专题01 一元二次方程（期末复习知识清单，5知识&9题型&3易错&3方法清单）九年级数学上学期苏科版

专题01 一元二次方程（5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】一元二次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式：（(a)、(b)、(c)是常数，）。其中，是二次项，(a)是二次项系数；(bx)是一次项，(b)是一次项系数；(c)是常数项。 3. 注意事项： · 必须是整式方程，即分母中不含未知数。 · 只含有一个未知数。 · 未知数的最高次数是2，且二次项系数(a)不能为0。 【清单02】一元二次方程的解法 （一）直接开平方法 1. 适用形式：方程可化为（）或（）的形式。 2. 解法步骤： · 对于（），直接开平方得。 · 对于（），开平方得，再解关于(x)的一元一次方程。 3. 示例：解方程，开平方得，解得，。 （二）配方法 1. 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。 2. 解法步骤： · 移项：把常数项移到方程右边，得。 · 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数(a)，得。 · 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，左边化为完全平方式，右边合并同类项。 · 开平方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，则方程无实数根。 3. 示例：解方程，移项得，配方得，即，开平方得，解得，。 （三）公式法 1. 求根公式：对于一元二次方程（），当时，方程的两个根为。 2. 解法步骤： · 把方程化为一般形式，确定(a)、(b)、(c)的值。 · 计算判别式的值。 · 当时，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式求解；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。 3. 示例：解方程，其中，，，，则，即，。 （四）因式分解法 1. 原理：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0。 2. 解法步骤： · 移项：把方程右边化为0，得。 · 因式分解：把方程左边分解成两个一次因式的乘积形式。 · 转化为一元一次方程：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程。 · 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 3. 常用因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 4. 示例：解方程，因式分解得，则或，解得，。 【清单03】一元二次方程根的判别式 1. 定义：对于一元二次方程（），叫做一元二次方程根的判别式。 2. 判别式与根的关系： · 当时，方程有两个不相等的实数根。 · 当时，方程有两个相等的实数根。 · 当时，方程没有实数根。 3. 应用：判断方程根的情况，确定字母系数的取值范围等。例如，若关于(x)的方程有两个不相等的实数根，则且，即(36 - 36k > 0)，解得(k < 1)且。 【清单04】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 内容：如果一元二次方程（）的两个实数根是、，那么，。 2. 注意事项：韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即。 3. 应用： · 已知方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。例如，已知方程的一个根是2，则另一个根满足，解得，又因为，所以。 · 求与根有关的代数式的值，如，等。例如，若方程的两根为、，则，，所以。 【清单05】一元二次方程的应用 1. 步骤： · 审题：理解题意，明确已知量和未知量，找出等量关系。 · 设元：设出适当的未知数（直接设元或间接设元）。 · 列方程：根据等量关系列出一元二次方程。 · 解方程：求出方程的解。 · 检验：检验方程的解是否符合实际意义，舍去不合题意的解。 · 作答：写出答案。 2. 常见类型： · 增长率（降低率）问题：基本公式为，其中(a)为基础量，(x)为增长率（降低率），(n)为增长（降低）次数，(b)为增长（降低）后的量。例如，某工厂去年的利润为200万元，今年的利润比去年增长了(x)，则今年的利润为(200(1 + x))万元，若明年的利润预计比今年再增长(x)，达到288万元，则可列方程。 · 面积问题：根据图形的面积公式列出方程。例如，一个长方形的长比宽多3cm，面积是40cm²，设宽为(x)cm，则长为((x + 3))cm，可列方程，即，解得，（舍去），所以宽为5cm，长为8cm。 · 利润问题：总利润=单个利润×销售量。例如，某商品进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可售出50件，若售价每上涨1元，每天的销售量就减少1件，设售价上涨(x)元，则每天的销售量为((50 - x))件，单个利润为元，若每天的利润为600元，可列方程。 · 数字问题：根据数字的表示方法列出方程。例如，一个两位数，十位数字比个位数字大3，将十位数字与个位数字对调后，得到的新两位数比原两位数小27，设个位数字为(x)，则十位数字为(x + 3)，原两位数为(10(x + 3) + x)，新两位数为(10x + (x + 3))，可列方程。 【题型一】一元二次方程的概念 【例1】下列是一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A、化简后为，最高次数为，不符合一元二次方程的定义； B、，满足一元二次方程的定义； C、含有分式，不是整式方程； D、含有两个未知数和，不符合一元二次方程的定义； 故选：B． 【变式1-1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的标准形式 ，其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 【详解】∵ 方程 对应标准形式， ∴ 二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ． 故选： 【变式1-2】若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零求解即可． 【详解】由题意得：， 解得． 故答案为：． 【题型二】一元二次方程的根的判别式 【例2】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 根据方程的根的判别式，计算，判断解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故此方程没有实数根． 故选：D． 【变式2-1】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的判别式；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零，且判别式大于零，即可求解 【详解】∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 二次项系数 ，即 ， 且判别式 ， ， ∴ ， ， ∴ 的取值范围是 且 ， 故选 B 【变式2-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零再进行计算，即可作答． 【详解】方程 是一元二次方程，因此二次项系数 ， 判别式 由于方程有两个不相等的实数根，故 ，即 ，解得 ， 故答案为且． 【题型三】一元二次方程根与系数关系 【例3】设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是找到两根之和，两根之积的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，然后代入表达式计算． 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴， ∴ 故选A． 【变式3-1】已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴ ， ， ∴ ． 故选：A． 【变式3-2】已知，且满足，，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，由已知条件，和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系，可得，，所求可化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，且满足，， ∴、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：5． 【题型四】一元二次方程的估算 【例4】观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 【变式4-1】根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 【变式4-2】小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是 ． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 【题型五】一元二次方程的应用——增长率、降低率问题 【例5】为了加快数字化城市建设，新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为， 根据题意得，， 故选：． 【变式5-1】某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程得（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用题，设每次降价的百分率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意得：． 故选：A． 【变式5-2】电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故答案为：． 【题型六】一元二次方程的应用——面积问题 【例6】如图利用一面墙（墙长22米），三面用长的篱笆围成面积为的花圃，平行于墙的一边有一扇2米宽的门，若设垂直于墙的一边为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确表示出长和宽．设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为， 则由题意得，， 故选：C． 【变式6-1】如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．可借助平移性质得到长为 、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式6-2】体育场准备利用一堵呈“”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽2米的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点必须在线段上． (1)如图，设的长为米，则_____________米；（用含的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1500平方米，求篮球场的宽的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据围成的篮球场的面积为1500平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设的长为x米， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意， 答：篮球场的宽的长为米． 【题型七】解一元二次方程 【例7】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 【变式7-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先变形，然后再运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴或， 解得. （2）解： ， ， ， ∴或， 解得：． 【变式7-2】解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） 或 解得，． 【题型八】一元二次方程的应用——销售利润问题 【例8】某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)每件衬衫应降价20元； 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键； （1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 【变式8-1】自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 【答案】(1) (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用月销售量（售价，即可用含的代数式表示出月销售量； （2）利用月销售利润每个的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：当售价为元个时，月销售量为个． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 【变式8-2】深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 【答案】(1) (2)5元 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意列出方程，再结合“尽可能让顾客得到实惠”确定的值，即可解答； （3）根据题意列出方程，求出的值即可解答； 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个应涨价5元； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽x应为． 【题型九】一元二次方程的应用——动态几何问题 【例9】如图，在直角三角形中，，，，点P从点B开始沿以的速度向点A运动，同时，点Q从点B 开始沿以的速度向点C运动．那么几秒后，的面积为？ 【答案】3 【分析】本题主要考查了列方程解决几何问题，解题的关键是找出等量关系． 假设后，的面积为，表示出，根据三角形的面积列出方程求解即可． 【详解】解：假设后，的面积为， 则，根据题意得， ∴， 解得，符合题意，（负值已舍）， ∴3秒后，的面积为． 【变式9-1】如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，列代数式，一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得，再根据路程速度时间求出，，再根据即可． （2）根据题意，当为等腰三角形时，，建立一个关于的方程，解方程即可． （3）用含的代数式表示出四边形的面积，利用四边形的面积为建立一个关于方程，解方程即可．若有解，则存在，若无解则不存在． 【详解】（1）解：，，， ． ，； （2）由题意，得 ， ． 当时，为等腰三角形； （3）假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则 解得． 假设成立， 所以当时，四边形面积的面积等于． 【变式9-2】在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 【题型一】解含参的一元二次方程时，对参数讨论不全面 【例1】已知关于x的一元二次方程，及函数，（a，b，c为常数，且），则（    ） A．若方程有解，则函数的图象一定有交点 B．若方程有解，则函数的图象一定没有交点 C．若方程无解，则函数的图象一定有交点 D．若方程无解，则函数的图象一定没有交点 【答案】C 【分析】联立函数解析式，得到，得到，结合方程的根的情况，得到的符号，进行判断即可． 【详解】解：联立，得：， ∴， ∴当方程有解时，，无法判断的符号，函数的图象不一定有交点；故A，B选项错误； 当方程无解时，，则：，∴，即函数的图象一定有交点，故选项正确，D选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的个数判断函数图象的交点问题．熟练掌握根与判别式的关系，是解题的关键． 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若，则方程两根互为相反数 C．若，则方程必有解 D．若，则方程有一根为0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，根的判别式进行判断即可． 【详解】解：A、若方程有一根为1，则， ∴，故此选项不正确，符合题意； B、若，则，则方程的两根互为相反数或都为， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，， ∴方程必有解，故此选项正确，不符合题意； D、若，则， ∴方程有一根为0，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义以及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键．关于的一元二次方程，当，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【变式1-2】已知关于的一元二次方程有解． （1）当时，方程的解为 ； （2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ． 【答案】 ， 2 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，则，再利用直接开平方法求解即可； （2）根据原方程有解得出，将代入方程得出，从而得到，求出的最大值与最小值即可得解． 【详解】解：（1）当时，则， 解得，， 故答案为：，； （2）关于的一元二次方程有解， ， 得． 若是该一元二次方程的一个根，则， 得， ， 的最大值为4， ∴当取最大值时，取最大值，的最大值为． ∵的最小值为， ∴的最大值和最小值的和为， 故答案为：． 【题型二】含绝对值的一元二次方程求解错误 【例2】已知整式，其中，，，均为整数，且，下列结论： ①满足条件的整式M中有3个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个 其中说法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的概念、一元二次方程的判别式以及绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质判断结论． 结论①涉及单项式的判断，结论②利用平方和为零得出系数关系并验证方程有实解，结论③通过绝对值相等和整数条件确定整式的个数． 【详解】解：∵ 且 ， ① 若为单项式，除了一个系数外，其他系数必须为零，由可排除 故有、、 共3个，结论正确． ② ∵ ， ∴ 且 ， 结合，得，， 若 ，则一次方程有实解；若，则判别式，恒有实解，结论正确． ③ 设，设个系数为，个系数为， 则（其中）， 当时，，得； 当时，，有4种选择负系数的位置， 故共5个整式，结论正确． 综上，三个结论均正确． 故选：D． 【变式2-1】已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决问题的关键． 根据已知方程，分，，，三种情况讨论求根，取所有根的和即可． 【详解】解：①当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），； ②当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），， ③当时，方程不成立． ∴此方程的所有实数根的和为： ． 故选：A． 【变式2-2】已知满足，则当最大时，的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式等知识点，解题的关键是掌握根的判别式． 根据题意转换成关于的一元二次方程，根据根的判别式求出的最大值，求出的值，再分别求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 将上式看作关于的一元二次方程，且为实数， ∴， 整理得， 当时最大， 此时或， 当时，代入得， ， 解得， ∴； 当时，代入得， ， 解得， ∴； ∴的值为3． 【题型三】对一元二次方程的含参整数解不熟练 【例3】使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解与一元二次方程根的判别式，解题的关键是分别求出不等式组中的取值范围和方程有实数根时的取值范围，再确定符合条件的整数并求和． 先解不等式组得到解集，根据整数解个数确定的范围；再根据一元二次方程有实数根的条件（判别式且二次项系数不为0）确定的范围，取公共部分的整数求和． 【详解】解：由解得：； 由解得：． 故解集为． 因有且只有3个整数解（0、1、2），故，解得． 对于一元二次方程， 由得； 由，得． 结合得且，整数为3、4，和为． 故选：B． 【变式3-1】若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且使关于的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有3个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，进而得出，解出的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出的取值范围，然后综合得出的取值范围，进而得出符合条件的整数为、、、、，据此即可得出答案． 【详解】解：关于的不等式组，整理可得：， ∵关于的不等式组有解集， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有3个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：、、， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴，即， 解得：， 综上所述，的取值范围为， ∴符合条件的整数为、、、、，有个． 故选：D 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，解本题的关键在综合得出的取值范围． 【变式3-2】若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或1或2或5或10，即可得或9或6或5或3或2或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得，且，进而得到满足条件的所有整数a，进而即可求解．根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：解方程得， ∵使得关于的分式方程有整数解， ∴或或或或1或2或5或10， ∴或9或6或5或3或2或或， 又∵， ∴， 解得， ∴或9或6或5或3或2或， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴，且， ∴ 或， ∴所有满足条件的整数的和为． 故答案为：． 【题型一】十字相乘法与分组分解法 方法技巧 一、十字相乘法 适用形式 适用于二次三项式（）的因式分解，核心是将二次项系数和常数项分解为两个因数的乘积，通过十字交叉相乘后相加得到一次项系数。 具体步骤（以为例） 1. 分解系数：将二次项系数(a)分解为，常数项(c)分解为， 2. 交叉验证：计算，若结果等于一次项系数(b)，则分解成功；否则重新调整的取值（注意符号）。 3. 写出因式：分解后的因式为。 技巧与注意事项 1. 符号规律： · 若(c)为正，则同号（同为正或同为负），且与(b)的符号一致； · 若(c)为负，则异号，绝对值较大的因数与(b)的符号一致。 2. 特殊情况：当时，即，只需分解(c)为，且满足，因式为。 3. 示例： · ：分解，且，故((x+2)(x+3))； · ：分解，，交叉验证（不符），调整为，得，故((x-3)(2x-1))。 分组分解法 适用形式 适用于四项及以上多项式，通过合理分组，使每组能提取公因式或运用公式法（如平方差、完全平方），再对整体提取公因式。 常见分组策略 1. 二二分组：将多项式分为两组，每组两项，分别提取公因式后，两组间出现新的公因式。 · 步骤：分组→组内提公因式→组间提公因式。 · 示例：(ax+ay+bx+by) 分组为((ax+ay)+(bx+by))，提公因式得(a(x+y)+b(x+y))，再提公因式((x+y)(a+b))。 2. 一三分组：当多项式含三项和一项（或可视为三项一组、一项单独一组），且三项组可构成完全平方公式，整体可再用平方差公式。 · 步骤：分组（三项+一项）→三项组用公式→整体用平方差公式。 · 示例： 分组为，用平方差公式得((x-y+z)(x-y-z))。 3. 拆项/添项后分组：当直接分组困难时，通过拆项（将某项拆为两项之和/差）或添项（添加互为相反数的两项）创造分组条件。 · 示例： 拆项：。 技巧与注意事项 1. 分组原则：分组后每组内必须有公因式或可运用公式，且组与组之间需有新的公因式。 2. 符号处理：分组时若某项前为负号，分组后需将负号带入组内，如或(a-(b-c+d))。 3. 试错调整：若首次分组未成功，尝试更换分组方式（如交换项的顺序后重新分组）。 4. 与其他方法结合：分组后可能需结合提公因式法、公式法，甚至十字相乘法（如上述拆项示例中最后一步用十字相乘法）。 综合应用技巧 1. 先提公因式，再分解：若多项式各项有公因式，优先提取公因式，再对剩余部分用十字相乘法或分组分解法。 · 示例：（先提公因式，再用完全平方公式）。 2. 多种方法结合：复杂多项式可能需交替使用十字相乘法与分组分解法，例如四项式先分组，某组用十字相乘法后再整体提公因式。 3. 检验结果：分解后通过多项式乘法展开，验证是否与原式一致，确保分解正确。 通过以上方法的灵活运用，可高效解决各类多项式的因式分解问题，关键在于根据多项式的项数和结构特征选择合适的分解策略，并注重符号细节与步骤规范性。 【例1】阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式1—1】常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件． 根据以上内容，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)请尝试用上面的方法分解因式：； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了因式分解以及利用因式分解来解决三角形周长相关问题．熟练掌握因式分解的方法以及三角形三边关系的结合是解题的关键． （1）先提取公因式2得到，再根据完全平方公式进行化简得到； （2）将式子前两项分为一组，后两项分为一组，对于，根据平方差公式可得到，对于提取公因式3可得到， 此时原式变为，再提取公因式即可； （3）先将通过拆项分组，得到，根据完全平方公式化简为，根据非负数的性质得到式子，，求出，的值，再根据三角形的三边关系求出，最后计算的周长即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：，．．，．，．由三角形的三边关系，可知，即．又为正整数，．的周长为． 【变式1—2】阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（a，b，c是常数，）的多项式叫做关于x的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？ 根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：a． 下面是代数推理过程： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是______； (2)因式分解：的结果是______； (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）读懂题目根据题意并进行因式分解即可得到答案； （2）读懂题目根据题意先解一元二次方程，在结合题意分解因式即可得到答案； （3）读懂题目根据题意进行因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 即， 故答案为：； （2）解：得， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：得， ， ∴，， ∴． 【题型二】换元法与配方法的应用 方法技巧 一、换元法 1. 核心思想 将复杂的代数式或方程中的某一部分（如多项式、分式、根号内的式子等）视为一个整体，用新的变量（元）代替，将原问题转化为关于新变量的简单问题，求解后再回代得到原变量的解。 2. 适用场景 · 多项式因式分解：当多项式中出现重复结构（如中），设，转化为二次多项式因式分解。 · 分式方程：分母或分子中含有相同整式结构（如），设，方程化为，去分母后求解。 · 无理方程：根号内含有相同整式（如），设，方程化为，平方后转化为整式方程（注意验根，确保根号内非负）。 · 高次方程：双二次方程（如），设，转化为，解二次方程后回代求(x)。 3. 关键步骤 · 设元：选择重复出现或结构复杂的部分设为新变量（如(y)），确保换元后方程形式简化。 · 转化：用新变量表示原方程，得到关于(y)的方程并求解。 · 回代：将(y)的解代入所设关系式，求出原变量(x)的值。 · 检验：分式方程需验根（分母不为0），无理方程需验根号内非负及等式成立。 4. 注意事项 · 换元后需明确新变量的取值范围（如时），避免漏解或增根。 · 若原问题含多个变量，可设多个新元（如二元二次方程组中的对称式换元）。 二、配方法 1. 核心思想 通过恒等变形，将代数式（如二次三项式、二次函数、一元二次方程）转化为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方的非负性解决问题（如求最值、解方程、因式分解等）。 2. 适用场景 · 一元二次方程求解：将方程化为的形式，直接开平方求解。 · 步骤：移项（常数项右移）→ 二次项系数化为1（两边同除以(a)）→ 配方（两边加一次项系数一半的平方）→ 写成完全平方形式→ 开平方求解。 · 示例：解方程 解： → →→→。 · 二次函数求最值：将二次函数化为顶点式，当(a>0)时，(y)有最小值(k)；当(a<0)时，(y)有最大值(k)。 · 示例：求的最大值 解：，当时，。 · 二次三项式因式分解：对不能直接十字相乘的二次三项式，配方后利用平方差公式分解。 · 示例：分解因式 解：。 · 非负数性质应用：若，则且，可通过配方将代数式化为平方和形式求参数值。 · 示例：若，求(x,y) 解： →→ 。 3. 关键步骤（以二次三项式为例） · 若，先提取二次项系数：。 · 配方：括号内加“一次项系数一半的平方”，同时减回相同的数以保持恒等：。 · 化简：展开后整理为。 4. 注意事项 · 配方时需保证等式两边恒等，若在方程中配方，需对等式两边同时进行操作；若在代数式中配方，需“加多少减多少”或“乘多少除多少”以保持原值不变。 · 二次项系数为负数时，配方后完全平方式前的负号会影响最值的增减性（如二次函数(a<0)时开口向下，顶点为最大值）。 【例2】阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 设，则原方程化为，用因式分解法解方程求出y的值，再求出x的值． 【详解】解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 【变式2—1】配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）5；（3）2022． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 【变式2—2】[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)10 (2)12 (3)25 (4)见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式，配方法的应用； （1）根据新定义逐一判定即可； （2）根据配方法得到，代入计算即可； （3）根据配方法得到，得到，计算即可； （4）令，，为整数），得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴10是“雅美数”， 故答案为：10． （2）解：； ∴， ． 故答案为：12． （3）解： ， 要使为“雅美数”，其表达式应为两个整数的平方和的形式， ∵是整数， ∴是整数， ， ∴； （4）证明：∵实数，是“雅美数”， 令，，为整数）， ∴ ∵为整数， ∴均为整数， ∴是“雅美数” 【题型三】一元二次方程的新定义 方法技巧 一、新定义题型的核心解题策略 1. 精准解构定义内涵 · 逐字逐句拆解新定义文本，标记核心限定条件（如未知数次数、系数范围、特殊运算符号等） · 建立新旧知识联结，将陌生定义转化为"ax²+bx+c=0(a≠0)"的标准形式进行理解 · 特别关注定义中的"隐含条件"，如"整数根"暗示判别式为完全平方数，"互为倒数根"关联韦达定理中c/a=1 2. 构建数学模型转化 · 对含新运算符号的题型（如"*运算"、"⊕方程"），严格按照定义列出代数表达式 · 对新概念命名题型（如"和谐方程"、"奇异根"），提取关键数量关系构建等式 · 示例转化：若定义"完美方程"为两根平方和等于10，则转化为x₁²+x₂²=10，再利用韦达定理变形为(x₁+x₂)²-2x₁x₂=10 二、典型新定义类型及破题技巧 （一）概念辨析型 1. 解题步骤： · 列出新定义的全部要素（如"倍根方程"需满足x₁=2x₂） · 对照选项逐一验证是否同时满足所有要素 · 反例排除法：若选项不满足定义中任一条件立即排除 2. 关键提醒： · 注意系数不为零的隐含条件（如"关于x的方程"需确认二次项系数） · 区分"方程"与"一元二次方程"的概念差异，前者可能包含一次方程情况 （二）性质探究型 1. 核心方法： · 特殊值代入法：取符合定义的具体方程验证性质（如取x²-3x+2=0验证"友好方程"性质） · 代数推导法：设一般形式ax²+bx+c=0，根据定义列关系式推导系数关系 · 判别式与韦达定理联用：通过Δ=b²-4ac和x₁+x₂=-b/a、x₁x₂=c/a建立参数方程 2. 常见推导方向： · 系数关系（如"pqr型方程"中p、q、r的等量关系） · 根的特征（如"对称根方程"中两根之和为定植） · 参数取值范围（求使方程为"智慧方程"的k的取值范围） （三）运算应用型 1. 解题流程： · 理解新运算的运算法则（明确运算优先级、运算对象） · 将新运算转化为常规代数表达式（如"a※b=a²-ab+b²"转化为多项式） · 构建一元二次方程求解（注意验根是否符合新运算定义域） 2. 易错点防控： · 新运算符号仅在题目定义范围内有效，不可类比常规运算律 · 注意运算结果的取值限制（如偶次根式被开方数非负、分母不为零） （四）动态探究型 1. 分析策略： · 建立参数变化模型（如含k的"可变方程"需讨论k的不同取值） · 分类讨论思想：按参数取值范围（k>0、k=0、k<0）分别研究 · 数形结合：通过二次函数图像理解方程根的分布与新定义关系 2. 典型设问应对： · "是否存在..."类问题：假设存在→列方程→求解→验证合理性 · "取值范围"类问题：转化为不等式（组）求解，注意端点值能否取到 【例3】定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 【变式3—1】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； (3)直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 【答案】(1)六 (2)12 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“六倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 当点P在的内部时，则 由条件可知． 【变式3—2】我们发现，关于x的一元二次方程，若的值是一个完全平方数（两个相同的数相乘的结果）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是若一元二次方程的根都为整数，则的值一定是一个完全平方数． 定义：两个根都为整数的关于x的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值； （3）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，，，， ∴“全整根方程”的“最值码”是； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， （3）解：方程的判别式， 方程的判别式， 方程的最值码， 方程的最值码， 是的“全整根伴侣方程”， ，即， 化简整理，得：， ， 、 为正整数， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】一元二次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式：（(a)、(b)、(c)是常数，）。其中，是二次项，(a)是二次项系数；(bx)是一次项，(b)是一次项系数；(c)是常数项。 3. 注意事项： · 必须是整式方程，即分母中不含未知数。 · 只含有一个未知数。 · 未知数的最高次数是2，且二次项系数(a)不能为0。 【清单02】一元二次方程的解法 （一）直接开平方法 1. 适用形式：方程可化为（）或（）的形式。 2. 解法步骤： · 对于（），直接开平方得。 · 对于（），开平方得，再解关于(x)的一元一次方程。 3. 示例：解方程，开平方得，解得，。 （二）配方法 1. 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。 2. 解法步骤： · 移项：把常数项移到方程右边，得。 · 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数(a)，得。 · 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，左边化为完全平方式，右边合并同类项。 · 开平方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，则方程无实数根。 3. 示例：解方程，移项得，配方得，即，开平方得，解得，。 （三）公式法 1. 求根公式：对于一元二次方程（），当时，方程的两个根为。 2. 解法步骤： · 把方程化为一般形式，确定(a)、(b)、(c)的值。 · 计算判别式的值。 · 当时，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式求解；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。 3. 示例：解方程，其中，，，，则，即，。 （四）因式分解法 1. 原理：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0。 2. 解法步骤： · 移项：把方程右边化为0，得。 · 因式分解：把方程左边分解成两个一次因式的乘积形式。 · 转化为一元一次方程：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程。 · 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 3. 常用因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 4. 示例：解方程，因式分解得，则或，解得，。 【清单03】一元二次方程根的判别式 1. 定义：对于一元二次方程（），叫做一元二次方程根的判别式。 2. 判别式与根的关系： · 当时，方程有两个不相等的实数根。 · 当时，方程有两个相等的实数根。 · 当时，方程没有实数根。 3. 应用：判断方程根的情况，确定字母系数的取值范围等。例如，若关于(x)的方程有两个不相等的实数根，则且，即(36 - 36k > 0)，解得(k < 1)且。 【清单04】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 内容：如果一元二次方程（）的两个实数根是、，那么，。 2. 注意事项：韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即。 3. 应用： · 已知方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。例如，已知方程的一个根是2，则另一个根满足，解得，又因为，所以。 · 求与根有关的代数式的值，如，等。例如，若方程的两根为、，则，，所以。 【清单05】一元二次方程的应用 1. 步骤： · 审题：理解题意，明确已知量和未知量，找出等量关系。 · 设元：设出适当的未知数（直接设元或间接设元）。 · 列方程：根据等量关系列出一元二次方程。 · 解方程：求出方程的解。 · 检验：检验方程的解是否符合实际意义，舍去不合题意的解。 · 作答：写出答案。 2. 常见类型： · 增长率（降低率）问题：基本公式为，其中(a)为基础量，(x)为增长率（降低率），(n)为增长（降低）次数，(b)为增长（降低）后的量。例如，某工厂去年的利润为200万元，今年的利润比去年增长了(x)，则今年的利润为(200(1 + x))万元，若明年的利润预计比今年再增长(x)，达到288万元，则可列方程。 · 面积问题：根据图形的面积公式列出方程。例如，一个长方形的长比宽多3cm，面积是40cm²，设宽为(x)cm，则长为((x + 3))cm，可列方程，即，解得，（舍去），所以宽为5cm，长为8cm。 · 利润问题：总利润=单个利润×销售量。例如，某商品进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可售出50件，若售价每上涨1元，每天的销售量就减少1件，设售价上涨(x)元，则每天的销售量为((50 - x))件，单个利润为元，若每天的利润为600元，可列方程。 · 数字问题：根据数字的表示方法列出方程。例如，一个两位数，十位数字比个位数字大3，将十位数字与个位数字对调后，得到的新两位数比原两位数小27，设个位数字为(x)，则十位数字为(x + 3)，原两位数为(10(x + 3) + x)，新两位数为(10x + (x + 3))，可列方程。 【题型一】一元二次方程的概念 【例1】下列是一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【题型二】一元二次方程的根的判别式 【例2】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2-1】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 【变式2-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【题型三】一元二次方程根与系数关系 【例3】设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．1 D． 【变式3-1】已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（    ） A． B． C．2 D．2 【变式3-2】已知，且满足，，那么的值为 ． 【题型四】一元二次方程的估算 【例4】观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【变式4-1】根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是 ． x 0 1 2 13 【题型五】一元二次方程的应用——增长率、降低率问题 【例5】为了加快数字化城市建设，新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程得（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为 ． 【题型六】一元二次方程的应用——面积问题 【例6】如图利用一面墙（墙长22米），三面用长的篱笆围成面积为的花圃，平行于墙的一边有一扇2米宽的门，若设垂直于墙的一边为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 【变式6-2】体育场准备利用一堵呈“”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽2米的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点必须在线段上． (1)如图，设的长为米，则_____________米；（用含的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1500平方米，求篮球场的宽的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 【题型七】解一元二次方程 【例7】解方程： (1)； (2)． 【变式7-1】解方程： (1) (2) 【变式7-2】解下列一元二次方程 (1) (2) 【题型八】一元二次方程的应用——销售利润问题 【例8】某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【变式8-1】自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 【变式8-2】深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 【题型九】一元二次方程的应用——动态几何问题 【例9】如图，在直角三角形中，，，，点P从点B开始沿以的速度向点A运动，同时，点Q从点B 开始沿以的速度向点C运动．那么几秒后，的面积为？ 【变式9-1】如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【题型一】解含参的一元二次方程时，对参数讨论不全面 【例1】已知关于x的一元二次方程，及函数，（a，b，c为常数，且），则（    ） A．若方程有解，则函数的图象一定有交点 B．若方程有解，则函数的图象一定没有交点 C．若方程无解，则函数的图象一定有交点 D．若方程无解，则函数的图象一定没有交点 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若，则方程两根互为相反数 C．若，则方程必有解 D．若，则方程有一根为0 【变式1-2】已知关于的一元二次方程有解． （1）当时，方程的解为 ； （2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ． 【题型二】含绝对值的一元二次方程求解错误 【例2】已知整式，其中，，，均为整数，且，下列结论： ①满足条件的整式M中有3个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个 其中说法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【变式2-2】已知满足，则当最大时，的值为 ． 【题型三】对一元二次方程的含参整数解不熟练 【例3】使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-1】若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且使关于的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-2】若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ． 【题型一】十字相乘法与分组分解法 方法技巧 一、十字相乘法 适用形式 适用于二次三项式（）的因式分解，核心是将二次项系数和常数项分解为两个因数的乘积，通过十字交叉相乘后相加得到一次项系数。 具体步骤（以为例） 1. 分解系数：将二次项系数(a)分解为，常数项(c)分解为， 2. 交叉验证：计算，若结果等于一次项系数(b)，则分解成功；否则重新调整的取值（注意符号）。 3. 写出因式：分解后的因式为。 技巧与注意事项 1. 符号规律： · 若(c)为正，则同号（同为正或同为负），且与(b)的符号一致； · 若(c)为负，则异号，绝对值较大的因数与(b)的符号一致。 2. 特殊情况：当时，即，只需分解(c)为，且满足，因式为。 3. 示例： · ：分解，且，故((x+2)(x+3))； · ：分解，，交叉验证（不符），调整为，得，故((x-3)(2x-1))。 分组分解法 适用形式 适用于四项及以上多项式，通过合理分组，使每组能提取公因式或运用公式法（如平方差、完全平方），再对整体提取公因式。 常见分组策略 1. 二二分组：将多项式分为两组，每组两项，分别提取公因式后，两组间出现新的公因式。 · 步骤：分组→组内提公因式→组间提公因式。 · 示例：(ax+ay+bx+by) 分组为((ax+ay)+(bx+by))，提公因式得(a(x+y)+b(x+y))，再提公因式((x+y)(a+b))。 2. 一三分组：当多项式含三项和一项（或可视为三项一组、一项单独一组），且三项组可构成完全平方公式，整体可再用平方差公式。 · 步骤：分组（三项+一项）→三项组用公式→整体用平方差公式。 · 示例： 分组为，用平方差公式得((x-y+z)(x-y-z))。 3. 拆项/添项后分组：当直接分组困难时，通过拆项（将某项拆为两项之和/差）或添项（添加互为相反数的两项）创造分组条件。 · 示例： 拆项：。 技巧与注意事项 1. 分组原则：分组后每组内必须有公因式或可运用公式，且组与组之间需有新的公因式。 2. 符号处理：分组时若某项前为负号，分组后需将负号带入组内，如或(a-(b-c+d))。 3. 试错调整：若首次分组未成功，尝试更换分组方式（如交换项的顺序后重新分组）。 4. 与其他方法结合：分组后可能需结合提公因式法、公式法，甚至十字相乘法（如上述拆项示例中最后一步用十字相乘法）。 综合应用技巧 1. 先提公因式，再分解：若多项式各项有公因式，优先提取公因式，再对剩余部分用十字相乘法或分组分解法。 · 示例：（先提公因式，再用完全平方公式）。 2. 多种方法结合：复杂多项式可能需交替使用十字相乘法与分组分解法，例如四项式先分组，某组用十字相乘法后再整体提公因式。 3. 检验结果：分解后通过多项式乘法展开，验证是否与原式一致，确保分解正确。 通过以上方法的灵活运用，可高效解决各类多项式的因式分解问题，关键在于根据多项式的项数和结构特征选择合适的分解策略，并注重符号细节与步骤规范性。 【例1】阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【变式1—1】常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件． 根据以上内容，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)请尝试用上面的方法分解因式：； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【变式1—2】阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（a，b，c是常数，）的多项式叫做关于x的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？ 根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：a． 下面是代数推理过程： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是______； (2)因式分解：的结果是______； (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：． 【题型二】换元法与配方法的应用 方法技巧 一、换元法 1. 核心思想 将复杂的代数式或方程中的某一部分（如多项式、分式、根号内的式子等）视为一个整体，用新的变量（元）代替，将原问题转化为关于新变量的简单问题，求解后再回代得到原变量的解。 2. 适用场景 · 多项式因式分解：当多项式中出现重复结构（如中），设，转化为二次多项式因式分解。 · 分式方程：分母或分子中含有相同整式结构（如），设，方程化为，去分母后求解。 · 无理方程：根号内含有相同整式（如），设，方程化为，平方后转化为整式方程（注意验根，确保根号内非负）。 · 高次方程：双二次方程（如），设，转化为，解二次方程后回代求(x)。 3. 关键步骤 · 设元：选择重复出现或结构复杂的部分设为新变量（如(y)），确保换元后方程形式简化。 · 转化：用新变量表示原方程，得到关于(y)的方程并求解。 · 回代：将(y)的解代入所设关系式，求出原变量(x)的值。 · 检验：分式方程需验根（分母不为0），无理方程需验根号内非负及等式成立。 4. 注意事项 · 换元后需明确新变量的取值范围（如时），避免漏解或增根。 · 若原问题含多个变量，可设多个新元（如二元二次方程组中的对称式换元）。 二、配方法 1. 核心思想 通过恒等变形，将代数式（如二次三项式、二次函数、一元二次方程）转化为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方的非负性解决问题（如求最值、解方程、因式分解等）。 2. 适用场景 · 一元二次方程求解：将方程化为的形式，直接开平方求解。 · 步骤：移项（常数项右移）→ 二次项系数化为1（两边同除以(a)）→ 配方（两边加一次项系数一半的平方）→ 写成完全平方形式→ 开平方求解。 · 示例：解方程 解： → →→→。 · 二次函数求最值：将二次函数化为顶点式，当(a>0)时，(y)有最小值(k)；当(a<0)时，(y)有最大值(k)。 · 示例：求的最大值 解：，当时，。 · 二次三项式因式分解：对不能直接十字相乘的二次三项式，配方后利用平方差公式分解。 · 示例：分解因式 解：。 · 非负数性质应用：若，则且，可通过配方将代数式化为平方和形式求参数值。 · 示例：若，求(x,y) 解： →→ 。 3. 关键步骤（以二次三项式为例） · 若，先提取二次项系数：。 · 配方：括号内加“一次项系数一半的平方”，同时减回相同的数以保持恒等：。 · 化简：展开后整理为。 4. 注意事项 · 配方时需保证等式两边恒等，若在方程中配方，需对等式两边同时进行操作；若在代数式中配方，需“加多少减多少”或“乘多少除多少”以保持原值不变。 · 二次项系数为负数时，配方后完全平方式前的负号会影响最值的增减性（如二次函数(a<0)时开口向下，顶点为最大值）。 【例2】阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【变式2—1】配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【变式2—2】[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【题型三】一元二次方程的新定义 方法技巧 一、新定义题型的核心解题策略 1. 精准解构定义内涵 · 逐字逐句拆解新定义文本，标记核心限定条件（如未知数次数、系数范围、特殊运算符号等） · 建立新旧知识联结，将陌生定义转化为"ax²+bx+c=0(a≠0)"的标准形式进行理解 · 特别关注定义中的"隐含条件"，如"整数根"暗示判别式为完全平方数，"互为倒数根"关联韦达定理中c/a=1 2. 构建数学模型转化 · 对含新运算符号的题型（如"*运算"、"⊕方程"），严格按照定义列出代数表达式 · 对新概念命名题型（如"和谐方程"、"奇异根"），提取关键数量关系构建等式 · 示例转化：若定义"完美方程"为两根平方和等于10，则转化为x₁²+x₂²=10，再利用韦达定理变形为(x₁+x₂)²-2x₁x₂=10 二、典型新定义类型及破题技巧 （一）概念辨析型 1. 解题步骤： · 列出新定义的全部要素（如"倍根方程"需满足x₁=2x₂） · 对照选项逐一验证是否同时满足所有要素 · 反例排除法：若选项不满足定义中任一条件立即排除 2. 关键提醒： · 注意系数不为零的隐含条件（如"关于x的方程"需确认二次项系数） · 区分"方程"与"一元二次方程"的概念差异，前者可能包含一次方程情况 （二）性质探究型 1. 核心方法： · 特殊值代入法：取符合定义的具体方程验证性质（如取x²-3x+2=0验证"友好方程"性质） · 代数推导法：设一般形式ax²+bx+c=0，根据定义列关系式推导系数关系 · 判别式与韦达定理联用：通过Δ=b²-4ac和x₁+x₂=-b/a、x₁x₂=c/a建立参数方程 2. 常见推导方向： · 系数关系（如"pqr型方程"中p、q、r的等量关系） · 根的特征（如"对称根方程"中两根之和为定植） · 参数取值范围（求使方程为"智慧方程"的k的取值范围） （三）运算应用型 1. 解题流程： · 理解新运算的运算法则（明确运算优先级、运算对象） · 将新运算转化为常规代数表达式（如"a※b=a²-ab+b²"转化为多项式） · 构建一元二次方程求解（注意验根是否符合新运算定义域） 2. 易错点防控： · 新运算符号仅在题目定义范围内有效，不可类比常规运算律 · 注意运算结果的取值限制（如偶次根式被开方数非负、分母不为零） （四）动态探究型 1. 分析策略： · 建立参数变化模型（如含k的"可变方程"需讨论k的不同取值） · 分类讨论思想：按参数取值范围（k>0、k=0、k<0）分别研究 · 数形结合：通过二次函数图像理解方程根的分布与新定义关系 2. 典型设问应对： · "是否存在..."类问题：假设存在→列方程→求解→验证合理性 · "取值范围"类问题：转化为不等式（组）求解，注意端点值能否取到 【例3】定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【变式3—1】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； (3)直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 【变式3—2】我们发现，关于x的一元二次方程，若的值是一个完全平方数（两个相同的数相乘的结果）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是若一元二次方程的根都为整数，则的值一定是一个完全平方数． 定义：两个根都为整数的关于x的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $