）。 【例3】定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的差称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． (1)求点的“坐标差”和抛物线的“特征值”． (2)某二次函数的“特征值”为，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式． (3)如图所示，二次函数的图象顶点M在“坐标差”为2的一次函数的图象上，并与该一次函数的图象另一个交点为N，四边形是矩形，点E的坐标为，点O为坐标原点，点D在x轴上． ①求出的面积． ②当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，直接写出p的取值范围． 【变式3—1】定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“美好函数”，该点称为“美好点”，例如：“美好函数”，其“美好点”为． (1)判断：函数 _____“美好函数”（填“是”或“不是”）； (2)若抛物线上有两个“美好点”，求m的取值范围； (3)若函数的图象上存在唯一的一个“美好点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 【变式3—2】定义：若以函数图象上的点与平面内两个点为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知． (1)正比例函数上存在关于的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点， ①求的解析式； ②如图①，射线交轴于点；点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数 （5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】二次函数 1. 定义：形如（(a)、(b)、(c)是常数，）的函数，叫做二次函数。 2. 一般形式：（），其中是二次项，(bx)是一次项，(c)是常数项；(a)是二次项系数，(b)是一次项系数。 3. 自变量取值范围：一般为全体实数；实际问题中需根据具体意义确定。 【清单02】二次函数的图象与性质 1. 图象：抛物线，是轴对称图形。 2. 开口方向：由(a)的符号决定：(a > 0)时，开口向上；(a < 0)时，开口向下。 3. 开口大小：(|a|)越大，抛物线开口越窄；(|a|)越小，抛物线开口越宽。 4. 顶点坐标： · 一般式：； · 顶点式（）：((h, k))。 5. 对称轴：直线（一般式）或（顶点式）。 6. 增减性： · (a > 0)：对称轴左侧（），(y)随(x)增大而减小；对称轴右侧（），(y)随(x)增大而增大。 · (a < 0)：对称轴左侧（），(y)随(x)增大而增大；对称轴右侧（），(y)随(x)增大而减小。 7. 最值： · (a > 0)：当时，(y)有最小值； · (a < 0)：当时，(y)有最大值。 【清单03】用待定系数法确定二次函数表达式 1. 已知三点坐标：设一般式（），将三点坐标代入，解三元一次方程组求(a)、(b)、(c)。 2. 已知顶点坐标((h, k))和另一点：设顶点式（），代入另一点坐标求(a)。 3. 已知抛物线与(x)轴两交点、和另一点：设交点式（两根式）（，），代入另一点坐标求(a)。 【清单04】二次函数与一元二次方程 1. 关系：二次函数的图象与(x)轴交点的横坐标是一元二次方程的实数根。 2. 判别式的作用： · ：方程有两个不相等实根，抛物线与(x)轴有两个交点； · ：方程有两个相等实根，抛物线与(x)轴有一个交点（顶点在(x)轴上）； · ：方程无实根，抛物线与(x)轴无交点。 【清单05】用二次函数解决问题 1. 基本步骤：审题→设自变量→列二次函数表达式→确定自变量取值范围→求最值（或其他目标量）→检验并作答。 2. 常见类型： · 最值问题：如面积最大、利润最大等，通过求二次函数顶点纵坐标（结合自变量取值范围）解决； · 图形问题：根据几何图形性质（如周长、面积关系）列函数表达式； · 实际应用：结合生活情境（如运动轨迹、销售问题），注意自变量的实际意义（如非负性）。 【题型一】二次函数的定义 【例1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：由二次函数的定义可知，四个函数中，只有函数是二次函数， 故选：C． 【变式1-1】二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，，，， ∴ 一次项系数是. 故选：B． 【变式1-2】当 时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义明确“自变量最高次数为2且二次项系数不为0”这两个条件． 根据二次函数的定义，列出关于的条件：一是自变量的次数，二是二次项系数，求解并结合条件确定的值． 【详解】解：要使函数是关于的二次函数， 则的最高次数必须为2， 即， 且二次项系数． 解方程， 得， 所以． 当时，，函数化为，不是二次函数； 当时，，且指数，满足条件． 因此，． 故答案为． 【题型二】二次函数的对称轴、顶点坐标 【例2】二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质，直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数是顶点式， ∴ 顶点坐标为， 故选：D． 【变式2-1】关于抛物线，下列说法错误的是（） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及最值． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，开口向上，顶点为，对称轴为． ∵开口向上， ∴顶点为最低点，纵坐标为2，无最高点． ∴选项A、B、C正确，D错误， 故选：D． 【变式2-2】二次函数的对称轴为直线 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．直接利用对称轴公式进行计算即可． 【详解】解：二次函数 中，, ，对称轴公式为 ， 代入得 ， 故对称轴为直线 ； 故答案为：． 【题型三】二次函数的增减性 【例3】已知点在函数的图象上，当时，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．将函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值大小即可． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上， 点到对称轴的距离分别为： ，，， ∵开口向上， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∴ 故选：C． 【变式3-1】已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 依据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线， ∴对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为， 时，随的增大而减小， ， . 故选：A． 【变式3-2】已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．由抛物线开口向下且对称轴为直线可知离对称轴水平距离越远，函数值越小，据此求解可得． 【详解】解：∵ 二次函数中， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∵点的横坐标分别为，对称轴为直线， 各点横坐标到对称轴的距离分别为 ∵， ∴． 故答案为：． 【题型四】二次函数与一元二次方程 【例4】如图是二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线．则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程的根的关系，掌握二次函数图像与坐标轴的交点，对称轴的特点是关键． 根据二次函数与x轴的交点，对称轴的计算求解即可． 【详解】解：二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线， ∴， ∴与轴的另一个交点是， ∴关于的一元二次方程的解是， 故选：A． 【变式4-1】如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，抛物线对称性，理解抛物线是轴对称图形是解题的关键．根据抛物线是轴对称图形，利用抛物线上对称的点到对称轴的距离相等得出方程的解． 【详解】解：与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线， 个到对称轴的距离是2， 抛物线与x轴另一交点到对称轴的距离也是2，所以交点坐标是 一元二次方程的解为， 故选：． 【变式4-2】已知在二次函数中，函数值和自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … … 则关于的一元二次方程的解是 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点关于直线的对称点是点，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点均在二次函数的图象上， 故二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， 故点关于直线的对称点是点， ∴关于的一元二次方程的解是，， 即关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 【题型五】二次函数与不等式 【例5】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 【变式5-1】抛物线与直线相交于如图所示的A，B两点，则不等式的解集为（　　） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式转化为图象问题．根据图象中直线不在抛物线下方的的取值范围求解． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于A，B两点，的横坐标为0，的横坐标为3， ∴当时，抛物线在直线下方， ∵不等式的解集即为的解集，也是的解集， ∴不等式的解集为， 故选：D． 【变式5-2】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与不等式（组，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．比较两图象的位置关系得出答案即可． 【详解】解：观察图象可知不等式的解集是或． 故答案为：或． 【题型六】二次函数各项系数关系 【例6】已知二次函数的图像如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵图像开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为， ∴， ， ， ∴①错误； 当时，由图像知， 把代入解析式得：， ， ∴②错误； ∵，， ， ∴③正确； 由①②知且， ∴，即， ∴，④正确； ∵时，（最大值）， 时，， ∵的实数， ， ， ∴⑤错误． 故正确的是③④，共2个， 故选：A． 【变式6-1】如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ①； ②； ③； ④若t为任意实数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与其系数之间的关系，根据开口方向可得，根据对称轴计算公式可得，根据与y轴的交点位置可得，据此可判断①；可求出当时，，据此可判断②；把点A的坐标代入解析式，可推出，据此可判断③；求出函数的最大值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的图像与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线的图像与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线的图像与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴函数的最大值为 ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 【变式6-2】如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与性质是解题的关键． 从抛物线开口向下得，对称轴得，与轴正半轴交点得，故，①错误；由对称轴，得，代入后，结合，故②正确；当时，二次函数最大值为，即对任意实数，，两边减得，即，故③正确；联立抛物线与直线方程，得的横坐标为；结合对称轴得，再由 “横坐标小于” 和，推导得，故④正确． 【详解】解：①：∵抛物线开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； ②：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②正确； ③：由抛物线图像可知：当时，二次函数最大值为， ∴当取全体实数时，， ∴，即，故③正确； ④：联立， 化简得， ∴或， 即点的横坐标为， ∵， ∴， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴， ∵， ∴，即， 解得，故④正确； 综上，正确的有：②③④． 故答案为：②③④． 【题型七】二次函数的应用——利润问题 【例7】某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表∶ 每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 …… 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 …… 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律 (1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式； (2)门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为元，在每天售出量不超过件时，每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？(纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)？ 【答案】(1) (2)产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用，利润=（售价-成本）×售出件数-工资，列出函数关系式，求出最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单. （1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，设，解出k、b即可求出； （2）由利润=（售价-成本）×售出件数-工资，列出函数关系式，求出最大值． 【详解】（1）解：由图可知每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系为一次函数，设函数解析式为，代入、        解得， （2）设每件产品定价为元，每天纯利润为元， ， 当时，即：，解得：， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，利润取得最大，则； 则产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元． 【变式7-1】某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为元． (1)降价3元后商场平均每天可售出____个玩具； (2)商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)46 (2)售价定为90元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，解决本题的关键是掌握求函数的最值时，应注意自变量的取值范围． （1）根据降价后销量降价前销量增加的销量，列式计算即可； （2）根据每天的总利润每个玩具利润降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，并将函数表达式配方成顶点式，结合x的范围可求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意得，（个）， 故答案为：46； （2）解：由题意得， ， ∵， ∴当时，y有最大值1800元， 此时售价为：（元）， 答：售价定为90元时，可使每天获得的利润最大1800元． 【变式7-2】公司购进某种休闲食品，成本价为20元，经过市场调研发现，这种休闲食品在未来40天的销售单价元与时间天之间的函数关系式为：，且它的日销售量与时间天之间的函数关系为： (1)求第4天公司的单价是______；销售利润______． (2)哪一天公司的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】(1)31元；元 (2)第16天销售利润最大，最大为1568元 【分析】（1）先求出第四天的销量，然后根据利润销量（售价成本），即可求解； （2）分别写出当时与当时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）第4天公司的单价为：（元）； 第4天的销量为：， 第4天公司的销售利润为：（元）； 故答案为：31元，1496元； （2）设日销售利润为w，根据题意得： 当时，销售利润：， 此时，当时，销售利润最大，最大值为1568元； 当时，销售利润：， 此时，当时，销售利润最大，最大值为元； ， 第16天销售利润最大，最大为1568元． 【题型八】二次函数的应用——拱桥、投球、喷水问题 【例8】综合与实践：设计隧道的限高方案． 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为8米，宽度为16米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米． 解决问题： (1)确定隧道形状：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？ 【答案】(1) (2)该隧道限高米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，然后设该二次函数的表达式为，然后利用待定系数法解题即可； （2）先求得点，然后代入，求得其函数值，即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，， 不妨设该二次函数的表达式为，代入点， 得 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，， ∵保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于米． ∴该隧道限高（米）． 答：该隧道限高米． 【变式8-1】掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处掷出点高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．    (1)求关于的函数表达式； (2)根据杭州市中考体育考试评分标准（男生版），见下表．该男生在此项考试中能得多少分，请说明理由． 表：杭州市中考掷实心球部分得分标准（男生版） 掷实心球（米） 10 9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 … 分值（分） 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 … (3)在掷出的实心球行进路线的形状不变而对称轴变为直线的情况下，若不改变掷出点高度，请问该同学可得满分吗？ 【答案】(1) (2)7.5分，理由见详解 (3)该同学可以得满分 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，且过点 ，设y与x之间的关系式为，将点代入，求得，即可得抛物线的解析式； （2）求出（1）中抛物线，当时x的值即可得该男生抛掷的最远距离，对照表格即可知他的得分. （3）根据题意可设，将点代入得，由此得.求得，x的正数解为，对照表格可知 该同学可以得满分. 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为，且过点 ， 设y与x之间的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴y与x之间的关系式为，即. （2）解：根据题意，当时， 得（舍去），， ∴该男生在此项考试中能掷出9米远，由表格可知他能得7.5分. （3）解：由于掷出的实心球行进路线的形状不变而对称轴变为直线， ∴设， ∵不改变掷出点高度， ∴此抛物线过点， 将点代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得（舍去），， ∴该同学可以得满分. 【变式8-2】某公园修建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管如图①，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为， (1)如图②所示建立的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为___________．水管的原设计高度应为___________m． (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先认真分析题意，得出抛物线的顶点坐标为，设关系式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先理解题意，结合①不改变喷水头的角度，将水管长度增加，得出，求出又因为②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，且两种调试的水珠落地点相同，即把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由图①和图②得出抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式为， 观察图②得出抛物线与轴的交点坐标为， 则 ∴， ∴； 依题意，令，则， 即水管的原设计高度应为； （2）解：由（1）得， ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； 则， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∵②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．且要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等）， ∴把代入， 得 ∴ 解得． 【题型九】二次函数的解析式 【例9】如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … 0 1 2 3 … … 1 … (1)若，请求出抛物线的表达式； (2)若，且，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值； (3)若，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，求的值． 【答案】(1) (2)该函数有最小值，最小值为1 (3) 【分析】（1）若，则抛物线与x轴的交点坐标为，，可设成交点式，将将点代入，求得，进而可得抛物线的表达式． （2）由可得该抛物线的对称轴为，设 ，则可得，， 由可求得，由此可得抛物线开口向上，该函数有最小值，最小值为1； （3）先求出抛物线的对称轴为直线 ，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得． 本题考查了二次函数图像上点的坐标特征及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则抛物线与x轴的交点坐标为，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式，即； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为，且过点， 设， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴抛物线开口向上，该函数有最小值，最小值为1； （3）解：当时，抛物线经过点和， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵点关于该对称轴对称的点的坐标是，点关于该对称轴对称的点的坐标是，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ∴时与时，y的符号相同，与时y的符号相反 ∴该抛物线经过点和， 设该抛物线的函数表达式为 ， 代入，得 ， 解得 ． 【变式9-1】在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 2 … … 0 … (1)该二次函数的顶点坐标是______，并求该二次函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)将该二次函数的图象向右平移个单位长度后得到一个新图象，在新图象上，当时，函数的最小值为，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)或 【分析】（1）先通过观察表中数据求得顶点坐标，再利用顶点式求解即可； （2）将表中数据通过描点，连线画函数图象； （3）先利用平移规律求出平移后的抛物线解析式，再分，两种情况讨论，分别求出n的值． 【详解】（1）解：∵当与时，函数值都是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 又当时，， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 故答案为：； （2）如图， （3）的图象向右平移个单位长度后得到的一个新图象的解析式为，即， 其顶点是，开口向上，最小值是（在顶点处）， ∵在新图象上，当时，函数的最小值为， ∴不在范围内， 令， 解得：，， 即当或时，的最小值为， ①当时， ∴， 此时在对称轴的右边， 随x的增大而增大， 当时，取到最小值， ∴， 解得：（舍去），， ②当时， ∴， 此时在对称轴的左边， 随x的增大反而减小， 当时，取到最小值， ∴， 解得：，（舍去）， 综上，或． 【点睛】本题考查了的图象和性质，把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式9-2】某二次函数的部分自变量与函数值的对应数值如下表所示： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 m ．．． (1)若，求二次函数的表达式及顶点坐标 (2)当时，记二次函数对称轴为直线，求的取值范围 (3)若，当时，二次函数最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，运用待定系数法求函数关系式，熟练运用相关知识建立方程（组）是解答本题的关键． （1）先运用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式变形为顶点式即可解答问题； （2）根据题意得，由对称轴得，由得，根据得，从而可求的取值范围； （3）由（2）知，对称轴为，，分①当时，，②当时，，③当时三种情况在范围内求出二次函数最大值和最小值，根据最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为列出关于a的方程，求出a的值，代入计算即可得的值． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 根据题意，把；；分别代入解析式得 ， 解得， 所以，抛物线的解析式为， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：由得：， ∴， ∴对称轴为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）解：由（2）知，对称轴为，， 分情况讨论：①当时，函数图象开口向上，，在范围内的图象在对称轴右侧， 最小值为，绝对值为2；最大值为，绝对值为， 和为， 解得， ∴ ②当时，，顶点为最小值点，最小值为，绝对值为， 通过比较点和到对称轴的距离可知，离对称轴更远，最大值为，绝对值为， 和为：， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴； ③当时，无符合条件的解， 综上，m的值为或． 【题型一】图象平移规律混淆 【例1】将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移． 根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．关键是熟练掌握平移规律． 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为， ∴ 所得函数解析式为 ， 故选：A． 【变式1-2】将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移．根据抛物线平移的规则“上加下减，左加右减”进行作答即可． 【详解】解：∵将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 ∴， 整理得， 故答案为：． 【题型二】“左同有异”对称轴规律混淆 【例2】抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（    ）                                                                                 A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．c的值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各个小题中的结论是否成立即可． 【详解】解：由表格中点，，可知对称轴是直线，故B正确，不合题意； 根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，可知抛物线开口向下，故A正确，不合题意； 所以，当时，随的增大而减小，故C不正确，符合题意； 当时，，所以，c的值为，故D正确，不合题意； 故选：C． 【变式2-1】已知点、是二次函数图像上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，得到该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 首先根据点A、B是该二次函数图像上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：点、是二次函数图像上的两个点， 该二次函数图像的对称轴为直线，且开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧， ， 解得， 故选：B． 【变式2-2】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 … 表格可以发现二次函数与轴有一个交点坐标为，则与轴另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质和图像的对称性；根据表格数据可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】解：当时的函数值和当时的函数值都为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时的函数值和当时的函数值相等， ∴， ∴与轴另一个交点坐标为， 故答案为：． 【题型三】最值求解忽略自变量范围 【例3】点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，理解题意，掌握二次函数最值的计算是关键． 由二次函数开口向下及条件可知，顶点在点 处，故对称轴为，根据条件当 时，结合顶点坐标，推导出t必须小于2． 【详解】解：∵ 点 在二次函数上，且当 时 ， ∴ 函数在 处取得最大值，故顶点为，对称轴为 ， ∵ 当 时 ，且函数开口向下， ∴ 在 时，， 设函数顶点式为 ， 则当时，， 即 ， ∵ 且（因）， ∴ 该不等式恒成立， ∴ ， 故 t 的取值范围为， 故选：C． 【变式3-1】若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值问题，关键是通过顶点位置判断取值范围，结合端点值求解．对函数解析式配方，得出二次函数图象开口向下，顶点为，再根据在的范围内的最大值为4，得出或，求出时的自变量取值，再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵二次函数在的范围内的最大值为4， ∴或， 当时，， 整理得， 解得或， 当时，即 ，此时最大值在右端点， ∴， 解得：， 当时，此时最大值在左端点， ∴， 综上可知，实数的值为或5， 故选：A． 【变式3-2】已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，再结合函数取值范围分析自变量的范围． 先根据点、纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合的取值范围，求出对应的值，进而确定的范围． 【详解】解：∵点、在抛物线上且纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为，即，得． ∴抛物线为，其最小值为（当时取得）． 当时，，解得或． ∵当时，的取值范围是， ∴需满足． 故答案为：． 【题型一】二次函数的特殊三角形、特殊四边形的存在性问题 方法技巧 一、特殊三角形存在性问题 1. 等腰三角形存在性 方法步骤： （1）设点坐标：设抛物线上动点坐标为(P(m,n))，其中(n)用含(m)的二次函数表达式表示 （2）表示三边长：利用两点间距离公式表示出、、（(A)、(B)为已知顶点） （3）分类列方程： · 当时： · 当时： · 当时： （4）求解验证：解方程求出(m)的值，检验是否符合题意（注意：需排除三点共线情况） 关键技巧： · 利用平方形式避免根号运算，简化计算 · 若已知两点在坐标轴上，可结合几何图形直接计算边长 2. 直角三角形存在性 方法步骤： （1）设点坐标：设动点坐标为(P(m,n)) （2）分类讨论直角顶点： · 当(A)为直角顶点时：（斜率乘积为-1）或（勾股定理） · 当(B)为直角顶点时：或 · 当(P)为直角顶点时：或 （3）建立方程求解：根据不同直角顶点情况列方程，求出(m)的值 （4）验证结果：确保点(P)在抛物线上且与(A)、(B)不重合 关键技巧： · 若涉及坐标轴上的点，可直接利用坐标轴垂直特性简化计算 · 当直线斜率不存在时（垂直于x轴），单独讨论 3. 等腰直角三角形存在性 方法步骤： （1）结合等腰和直角特性：在直角三角形存在性基础上增加等腰条件 （2）利用几何性质： · 两直角边相等：且 · 斜边中线性质：斜边上的中线等于斜边一半 （3）代数法与几何法结合：通过距离公式表示边长关系，结合直角条件列方程组 二、特殊四边形存在性问题 1. 平行四边形存在性 方法步骤： （1）设点坐标：设动点坐标为(P(m,n))，已知三点(A)、(B)、(C) （2）利用对角线互相平分性质： · 若(AB)为对角线，则(AB)中点与(PC)中点重合：且 · 若(AC)为对角线，则且 · 若(AD)为对角线，则且（根据具体已知点调整） （3）解方程求坐标：根据中点坐标公式列方程，求出(P)点坐标 （4）检验：验证点(P)是否在抛物线上且不与已知点重合 关键技巧： · 利用“中点坐标公式”是解决平行四边形存在性问题的通法 · 注意分类讨论不同对角线情况，避免漏解 2. 矩形存在性 方法步骤： （1）先确定平行四边形：按平行四边形存在性方法求出所有可能的点(P) （2）增加直角条件： · 利用邻边垂直： · 利用对角线相等：（对角线长度相等） （3）筛选符合条件的点：从平行四边形候选点中筛选出满足矩形条件的点 关键技巧： · 对角线相等的平行四边形是矩形，可直接利用中点坐标公式和距离公式结合求解 3. 菱形存在性 方法步骤： （1）先确定平行四边形：求出所有平行四边形顶点(P) （2）增加邻边相等条件： · （邻边相等） · 对角线互相垂直： （3）求解验证：确保四条边相等或对角线互相垂直平分 关键技巧： · 菱形的对角线互相垂直平分，可结合中点坐标公式和斜率乘积为-1列方程 4. 正方形存在性 方法步骤： （1）结合矩形和菱形特性：在矩形基础上增加邻边相等，或在菱形基础上增加直角条件 （2）利用几何性质： · 对角线相等且互相垂直平分 · 四边相等且四个角都是直角 （3）代数法求解：通过距离公式和斜率关系建立方程组，求解动点坐标 【例1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为拋物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)①点是抛物线对称轴上一点，若为等腰三角形，则点坐标是 ； ②若点是直线下方的抛物线上的点，且的面积为12，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)S最大面积为， (3)①或或或或；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点Q，连接，设，则，求出得长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）①由（1）可知抛物线的对称轴为直线，设，则，，，若为等腰三角形，则需分情况讨论： ，， ，分别求解即可； ②设，由已知点是直线下方的抛物线上的点，得或，分两种情况讨论，当时，过点B作垂直于x轴的直线，过点C作，过点Q作，由的面积为12，得，列式，解得或（舍去），当时，同理可求出c的值，进而即可求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：把，分别代入可得， 解得， 抛物线解析式为； 令，则， ， 设直线的解析式为， 把、分别代入，得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：过点P作轴，交于点Q，连接，如图所示： ，， 设，则， ， ， 当时，S的最大面积为， 把代入可得：； （3）解：①， 抛物线的对称轴为直线， 点是抛物线对称轴上一点， 设，则，，， 若，则为等腰三角形， ， ， 即； 若，则为等腰三角形， ， ， 即或； 若，则为等腰三角形， ， 或12， 即或， 综上所述：或或或或； ②设， 点是直线下方的抛物线上的点， 或， 当时， 过点B作垂直于x轴的直线，过点C作，过点Q作， ，， 的面积为12， ， 即， 解得或4（舍去）， ； 当时， 延长至点E，作轴于点C，轴于点F， 同理可求出， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，二次函数的面积问题，分类讨论思想． 【变式1—1】如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质、二次函数与四边形综合题等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数进行解答即可； （2）过点作轴，交直线于点，求出，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ，∴当时，取最大值27， 此时； （3）解：在抛物线：中，令，则；在直线中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 【变式1—2】如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时 (3)点P的坐标为，，或． 【分析】（1）代入点坐标求出参数值即可； （2）利用分割法或作差法，先求出的解析式，再设出参数，表示出对应三角形的底和高，构造的面积的函数，利用二次函数求最值的方法即可； （3）设出点P的坐标，分别用参数表示，，计算出，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得解得 ∴． （2）解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 代入点，得，解得， ∴， 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时， ∴． （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∴， ， ， 分三种情况， 第一种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第二种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第三种，当为斜边时，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为，，或． 【点睛】本题考查了“待定系数法求解析式”“坐标系中面积的求值”“二次函数的图象与性质”“直角三角形的分类讨论”，根据设问，设出参数，利用参数构造出相应的函数和方程是解题关键． 【题型二】二次函数与等角、倍角、角度结合问题 方法技巧 一、等角问题处理策略 1. 对称构造法 当二次函数背景中出现相等角时，可利用抛物线的轴对称性构造对称点。若抛物线对称轴为x=a，已知点P(m,n)关于对称轴对称的点P'，则∠PAB=∠P'AB，通过这种对称变换将分散的等角条件集中，转化为线段关系求解。 2. 斜率相等法 在平面直角坐标系中，若两个角的两边分别平行或垂直，则两角相等或互补。设直线AB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2，若k1=k2且两直线不重合，则直线AB与CD平行，对应同位角或内错角相等；若k1·k2=-1，则两直线垂直，对应角互余。通过计算直线斜率建立等量关系，求解点的坐标。 3. 全等/相似三角形法 通过构造包含等角的全等或相似三角形，将角度关系转化为边的比例关系。在二次函数图像上，设动点坐标为，根据已知角的度数和位置，构造直角三角形，利用三角函数（正弦、余弦、正切）定义列出方程，如tan∠A=对边/邻边，建立关于t的方程求解。 二、倍角问题处理策略 1. 角平分线转化法 若∠α=2∠β，可作∠α的角平分线，将其分成两个等于∠β的角，再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）或角平分线定理（三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例）构建方程。例如，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/DC。 2. 构造等腰三角形法 对于∠α=2∠β，可构造以∠α为顶角、∠β为底角的等腰三角形，或构造以∠β为顶角、∠α为外角的等腰三角形。例如，在△ABC中，若∠ACB=2∠ABC，可延长BC至D，使CD=AC，连接AD，则∠ADB=∠ABC，△ABD为等腰三角形，AD=AB，从而将倍角关系转化为线段相等关系，再结合二次函数表达式求解。 【例2】综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，故顶点的坐标为：． (2)关系式为：，当时，的最大值为； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）根据待定系数法求得函数解析式，然后再求出顶点坐标即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线：， 把代入函数解析式得到， 故顶点的坐标为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在， 当点在点左侧时，是钝角，为锐角，此时得； 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线，根据两直线平行内错角相等可知直线与抛物线在第一象限的交点为，此时有， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键． 【变式2—1】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点是在以点为圆心个单位长度为半径的的一个动点． (1)求这个抛物线的表达式． (2)当与相切时求出点坐标． (3)在（2）的条件下，当时，在抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）代入的坐标到，利用待定系数法即可求解； （2）分2种情况讨论：①当点在点的右侧；②当点在点的左侧，利用切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点即可解决问题； （3）由题意得，分2种情况讨论：①当点在轴下方时，取点，连接，过点作于点，则，利用三线合一性质得到，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，再联立直线和抛物线的解析式求出此时点的坐标；②当点在轴上方时，作点关于轴的对称点，则，同理①的方法求出此时点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：将，，代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①当点在点的右侧，连接、，如图， ∵，， ∴，， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 即， ∴点坐标为； ②当点在点的左侧，作轴于点，与轴交于点，连接，如图， 由①得，，， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为或； （3）解：由（2）得，当点坐标为时，，不符合题意； 点坐标为时，，符合题意； ∴； ①当点在轴下方时， 取点，连接，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ②当点在轴上方时， 作点关于轴的对称点，如图， 则，， 同理可得，直线的解析式为， ∵， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ∴综上所述，存在点使，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合、切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、轴对称的性质，运用分类讨论思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 【变式2—2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，抛物线经过两点与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点为直线上方抛物线上任意一点，过作于点，当最大时，为轴上一动点，求的最大值． (3)若点在抛物线上，连接，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)或； 【分析】（1）利用一次函数表达式求出A、B点坐标，在利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点M作轴，交直线于N，假设出M、N的坐标表示出的长，求最大值即可，延长交轴于点，此时的值最大，据此求解即可； （3）利用等量代换可找出有两个P点，①在x轴上取点，延长交抛物线于点P，推出，利用等量代换可得，求出直线与抛物线交点即可知P点坐标；②作轴，使，连接交抛物线与点，推出，进一步得，求出直线与抛物线交点即可知点坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∵抛物线经过A，B两点， ∴，解得， ∴； （2）解：过点M作轴，交直线于N， 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， 当取得最大值时，的值最大， 设点，， ， ∵， ∴当时，有最大值，即有最大值， 此时点的坐标为． 延长交轴于点，此时的值最大，为， ∵，， ∴， ∴|MQ−CQ|的最大值为4√5； （3）解：或，理由如下： ①在x轴上取点，延长交抛物线于点P， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点B、D代入可得， 解得， ∴，将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， ②作轴，使，连接交抛物线与点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵且,， ∴， ∵， 同理，直线的解析式为， 将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数，动点问题，全等三角形的判定及性质，要求掌握待定系数法求解析式，利用，进行等量转换是解（3）的关键． 【题型三】二次函数的新定义问题 方法技巧 一、理解新定义是前提 1. 逐字逐句精读定义：拿到新定义问题后，务必仔细阅读题目中给出的所有新定义描述，包括定义名称、核心条件、数学表达式（若有）、限制范围等。将关键信息用下划线或着重号标出，确保不遗漏任何细节。例如，若定义“二次函数的‘特征值’”为其图像顶点的横坐标与纵坐标之和，就必须明确是顶点坐标的横纵坐标相加。 2. 将新定义转化为数学语言：对于文字描述的新定义，要学会将其“翻译”成数学符号、表达式或图形语言。这是运用新定义解决问题的桥梁。比如，定义“对于二次函数，若存在实数(m)，使得，则称点((m,m))为该二次函数的‘不动点’”，这里的“不动点”就可以转化为方程，即的实数根。 3. 举特例辅助理解：如果新定义比较抽象，可以尝试构造一个简单的符合新定义的二次函数例子，代入定义中进行验证，从而更直观地理解新定义的内涵和外延。例如，理解“完美二次函数”（定义为与x轴有两个不同交点且两交点间距离为2的二次函数），可以举，其与x轴交点为(1,0)和，距离为2，符合定义。 二、关联已有知识是关键 1. 联系二次函数的核心知识点：新定义问题最终落脚点还是二次函数本身，所以要主动将新定义与二次函数的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性、与坐标轴交点等）、解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）、二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）等已有知识建立联系。例如，若新定义涉及二次函数图像上两点间的某种距离，则可能需要用到两点间距离公式以及二次函数上点的坐标表示。 2. 明确新定义与旧知识的结合点：分析新定义中哪个部分需要用到二次函数的哪些性质。比如，若新定义要求“二次函数的‘和谐区间’”是指函数在某个区间上的最大值与最小值之差为1的区间，则必然涉及二次函数在给定区间上的最值求法，这就需要考虑对称轴与区间的位置关系，分情况讨论。 3. 运用数学思想方法：在关联知识的过程中，要积极运用函数与方程思想（将新定义中的条件转化为方程或函数关系）、数形结合思想（画出二次函数草图，结合新定义条件进行分析）、分类讨论思想（当新定义中条件不唯一或二次函数参数不确定导致结果有多种可能时）、转化与化归思想（将新定义问题转化为熟悉的二次函数问题）。 【例3】定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的差称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． (1)求点的“坐标差”和抛物线的“特征值”． (2)某二次函数的“特征值”为，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式． (3)如图所示，二次函数的图象顶点M在“坐标差”为2的一次函数的图象上，并与该一次函数的图象另一个交点为N，四边形是矩形，点E的坐标为，点O为坐标原点，点D在x轴上． ①求出的面积． ②当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)点的“坐标差”是，抛物线的“特征值”是5 (2) (3)①；② 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、矩形性质等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解． （1），故“坐标差”为，故“特征值”为 5 ； （2）由题意得：点，故点的“坐标差”相等，故点，把点的坐标代入得：，解得：，故：，故抛物线的“特征值”为，故，即可求解； （3）①“坐标差”为 2 的一次函数为：，根据抛物线的图象的顶点在上，设抛物线的表达式为：，则，联立和，根据根与系数关系求出，再根据即可求解． ②对于图1，直线与矩形边的交点为：，则对称轴为：，解得：，对于图 2 ，把点代入并解得：或 10 （舍去 10 ），即可求解． 【详解】（1）解：∵，故“坐标差”为， ∵，， ∴当时，最大，最大值是5， 故抛物线的“特征值”为 5 ； （2）解：二次函数中，令，则， 则点， ∴点的“坐标差”是， ∵点的“坐标差”相等， ∴点， 把点的坐标代入得：， 解得：， 故：， ∵抛物线的“特征值”为， ， 故， 解得：， ， 故抛物线的表达式为：； （3）解：①“坐标差”为 2 的一次函数为：，即， ∵抛物线的图象的顶点在上， ∴设抛物线的表达式为：， ∴， 联立和，整理得， ∴， ∴， 在中，令，，∴， ∴． ②∵抛物线的图象的顶点在上，设抛物线的表达式为：， 当抛物线与矩形有 3 个交点时，如图1、2， 对于图 1，直线与矩形边的交点为：， 则对称轴为：，解得：， 对于图 2 ，把点代入并解得：或 10 （舍去 10 ）， 故，解得：， 故二次函与矩形的边有四个交点时，求的取值范围：． 【变式3—1】定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“美好函数”，该点称为“美好点”，例如：“美好函数”，其“美好点”为． (1)判断：函数 _____“美好函数”（填“是”或“不是”）； (2)若抛物线上有两个“美好点”，求m的取值范围； (3)若函数的图象上存在唯一的一个“美好点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 【答案】(1)不是 (2)且 (3)k的值为0或 【分析】（1）根据“美好函数”的定义得出关于x的一元一次方程，根据解的情况即可得出结论； （2）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论； （3）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式得n是m的一元二次函数，根据一元二次函数的性质分类讨论n的最小值，列方程求解即可：①当时，n在时有最小值为，由题意得，解得；②当时，n随着m的增大而减小，n的最小值为，无解；③当时，n随着m的增大而增大，n的最小值为，解得或（舍去），故k的值为0或． 本题主要考查了新定义，一元二次方程根的情况和一元二次函数的性质，熟练掌握利用根的判别式判断根的情况和利用一元二次函数的性质求最值是解题的关键． 【详解】（1）解：令，方程无解， ∴函数不是“美好函数”； 故答案为：不是． （2）由题意得有2个解， 整理得， ∴， 解得且． （3）由题意得只有一个解， 整理得， ∴， 整理得， 对称轴为直线， ①当时，n的最小值为， ∵当时，n的最小值为k， ∴， ∴； ②当时，n随着m的增大而减小， ∴n的最小值为，无解； ③当时，n随着m得增大而增大， ∴n的最小值为， ∴或（舍去）． 综上，k的值为0或． 【变式3—2】定义：若以函数图象上的点与平面内两个点为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知． (1)正比例函数上存在关于的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点， ①求的解析式； ②如图①，射线交轴于点；点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2) (3)①；② 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，正比例函数，反比例函数相似三角形等知识，解题的关键是读懂题意，理解“等边点”的概念． （1）当P在上方时，过P作轴于H，求出，由是等边三角形，轴，求出，即得；当在下方时，同理可得； （2）由题意得是等边三角形，轴，求得，设，再将代入，求得，即可解答； （3）①由抛物线过，，设抛物线的解析式为，再代入，解得，即可求解； ②过作于，由是等边三角形，可得，设，则，再利用，，是等腰直角三角形，列方程求解即可得出，进而求出． 【详解】（1）解：当P在上方时，过P作轴于H，如图： ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵轴， ， ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线解析式为，把代入得 ∴ 当在下方时，同理可得， ， ∴正比例函数的解析式为或； （2）如图所示，由题意得是等边三角形，轴， ，， ∴中， ， ， ∴， 设， 将代入， 解得，， 的解析式为：； （3）①∵抛物线过，， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， ∴抛物线的解析式为； ②过作于，如图： 是等边三角形， ， ， 设，则， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ，解得， ， ， 点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公2 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $