期末复习07数据的集中趋势和离散程度期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+强化通关)2025-2026学年苏科版九年级数学上册

该初中数学期末复习讲义通过表格对比与分层梳理构建数据的集中趋势和离散程度知识体系，涵盖平均数、中位数、众数等核心概念及极差、方差的计算应用，用框架图呈现统计量联系与易错点警示，清晰展现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于12类常考题型精讲，如结合中位数确定竞赛晋级线、运用方差选择稳定运动员，培养数据观念与推理意识。基础题与压轴题分层设计，帮助学生掌握计算与决策方法，支持教师实施精准化复习教学。

期末复习07数据的集中趋势和离散程度 --期末冲刺必备讲义 1. 掌握集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（极差、方差、标准差）核心概念与计算公式，理解“用样本估计总体”思想； 2. 能准确计算统计量、整理分析数据，运用相关知识解决实际统计问题，纠正常见错误； 3. 理解“权”的意义，能借助数据特征解决决策问题，规范表达解题过程与结论。 期末必备 知识点梳理 1.数据的集中趋势 2.数据的离散程度 3.核心统计量的联系与应用 4.用样本估计总体 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.计算一组数据的算术平均数 2.已知平均数,求解未知数据的值 3.计算数据的加权平均数 4.求解一组数据的中位数 5.结合中位数进行决策分析 6.确定一组数据的众数 7.利用众数反推未知数据的值 8.借助众数开展决策应用 9.计算数据的方差 10.通过方差求解未知数据的值 11.依据方差判断数据的稳定性 12.运用方差进行决策选择 期末备考 压轴通关 (15题) 【知识点01.数据的集中趋势】 集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，常用统计量有平均数、中位数和众数。 1.平均数： 分为算术平均数和加权平均数，是反映数据平均水平的核心量。 *算术平均数是将 n 个数据求和后除以 n，公式为=，其易受极端值影响。 *加权平均数则考虑不同数据的重要程度（即权），若数据x1出现f1次，x2出现f2​次……xk出现fk次（n=f1+f2+⋯+fk），公式为=。这里的 “权” 可以是频数、百分比等，权越大对平均数的影响越大。 2.中位数： 将一组数据按大小顺序排列， 若数据个数为奇数，处于中间位置的数就是中位数； 若个数为偶数，中间两个数据的平均数为中位数。它的优势是不受极端值干扰，能反映数据的中间水平。比如 15 名同学的竞赛成绩，按顺序排列后第 8 名的成绩就是中位数，可用于判断是否能进入前 8 名决赛。 3.众数： 一组数据中出现次数最多的数据。众数可能不唯一，也可能不存在。例如数据 3、4、5、6、6、7、7 有两个众数 6 和 7；数据 3、4、5、6 则没有众数。众数常用于商业决策，像鞋店进货时，销量最高的鞋码（即众数对应的鞋码）可多进货。 【知识点02.数据的离散程度】 离散程度体现一组数据的波动大小，常用极差和方差来描述。 1.极差： 一组数据中最大值与最小值的差， 公式为极差=最大值-最小值。 它计算简单，能快速反映数据的变化范围，但仅依赖两个极端值，对数据整体波动的描述较粗略。例如数据 3、4、6、7 的极差是7−3=4。 2.方差： 衡量数据偏离平均数的程度。 设 n 个数据x1​,x2​,⋯,xn​的平均数为x， 方差公式为s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2]。 方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。另外，若一组数据中每个数都加上或减去同一个常数，方差不变；若每个数都扩大或缩小 k 倍，方差则扩大或缩小k2倍。比如数据 3、4、5、6、7 的方差为 2，将每个数扩大 10 倍得到 30、40、50、60、70，方差变为 200。 【知识点03.核心统计量的联系与应用】 统计量 联系 区别 适用场景 平均数 均能反映数据的集中趋势，可相互补充说明数据特征 易受极端值影响，需数据完整且适合算术运算 无极端值、数据分布均匀的场景，如计算班级平均分 中位数 不受极端值影响，仅与数据排列位置有关 存在极端值的场景，如确定比赛晋级分数线 众数 与数据出现次数相关，不依赖整体数据运算 商业统计、民意调查等，如统计最受欢迎的商品型号 方差 均能反映数据的波动情况 计算稍复杂，能精准体现数据整体波动 对比数据稳定性，如选择射击成绩稳定的运动员参赛 极差 计算简便，但反映波动较片面 快速初步判断数据波动范围，如粗略对比两组数据的波动差异 【知识点04.用样本估计总体】 一、核心概念 总体：考察对象的全体 个体：总体中的每一个考察对象 样本：从总体中抽取的一部分个体 样本容量：样本中个体的数目（无单位） 二、核心思想 当总体数量庞大或考察有破坏性时，用抽样调查获取样本，通过样本的统计量（平均数、方差等）近似估计总体的对应统计量（样本特征≈总体特征）。 三、样本选取关键要求 代表性：样本结构与总体一致，无偏向（如调查全校身高，不能只抽篮球队学生） 广泛性：样本容量足够大（容量越大，估计越准确） 四、常见应用 用样本平均数估计总体平均数 用样本方差估计总体方差 用样本频率估计总体概率（如次品率） 【知识点05.易错点警示】 1.混淆算术平均数与加权平均数：忽略“权”的作用，重要程度不同的数据需用加权平均数 2.求中位数未排序：必须先将数据有序排列，再根据个数奇偶性确定中位数 3.误解众数：众数可多个、可不存在，核心是“出现次数最多” 4.方差计算失误：牢记“先平均、再求差、平方后、再平均”，注意数据缩放对於方差的影响（扩大k倍，方差扩大k²倍） 5.误用统计量：有极端值不用平均数；判断稳定性不用极差，用方差 6.样本估计总体偏差：样本需具备代表性和广泛性，避免选取片面样本 【题型1.计算一组数据的算术平均数】 【典例】为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【分析】本题考查了求平均数． 先根据统计图得到评9分的评委人数，进而根据平均数的定义计算即可． 【详解】解：由统计图可知，评9分的人数为（人）， 则901班平均得分（分）． 故选：D． 【跟踪专练1】参加某次数学竞赛的女生和男生人数比是，这次竞赛的平均分是82分，其中男生平均分是80分，女生平均 分． 【答案】88 【分析】本题考查了加权平均数，进行假设，进而根据平均成绩、人数和总成绩的关系进行解答即可．把女生人数看作1组，则男生人数为3组，根据“平均成绩人数全班成绩”先计算出全班成绩和男生总成绩，进而用“全班总成绩男生总成绩”求出女生总成绩；继而根据“女生总成绩女生人数女生平均成绩”解答得出结论． 【详解】解： （分）， 答：女生平均88分． 故答案为：88． 【跟踪专练2】某同学用计算器计算30个数据的平均数时，错将其中一个数据108错输成18，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（   ） A．3.6 B．3 C．0.6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键．设输入正确的29个数的和为，根据平均数的计算公式可得求出的平均数与实际平均数，由此即可得． 【详解】解：设输入正确的29个数的和为， 则实际平均数为，求出的平均数为， 所以求出的平均数与实际平均数的差是， 故选：D． 【题型2.根据已知平均数,求解未知数据的值】 【典例】有六个自然数排成一列，它们的平均数是4.5，前4个数的平均数是4，后三个数的平均数是，这六个数的连乘积最小是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平均数的计算与应用，准确计算是解题的关键． 根据题意，个数的平均数是，求出这个数的和，根据前4个数的平均数是4，求出前个数的和，后三个数的平均数是，求出后个数的和，用前个数的和加上后个数的和，再减去这个数的和，即可求出结果． 【详解】这六个自然数的平均数是， 这六个数的和为， 前4个数的平均数是4， 前个数的和为， 后两个数字的和为， ∵和为定值的几个自然数，要使乘积最小，各数之间的差应尽可能大， 最后两个数数字应该为和， 后三个数的平均数是， 后个数的和为， 第个数为， 前个数的和为， 前个数分别为，，， 这六个数的连乘积最小是：； 故答案为． 【跟踪专练1】在黑板上写连续自然数．1、2、3、4…擦掉一个，剩下的数的平均数为，擦去的数为（    ） A．22 B．27 C．30 D．35 【答案】A 【分析】本题考查根据平均数求未知数据的值，读懂题意，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，这些数是连续自然数，无论剩多少数，他们的和显然是整数，再结合剩下的数的平均数是，可知剩下数的个数应是13的倍数才能保证剩下数的和为整数，从而分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当剩下13个数时，剩下数的总和为，而原来14个数的和为，，显然不满足； 当剩下26个数时，剩下数的总和为，而原来27个数的和为，，满足题意； 当剩下39个数时，剩下的数总和为，而原来40个数的和为，，显然不满足； 当剩下52个数时，剩下的数总和为，而原来21个数的和为，，显然不满足； 故选：A． 【跟踪专练2】一组数据3，1，x，，7，4的平均数为3，则x等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值，根据求平均数的公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 解得， 故选：C 【题型3.计算数据的加权平均数】 【典例】某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如下表．如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是 ． 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据加权平均数的计算方法，分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，并比较总成绩的高低，从而确定推荐作品． 【详解】解：甲的总成绩为：（分）； 乙的总成绩为：（分）； 丙的总成绩为：（分）； 由于，故乙的总成绩最高， ∴应推荐乙． 故答案为：乙． 【跟踪专练1】某次数学测验，五年级（1）班20名男生的平均成绩是85分，17名女生的平均成绩是89分．全班同学的平均成绩（ ）． A．在85分以下 B．在分之间 C．是87分 D．在分之间 【答案】B 【分析】本题主要考查平均数，先根据男女生平均成绩求出五年级（1）班总成绩，再求平均数即可得出结论． 【详解】解：五年级（1）班平均成绩（分） 可得，全班同学的平均成绩在分之间， 故选：B． 【跟踪专练2】某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，运用加权平均数的计算公式求解，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：他的总分为：， 故答案为：． 【题型4.求解一组数据的中位数】 【典例】小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是 环． 环数 5 6 7 8 9 10 次数 2 3 4 5 5 1 【答案】 8 【分析】本题考查了中位数的计算，解题的关键是先求出数据总个数，确定中位数对应的位置，再找出对应位置的环数． 计算射击总次数，确定中位数是第10、11个数据；累加次数找到对应位置的环数，取其值为中位数． 【详解】解：总射击次数：，中位数是第10、11个数据的平均数， 累加次数：环数5（2个）、6（3个，累计5个）、7（4个，累计9个）、8（5个，累计14个）， 第10、11个数据均为8， 故答案为：． 【跟踪专练1】现有一组数据：，，，，，，若该组数据的中位数是，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的求法是做题的关键．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将已知数据排列为：，，，， ， ∵ 数据个数为偶数，中位数为排序后第三个和第四个数的平均值，且中位数为， ∴ 排序后第三个和第四个数之和为 数据排序取决于： 若，排序后第三个和第四个数为和，中位数为； 若，排序后第三个和第四个数均为，中位数为； ，排序后第三个和第四个数为和，中位数为． ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如果四个整数数据中的三个数据分别为、、，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了中位数，根据中位数的定义，分情况进行解答即可． 考虑第四个整数的不同取值范围，对数据排序后计算中位数，并确保中位数为整数． 【详解】解：设第四个整数为．将四个数据从小到大排序后，中位数为中间两个数的平均值． 当 时，排序后为 ，中位数为； 当时，排序后为 ，中位数为； 当时，排序后为 ，中位数为 ． 其他情况（如 或 ）中位数均不为整数，故不满足条件． 因此，中位数为 3 或 4 或 5． 故答案为：3或4或 5． 【题型5.结合中位数进行决策分析】 【典例】在学校举行的运动会上，八年级有名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛．小芳已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这名同学成绩的（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 【答案】A 【分析】本题考查中位数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。由于成绩各不相同，取前6名参加决赛，需要判断小芳的成绩是否优于第7名的成绩，即中位数． 【详解】解：∵共有名同学，按成绩从高到低排列，中位数对应第7名的成绩。 ∵取前6名参加决赛， ∴小芳的成绩若优于中位数（即比第7名好），则进入决赛；否则不能， ∴需要知道中位数． 故选：A． 【跟踪专练1】.某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）折线统计图如图所示： 历届比赛成绩表明，成绩达到就很可能夺冠．若为了稳妥夺冠，则应选择参赛的运动员是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查平均数，中位数的意义，根据平均数，中位数的意义，以及样本中成绩达到夺冠的成绩判断即可． 【详解】解：∵甲成绩由小到大排列为：585，596，597，598，600，601，604，610，612，613， ∴甲成绩的中位数为：， 甲成绩的平均数为：； ∵乙成绩由小到大排列为：574，580，585，590，593，598，613，618，618，624， ∴乙成绩的中位数为：， 乙成绩的平均数为：， ∵甲成绩的平均数高于乙平均数，甲成绩的中位数高于乙中位数，从折线统计图可以看出甲的成绩波动较小，且甲10次成绩中有9次达到夺冠的成绩，乙只有5次达到夺冠的成绩， ∴应选择参赛的运动员是：甲． 故答案为：甲． 【跟踪专练2】某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施来提高工人的工作效率， 为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随机抽取20人统计某月产量如下： 生产零件数 260 270 280 290 300 310 350 520 人数 1 1 5 4 3 4 1 1 若你做为管理者，将每人每月合适的生产定额定为（    ） A．280件 B．290件 C．305件 D．310件 【答案】B 【分析】本题考查了求中位数和利用中位数作决策，熟练掌握中位数的意义是解题的关键． 根据当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势，据此找出这组数据的中位数即可． 【详解】解：每人每月合适的生产定额应为这组数据的中位数， 一共20个数据，表格里从左到右即从小到大排列，中位数为第10和第11个数据的平均数， 由表格可知，第10个数据为290件，第11个数据为290件， ∴中位数为290件． 故选：B ． 【题型6.确定一组数据的众数】 【典例】如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ，众数是 ． 【答案】 9 8 【分析】本题主要考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数（将数据排序后中间位置的数）和众数（数据中出现次数最多的数）的定义是解题的关键．根据中位数、众数和极差的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超过8小时的有人． 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9． 故答案为：9；8． 【跟踪专练1】某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，190，194．现用两名身高分别为和的队员换下场上身高为和一名的队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．中位数变小，众数变大 B．中位数变小，众数变小 C．中位数变大，众数变小 D．中位数变大，众数变大 【答案】B 【分析】本题考查了中位数和众数的概念及计算，解题的关键是分别确定换人前、后数据的中位数和众数，再比较其变化．先将换人前的身高数据排序，计算其中位数和众数；再列出换人后的身高数据并排序，计算新的中位数和众数，最后对比两者的变化． 【详解】解：换人前身高数据排序：180，184，188，190，190，194，中位数：，众数：190； 换人后身高数据：180，185，188，188，190，194， 排序后：180，185，188，188，190，194，中位数：，众数：188； 对比得：中位数变小，众数变小． 故选：B． 【跟踪专练2】某车间甲班的名工人加工零件，每人完成的件数分别是，，，，，，，，，，则这班组工人日产量的中位数和众数是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了众数和中位数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键． 先将数据从小到大排列，再计算第5，6个数据的平均数即为中位数；根据数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数来求解众数即可． 【详解】解：将数据排列为：，，，，，，，，，， ∴中位数为：，众数为19， 故答案为：，． 【题型7.利用众数反推未知数据的值】 【典例】若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（   ） A．12 B．11 C．11.5 D．19 【答案】A 【分析】此题考查了众数的定义，众数是数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个． 根据众数的定义求解即可． 【详解】解：数据11，12，12，19，11，x的众数是12， ． 故选：A． 【跟踪专练1】一组数据2、3、x、4的众数与平均数相等，则x＝ 【答案】3 【分析】此题考查了众数和平均数，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论众数分别为2，3，4时，计算平均数是否与众数相等即可． 【详解】解：当这组数的众数是2时，， 此时平均数是：， 故此情况不成立； 当这组数的众数是3时，， 此时平均数是：， 故此情况成立； 当这组数的众数是4时，， 此时平均数是：， 故此情况不成立． 故答案为：3． 【跟踪专练2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 【题型8.借助众数开展决策应用】 【典例】请你举出一个生活中与众数有关的例子： ． 【答案】调查某班学生的鞋码（答案不唯一） 【分析】本题考查众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题关键． 【详解】解：由众数是统计学中的概念，指在数据集中出现频率最高的数值，在生活中，例如在调查班级学生的鞋码时，通过收集所有学生的鞋码数据，出现次数最多的鞋码即为众数，这可以帮助鞋店确定最需要进货的鞋码尺寸 故答案为：调查某班学生的鞋码（答案不唯一）． 【跟踪专练1】某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从名候选人中选择名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了统计量的选择，解答本题的关键是熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义． 根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可． 【详解】解：由题意知，最终获胜者所需要考虑的统计量是众数， 故选：C． 【跟踪专练2】某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期次数教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期 的下午找到空教室的可能性最大. 【答案】三 【分析】本题主要考查了归纳对比的方法，解决本题的关键是准确算出教室使用的和． 通过计算每天三个教室的使用总次数，比较得出星期三的总次数最小，因此空教室可能性最大． 【详解】星期一总次数：次；星期二总次数：次；星期三总次数：次；星期四总次数：次；星期五总次数：次；比较各天总次数，星期三总次数最小，故空教室可能性最大； 故答案为三． 【题型9.计算数据的方差】 【典例】为了推动中华传统文化进校园，光华中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”的传统文化知识竞赛，9年4班5名参赛选手的得分如下：，，，，，这组数据的方差是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可． 【详解】解：平均数为： ； ． 故选：C． 【跟踪专练1】已知4个数据，，，的平均数为3，方差是4；另外6个数据，，，，，的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，，，，，，，，，，则这10个数据的方差为 ． 【答案】5.2 【分析】本题考查求方差，两组数据的平均数相同，合并后平均数为3，方差计算只需将两组数据的平方和相加后除以总数据个数即可． 【详解】解：第一组数据的平方和：，第二组数据的平方和：， 总平方和：， 故总方差：． 故答案为：5.2． 【跟踪专练2】已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查众数，中位数，平均数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化；中位数因中间两数仍为和而保持不变． 【详解】解：∵ 原始数据排序后为， 中位数 ； 换人后数据排序为， 中位数 ； ∴ 中位数不变， 换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化 ∴不受影响的是中位数． 故选：D． 【题型10.通过方差求解未知数据的值】 【典例】计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一组数据的方差计算公式，如果一组数据的平均数为，表示这组数据，那么这组数据的方差为．根据方差的计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵一组数据的方差计算公式为， ∴这组数据的个数为10，平均数是3， ∴这组数据的总和是． 故答案为：30． 【跟踪专练1】数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了方差，根据方差计算公式分析x的范围即可得到答案． 【详解】解：数据中，每2个数相差1， 数据，前2个数据也是相差1， 若或时，两组数据方差相等， 而数据的方差比数据的方差大， 则的值大于4或者小于1， 故选：A． 【跟踪专练2】某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】11或17（写出一个即可） 【分析】本题考查方差公式，法一，利用方差的定义结合甲组和乙组除了外，每个数据之间的特征求解即可，法二，根据方差公式列方程求出a的值即可． 【详解】解：法一，∵甲组的每个数据之间相差，而乙组除了外，每个数据之间也是相差， 又∵甲、乙两组病人康复时间的方差相同， ∴乙组按照顺序排列：a、12、13、14、15、16或者12、13、14、15、16、a，两组数据都是连续的相差只有1， ∴或者； 法二，甲组：， ∴， 乙组：， ∴， 解得或， 故答案为：或（写出一个即可））． 【题型11.依据方差判断数据的稳定性】 【典例】奥运会比赛前，甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表： 选 手 甲 乙 丙 丁 平均数(环) 方差(环2) 则这四人中成绩发挥最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断即可． 【详解】解：在平均数相同时，方差越小则数据波动越小说明数据越稳定， ∵， ∴甲最稳定， 故选：A 【跟踪专练1】已知甲、乙两个超市七月份每天营业额的方差值分别为，，则营业额较稳定的超市是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的意义，熟悉掌握方差的意义是解题的关键． 根据方差越小越稳定进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴乙更稳定； 故答案为：乙． 【跟踪专练2】超市里有甲、乙、丙、丁四种牌子的酱油，标准质量都是 500 克，从中各抽出 5 袋测得质量如下，根据下列数据 （单位：克） 判断，质量最稳定的是 （   ） A．甲：500 502 499 501 498 B．乙： 493 494 511 494 508 C．丙：501 494 506 490 509 D．丁：497 502 493 507 501 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数、方差的计算以及它们的意义．求出各组数据的方差，方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可． 【详解】解：A.， ； B.， ； C.， ； D.， ； ∴选项A的方差小， 故选：A． 【题型12.运用方差进行决策选择】 【典例】甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是 班． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差，根据方差的意义，方差越小，表示数据波动越小，成绩越整齐，据此求解即可． 【详解】解：甲班方差为，乙班方差为．由于， 因此乙班方差更小，成绩更整齐． 故答案为：乙． 【跟踪专练1】学校准备从甲、乙、丙三个小组中选出一组代表学校参加宜昌市第二届数理节，各组的平时成绩的平均数（单位：分），及方差如表所示： 甲 乙 丙 b 98 98 a c a 若按“选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛”要求定出的小组只能是乙组，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了数据的分析，熟悉理解方差的概念是解题的关键． 根据题意，乙组被选中需满足平均分较高且方差更小，结合表格数据求解即可． 【详解】解：∵乙组和丙组平均分均为98分，甲组平均分为b，若乙组被选中，则甲组平均分不能超过乙组， ∴； ∵乙组方差为c，丙组方差为a，乙组被选中，其方差需小于其它组， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是 ． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差，根据统计图中数据计算出两位同学成绩的方差，即可进行判断． 【详解】解：甲同学成绩的平均数为：（分） 甲同学成绩的方差为； 乙同学成绩的平均数为：（分） 乙同学成绩的方差为 由此可得，甲乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差， 所以选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 1．为迎接第39个“12.5”国际志愿者日，学校准备设计一款学生志愿服，对全校学生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如下表所示： 颜色 黄色 红色 白色 紫色 绿色 学生人数 150 230 220 80 650 学校决定采用绿色，可用来解释这一决定的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记众数的定义是解题关键．根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：因为全校学生中，喜欢绿色的学生人数最多， 所以这组数据中，众数是650， 所以学校决定采用绿色，可用来解释这一决定的统计知识是众数， 故选：C． 2．是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键； 根据算术平均数的定义解答即可. 【详解】解：∵是的平均数，是的平均数，是的平均数， ∴，， ∴. 故选：B. 3．某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均分（单位：分）均为93分，方差分别如下=0.75，=1.1，=1，=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了根据平均数与方差做决策，熟练掌握它们的意义是解题的关键； 根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】解：∵四名同学的平均数相同， ∴说明他们的成绩一样好，因此需要根据成绩的稳定性来选择， ∵=0.75，=1.1，=1，=0.7， ， ∵方差越小表示成绩越稳定， ∴丁的成绩更稳定， 故选：D． 4．下列各组数据的波动程度最小的是（   ） A．3，3，4，3，6，5 B．1，2，3，3，4 C．2，5，7，5 D．3，4，5，3，1 【答案】B 【分析】本题考查求方差，根据方差越小数据的波动程度程度越小判断即可． 【详解】解：A、平均数为，方差为； B、平均数为，方差为； C、平均数为，方差为； D、平均数为，方差为； ∴各个选项中，方差最小的是B选项，即数据的波动程度程度最小的是B选项， 故选：B． 5． 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： . 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别求出甲、乙、丙、丁四名应聘者的最终得分，进行判断即可． 【详解】解：甲的最终得分为：； 乙的最终得分为：； 丙的最终得分为：； 丁的最终得分为：； 故甲的最终得分最高，将被录用； 故选A． 6．一组数据的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（   ） A．10 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平均数，离差平方和；先根据平均数的公式计算出，再结合离差平方和计算求解即可． 【详解】解：∵一组数据的平均数是5， ∴， 解得， ∴离差平方和：， 故选：A． 7．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 8．数学测试满分为150分．某校对期中测试成绩和期末测试成绩赋予不同的权，计算它们的平均数作为学期期末总评成绩．如图是张老师发明的计算期末总评成绩的算图，图中点在y轴上，m代表期中测试成绩，点在直线上，n代表期末测试成绩，直线与直线相交于点．根据以上对算图的描述，下列对点P的说法正确的是（   ） A．p，分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q B．，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q C．p，分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为p D．，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为p 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，加权平均数．根据题意可得从p到10的距离为，在加权平均数中，我们可以把这两个距离看作是对应成绩的权，即可求解． 【详解】解：∵点在y轴上，m代表期中测试成绩，点在直线上，n代表期末测试成绩，直线与直线相交于点， ∴从横坐标来看，0到10的距离为10，对于点P的横坐标p，那么从0到P的距离为p， ∴从p到10的距离为，在加权平均数中，我们可以把这两个距离看作是对应成绩的权． 即期中成绩的权为，期末成绩的权为P．而点P的纵坐标q就是根据加权平均数计算出来的总评成绩， ∴ ，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q， 故选：B． 9．六名学生投篮球，规定每人投次，统计他们投中的次数，得到个数据．若这六个数据的中位数是，唯一的众数是，则他们投中次数的平均数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，根据中位数和众数的定义，确定数据排列并计算可能的平均数范围，掌握中位数和众数的定义是解题的关键 【详解】解：∵中位数是，唯一的众数是，且个数据都是不超过的自然数， ∴个数据中，小于的数据有个，其中至少有一个是，至多有两个；大于或等于的数据有个，其中至少有两个是， 设六个数据的和为，平均数为， 若有一个数据是、两个数据是时，则六个数据的和满足：， 即， ∴平均数范围是，没有满足条件的选项； 若有一个数据是、三个数据是时，则六个数据的和满足：， 即， ∴平均数范围是， 满足条件的有选项； 若有两个数据是，则必须有三个数据是，此时六个数据的和满足， 即， ∴平均数范围是，没有满足条件的选项， 综上所述，他们投中次数的平均数可能是， 故选：． 10．一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的定义，众数的定义，求平均数． 根据中位数的定义可知4左边有两个数，4右边有两个数，根据众数的定义可知4左边有两个数不相等，4右边有两个数均为7，列出所有情况，求中位数即可． 【详解】∵一组数据由五个正整数组成，中位数是4， ∴4左边有两个数，4右边有两个数， ∵唯一的众数是7， ∴4左边有两个数不相等，4右边有两个数均为7 即这五个正整数为1，2，4，7，7或1，3，4，7，7或2，3，4，7，7 ，， 故选：D． 11．项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，； 八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，； 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100， 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 c 九年级 85 b 80 直接写出______，______，______． 【分析解决】 （2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 【答案】（1）77，85，90；（2）见解析 【分析】本题考查了中位数，众数，算术平均数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的计算方法是解题的关键． 根据算术平均数，众数和中位数的定义解答即可； 根据平均数，众数或中位数的意义解答即可． 【详解】由题意得：； 在八年级10名学生得分数中，90出现的次数最多，故众数； 把九年级10名学生得分数从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90，故中位数， 故答案为：77；85；90； 从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差，建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．答案不唯一，从中位数、众数角度回答均可 12．某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，． (1)求这名学生身高的平均数和众数； (2)对于不同组的学生，若一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是哪组？ 甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166 乙组学生的身高/cm 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 【答案】(1)平均数为，众数为 (2)舞台呈现效果更好的是甲组 (3)， 【分析】本题考查了平均数、众数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键． （1）根据平均数和众数的意义求解； （2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可； （3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择． 【详解】（1）解：平均数为： ， 出现次数最多的数是，出现了3次， 众数为； （2）甲组身高的平均数为， 甲组身高的方差为 乙组身高的平均数为， 乙组身高的方差为， ， 舞台呈现效果更好的是甲组； （3）三名学生参赛，他们的身高分别为，，， 平均数为， 要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小， 根据数据的差别较小，数据才稳定， 可供选择的有：，， 且选择，时，平均数会增大， 但选择，或，时，导致组成的五名学生的极差增大，从而会使方差变大，当然平均数是增大的，故不符合题意． 故答案为：，． 13．某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”）； (3)按笔试成绩占，面试成绩占，请算出各位同学的综合成绩，并写出谁的综合成绩最好． 【答案】(1)， (2)乙 (3)综合成绩最高的是乙 【分析】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得m、n的值；把十位评委的打分相加可得p的值； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【详解】（1）解： 由扇形图可知丙的得分8分的最多，故众数； ， 故答案为：8，83； （2）解：由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致； 故答案为：乙； （3）解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， 因为， 所以综合成绩最高的是乙． 14．（平均数）从1到n共n个连续自然数中，擦去其中的某一个数后，余下的数字的平均值为，求擦去的数，并说明理由． 【答案】18，理由见详解 【分析】本题考查了平均数的综合运用．n个连续自然数中擦去其中的某一个数后，余下的个数字的平均值为，所以是47的倍数，确定n的取值范围，计算求解． 【详解】解：这n个连续自然数，和为，平均值为，是正整数， 擦去一个数后平均值为， ∴应该是47的倍数， 去掉一个数后，剩下数的平均值与原来个数的平均值应该很接近 当时，和为，平均值为，差距太大，不合题意， 当时，和为，平均值为，最接近，符合题意， 当时，和为，平均值为，差距太大，不合题意， 所以可确定原有（个）数． ． 擦去后的和为． 因此擦去了． 15．小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 【答案】(1) (2)①小南跑步的最大速度为8.8千米/小时②他以最大速度跑步的时间至少是 【分析】本题考查的是一次函数的应用及加权平均数的计算， （1）用待定系数法直接计算求出即可； （2）①用待定系数法求出，再将代入计算得出结论；②先求从起跑到速度达到最大这段时间内，心率保持在100次/分钟以上的时长为：，得出停下时，，再用待定系数法求出休息时段心率p与休息时间t的一次函数关系式，进而得出，设最大速度跑步的时间为，列不等式计算解决即可． 【详解】（1）解：由表格知，起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间为一次函数关系， 设小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， 把，分别代入， ， 解得：， 则小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， （2）①由题意得：， 设， 把，分别代入， ， 解得：， ， 当时，， 当时，， 解得：， 答：小南跑步的最大速度为8.8千米/小时； ②当时，， ， 又， 从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为： ， 当， 将代入得， 即停下时，， 由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关系，设休息时段， 把代入， ， 解得：， ， 当时，， ， 由于休息时心率匀速降低， 因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为， 设最大速度跑步的时间为， 则的时段：， ， 则他以最大速度跑步的时间至少是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习07数据的集中趋势和离散程度 --期末冲刺必备讲义 1. 掌握集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（极差、方差、标准差）核心概念与计算公式，理解“用样本估计总体”思想； 2. 能准确计算统计量、整理分析数据，运用相关知识解决实际统计问题，纠正常见错误； 3. 理解“权”的意义，能借助数据特征解决决策问题，规范表达解题过程与结论。 期末必备 知识点梳理 1.数据的集中趋势 2.数据的离散程度 3.核心统计量的联系与应用 4.用样本估计总体 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.计算一组数据的算术平均数 2.已知平均数,求解未知数据的值 3.计算数据的加权平均数 4.求解一组数据的中位数 5.结合中位数进行决策分析 6.确定一组数据的众数 7.利用众数反推未知数据的值 8.借助众数开展决策应用 9.计算数据的方差 10.通过方差求解未知数据的值 11.依据方差判断数据的稳定性 12.运用方差进行决策选择 期末备考 压轴通关 (15题) 【知识点01.数据的集中趋势】 集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，常用统计量有平均数、中位数和众数。 1.平均数： 分为算术平均数和加权平均数，是反映数据平均水平的核心量。 *算术平均数是将 n 个数据求和后除以 n，公式为=，其易受极端值影响。 *加权平均数则考虑不同数据的重要程度（即权），若数据x1出现f1次，x2出现f2​次……xk出现fk次（n=f1+f2+⋯+fk），公式为=。这里的 “权” 可以是频数、百分比等，权越大对平均数的影响越大。 2.中位数： 将一组数据按大小顺序排列， 若数据个数为奇数，处于中间位置的数就是中位数； 若个数为偶数，中间两个数据的平均数为中位数。它的优势是不受极端值干扰，能反映数据的中间水平。比如 15 名同学的竞赛成绩，按顺序排列后第 8 名的成绩就是中位数，可用于判断是否能进入前 8 名决赛。 3.众数： 一组数据中出现次数最多的数据。众数可能不唯一，也可能不存在。例如数据 3、4、5、6、6、7、7 有两个众数 6 和 7；数据 3、4、5、6 则没有众数。众数常用于商业决策，像鞋店进货时，销量最高的鞋码（即众数对应的鞋码）可多进货。 【知识点02.数据的离散程度】 离散程度体现一组数据的波动大小，常用极差和方差来描述。 1.极差： 一组数据中最大值与最小值的差， 公式为极差=最大值-最小值。 它计算简单，能快速反映数据的变化范围，但仅依赖两个极端值，对数据整体波动的描述较粗略。例如数据 3、4、6、7 的极差是7−3=4。 2.方差： 衡量数据偏离平均数的程度。 设 n 个数据x1​,x2​,⋯,xn​的平均数为x， 方差公式为s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2]。 方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。另外，若一组数据中每个数都加上或减去同一个常数，方差不变；若每个数都扩大或缩小 k 倍，方差则扩大或缩小k2倍。比如数据 3、4、5、6、7 的方差为 2，将每个数扩大 10 倍得到 30、40、50、60、70，方差变为 200。 【知识点03.核心统计量的联系与应用】 统计量 联系 区别 适用场景 平均数 均能反映数据的集中趋势，可相互补充说明数据特征 易受极端值影响，需数据完整且适合算术运算 无极端值、数据分布均匀的场景，如计算班级平均分 中位数 不受极端值影响，仅与数据排列位置有关 存在极端值的场景，如确定比赛晋级分数线 众数 与数据出现次数相关，不依赖整体数据运算 商业统计、民意调查等，如统计最受欢迎的商品型号 方差 均能反映数据的波动情况 计算稍复杂，能精准体现数据整体波动 对比数据稳定性，如选择射击成绩稳定的运动员参赛 极差 计算简便，但反映波动较片面 快速初步判断数据波动范围，如粗略对比两组数据的波动差异 【知识点04.用样本估计总体】 一、核心概念 总体：考察对象的全体 个体：总体中的每一个考察对象 样本：从总体中抽取的一部分个体 样本容量：样本中个体的数目（无单位） 二、核心思想 当总体数量庞大或考察有破坏性时，用抽样调查获取样本，通过样本的统计量（平均数、方差等）近似估计总体的对应统计量（样本特征≈总体特征）。 三、样本选取关键要求 代表性：样本结构与总体一致，无偏向（如调查全校身高，不能只抽篮球队学生） 广泛性：样本容量足够大（容量越大，估计越准确） 四、常见应用 用样本平均数估计总体平均数 用样本方差估计总体方差 用样本频率估计总体概率（如次品率） 【知识点05.易错点警示】 1.混淆算术平均数与加权平均数：忽略“权”的作用，重要程度不同的数据需用加权平均数 2.求中位数未排序：必须先将数据有序排列，再根据个数奇偶性确定中位数 3.误解众数：众数可多个、可不存在，核心是“出现次数最多” 4.方差计算失误：牢记“先平均、再求差、平方后、再平均”，注意数据缩放对於方差的影响（扩大k倍，方差扩大k²倍） 5.误用统计量：有极端值不用平均数；判断稳定性不用极差，用方差 6.样本估计总体偏差：样本需具备代表性和广泛性，避免选取片面样本 【题型1.计算一组数据的算术平均数】 【典例】为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【跟踪专练1】参加某次数学竞赛的女生和男生人数比是，这次竞赛的平均分是82分，其中男生平均分是80分，女生平均 分． 【跟踪专练2】某同学用计算器计算30个数据的平均数时，错将其中一个数据108错输成18，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（   ） A．3.6 B．3 C．0.6 D． 【题型2.根据已知平均数,求解未知数据的值】 【典例】有六个自然数排成一列，它们的平均数是4.5，前4个数的平均数是4，后三个数的平均数是，这六个数的连乘积最小是 ． 【跟踪专练1】在黑板上写连续自然数．1、2、3、4…擦掉一个，剩下的数的平均数为，擦去的数为（    ） A．22 B．27 C．30 D．35 【跟踪专练2】一组数据3，1，x，，7，4的平均数为3，则x等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3.计算数据的加权平均数】 【典例】某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如下表．如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是 ． 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 【跟踪专练1】某次数学测验，五年级（1）班20名男生的平均成绩是85分，17名女生的平均成绩是89分．全班同学的平均成绩（ ）． A．在85分以下 B．在分之间 C．是87分 D．在分之间 【跟踪专练2】某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为 ． 【题型4.求解一组数据的中位数】 【典例】小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是 环． 环数 5 6 7 8 9 10 次数 2 3 4 5 5 1 【跟踪专练1】现有一组数据：，，，，，，若该组数据的中位数是，则的值为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果四个整数数据中的三个数据分别为、、，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是 ． 【题型5.结合中位数进行决策分析】 【典例】在学校举行的运动会上，八年级有名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛．小芳已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这名同学成绩的（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 【跟踪专练1】.某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）折线统计图如图所示： 历届比赛成绩表明，成绩达到就很可能夺冠．若为了稳妥夺冠，则应选择参赛的运动员是 （填“甲”或“乙”）． 【跟踪专练2】某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施来提高工人的工作效率， 为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随机抽取20人统计某月产量如下： 生产零件数 260 270 280 290 300 310 350 520 人数 1 1 5 4 3 4 1 1 若你做为管理者，将每人每月合适的生产定额定为（    ） A．280件 B．290件 C．305件 D．310件 【题型6.确定一组数据的众数】 【典例】如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ，众数是 ． 【跟踪专练1】某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，190，194．现用两名身高分别为和的队员换下场上身高为和一名的队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．中位数变小，众数变大 B．中位数变小，众数变小 C．中位数变大，众数变小 D．中位数变大，众数变大 【跟踪专练2】某车间甲班的名工人加工零件，每人完成的件数分别是，，，，，，，，，，则这班组工人日产量的中位数和众数是 ． 【题型7.利用众数反推未知数据的值】 【典例】若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（   ） A．12 B．11 C．11.5 D．19 【跟踪专练1】一组数据2、3、x、4的众数与平均数相等，则x＝ 【跟踪专练2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【题型8.借助众数开展决策应用】 【典例】请你举出一个生活中与众数有关的例子： ． 【跟踪专练1】某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从名候选人中选择名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪专练2】某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期次数教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期 的下午找到空教室的可能性最大. 【题型9.计算数据的方差】 【典例】为了推动中华传统文化进校园，光华中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”的传统文化知识竞赛，9年4班5名参赛选手的得分如下：，，，，，这组数据的方差是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知4个数据，，，的平均数为3，方差是4；另外6个数据，，，，，的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，，，，，，，，，，则这10个数据的方差为 ． 【跟踪专练2】已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【题型10.通过方差求解未知数据的值】 【典例】计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是 ． 【跟踪专练1】数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【跟踪专练2】某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为 ．（写出一个即可） 【题型11.依据方差判断数据的稳定性】 【典例】奥运会比赛前，甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表： 选 手 甲 乙 丙 丁 平均数(环) 方差(环2) 则这四人中成绩发挥最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】已知甲、乙两个超市七月份每天营业额的方差值分别为，，则营业额较稳定的超市是 ．（填“甲”或“乙”） 【跟踪专练2】超市里有甲、乙、丙、丁四种牌子的酱油，标准质量都是 500 克，从中各抽出 5 袋测得质量如下，根据下列数据 （单位：克） 判断，质量最稳定的是 （   ） A．甲：500 502 499 501 498 B．乙： 493 494 511 494 508 C．丙：501 494 506 490 509 D．丁：497 502 493 507 501 【题型12.运用方差进行决策选择】 【典例】甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是 班． 【跟踪专练1】学校准备从甲、乙、丙三个小组中选出一组代表学校参加宜昌市第二届数理节，各组的平时成绩的平均数（单位：分），及方差如表所示： 甲 乙 丙 b 98 98 a c a 若按“选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛”要求定出的小组只能是乙组，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是 ． 1．为迎接第39个“12.5”国际志愿者日，学校准备设计一款学生志愿服，对全校学生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如下表所示： 颜色 黄色 红色 白色 紫色 绿色 学生人数 150 230 220 80 650 学校决定采用绿色，可用来解释这一决定的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均分（单位：分）均为93分，方差分别如下=0.75，=1.1，=1，=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．下列各组数据的波动程度最小的是（   ） A．3，3，4，3，6，5 B．1，2，3，3，4 C．2，5，7，5 D．3，4，5，3，1 5． 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： . 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） 6．一组数据的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（   ） A．10 B． C．2 D． 7．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 8．数学测试满分为150分．某校对期中测试成绩和期末测试成绩赋予不同的权，计算它们的平均数作为学期期末总评成绩．如图是张老师发明的计算期末总评成绩的算图，图中点在y轴上，m代表期中测试成绩，点在直线上，n代表期末测试成绩，直线与直线相交于点．根据以上对算图的描述，下列对点P的说法正确的是（   ） A．p，分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q B．，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q C．p，分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为p D．，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为p 9．六名学生投篮球，规定每人投次，统计他们投中的次数，得到个数据．若这六个数据的中位数是，唯一的众数是，则他们投中次数的平均数可能是（   ） A． B． C． D． 10．一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或或 11．项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，； 八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，； 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100， 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 c 九年级 85 b 80 直接写出______，______，______． 【分析解决】 （2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 12．某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，． (1)求这名学生身高的平均数和众数； (2)对于不同组的学生，若一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是哪组？ 甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166 乙组学生的身高/cm 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 13．某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”）； (3)按笔试成绩占，面试成绩占，请算出各位同学的综合成绩，并写出谁的综合成绩最好． 14．（平均数）从1到n共n个连续自然数中，擦去其中的某一个数后，余下的数字的平均值为，求擦去的数，并说明理由． 15．小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $